CE065 - ELEMENTOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 2ª. PARTE

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1 CE65 - ELEMENTOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA ª. PARTE. FUNÇÕES.- Sistema de Coordenadas Cartesianas ou Plano Cartesiano A localização de pontos num plano é bastante antiga na Matemática e data aproimadamente do século III a.c. Porém, atualmente, usa-se o Sistema de Coordenadas Cartesianas que teve origem com os trabalhos do matemático René Descartes (século XVIII). Esse sistema é formado por dois eios perpendiculares que se cruzam em um ponto chamado origem. Esses dois eios chamam-se: eio das abscissas (horizontal X) e eio das ordenadas (vertical Y). Eercícios ) Desenhe um sistema de eios cartesianos e indique: o eio das abscissas, o eio das ordenadas, a origem e os quatro quadrantes. ) Desenhe um sistema de eios cartesianos e marque no plano os pontos cujas coordenadas são: a) P (, -) b) A(, ) c) B(, ) d) M(, -) e) N(, ) f) V(-, ) g) P (-, ) h) P (-, -) i) P 4 (, ) j) P 5 (, -4) ) Desenhe um sistema de eios cartesianos, marque nele os pontos P, P e P. Trace os segmentos de reta P P, P P e P P que definem o triângulo P P P. 4) Desenhe um sistema de eios cartesianos, marque nele os pontos P 4 e P 5. Trace a reta definida por esses dois pontos..- Produto Cartesiano Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B ao conjunto formado por todos os pares ordenados (; y) com A e y B. A notação do produto cartesiano de A por B é AB, onde se lê A cartesiano B. Eercícios ) Escreva em linguagem simbólica o produto cartesiano AB. ) Dados os conjuntos A = {; ; } e B = {5; 6}, pede-se os produtos cartesianos: a) AB b) BA

2 ) Olhando os resultados dos produtos cartesianos AB e BA você conclui que se A é diferente de B, ou seja, A B, então AB é... de BA. 4) Faça a Representação Gráfica dos dois produtos cartesianos do eercício em um plano cartesiano. 5) Calcule o número de elementos dos produtos cartesianos do eercício, ou seja, qual o valor de n(ab) conhecendo-se os valores de n(a) e n(b)? 6) Faça a Representação Gráfica do produto cartesiano dos intervalos fechados B = [; 5] e C = [; 7] em um plano cartesiano. Veja que o resultado é um retângulo. 7) Faça a representação gráfica do produto cartesiano dos intervalos B = ]; 5], aberto à esquerda e C = [; 7[, aberto à direita, em um plano cartesiano. Veja que o resultado é um retângulo com o lado vertical esquerdo e o lado superior tracejados. 8) O número de elementos de um conjunto B é n(b) = m e o de um conjunto D é n(d) = p. Qual o número de elementos de BD, ou seja, n(bd), sabendo que p m = e m + p = 8? 9) Faça a representação gráfica do produto cartesiano entre o intervalo A = [- ; [ e o intervalo E = ]; 5]. ) O eio das abscissas O representa o conjunto dos números reais, R, e da mesma forma o eio das ordenadas Oy, também, representa o conjunto dos reais, R. Então, o produto cartesiano RR pode ser escrito como R. Faça a representação gráfica desse produto cartesiano..- Relação Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se relação R de A em B a qualquer subconjunto do produto cartesiano de A por B, AB. A relação R de A em B é denotada por A B. Eercícios ) Dados os conjuntos A = {; 7; 9} e B = {7; 9; }, mostre que R = {(; 9), (; ); (7; 9)} é uma relação de A em B. ) Verifique se R = {(; 9), (; ), (7; 5)} é uma relação de A em B. ) Considere os conjuntos do eercício. Faça a representação da relação R : A B por meio de diagrama de flechas. 4) Considere os conjuntos A e B do eercício. Escreva, por enumeração, a relação R 4 = {(; y) AB = y}.

3 5) Considere os conjuntos A e B do eercício. Escreva, por enumeração, a relação R 5 = {(; y) AB < y}. Domínio e Conjunto Imagem Dado o par ordenado (; y) pertencente à relação R de A em B, tem-se que a relação R associa a y, e então, y é a imagem de em R. Dessa forma, o conjunto domínio de R, D(R) é formado por todos os elementos de A que estão associados a pelo menos um elemento de B e o conjunto imagem de R, Im(R) é formado por todos os elementos de B que são imagens de pelo menos um elemento de A. Eercícios 4 ) Seja A = {; 5; } e C = {-4; 4; }. a) Represente por diagrama em flechas a relação R = {(; y) AC + y < 7}. b) Represente por etensão a relação R = {(; y) AC + y < 7}. c) Represente por etensão o domínio e o conjunto imagem de R. d) Represente por diagrama em flechas a relação R = {(; y) AC = y}. e) Represente por etensão o domínio e o conjunto imagem de R. ) Faça a representação gráfica (no plano cartesiano) das relações R e R citadas anteriormente. ) Dados os intervalos A = [-; ] e B = [-9, 9], faça a representação gráfica (no plano cartesiano) das relações: a) R = {(; y) AB y = } b) R = {(; y) AB y = } c) Represente por etensão D(R ) e Im(R ). d) Represente por etensão D(R ) e Im(R )..4- Função Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se função a toda relação de A em B na qual, para todo elemento de A, está associado um único elemento de B. Desta forma, todos os elementos de A estão associados a um elemento de B e nenhum elemento de A pode estar associado a dois ou mais elementos de B. Uma função do conjunto A em B denotada por f: A B pode ser representada por uma lei do tipo y = f() que determina a forma como são obtidos os pares (; y) do produto cartesiano, ou seja, (; y) AB. Se uma relação R é uma função de A em B, dizemos que: A é o domínio da função; B é o contradomínio;

