Apostila de Cálculo I

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2 Limites Diz-se que uma variável tende a um número real a se a dierença em módulo de -a tende a zero. ( a ). Escreve-se: a ( tende a a). Eemplo : Se, N,,,4,... quando N aumenta, diminui, tendendo a zero. N Deinição: lim () a é igual a L se e somente se, dado a e ε, eiste δ tal que se - a ε então () - L δ. Propriedades:. lim C a C ( C constante) [ () ± g () ] () ± g (). lim lim lim a a a [ (). g () ] (). g (). lim lim lim a [ () ] n 4. lim lim a a a () n a 5. lim a () g () lim () a limg () a 6. n lim () n lim a a ()

3 lim 7. C () () a lim C, C Constante a 8. lim logb () logb lim () a a 9. lim P () P (a) a onde P () é uma unção polinomial. Quando () h () g (), a e lim () L limg (), então limh () L a a a Eemplos: lim ) ( 4) ) lim indeterminado 4 lim lim ( )( ) lim ( ) 4 ) lim lim ( ) - ( ) - ( ) lim indeterminado ( - ). ( ( ) ) lim. ( ( ). ( ( ) ) lim ( ( ) ) 4

4 Eercícios : ) Calcular os limites: a) lim 4 i) lim b) lim j) lim c) lim 8 l) lim 7 - d) e) lim - ( 4 - ) 8 lim ) lim - g) lim lim m) ( 7 ) [ ] n) ( 4).( ) lim o) lim p) lim t t 5t 6 t 5t 6 t h) lim 5-5 4

5 Limites Laterais Suponha que, quando tende a a pela esquerda, isto é, por valores menores que a, () tende ao número L. Este ato é indicado por: lim () L - a Suponha que, quando tende a a pela direita, isto é, por valores maiores que a, () tende ao número L. Este ato é indicado por: lim () L a Os números L e L são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de em a e limite à direita de em a e reeridos como limites laterais de em a. Eercícios : ) Seja a unção deinida pelo gráico abaio. Intuitivamente, encontre se eistir: - a) lim () - b) lim () c) lim () d) lim () e) lim () ) lim () 4 5

6 ) Seja a unção deinida pelo gráico abaio. Intuitivamente, encontre se eistir:,5 a) lim () b) lim () c) lim () d) lim () e) lim (). ) Dada a unção ( ), determinar, se possível, lim () - e lim (). 4) Seja () para para. Determinar: lim () para, lim (), lim (). 5) Seja () - 7 para para.. Determinar lim () -, lim (), lim (), lim (), () - lim 5 5, lim (). 5 6

7 Limites Ininitos Ao investigarmos lim () ou lim () - a a pode ocorrer que, ao tender para a, o valor () da unção ou aumente sem limite, ou decresça sem limites. Por eemplo: (). Quando se aproima de pela direita, () aumenta sem limite:,,,,, ()... Quando se aproima de pela esquerda, () diminui sem limite:,9,99,999,9999,99999 () Assim : lim - e lim -. São consideradas indeterminações: ±. ( ± ) ± ( ± ) ± ( ± ) Eemplos: ) lim indeterminado lim lim lim 7

8 ) lim indeterminado lim lim lim Eercícios: ) Seja 5 (). Determinar: a) lim () b) lim () c) lim () ( ) d) lim () ( ) ) Calcular: a) ( - ) lim () ( -) b) lim (5) c) lim ( - ) (4) 4 d) lim ( - ) (4) 4 e) 5 lim ) lim 6 g) lim 6 8

9 Continuidade O conceito de continuidade está baseado na parte analítica, no estudo de limite, e na parte geométrica na interrupção no gráico da unção. Assim, as unções (), abaio, são todas descontínuas: a a a lim () lim () lim () (a) - a a a lim () - a lim () a Deinição: Uma unção é contínua em um ponto A se: a) (a) é deinida b) lim () eiste a c) lim () (a) a A descontinuidade no gráicos () é chamada por ponto ou removível, a descontinuidade em () é por salto e em () é uma descontinuidade ininita. Eemplos: Estudar analiticamente a descontinuidade das unções: 9

10 a) () - em. () lim () lim - lim () lim - lim - é descontínua por ponto ou removível em. Para remover a descontinuidade basta azer () para. b) () 4-8 no ponto. lim () lim - 4 L lim () lim L como L L () então a unção é contínua. Eercícios: Estudar analiticamente a descontinuidade das unções:: a) 7 9 () em.

