4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

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1 43 4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 4.1. A FUNÇÃO EXPONENCIAL Vimos no capítulo anterior que dado a R +, a potência a pode ser definida para qualquer número R. Portanto, fiando a R +, podemos definir uma função que a cada R associa a R +. Esta função será chamada de função eponencial de base a. Definição Seja a R +, a 1. Chama-se função eponencial de base a, a função f: R R a + Observações 1) A eigência a 1 é para que a função eponencial não seja uma função constante. ) Segue da propriedade P 9 ), vista anteriormente para potências, que Im( f ) = R +, ou seja, f é sobrejetora. 3) Das propriedades P 6 ) e P 7 ), temos que a função eponencial é estritamente crescente para a > 1, e estritamente decrescente para 0 < a < 1.

2 44 Apresentamos a seguir o gráfico da função eponencial nos casos a > 1 e 0 < a < 1. a > 1 0 < a < 1 Para o traçado desses gráficos, utilizamos os seguintes fatos: 1) Se a > 1, o gráfico de f aproima-se do eio O quando decresce indefinidamente. Dizemos que o eio O é uma assíntota horizontal do gráfico de f e usamos a notação lim = 0 a Quando cresce indefinidamente, a também cresce indefinidamente e então lim + a =+ ) Se 0 < a < 1, o gráfico de f aproima-se do eio O quando cresce indefinidamente. Dizemos que o eio O é uma assíntota horizontal do gráfico de f e usamos a notação lim + a = 0. Quando decresce indefinidamente, a cresce indefinidamente e então

3 45 lim a =+. 3) Em ambos os caso, o gráfico de f passa pelo ponto (0,1). Proposição 4.1 Seja a R +, com a 1. A função + f: R R a a é injetora D] Isso é consequência do seguinte fato: toda função estritamente crescente ou estritamente decrescente é injetora. De fato, suponhamos que f seja estritamente crescente, isto é, Temos então, 1 < f( 1) < f(). 1 1 < ou 1 > f( 1) < f( ) ou f( 1) > f( ) f( 1) f( ). O caso em que f é estritamente decrescente demonstra-se de modo análogo. Como a função eponencial é estritamente crescente se a > 1 e estritamente decrescente se 0 < a < 1, concluímos que ela é injetora. Sendo injetora e sobrejetora, temos que a função eponencial, como definida acima, é bijetora. Proposição 4. Sejam a R +, a 1 e e 1 R. 1 i) Se a > 1 e a < a então < ii) Se 0 < a < 1 e a 1 1. < a então > 1.

4 46 D] i) Suponhamos, por absurdo, que 1. Como a > 1, a função eponencial é crescente, logo a 1 a, o que contradiz a hipótese. ii) Análogo ao item i). Da Proposição 4.. e das observações feitas anteriormente sobre o crescimento e decrescimento da função eponencial, concluímos: 1 i) Para a > 1, a < a < ii) Para 0 < a < 1, a 1 1. < a > A FUNÇÃO LOGARÍTMICA Trabalhamos anteriormente com a parte operacional dos logaritmos. Aprendemos que, fiado como base um número real a, positivo e diferente de 1 (a R +, a 1), temos que para cada número real número real positivo, o número loga eiste e é único. Estas condições de eistência e unicidade nos dão a possibilidade de tratar os logaritmos, assim como fizemos com os epoentes, sob o ponto de vista da teoria das funções, pois a idéia básica na definição de função é que a cada elemento de um conjunto A se faça corresponder um único elemento y de um conjunto B. Definição Seja a R +, a 1. Chama-se função logaritmica de base a, a função g: R + R loga

5 47 Proposição 4.3 Seja g: R + R, loga a R +, com a 1. Temos i) Se a > 1 então g é estritamente crescente. ii) Se 0 < a < 1 então g é estritamente decrescente. D] i) Sejam a > 1, 1, R + e suponhamos que 1 < Consideremos que De < 1 y = log a = e y = log a = 1 a 1 1 temos que a a y y y 1 4., segue-se que y1 < y, ou seja, loga 1 < loga. ii) A demonstração é análoga ao caso i) 1 a <. Como a > 1, como consequência da Proposição y Proposição 4.4 Seja g: R + R, a R +, com a 1. loga i) Para a > 1, loga 1 < loga 1 <. Se e R +, então: 1 ii) Para 0 < a < 1, loga 1 < loga 1 >. D] i) Consideremos que 1 y = log a = e y = log a =. 1 a 1 y 1 a y

6 48 Suponhamos que loga 1 < loga, isto é, y < y. Como a função eponencial de base a > 1 é estritamente crescente, temos que a 1 y1 y < a, ou seja, <. 1 ii) A demonstração é análoga. Das proposições anteriores temos as equivalências i) Para a > 1, loga 1 < loga 1 <. ii) Para 0 < a < 1, loga 1 < loga 1 >. Proposição 4.5 Seja a R +, a 1. A função g: R + R, loga D] é bijetora. A injetividade segue do fato da função ser estritamente crescente para a > 1 ou, estritamente decrescente para 0 < a < 1. A função é sobrejetora pois, dado y R, eiste R + equivalente a y = loga., tal que y = a, o que é Proposição 4.6 Seja a R +, a 1. Consideremos as funções f: R R +, g: R + R a loga Então f o g () =, R 1 +, g o f () =, R, ou seja, f = g e g = f 1.