4 os elementos do contradomínio B que estão associados aos do domínio A formam o conjunto imagem da função. Eercícios 5 ) Identifique nas figuras que o professor fará no quadro negro, o que é função e o que não é, eplicando por quê. ) Dados os conjuntos A = {,,, } e B = {,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }, pede-se: a) O produto cartesiano AB. b) Os pares (pontos) correspondentes à função, y = f(): A B, y = f() = +. c) Represente os pares ordenados obtidos no item (b) em um plano cartesiano. ) Dado o conjunto dos reais, R, e o conjunto dos reais não negativos, R +, pedese: a) A representação no plano cartesiano da função y = f(): R R +, y = f() = +. b) A representação no plano cartesiano da função y = f(): R R +, y = f() =. 4) Seja a relação de A = [; 5] em B = {/5} cuja epressão é f() = y = 5. a) f() é uma função, eplique por quê. b) Qual o conjunto domínio de f()? c) Qual o conjunto contradomínio de f()? d) Faça a representação no plano cartesiano da função f(). 5) Seja a epressão f() = y =, tal que [a; b] R, com b > a. b a a) f() é uma função, eplique por quê. b) Qual o conjunto domínio de f()? c) Qual o conjunto contradomínio de f()? d) Faça a representação no plano cartesiano da função f(), assumindo um valor genérico para b. 6) As funções dos itens 4 e do item 5, têm um nome especial. Qual é este nome? 4

5 FUNÇÃO CONSTANTE Chama-se função constante a toda função na qual todos os elementos do domínio possuem a mesma imagem. Eercícios 6 ) Uma variável aleatória X tem como função densidade de probabilidade a função f() =, com [; ] R. a) Qual o domínio de f? b) Qual o contradomínio de f? c) Faça a representação gráfica da função no plano cartesiano. ) Uma variável aleatória Y tem como função densidade de probabilidade a função f(y) = /5, com y [5; ] R. a) Qual o domínio de f? b) Qual o contradomínio de f? c) Faça a representação gráfica da função no plano cartesiano. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE Uma função f(y), definida no intervalo [a; b], é chamada de crescente se para y > y tem-se f(y ) > f(y ) e da mesma forma g(y), definida no intervalo [a; b], é chamada de decrescente se para y > y ocorrer g(y ) < g(y ). Eercícios 7 ) A função g() = definida em R é crescente ou decrescente? Por quê? ) A função f() = com R + é crescente ou decrescente? Por quê? ) A função f() = sen() com [; π ] é crescente ou decrescente? Por quê? 4) A função h() = tg() com [; π ] é crescente ou decrescente? Por quê? 5) A função f() = - com R + é crescente ou decrescente? Por quê? FUNÇÕES PARES E FUNÇÕES ÍMPARES Função Par Uma função é chamada de função par quando para qualquer valor do seu domínio ocorrer f() = f(-). Assim, em uma função par valores simétricos (em relação à origem) do domínio têm sempre a mesma imagem no contradomínio. Função Impar Uma função é chamada de função impar quando para qualquer valor do seu domínio ocorrer f() = -f(-). Assim, em uma função impar valores simétricos (em relação à origem) do domínio têm imagens simétricas no contradomínio. 5

6 Função Sem Paridade Uma função que não é par e não é impar é chamada de sem paridade ou se diz que não tem paridade. Eercícios 8 ) Classifique as funções abaio em função par, em função impar ou em função sem paridade e justifique por quê. a) f() = com R ( ) b) f() = com R ( ) c) f() = com R ( ) d) f() = 4 com R ( ) e) f() = σ ( µ) σ e π ( µ) σ f) f() = σ e π g) f() = com R ( ) h) y = + com R ( ) i) h() = - com R ( ) com R, µ R e σ R + ( ) com R, µ R e σ R + ( ) j) u() = - com R ( ) (z) k) f(z) = e com z R ( ) π ) Classifique as funções que o professor desenhará no quadro negro em função par, em função impar ou em função sem paridade e justifique por quê. Função Sobrejetora Uma função f: A B é chamada de função sobrejetora quando todo elemento do contradomínio B for imagem de pelo menos um elemento do domínio A da função. Desta forma o conjunto imagem de f é igual ao seu contradomínio. Função Injetora Uma função f: A B é chamada de função injetora quando para dois elementos distintos quaisquer do domínio, corresponderem duas imagens distintas no contradomínio. Função Bijetora Uma função f: A B é chamada de função bijetora quando for injetora e sobrejetora simultaneamente. Eercícios 9 ) A função f() =, com R, é sobrejetora? Por quê? ) A função g() =, com R, é injetora? Por quê? ) A função f() =, com R, é bijetora? Por quê? 6