11 b) () c) 4 - () sen ) Determinar o(s) valor(es) de A para o(s) qual(is) eiste () lim : A) ( - - ()

12 Derivada de uma Função Acréscimo da variável independente Dados e denominam incremento da variável, à dierença: Acréscimo de uma unção Seja () contínua. Dados e podem-se obter ( ) e (). À dierença ( ) ( ) chama-se acréscimo ou variação da unção (). Como, então: ( ) ( ) Graicamente: tg β ) ( Q ( ) P β

13 Razão Incremental O quociente da variação da unção pelo incremento da variável independente é chamado razão incremental. ( ) ( ) Trocando por (io momentaneamente), temos: ( ) () Observe que a razão incremental é o coeiciente angular ( tg β ) da reta secante s, que passa por P e Q. Derivada de uma unção num ponto : eja () contínua. Calculamos a razão incremental. O limite da razão incremental para o acréscimo tendendo a zero é deinido como a derivada da unção (). Ela pode ser indicada como: () Lagrange D D() Cauch d d Leibnitz d d & Newton

14 Então: () lim ou () ( ) - () lim s ( ) Q t () α β P α e () tgα. ponto P(, ()). Quando, a reta secante s tende para a reta tangente t, tgβ tgα Geometricamente () mede a inclinação da reta tangente à curva () no Eemplo: Sendo C uma constante e () C, calcular pela deinição (). () ( ) - () lim () C ( ) C 4

15 C - C () lim lim Então se () C (). Propriedades. Propriedade () C ().. Propriedade n () () n n- Eemplos: a) 7 () () 7 6 b) () () () Eercícios: Calcular a derivada das unções: a) b) () 4 9 () 7 4 c) (). Propriedade ( g) () () g () 4. Propriedade ( g) () () g () Eemplos: 5

16 6 a) () () b) () () c) 4 () () Propriedade () g. () g() (). () g) (. Eemplos: a) ).( F() () g g() () () 4 5 () F. ). ( () F b) ) ).( ( F() 4 () g ) ( g() () ) ( ()

17 7 4 8 F () 4) ).( ( ) ).( ( F () c) ) 4)( ( F() () F ) 4).(9 ( ).( () F 9 () g g() () 4 () Propriedade ( ) g() g (). () g(). () g () () Eemplos: a) 4 4 ) ( ).() ( ) (-).( () g g() - () ()

18 8 b) ) ( 6 ) ( ) ).( ( ).(- - () g - g() () () a) () g 7 - g() 5 - () () 7) ( ) ( 6).() 5 ( 7) - 5).( ( -

19 Eercícios: Calcular as derivadas das unções: ) ( t ) t ) (z z )(z 5) 4 6) t 5 7 t ) ( )( ) ) 4) ( )( ) 7) 4 ( ) 8) 4 5 5) 8 z z 9z 9) ) 9

20 Signiicado Geométrico da Derivada N a () T ( a ()) () β () inclinação da tangente T no ponto P(, ()) N reta normal ao gráico de () no ponto P(,()) Eemplo: Obter as equações das retas normal e tangente ao gráico da unção () 4 nos pontos P (,) e P (-,). No ponto (,) () a a n Equação de T ( - ) - equação de N - ( - ) - No ponto (-,): () a

21 Equação de T ( ) 5 equação de N - - ( ) - 5 Eercícios: ) Dada a unção e o ponto P(4,), determine a equação das retas normal e tangente ao gráico da unção no ponto P. ) Achar a equação da reta tangente ao gráico da unção no ponto de abcissa dada: a) ( ) 5, b) ( ), ) Achar os pontos onde a reta tangente ao gráico da unção dada é paralela ao eio : a) 4 b) c) 4 4 4) Achar a equação da reta normal ao gráico da unção no ponto de abcissa dada: a) ( ), -

