CÁLCULO I. Efetuar transformações no gráco de uma função. Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que

Transcrição

1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 03: Funções Inversas e Compostas.Transformações no Gráco de uma Função. Objetivos da Aula Denir função bijetora e função inversa; Calcular a composta de duas funções Efetuar transformações no gráco de uma função. Função Inversa Uma função f : A B é chamada injetora se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é, para x 1, x 2 A, Se x 1 x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ). Equivalentemente, temos que Se f(x 1 ) = f(x 2 ) então x 1 = x 2. Uma forma de vericarmos gracamente se uma função é injetora ou não é o chamado teste da reta horizontal: Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráco em mais de um ponto Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que Figura 1: Exemplo de um gráco de função injetora. Figura 2: Exemplo de um gráco de função que não é injetora. Dizemos que uma função f : A B é sobrejetora se Im f = B. Equivalentemente, para todo elemento y B, existe um x A tal que y = f(x). Um exemplo de função sobrejetora é a função exibida no seguinte exemplo. Exemplo 1. Considere f : R R, denida por f(x) = x 3. f é sobrejetora? 1

2 Sim, pois para cada número real y R podemos tomar o número x = 3 y R e observar que y = ( 3 y) 3 = x 3 = f(x) Desse modo,im f = R, e portanto, f é sobrejetora. Assim como foi estudado para funções injetoras, existem funções que não são injetoras. Basta observar o seguinte exemplo. Exemplo 2. Considere f : R R, denida por f(x) = x 2. f é sobrejetora? Não, pois se tomarmos o número real y = 2, não existe nenhum número real x R tal que f(x) = 2 Dessa forma, Im f R, e portanto, f não é sobrejetora. Observação 1. Uma forma de ultrapassar esse obstáculo é restringirmos o contradomínio à imagem da função. Por exemplo, note que se a função f(x) = x 2 do exemplo anterior fosse denida f : R R +, ela seria sobrejetora. Denição 1. Seja f : A B uma função. Dizemos que f é bijetora, se f é injetora e sobrejetora. Note que f(x) = x 3 é bijetora e f(x) = x 2 não é. Seja f : A B uma função bijetora. Denimos a função inversa de f e denotaremos por f 1 como sendo a função f 1 : B A, tal que y = f(x) x = f 1 (y) (1) Figura 3: Diagramas de echas de f e sua inversa. Um exemplo simples da relação 1 pode ser dada pelo diagrama de echas no exemplo a seguir: Exemplo 3. Considere os conjuntos A = 1, 2, 3 e B = 0, 4, 5 e uma função f : A B, dada por f(1) = 4 f(2) = 5 f(3) = 0 Determine a função f 1. Para determinarmos a função f 1, vamos representar f por um diagrama de echas e invertemos as echas. Dessa forma, obtemos Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 2

3 Figura 4: Diagramas de echas de f e f 1. Exemplo 4. Das as funções abaixo, determine as suas inversas. (i) f : R R, dada por f(x) = x 3 ; (ii) g : [0, 1] [0, 1], dada por g(x) = 1 x 2 ; (i) Note que f é bijetora. Logo, existe uma função f 1 : R R tal que y = f(x) x = f 1 (y) Para determinar a função f 1, devemos expressar a variável x "em função"de y. Desse modo, obtemos que y = x 3 x = 3 y Assim, obtemos que a função inversa de f é f 1 : R R, dada por f 1 (y) = 3 y. (ii) Como zemos anteriormente, expressaremos a variável x "em função"de y. Logo, y = 1 x 2 y 2 = 1 x 2 x 2 = 1 y 2 x = 1 y 2 Desse modo, obtemos que a inversa de g é g 1 : [0, 1] [0, 1], dada por g(y) = 1 y 2 Observação 2. Diversas vezes, tentaremos encontrar a inversa de uma função. Muitas delas não possuem função inversa em todo o seu domínio. Para essas funções, podemos determinar uma inversa em certos subconjuntos do domínio, como é o caso das funções trigonométricas inversas. Um processo para fazer isso pode ser Encontrar um subconjunto onde a função f seja injetora; Restringir a função a esse intervalo; Restringir o contradomínio à imagem desse subconjunto. Observe que a denição da inversa (1) tem como consequência o fato de que (x, y) G f (y, x) G f 1 Essa "inversão"dos pares ordenados dos grácos de f e f 1 tem como consequência gráca a seguinte propriedade Os grácos de f e f 1 são simétricos em relação à reta y = x. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 3

4 segue um exemplo dessa propriedade: Figura 5: Gráco de f(x) = x 3 e sua inversa. Função Composta Em nosso curso, utilizaremos algumas operações entre funções. Note que podemos escrever y em função de x quando, y = f(u) (y é uma função de u) e u = g(x) (u é uma função de x), a partir da substituição de uma função na outra. A este método, denominamos composição de funções. Segue a denição: Denição 2 (Composição de funções). Dada duas funções f e g, tal que a imagem de f é subconjunto do domínio de g, a função composta de f com g, denotada por g f denida por; g f : D f R, cuja regra é dada por: (g f)(x) = g(f(x)). Quando a imagem de f não está inteiramente contida no domínio de g não é possível fazer a composição. Nesse caso, para se poder realizar uma composição é necessário restringir o domínio de f de tal forma que sua imagem esteja contida no domínio de g. Nesse caso, estaremos considerando então D(g f) = {x D(f) f(x) D(g)}. A gura abaixo mostra como visualizar a composição de duas funções: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 4