7 4) A função y = sen(), com R é injetora? 5) Complete o teto de forma a torná-lo verdadeiro: toda reta paralela ao eio das abscissas, O, corta uma função injetora em no máimo um.... Então, a função y = f() = sen() não é injetora porque eistem retas paralelas ao eio O cortando o gráfico em mais de um... 6) Identifique nas figuras que o professor fará no quadro negro as funções sobrejetoras. 7) Identifique nas figuras que o professor fará no quadro negro as funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras. Função Inversa Seja f uma função bijetora de A em B, então é possível definir uma nova função com domínio B e contradomínio A que associa a cada elemento y = f() B um único elemento A. Essa nova função, denotada por f -, é chamada de função inversa de f. E, então, f - = {(y; ) (; y) f}. Eercícios ) Seja f() = y =, com R. Determine a função inversa de f, f - (y). ) Seja f() = y = sen(), com [; π / ]. Escreva a função f - (y). ) Seja f() = y = sen() =, com [; π / ]. Qual o valor de f - (y)? 4) Seja f() = y = cos() =, com [; π / ]. Qual o valor de f - (y)? 5) Seja f() = y = ln(). Qual a função inversa de f(), f - (y)? 6) Seja f() = y = n () =,5, com [; ]. Qual o valor da inversa f - (y) = f - (,5)? 7) Seja f() = y = log(), com R * +. Qual a função inversa de f(), f - (y)? 8) Seja f() = y = log() =,. Qual o valor da inversa de f(), em,, ou seja, f - (,)? Função Composta Dadas as funções f e g, chama-se função composta de f com g a função denotada por f g e definida por f g() = f[g()]. Eercícios Seja as funções f() = + e g() = 5. Determine: 7

8 a) f g; b) g f ; c) f g para =..5- Funções Importantes FUNÇÃO POLINOMIAL DO. GRAU Toda função definida de R em R por f() = a + b, com b R e a R *, é denominada função polinomial do. grau. Eercícios ) Dada a função linear f() = +, pede-se: a) O zero da função. b) O coeficiente angular da reta que a função representa. c) O coeficiente linear da reta que a função representa. ) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(; ) e é paralela a reta representada pela função do eercício. ) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(; ) e é perpendicular a reta representada pela função do eercício. FUNÇÃO POLINOMIAL DO. GRAU Toda função definida de R em R por f() = a + b + c, com b, c R e a R *, é denominada função polinomial do. grau ou função quadrática (trinômio do. grau). Eercícios ) Dada a função do. grau f() = 5 + 4, pede-se: a) As raízes da função, ou seja, os valores de que anulam f(). b) O intervalo de para o qual o polinômio é positivo. c) O intervalo de para o qual o polinômio é negativo. ) Dada a função do segundo grau f() = a + b + c, determine: a) A soma das raízes da função. b) O produto das raízes da função. ) Seja a função f() = a + b + c, definida de R em R. O gráfico dessa função é uma curva chamada parábola. Assim, complete o teto adiante o tornando verdadeiro. a) Quando a > a concavidade da curva está voltada para... b) Quando a < a concavidade da curva está voltada para... 4) Faça os gráficos das seguintes funções do. grau. a) f() = 4 + b) f() =

9 5) Resolva as inequações do. grau seguintes; a) > b) > 6) Faça esboços dos gráficos das funções do o. grau cujos parâmetros são: a) a > e > ; b) a < e > ; c) a > e = ; d) a < e = ; e) a > e < ; f ) a < e <. FUNÇÃO MODULAR Uma função f: R R é denominada de função modular quando é definida por f() =. OBS. Lembre que módulo ou valor absoluto de um número é a distância da imagem desse número na reta orientada até a origem da reta. Veja que 5 é igual à distância de 5 a origem, logo 5 = 5. Por outro lado, -7 igual à distância de -7 a origem, logo -7 = 7. Como você sabe distância é sempre um número positivo. Eercícios 4 ) Faça o gráfico da função f() =. ) Observando o gráfico do eercício anterior se conclui que o conjunto imagem da função modular é o conjunto dos reais não..., ou seja, Im(f) = R +. ) Observando o gráfico do eercício se conclui que o conjunto domínio da função modular é o conjunto dos reais..., ou seja, D(f) = R. 4) Faça os gráficos de y = f() nos seguintes casos: a) f() = 5 b) f() = + 5) Dada a função f() =, faça o gráfico de y = -. FUNÇÃO EXPONENCIAL Uma função é chamada de eponencial quando é definida por f() = a, de R em R, com a R * + e a. Eercícios 5 ) Faça o gráfico da função eponencial f() =. ) Faça o gráfico da função eponencial f() = -. 9