7 49 D] As funções f e g são bijetoras, logo admitem inversas. Além disso, g(f( )) log a = log a =, R e f(g( ) = a =, R + a O fato da função logarítmica ser a inversa da eponencial nos permite construir o seu gráfico usando a simetria em relação à 1 a bissetriz. (a > 1) Observando o gráfico anterior concluímos: 1) O gráfico passa pelo ponto (1,0). ) lim g() = e lim g() = ) O eio Oy ( = 0 ) é assíntota do gráfico de g.

8 50 (0 < a < 1) Neste caso temos: 1) O gráfico passa pelo ponto (1,0). ) lim g() =+ e lim g() = ) O eio Oy ( = 0 ) é assíntota do gráfico de g. Trabalharemos a seguir com eemplos de funções obtidas a partir de funções logarítmicas, aplicando-se operações com funções, tais como, composição, soma, multiplicação, etc. Eemplos 1) Determine o domínio das seguintes funções: a) f() = log ( 1)

9 51 Solução: Como o domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos temos que 1> 0. Assim, D(f) = ], 1[ ]1, + [. b) f() = log 1( ) Solução: Neste caso as seguintes condições devem ser satisfeitas simultaneamente: i) > 0 ( ) > 0 0< < ii) 1 > 0 > 1 iii) 1 De i), ii) e iii), concluímos que D(f) = ]1,[. c) f() = log3( 4) Solução: Temos que, Assim, D(f) = ], + [. d) f() = log( + 4) 4> 0 > 4 > > Solução: Neste caso, como + 4> 0, R, temos que D(f) = R

10 5 ) Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando o domínio, a imagem e assíntota vertical. a) f() = 1+ ln Solução: Temos y= 1+ ln y 1= ln Fazendo y 1 = y e = transladamos os eios coordenados para a nova origem O (0,1) e construímos no novo sistema o gráfico de y' = ln'. D(f) = R +, Im(f) = [1, + [. A reta = 0 é assíntota vertical. b) f() = + ln(1 ) Solução: Temos que y = ln(1 ) = ln( ( 1))

11 53 Fazendo y = y e 1 =, transladamos os eios coordenados para a nova origem, O (1,) e construímos no novo sistema o gráfico de y = ln( ) D(f) = ],1[, Im(f) = R. = 1 é assíntota vertical. 1 + c) f (), sendo f() = 1 + e Solução: 1 Vamos determinar, inicialmente, f (): + + y= 1+ e y 1= e ln(y 1) = + = ln(y 1). 1 Temos assim que f () = ln( 1). Fazendo y + = y e 1 =, construímos o gráfico da função y = ln no novo sistema cuja origem é O (1, ).

12 54 D(f) = ]1, + [, Im(f) = R = 1 é assíntota vertical 4.3. ALGUMAS OBSERVAÇÕES SOBRE O COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA O rápido crescimento da eponencial e a vagarosidade dos logaritmos Uma propriedade importante da eponencial de base maior que 1 é o seu rápido crescimento com o crescer de. Infelizmente, essa propriedade nem sempre é devidamente enfatizada no ensino do o grau, talvez porque o ensino do logaritmo continue sendo feito como se ele fosse apenas um instrumento de cálculo à moda antiga sem maiores preocupações com o aspecto funcional do logaritmo e da eponencial. A seguinte tabela ilustra este fato, onde comparamos o crescimento de com o de e (e,7) com valores arredondados.

13 55 y = y = e cm cm cm cm km km 30, Distância da Terra ao Sol 41, ano-luz 4, ,3 anos-luz (Distância da Terra ao sol = ) (1 ano-luz = km) (4,3 anos-luz = = distância da estrela mais próima do Sol) Estes poucos cálculos mostram claramente o quão rapidamente cresce a função eponencial com o crescer do seu argumento.

14 56 Em correspondência ao rápido crescimento da eponencial está o vagaroso crescimento da função logarítmica. Assim, se a 3 a coluna da tabela representar y temos que a nossa 1 a coluna representa o logaritmo na base e de y. Para conseguirmos subir 5cm na vertical das ordenadas é preciso fazer y = 148cm. Para subir 10cm é preciso andar 0m na horizontal EXERCÍCIOS 4.1. Esboce o gráfico das seguintes funções: +1 - a) f() = 3 ; b) f() = 4.. Mostre que a função f ( ) = ( m m+ ) 1 1; c) f() = ; d) f() = e 3 é crescente para qualquer m R Determine o domínio das seguintes funções: + 1 log 3 ( + ) a) f ( ) = ( 5. + ) b) f ( ) = log ( 3 ) c) f ( ) = log ( 9) d) f ( ) = ( 3 4) Determine a epressão que define a inversa de cada função abaio, indicando o domínio e a imagem de f a) f ( ) = + log b) f ( ) = 3 c) f ( ) = log 10 d) f ( ) = 5. 5 (Use o fato que < + 8, R) Esboce o gráfico das funções definidas pelas seguintes sentenças: a) f ( ) = 1+ log b) f ( ) = log ( ) 1/ c) f ( ) = log d) f ( ) = log 1/ e) f ( ) = log f) f ( ) = 1+ log ( 1) 1/ 4.6. Mostre que se a,b R + e R então a = b a = b.esta propriedade é válida em geral?