22 b), 4 5) Determinar as abcissas dos pontos do gráico nos quais a tangente é: a) paralela à reta 9 4 b) perpendicular à reta 7 - Derivadas de Ordem Superior () () d d derivada primeira () d d d d d d derivada segunda () d d d d d d derivada terceira De um modo geral n () n d d n n Eemplos: Calcular, e :: a) "

23 " b) Eercícios: Calcular, e : ) 4 5 ) ) ) 5) ( )( )

24 Regra da Cadeia Se () e u g() e as derivadas d/du e du/d eistem, ambas, então a unção composta deinida por (g()) tem derivada dada por: d d d du du. d ( u). g ( ) Para derivar ( ) derivar, ou seja: podemos epandir a unção e depois ( ) ( ) Se quisermos derivar a unção ( ) através da regra da cadeia. só conseguiremos resolver Assim: u u d du u 99 u du d d d 99 ( ). ( ) 99 Nesse caso a propriedade é: u n n n. u. u 4

25 Eemplos: ) 4 ( 4) ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 ( 8 ) ) ( 8 ) ( 8 4 ) 8( 8 ) ( ) Eercícios: Calcular para a s unções: ) 5 4 ) ) 4) ( ) ) 6) ( ) ) ( 8 7) 5 5

26 4 8) ( ) 4 w 8 w 5 9) ( ) ( ) ) 8r 7 ) s - 4 ) 4 9 ) 4 5 4) ( 5) 5) ( 4 )( ) 6) 5 ( 4) Derivada das Funções Trigonométricas Derivada da unção seno Se d ( ) sen cos d 6

27 Pela Regra da Cadeia: Se sen u d d u cos u Derivada da unção cosseno ( ) cos sen cos cos sen cos ( sen ) cos ( sen ) ( sen ) ( sen.cos ) ( cos ) ( sen.cos ) sen Se d ( ) cos sen d Pela Regra da Cadeia: Se cos u d d u sen u Eemplos: Calcular as derivadas de: ) sen ( ) d d cos cos ( ). ( ) 7

28 ) sen cos. cos ( ) sen( ) ) ( ) 9 ( ). sen( ) g g.cos( ) 4 9 ( ) sen( ) ( ) cos( ) cos 4) cos sen g g sen cos 4 sen cos Derivada da unção tangente sen Se ( ) tg cos sen cos g cos g sen 8

29 cos sen cos cos sec Pela Regra da Cadeia: Se tg u d d u sec u Derivada da unção cotangente cos Se ( ) cot g sen cos sen g sen g cos sen cos sen sen cos sec Pela Regra da Cadeia: Se cot g u d d u cos sec u Derivada da unção secante sec cos cos cos sen cos ( sen) sec. tg 9

30 Pela Regra da Cadeia: Se sec u sec u. tgu. u Derivada da unção cossecante cossec sen sen cos sen ( ) sen ( cos) cossec.cotg Pela Regra da Cadeia: Se cos sec u - cos sec u. cot g. u Eemplos: Calcular as derivadas de: ) tg ( ) [ ] sec ( ) ) tg cos sec tg sec g cos sec g cos sec.cot g sec.cos sec cos sec. tg.cot g sec cos sec cos sec

31 Eercícios: ) ( ) sec( ) cot g ).cos sec ) cotg ( 5) 5 ( ) ( ) 4) sen 8 ) sec tg - ( ) sen ) cot g tg 4) sen( ) cos( ) 5) tg ( 5 ) 6) cos 8 5 ( ) 7) tg sen 8) cos sec 9) tg 5) ( sen ( 4) cos ( ) cos 6) sen 7) ( ) tg - sen 8) tg (- )( ) 9) cossec 5. tg ) sec.tg( ) ) cos ( ) ) cos. cotg )( sen cos )