10 ) Faça o gráfico da função eponencial f() = e. 4) Faça o gráfico da função eponencial f() = e -. 5) Faça o gráfico da função eponencial f() = 4e. 6) Faça o gráfico da função eponencial f() = 5e -. 7) Uma variável aleatória X tem função densidade de probabilidade dada por f() = 5e -5 >. Faça o gráfico dessa função. FUNÇÃO EXPONENCIAL: CRESCENTE E DECRESCENTE Dada uma função eponencial definida por f() = a, de R em R, com a R * + e a eistem dois tipos de comportamento para o gráfico dessa função. O tipo depende do valor da base da eponencial a. Assim, tem-se:. ) Se a > tem-se uma função eponencial crescente.. ) Se < a < tem-se uma função eponencial decrescente. Eercícios 6 ) Identifique as sentenças verdadeiras e marque V e as falsas marque F. a) f() = 6 é uma função crescente por que a base a = 6 é maior que ( ) b) g() = ( 4 ) é uma função crescente por que a base a = 4 é menor que ( ) c) ( ), > ( ), ( ) d) ( ), > ( ), ( ) e) (,8),7 > (,8),5 ( ) f) (),7 > (),5 ( ) Eercícios 7 Classifique as funções adiante em par ou impar ou sem paridade; crescente ou decrescente ou constante. ) f(t) = t t R ) g(t) = -t t R ) f() = e - R * + 4) f() = -e - R * + 5) g() = - R

11 6) h() = 7 R EQUAÇÃO EXPONENCIAL Uma equação é denominada de equação eponencial quando a incógnita situa-se no epoente. Eemplos: ) = 6 ) = 9 Eercícios 8 Resolva as equações eponenciais dos eemplos anteriores e as que seguem. ). + = ) = 4 Eercícios 9 Resolva os sistemas de equações eponenciais que seguem. ) + y y = 8 = ) y.4 = 64 = 4 y 4 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Uma função f() definida de R * + em R por f() = log a () com a R * + e a. OBS.: ) A função logarítmica é crescente se a > e é decrescente se a <. ) A função logarítmica é bijetora, logo admite inversa. Eercícios ) Faça o gráfico da função logarítmica f() = log () e determine a sua inversa. ) Faça o gráfico da função logarítmica f() = log / () e determine a sua inversa. ) Calcule o valor de log( ), sabendo que log() =,. 4) Determine as condições de eistência de log( + ).

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13 . LIMITES Definição Seja uma função f definida em um intervalo aberto que contém o ponto a, eceto possivelmente no próprio ponto a. O limite de f() quando se aproima de a é L. Assim, tem-se: L = lim f( ) a e isto significa que ε > eiste um δ > tal que f() L < ε sempre que < a < δ e ainda se f() tem limite quando tende para a, então tal limite é único. Propriedades importantes: ª.) lim a ª.) lim a c = c com c uma constante, ou seja, um real. = a a. ) lim a f( ) + g( ) = lim a f( ) + lim a g( ) 4ª.) lim a 5ª.) lim a f( ) g( ) f( ) = lim g( ) a = lim a f( ) f( ) / lim a lim a g( ) g( ), com lim a g( ) 6ª.) lim a cf( ) = c lim a f( ) 7 a. ) lim a f( ) n = ( lim a f( ) ) n, desde que lim a f( ) eista. INDETERMINAÇÕES As formas indeterminadas ou indeterminações são as seguintes: ª.) a. ) a. ) 4 a. ) - 5 a. ) 6 a. ) 7 a. ) EXERCÍCIOS : Calcule os limites

14 ) lim ( + 4 ) 5 R.: ) lim a R.: a ) lim 4) lim ( + + 4) R.: /7 5) R.: lim [( + )( + 4)] R.: 84 EXERCÍCIOS + ) Dada a função f() =, pede-se: a) O gráfico da função para variando de -5 a 5. b) Calcule o limite da função quanto vai para, ou seja, lim ) Dada a função f() =, pede-se: a) O gráfico da função para variando de -5 a 5. b) O valor da função em =. R.: (indeterminação) + R.: c) O limite da função quando tende para, ou seja, lim R.: -8 ) Dada a função f() =, pede-se: + e / a) O gráfico da função para variando de a. b) O valor da função em =. R.: c) O limite da função quando tende para +, ou seja, lim 4) Dada a função f() = - + pede-se: a) O gráfico da função para variando de -5 a 5. + e R.: 4

15 b) O valor da função em =. R.: c) O limite da função quando vai para, ou seja, lim + R.: 5) Dada a função f() =, pede-se: 4 a) O gráfico da função para variando de - a 6. b) O valor da função em = 4. R.: (indeterminação) c) O limite da função quando vai para 4, lim 4 4 R.: -/4 sen ( ) 6) Demonstre que o limite da função quando vai para é igual a, ou seja, sen() lim =. 7) Dada f() =. R.: a/b 8) Dada f() = sen(a) b com b calcule o limite da função quando vai para cos() calcule o limite da função quando vai para. R.: sen() 9) Dada f() = R.: sen() calcule o limite da função quando vai para. tg() ) Dada f() = ) Dada f() = ) Dada f() = ) Dada f() = sen () calcule o limite da função quando vai para. R.: tg() calcule o limite da função quando vai para. R.: sen(k) calcule o limite da função quando vai para. R.: k sen() calcule o limite da função quando vai para π. R.: π 4) Calcule o limite da função f() = 5) Calcule o limite da função e quando vai para. R.: - 8 quando vai para, ou seja, lim e 5