5 Figura 6: Composição de Funções Observação 3. É comum usar a seguinte notação: f 2 = f f f 3 = f 2 f = (f f) f. f n = f n 1 f Exemplo 5. Sejam f(x) = x e g(x) = x 1. Encontre g f. Temos que: g f(x) = g(f(x)) = g( x) = x 1. Como D(f) = [0, + ) e Im(f) = [0, + ) D(g) = R, então D(g f) = D(f) = [0, + ). Exemplo 6. Sejam f(x) = x + 1 x e g(x) = x + 1. Encontre (f g)(x) e seu respectivo domínio. x 4 Temos que: (f g)(x) = f(g(x)) = g(x) + 1 g(x) = x + 1 x 4 + x 4 x + 1 = (x + 1)2 + (x 4) 2 (x 4)(x + 1) = 2x2 6x + 17 (x 4)(x + 1). O domínio de (f g)(x) é R { 1, 4}. Exemplo 7. Sejam as funções: 0, se, x < 0 f(x) = x 2, se, 0 x 1 0, se, x > 1 1, se, x < 0 e g(x) = 2x, se, 0 x 1 1, se, x > 1 Determinar f g. Note que Se x < 0, (f g)(x) = f(g(x)) = f(1) = 1 2 = 1. Se 0 x 1, (f g)(x) = f(g(x)) = f(2x). Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 5

6 Para 0 x 1 2, temos 0 2x 1. Logo, neste caso, (f g)(x) = f(2x) = (2x)2 = 4x 2. Para 1 2 < x 1 temos 2x > 1. Assim, para este caso, (f g)(x) = f(2x) = 0. Se x > 1, (f g)(x) = f(g(x)) = f(1) = 1. Logo: (f g)(x) = 1, se, x < 0 4x 2, se, 0 x , se, 2 < x 1 1, se, x > 1 O domínio de (f g)(x) é R. Uma relação importante entre função inversa e função composta é a seguinte: Proposição 1. Sejam f : A B e f 1 : B A. Então f 1 (f(a)) = a, a A e f(f 1 (b)) = b, b B Se A = B = R, então g(f(x)) = x, x R Transformações no Gráco de uma Função Aplicando certas transformações aos grácos de uma função, obtemos o gráco de funções relacionadas. Isso nos capacita a fazer o esboço de muitas funções à mão e nos permite também escrever equações para os grácos dados. Propriedade 1: Deslocamentos Suponha c R. O gráco de y = f(x) + c é o gráco de y = f(x) deslocado verticalmente c unidades, sendo que c > 0 desloca para cima e c < 0 desloca para baixo. Figura 7: Deslocamentos Verticais O gráco de y = f(x c) é o gráco de y = f(x) deslocado horizontalmente c unidades, sendo que c > 0 desloca para a direita e c < 0 desloca para a esquerda. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 6

7 Figura 8: Deslocamentos Horizontais Propriedade 2: Reexões em relação ao eixos O gráco de y = f(x), reete o gráco de y = f(x) em torno do eixo x e o gráco de y = f( x), reete o gráco de y = f(x) em torno do eixo y, como ilustrado abaixo: Figura 9: Reexões em torno dos eixos x e y Propriedade 3: Expansões e Compressões Verticais e Horizontais Suponha c > 0. O gráco de y = c.f(x) expande (ou comprime) o gráco de y = f(x) verticalmente por um fator de c, sendo que c > 1 expande e 0 < c < 1 comprime. Figura 10: Expansão e Compressão Verticais O gráco de y = f(cx), comprime (ou expande) o gráco de y = f(x) horizontalmente por um fator de c, sendo que c > 1 comprime e 0 < c < 1 expande. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 7

8 Figura 11: Expansão e Compressão Horizontais Função Par e Função Ímpar Denição 3. Seja f : D f R uma função. Denimos que f é par, se f( x) = f(x) x D f (2) e que f é ímpar se f( x) = f(x) x D f (3) Exemplo 8. Verique que a função f(x) = cos(x) é par. Vericaremos que f( x) = f(x). Então, f( x) = cos( x) = cos(0 x) = ( 1 cos(0) cos(x) + 0 sen(0) sen(x)) = cos(x) = f(x) Exemplo 9. Verique que a função f(x) = sen(x) é ímpar. Vericaremos que f( x) = f(x). Desse modo, f( x) = sen( x) = sen(0 x) = ( 0 sen(0) cos(x) sen(x) 1 cos(0)) = sen(x) = f(x) Entendemos, em termos de gráco, que uma função é par se o seu gráco coincide com a rotação do mesmo em torno do eixo y. Vejamos alguns exemplos. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 8

9 Figura 12: Exemplo de uma função par Figura 13: Exemplo de uma função que não é par Interpretamos gracamente que uma função f é ímpar se ao rotacionarmos o seu gráco em torno da origem a 180 o graus o gráco dessa nova função coincide com o gráco de f. Vejamos alguns exemplos Figura 14: Exemplo de uma função ímpar Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 9

10 Figura 15: Exemplo de uma função que não é ímpar Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula no Capítulo 1, seções 1.3, 1.4 e 1.6 do livro texto. Dica importante Caso você queira plotar computacionalmente alguns grácos, utilize o Widget Plotador de Funções, disponível em: Sugestão de exercícios Resolva os exercícios 1.3, 1.4 e 1.6 do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 10