32 Derivada da Função Inversa Vimos a regra da cadeia para a composição de duas unções () e g(): g u du d d du d d d d d du. du d Para a unção inversa g - - d d d d d d

33 Portanto: d d d d ou d d d d Derivada da Função Eponencial Se a a ln a Pela Regra da Cadeia: Se u a u a u ln a. Eemplos: Derivar: ) ln ) ln...ln Para a e,788 e e Pela Regra da Cadeia: Se u u e e u Eemplos: Derivar ) e e.( )

34 ) e e. ) sen e sen e.cos 4) e ( ).. e. e. Derivada da Função Logaritmo d loga a a. ln a.ln a d Como: d d d d d d.ln a Se logz ln a Pela Regra da Cadeia: Se log a u u u ln a Para ae log a ln Pela Regra da Cadeia: Se ln u u u Eemplos: Derivar 4

35 ) ) ) ln ln log ln ln Lembrar que : ln (p. q) ln p ln q ln q p ln p ln q ln r p r. ln p Eercícios: Derivar [ ] ) ln 6 -. ( 4 5) ) ln ) ln ( ) ( 5) 4) ln - 5) e.tg ( 4) 5

36 Derivadas de Funções na Forma Implícita Considere a epressão: 49 Podemos isolar em unção de : 49 - ± 49 - Ficam deinidas duas unções: () 49 - e () 49 - Diz-se que () 49 - e () 49 - são unções na orma eplícita ( em unção de ), enquanto 49 é uma unção na orma implícita. Seja 49. Usando a Regra da Cadeia : n- ( u ) n. u u n, a derivada de com relação a é... temos: Na equação inicial se derivarmos todos os termos com relação a, - - 6

37 Eemplos: Calcular para as unções abaio: 4 ) ) 4 g g 4-4 ) 4 sen cos e 4 sen cos cos (-sen ) e e 4 sen cos cos sen 4) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráico da curva 4 no ponto 9 7,. Derivando com relação a, temos: 7

38 No ponto 7, a 9 7 a P N Reta Tangente T - ( ) Reta Normal N - ( ) Eercícios: ) Calcular para: 4 a) 5 4 b) sen tg c) sen ) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráico da curva no ponto (, ). 8

39 Dierenciais de uma Função Dada uma unção (), deine-se dierencial de () como: d () onde. é o acréscimo da variável independente e d é o dierencial de Deine-se então a dierencial da variável dependente como : d () d Lembrando o signiicado geométrico da derivada, temos: ( )_ - () ( ) () () ( ) () () Eemplos: ) Obter um valor aproimado para 7. escolhendo () 6 7 9

40 () ( ) () () ,8 ) Obter um valor aproimado para sen () sen π 6 π 8 ( ) () () sen sen π π π sen cos ,55 4

41 Eercícios: ) Obter um valor aproimado para a) 6 b) (,) 4 c) 4 5 d) (,) e) cos 44 ) Calcular os dierenciais de: a) ( ) 4-5 b) sen ( ) sen c) 4

42 Aplicações da Derivada Máimos e Mínimos de uma Função Considere a unção cujo gráico é: Máimo relativo Máimo absoluto Mínimo relativo a 4 5 b () é crescente nos intervalos ( a, ), (. ), ( ) 4. () é decrescente nos intervalos (. ), ( ) () é constante no intervalo ( 5,b). 4 5 Seja um trecho de () crescente: () ( ) tg α se () é crescente, temos α π α tgα e () 4

43 Seja um trecho de () decrescente: ( ) tg α () se () é decrescente, temos tgα e () π α π α Se () é constante, (). Eemplos: ) Determinar os intervalos em que a unção ( ) 4 é crescente e onde é decrescente. ( ) 4 ( ) - - se se () é crescente para () é decrescente para ) Determinar os intervalos em que a unção ( ) 5 4 é crescente e onde é decrescente. ( ) 5 4 4