16 6) Calcule o limite da função f() = 7) Demonstre que 8) Demonstre que 9) Demonstre que ) Demonstre que ) Demonstre que lim ( + ) lim ( + ) lim ( + lim ( lim ( k ) k ) / R.: 4 quando vai para. R.: = e (número de Euler e =,78888). R.: e = e (número de Euler e =,78888). R.: e = e k. = e -k. + k + ) = e. n( + ) ) Calcule lim( ). R.: n() ) Calcule lim( ). R.: ) 4) Calcule lim( ). R.: n() 5) Demonstre que o limite da função ( + a) / quando vai para é igual a e a, ou seja, lim ( + a) = e a. 6) Calcule o limite da função g() = quando vai para. R.: - 7) Calcule im h 4 + h h R.: /4 8) Calcule lim sen() R.: 9) Calcule sen() lim 6 sen() ) Calcule lim( ) + sen(4) R.: R.: /7 6

17 cos() ) Calcule lim( ) sen() ) Calcule lim( ) sen() tg() ) Calcule 4) Calcule lim ( + ) lim ( + ) / 5) Calcule lim + n( + ) 6) Calcule lim ( + k ) R.: R.: R.: e R: e R.: ) Dada a função f() = vai para o infinito ( ). R.: calcule o limite da função quando 8) Dada a função f() = para o infinito ( ). + + calcule o limite da função quando vai 9) Dada a função f() = + + para menos infinito (- ). R.: calcule o limite da função quando vai 5 + 4) Dada a função f() = para o infinito ( ). R.: ) Dada a função f() = para o infinito ( ). R.: 4) Dada a função f() = para menos infinito (- ). R.: 4) Dada a função f() = + + para menos infinito (- ). R.: - calcule o limite da função quando vai calcule o limite da função quando vai calcule o limite da função quando vai calcule o limite da função quando vai 7

18 n( + ) 44) Calcule lim( ). R.: 45) Calcule lim ( + ). R.: e n( ) 46) Calcule lim( ). R.: ) 47) Calcule lim( ). R.: n() 48) Calcule lim ( + + ). R.: e a ) 49) Prove que lim( ) e ) 5) Calcule lim( ). R.: / ) 5) Calcule lim( ) = n (a) com a >.. R.: n () e ) 5) Calcule lim( ). R.: sen() 5) Calcule lim (( e )). R.: a ( + ) ) 54) Prove que lim( ) = a com a. m ( + ) ) 55) Calcule lim( ). R.: m e ( + ) ) 56) Calcule lim[ n( )]. R.: e ) 57) Calcule lim[ n( )]. R.: 58) Uma função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X, F(), tem a seguinte propriedade: quando a variável (aleatória) vai para - o valor da função vai para zero e quando a variável (aleatória) vai para o valor da função vai para. Verifique se a função F() = e - > é função distribuição de probabilidade da variável X, observando que o menos infinito, - da variável X é, que corresponde ao menor valor do contradomínio. 8

19 59) Uma função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X, F(), tem a seguinte propriedade: quando a variável (aleatória) vai para - o valor da função vai para zero e quando a variável (aleatória) vai para o valor da função vai para. Verifique se a função F() = e -θ (+ θ) > é função distribuição de probabilidade da variável X, observando que o menos infinito, - da variável X é, que corresponde ao menor valor do contradomínio. 6) Verifique se a função F() = a b a [a; b] e a < b é uma função de distribuição com base na propriedade enunciada nos dois últimos eercícios. Veja que o menos infinito dessa variável é a (seu menor valor no contradomínio) e o mais infinito é b (o seu maior valor no contradomínio). 6) Verifique se a função F() = [; ] é uma função de distribuição com base na propriedade enunciada nos últimos eercícios. Veja que o menos infinito dessa variável é (seu menor valor no contradomínio) e o mais infinito é (o seu maior valor no contradomínio). 6) Verifique se a função F() = - + > é uma função de distribuição com base na propriedade enunciada nos últimos eercícios. Veja que o menos infinito dessa variável é (seu menor valor no contradomínio) e o mais infinito é. 9

20 . DERIVADAS Definição Seja uma função f definida no intervalo aberto (a; b). Se a < < b, a derivada da df ( ) função primitiva f no ponto é dada por: f () = = d lim h f ( + h ) f( ) desde que o limite eista. Se f () eiste para todos os h valores no intervalo (a, b), então f é chamada diferençável em (a, b). Propriedades importantes: df ( ) ª.) Se f() = c, então f () = = d df ( ) ª.) Se f() = a + b, então f () = = a. d a. ) Se f() = m df ( ), então f () = = m m-. d df ( ) 4ª.) A derivada de cf() é cf () = c. d 5ª.) A derivada da soma f() + g() é igual a f () + g (), ou seja, se y = u + v, então y = u + v. 6ª.) A derivada do produto f()g() é igual a f()g () + f ()g(), ou seja, y = u.v, então y = uv + u v. f ( ) u vu' uv' 6ª.) A derivada do quociente y = = é igual a y =. g( ) v v 7 a. df ( ) ) Se f() = sen(), então f () = = cos(). d df ( ) 8ª.) Se f() = cos(), então f () = = -sen() d df ( ) 9ª.) Se f() = tg(), então f () = = sec () = ( + tg ()). d df ( ) ª.) Se f() = cotg(), então f () = = -cosec () = -( + cotg ()). d df ( ) ª.) Se f() = sec(), então f () = = sec()tg(). d

21 df ( ) ª.) Se f() = cosec(), então f () = = -cosec()cotg() d dy dy ª.) Se y = u e u = f(), então y = = d du 4ª.) Se y = arcsen(u), então y = 5ª.) Se y = arccos(u), então y = u' u u' u u' 6ª.) Se y = arctg(u), então y =. + u u' 7ª.) Se y = arccotg(u), então y =. + u 8ª.) Se y = arcsec(u), então y = u u' u... du. d u' 9ª.) Se y = arccosec(u), então y =. u u ª.) Função Eponencial: y = a u, u = f(), y = a u ln(a)u. ª.) Função Logaritmica: y = log a (u), u = f(), y = u' u ln(a) OBS. log a (e) =. ln(a) ª.) Função Eponencial Geral: y = u v, u = f() e v = f(), y = vu v- u + u v n (u).v. REGRA DE L HOSPITAL

22 Quando se tem para = a (finito ou infinito) as funções f() e g() tendendo para zero ou infinito e fazendo com que o quociente f () g() assuma a forma f () indeterminada ou, então lim a g() = ' f () lim g '. a () EXERCÍCIOS Verifique em todos os eercícios anteriores sobre limites aqueles em que ocorrem indeterminações do tipo ou e aplique a Regra de L Hospital. EXERCÍCIOS 4 ) Seja a função y = f() = π, calcule a derivada de f(). R.: ) Seja a função y = sen(kπ), calcule a derivada de y. R.: ) Seja a função y = sen(kπ), calcule a derivada de y. R.: cos(kπ) kπ + + 4) Seja a função y =, calcule a derivada de y. R.: 5) Seja a função y = k, calcule a derivada de y. R.: k 6) Seja a função y =, calcule a derivada de y. R.: 7) Seja a função y = (+) 5, calcule a derivada de y. R.: 5( + ) 4 8) Seja a função f() = 5 +-7, calcule a derivada de f(). R.: + 9) Seja a função y = +, calcule a derivada de y. R.: ) Seja a função y = 4 8, calcule a derivada de y. R: ( 4 / ) ( 4 / ) ( ) ) Seja a função y =π, calcule a derivada de y. R.: π ( ) ln( π ) e ( + ) e ) Seja a função f() = e + - e, calcule a derivada de f(). R.: ) Seja a função f() = n(), calcule a derivada de f(). R.:

23 4) Seja a função f() = n( ), calcule a derivada de f(). R.: 5) Seja a função f() = og ( ), calcule a derivada de f(). a + ( + )ln(a) 6) Seja a função y = [ n ()], calcule a derivada de y. ln( ) ln ( ln( ) ) + ln( ) 7) Seja a função y =, calcule a derivada de y. R.: ( ln( ) + ) 8) Seja a função y = sen( ), calcule a derivada de y. R.: cos( ) 9) Seja a função y = sen (), calcule a derivada de y. R.: sen()cos() ) Seja a função y = cos( n() ), calcule a derivada de y. R.: sin ( ln( ) ) ) Seja a função y = cos (), calcule a derivada de y. R.: - sen()cos() ) Seja a função y = - cos (), calcule a derivada de y. R.: sen()cos() ) Seja a função f() = -, calcule a derivada de f(). R: 4) Seja a função f() =, calcule a derivada de f(). R.: + 5) Seja a função y =, calcule a derivada de y. R.: + ( / ) 6) Seja a função y = e, calcule a derivada de y. R.: e + e 7) Seja a função f(t) = t, calcule a derivada de f(t). R.: R.: R.: t

24 8) Seja a função f() = n( ), calcule a derivada de f(). R.: 9) Seja a função f() = π, calcule a derivada de f(). R.: π ln( π ) ) Seja a função y = log( + ), calcule a derivada de y. R.: ( + ) ln( ) ) Seja a função y = +, calcule a derivada de y. ( + ) + ln( ) + ) Seja a função y = - n(e ) + sen(π), calcule a derivada de y. R.: ) Seja a função y = sen(5), calcule a derivada de y. R.: 5 cos ( 5 ) 4) Seja a função y = + e, calcule a derivada de y. R.: + e 5) Seja a função z = f(y) = cos(y ) + y 5, calcule a derivada de z. R.: sin( y ) y + 5 y 4 6) Seja a função f(t) = t + t + n(t), calcule a derivada de f(t) no ponto t =, ou seja, df (t) dt t= R.:. R.: 6 7) Seja a função g() =.e. n() + sen(e ), calcule a derivada de g(). e ln( ) + e ln( ) + e + cos ( e ) 8) Seja a função y = +, calcule a derivada de y. R.: + 9) Seja a função y =, calcule a derivada de y. R.: ( / ) 4) Seja a função y = π, calcule a derivada de y. R.: π ( ) ln( π ) 4) Um balão esférico está sendo inflado. Determine a taa na qual o volume V do balão varia em relação ao seu raio R. e R.: 4