44 ( ) se se () é crescente para () é decrescente para Máimos e Mínimos Relativos ou Locais Seja () deinida no domínio D. D é ponto de mínimo local de () se ( ) () para pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha. ( ) D é ponto de máimo local de () se ( ) () para pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha. ( ) 44

45 Resultado: Se () eiste e é contínua, então num ponto de máimo ou mínimo local temos ( ). Esse ponto é chamado ponto crítico de (). Estudo do Sinal da Derivada Segunda Para se caracterizar máimos e mínimos locais é necessário uma análise do sinal da derivada segunda da unção (). () () () Observe que para temos ().Para temos () e para temos (). Logo () é decrescente e portanto sua derivada (). 45

46 Conclusão: Dada uma unção (): a) Calcular a derivada primeira (). b) Obter os pontos críticos para os quais (). c) Calcular a derivada segunda: Se ( ) temos que é ponto de máimo relativo. Se ( ) temos que é ponto de mínimo relativo Eemplos: ) Determinar os pontos de máimos e mínimos locais da unção () 4 - pontos críticos ( () ) () - - () - é ponto de máimo relativo ( ) () 4 é o valor máimo relativo de (). ) Idem para () 8 pontos críticos () ()

47 ( ) - 4 ( ) - é abcissa do ponto de máimo relativo () 6 é o valor do máimo relativo ( ) é abcissa do ponto de mínimo relativo () - é o valor do mínimo relativo Estudo da Concavidade de uma Função A concavidade de uma curva () é identiicada pelo sinal da derivada segunda. Se () num intervalo do domínio D temos concavidade voltada para cima. Se () num intervalo do domínio D temos concavidade voltada para baio. Um ponto do gráico de () onde há mudança no sinal da derivada segunda () é chamado ponto de inleão (). Eemplo: 5 Seja () 6. Determine: a) o intervalo onde () é crescente e onde é decrescente. b) pontos de máimo e mínimo relativos. c) Pontos de inleão. Solução: 47

48 a) () 5 6 Estudo do sinal:. linha :. linha :. linha : (-) (-) () para ou crescente () para decrescente b) pontos críticos () 48

49 () - 5 () () () () ponto, é de máimo relativo ponto, é de mínimo relativo c) inleão () () - 5 passa de - para 5 5 Máimos e Mínimos Absolutos Se () é contínua e deinida num intervalo echado [a,b], derivável em [a,b] então eistem pontos e tais que: ) ) ( ) (), [ a,b] ( ) (), [ a,b] e ponto de mínimo absoluto de () ponto de máimo absoluto de () 49

50 Para se obter os pontos de mínimo e máimo absoluto determina-se inicialmente os pontos de mínimo e máimo relativos. Compara-se esses valores com os da unção no etremo do intervalo. Eemplo: Seja () 6 - no intervalo [ -, 4 ] Pontos de máimo e mínimo relativos () - [ -, 4] () como () então é ponto de máimo local e o valor máimo da unção ()6. Calculando () nos etremos (-)5 e (4) Por comparação () é ponto de máimo absoluto e 4 é ponto de mínimo absoluto. Eercícios: ) Dada a unção () 9 veriique os intervalos para os quais a unção é crescente e decrescente. Determine os pontos críticos, veriicando se são de máimo ou mínimo. Determine o ponto de inleão, se houver. ) Idem para () 5 ) Determinar números positivos e,cujo produto seja igual a e cuja soma seja a menor possível. 4) Determinar números positivos e,cuja soma seja igual a e cujo produto seja o maior possível. 5) Encontre os pontos críticos, indicando se são máimos ou mínimos locais para ( ). 5

51 6) Uma ábrica produz milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo da produção é dado por C e o valor obtido na venda é dado por V 6, determinar o número ótimo de unidades mensais que maimiza o lucro L V C.. 7) Um azendeiro deve cercar dois pastos retangulares de dimensões a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 4 m de área, determinar as dimensões a e b de orma que o comprimento da cerca seja mínimo. 8) Um io de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se ará um círculo e com o outro um quadrado. Como devemos cortar o io a im de que a soma das duas áreas compreendidas pela igura seja mínima? 5

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