25 4) Seja a função y = f() =, calcule a derivada de y. R.: 4) Calcule o valor da derivada obtida no item anterior no ponto = 4, ou seja, df () d = 4. R.: /4 44) Seja a função y = f() = +, calcule a derivada de y R.: ( + ) ( 4 + 5) 45) Calcule o valor da derivada obtida no item anterior no ponto =, ou seja, df () d =. R.: -/5 46) Determine a equação da tangente (reta tangente) ao gráfico da função f() = 5 + no ponto com coordenadas (-, ), ou melhor, no ponto P(-, ). 47) Determine a equação da tangente ao gráfico da função f() = - no ponto com coordenadas (4, 44), ou melhor, no ponto P(4, 44). 48) Seja a função y = f() = sen(+).cos(-), calcule o valor da derivada de y no ponto =. R.: + 49) Seja a função y = arctg( ), calcule o valor da derivada de y no ponto =. 5) Calcule o coeficiente angular da tangente à curva y = no ponto =. 5) Calcule a inclinação da curva y = no ponto =. 5) Determine as coordenadas dos pontos da curva y = em que a tangente a curva, nesses pontos, é: a) horizontal; b) paralela à reta y + 8 = 5. sen() 5) Seja y = f() =, calcule y. + cos() 54) Seja a função g() = sec().tg(), calcule g (). 5

26 55) Determine o coeficiente angular das tangentes à curva y = sen() nos pontos π π π com abscissas: =, =, =, = e π. 56) Determine a equação da normal à curva y = tg() no ponto P( 4 π, ). 57) De um balão a 5 m acima do solo cai um saco de areia. Desprezando-se a resistência do ar, a distância s(t) do solo ao saco em queda, após t segundos é dada por s(t) = -4,9t + 5. Determinar a velocidade do saco nos seguintes casos: a) quando t = a segundos; b) quando t = segundos; c) quando s = (distância ao solo); 58) Uma função densidade de probabilidade, f(), de uma variável aleatória X corresponde à derivada da função distribuição de probabilidade, F(), dessa variável aleatória. Sendo assim, se F() = - densidade de probabilidade de X. + >, calcule a função 59) Uma função densidade de probabilidade, f(), de uma variável aleatória X corresponde à derivada da função distribuição de probabilidade, F(), dessa variável aleatória. Sendo assim, se F() = e -5 >, calcule a função densidade de probabilidade de X. 6) Calcule a função densidade de probabilidade, f(), da variável aleatória X dada a função distribuição de probabilidade F() = b. a b a [a; b] e a < 6) Calcule a função densidade de probabilidade, f(), da variável aleatória X dada a função distribuição de probabilidade F() = com [; ]. 6

27 7

28 4. INTEGRAL Função Primitiva: Dada uma função f() definida no intervalo [a; b], chama-se função primitiva de f() a toda função g(), também definida em [a; b] e cuja derivada g () = f() em todo intervalo [a; b]. Toda função contínua admite uma primitiva. Teorema: Se g() é uma primitiva de f(), então g() + c onde c é uma constante é, também, uma primitiva de f(). Integrais Imediatas: ª.) d = + c ª.) m d = ª.) u m du = m + + c m + 4ª.) d = / d u m + + c com u = f(). m + = 5ª.) u du = u / du u 6ª.) a du = = a u n(a) u + c. + c, com u = f(). + c, com u = f(). 7ª.) a u n(a) du = a u + c, com u = f(). u 8ª.) e du = e u + c, com u = f(). 9ª.) n(u ) + c, com u = f(). u ª.) cos( u) du = sen(u) + c, com u = f(). ª.) sen (u) du ª.) sec (u) du = -cos(u) + c, com u = f(). = tg(u) + c, com u = f(). ª.) cosec (u) du = -cotg(u) + c, com u = f(). 4ª.) du u = arcsen(u) + c, com u = f(). 8

29 ou du u = -arccos(u) + c, com u = f(). du 5ª.) = arc tg(u) + c, com u = f(). + u du ou = -arc cotg(u) + c, com u = f(). + u EXERCÍCIOS 5: INTEGRAL INDEFINIDA. ) Seja f() =, calcule a integral indefinida de f(). ) Seja f() =, calcule a integral indefinida de f(). a ) Calcule a integral indefinida e d, com a R. 4) Seja y = cos(), calcule a integral indefinida de f(). 5) Calcule a integral indefinida d. 6) Seja f() = 5 4, calcule a integral indefinida de f(). 7) Seja y = -, calcule a integral indefinida de y. 8) Calcule a integral indefinida sen() d. d 9) Calcule a integral indefinida. 4 4 ) Seja o polinômio f() = - + 5, calcule a integral indefinida de f(). ) Calcule a integral indefinida 5 d. d ) Calcule a integral indefinida. ) Calcule a integral indefinida d. 5 4) Calcule a integral indefinida d. 5 5) Calcule a integral indefinida d. π 6) Calcule a integral indefinida d. 7) Calcule a integral indefinida 4 d 8) Calcule a integral indefinida. d. 9

30 9) Calcule a integral indefinida 5 / d. ) Calcule a integral indefinida d. / ) Calcule a integral indefinida d. ) Calcule a integral indefinida d. ) Calcule a integral indefinida d. 4) Calcule a integral indefinida e d. sen() 5) Calcule a integral indefinida e cos()d. d 6) Calcule a integral indefinida. 7) Calcule a integral indefinida e d. 8) Calcule a integral indefinida e d. 9) Calcule a integral indefinida e d. d ) Calcule a integral indefinida. e ) Calcule a integral indefinida cos() d. sen() d ) Calcule a integral indefinida +. d ) Calcule a integral indefinida. n() 4) Calcule a integral indefinida cos() d. 5) Calcule a integral indefinida sen( )d. 6) Calcule a integral indefinida sen() d. 6) Calcule a integral indefinida sec () d. 7) Calcule a integral indefinida cosec () d. 8) Calcule a integral indefinida sec () d. 9) Calcule a integral indefinida sec () d.

31 4) Calcule a integral indefinida d d 4) Calcule a integral indefinida. + d 4) Calcule a integral indefinida. + 4) Calcule a integral indefinida d ) Calcule a integral indefinida ( + + ) d. 45) Calcule a integral indefinida ( + ) d. 5 46) Calcule a integral indefinida (6 8 ) d. 47) Calcule a integral indefinida + (e e + ) d. 48) Calcule a integral indefinida ( + ) d. 49) Calcule a integral indefinida (e + ) d. 5) Calcule a integral indefinida (cos( ) + sen()) d. 5) Calcule a integral indefinida (sec () cosec ()) d. 5) Calcule a integral indefinida ( + sec ())d +. 5) Calcule a integral indefinida ( + cosec ())d + 54) Calcule a integral indefinida (cos() 55) Calcule a integral indefinida tg () d. 56) Calcule a integral indefinida sec ( ) d.. 57) Calcule a integral indefinida +. d. ) d. EXERCÍCIOS 6: INTEGRAL DEFINIDA. ) Dada a função f() =, calcule a integral definida de f() de a 4, ou seja, 4 d.

32 ) Dada a função y = sen(), calcule a integral definida de y de a π, ou seja, π / sen ()d. ) Dada a função f() = 5, calcule a integral definida 5 d. 4) Dada a função f(z) = z calcule a integral definida 5) Dada a função y = a u, calcule a integral definida a u du. z dz. 6) Dada a função f(s) = (s + 4), calcule a integral definida ( s + 4) ds. 7) Dada a função f(s) = (s + 4), calcule a integral definida ( s + 4) ds. 8) Calcule d. 9) Calcule d. π ) Calcule sen ()d. d ) Calcule. π ) Calcule cos()d. e d ) Calcule. d 4) Calcule d 5) Calcule. + π 6) Calcule cos( )d. π 7) Calcule cos( 5)d.

33 π 8) Calcule sen ()d. π 9) Calcule sen ()d. π ) Calcule sen (6)d. π ) Calcule cos( )d. π ) Calcule cos( )d. π ) Calcule sen ()d. 4) Uma função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua X pode ser obtida integrando-se a função densidade de probabilidade do menor valor do contradomínio de X até um valor específico. Dada a função densidade de probabilidade f() = 5e -5 >. Determine a função distribuição de X. 5) Uma função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua X pode ser obtida integrando-se a função densidade de probabilidade do menor valor do contradomínio de X até um valor específico. Dada a função densidade de probabilidade f() = > ( + ). Determine a função distribuição de X. 6) Calcule a função distribuição de probabilidade da variável aleatória X, dado que a sua função densidade de probabilidade é f() = [a; b] a < b. b a 7) Calcule a função distribuição de probabilidade da variável aleatória X, dado que a sua função densidade de probabilidade é f() = [; ].

34 8) Calcule a função distribuição de probabilidade da variável aleatória X, dado que a sua função densidade de probabilidade é f() = θe -θ com [; ], θ >. 9) Calcule a função distribuição de probabilidade da variável aleatória X, dado que a sua função densidade de probabilidade é f() =,5 com [-; ]. ) Uma função densidade de probabilidade é sempre não negativa, ou seja, f() > e a integral definida da função é sempre igual a l. Então, verifique se f() =,5 com [-; ] é uma função densidade de probabilidade. ) Verifique se a função f() = θe -θ com (; ), θ >, é uma função densidade de probabilidade. ) Verifique se a função f() = com [; ], é uma função densidade de probabilidade. ) Verifique se a função f() = ( + ) com >, é uma função densidade de probabilidade. 4) Verifique se a função f() = densidade de probabilidade. b a com [a; b] a < b é uma função 5) Verifique se a função f() = com [; 5] é uma função densidade de probabilidade. 4

35 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:. Ayres, Frank Jr. & Mendelson Cálculo Dif. e Integral; 4ª. Edição, Coleção Schaum, Bookman, Porto Alegre, 5.. Cálculo: Funções de Uma Variável. Morettin, P. A.; Bussab, W. O. & Hazzan, S. Atual Editora.. Álgebra de Matrizes com Aplicações em Estatística. Iemma, A. F. 4. Matri Algebra Useful for Statistics. Searle S. R. John Wiley & Sons. 5

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