Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão. Análise Matemática I 2003/04

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1 Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão Análise Matemática I 00/0 Ficha Prática nº Parte III Função Eponencial Função Logaritmo Funções trigonométricas directas e inversas ) A representação gráfica da função definida por f ( ), é: + e A) B) B) D) ) Considere as funções f e g, de domínio R, definidas por Qual o conjunto solução da inequação f ( ) > g( )? A) Conjunto vazio B) + R R D) R f ( ) e g ( ) ) Calcule: 8 A) ( log ) log B) log 8 9 log log D) ln e

2 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 00-/0 ) O gráfico da função f ( ) y em: e, intersecta a recta A) Dois pontos: (-;) e (,) B) Um ponto: (ln;) Um ponto: ( ln ; ) D) Nenhum ponto 5 ) Seja g uma função definida por g( ) ln Então o domínio de g é: A) ] ;+ [ B) R \{ } R \{ ;} D) ] ;[ ] ; + [ + ln( + ) ) O valor da epressão e é igual a: e B) e ( + ) A) + + D) e + ln ( + ) e + ln 7 ) A epressão e ( ) log A) + log ( ) + é identicamente igual a: B) + log log D) + log + ( ) 8 ) Determine os valores reais de que verificam cada uma das seguintes condições: ln( ) a) < ln( ) + c) 8 b) e e d) ln( ) ln ln e) ln ln( + ) 0 f) log 5( ) + log (8) 0 e g) e e < 0 h) > 0 + i) log log ( ) 0 >

3 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 00-/0 9 ) Dada a função real de variável real h( ) e a) Resolva a seguinte equação: ( h ( ) ) b) Caracterize h ( ) 0 ) Considere a função real de variável real f ( ) ( e ) Determine: a) O seu domínio b) f (0) log e c) O conjunto A R : f ( ) log e e ) Determine: a) sen b) 5 cos c) tg d) cos( ) e) 8 cot g f) sec g) cos ec h) 9 sec i) cos ec ( 0 ) j) arcsen k) arctg l) arccos ( ) m) cos ec arccos n) sec arctg o) sen arccos 0 5 p) sen arccos 5 q) cos arcsen 5 r) arctg ( cos( ) s) tg arccos t) tgarccos + arcsen arcsen + sen arccos u) ( ) 7

4 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 00-/0 ) Considere a epressão f ( ) a + bsen ( ) Sempre que se atribui um valor real a e um valor real b, obtemos um a função de domínio R a) Nesta alínea, considere a e b 5 Sabe-se que tg θ Calcule f ( θ ) b) Para um certo valor de a e um certo valor b, a função f tem o seu gráfico parcialmente representado na figura junta Conforme esta figura sugere, tem-se: Determine a e b O contradomínio de f é [,] 0 e são maimizantes e são minimizantes ) Seja f uma função definida por f ( ) ln( sen( ) ) Então, o domínio de f em [ 0; ] é: A) 5 ; B) 5 7 ; ; 5 7 ; ; 5 ; 8

5 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 00-/0 ) Dadas as funções arcsen(), arccos(), arctg() e sec(), associe cada uma delas ao respectivo gráfico A) B) D) 5 ) Resolva cada uma das seguintes equações a) sen + b) tg ( ) cot g( ) c) arccos ( ) + 0 d) cos( ) e) sen( 5 ) f) sen( ) sen( ) g) tg ( ) + 9tg ( ) + 0 h) 5cos ( ) cos ( ) + 0 i) ( arccos( )) tg j) arctg + k) arccos 0 l) tg arctg ) Sabendo que tg α α, calcule α sen + α + sen 9

6 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 00-/0 7 ) Resolva as seguintes inequações a) sen( ) < sen( ), em [ 0; [ b) sen( ) >, em [ 0; [ + c) arccos < 8 ) Qual é a inversa e o domínio da função f definida por f ( ) arcsen( )? A) f D f ( ) arcsen( + ) [ 0, ] B) f D f ( ) sen( + ) + ] 0, [ f D f ( ) sen( + ) + ],[ D) f D f ( ) sen( + ) + [ 0, ] 9 ) O domínio da função definida por ( ) arcsen A) f é:, B) [, ] [ 0, ] D) [, ] 0 ) Dadas as funções reais de variável real f ( ) cos( ), g( ) cos( ) sen( ) a) Determine os valores de no intervalo ], [ que verificam a condição f ( ) > b) Resolva a equação f ( ) + g ( ) 0 ) Considere a função real de variável real f ( ) cos a) Determine o seu domínio e contradomínio b) Escolha um domínio (de maior amplitude possível) onde f seja injectiva, e calcule, nesse domínio, a respectiva função inversa c) Verifique que f f ( ) 0 0

7 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 00-/0 ) Considere a função f ( ) arcsen( ) a) Calcule o domínio e contradomínio da função b) Determine a função inversa c) Calcule os zeros da função d) Determine R : f ( ) ) Dada a função h( ) arccos a) Mostre que h é par b) Determine o seu contradomínio c) Caracterize a inversa da restrição de h ao subconjunto não negativo de D h d) Defina em etensão: A Dh : h( ) ) Considere a função real de variável real f ( ) arctg( + ) a) Determine o domínio e contradomínio de f b) Prove que [, 0 ], f ( ) 0 c) Defina a função inversa 5 ) Considere a função f ( ) tg ( ) + sen ( ) a) Determine o seu domínio b) Justifique que a função é ímpar ) Considere as funções f e g, reais de variável real, f ( ) sen( ) e g ( ) arccos( ), definidas nas respectivas restrições principais a) Determinar tal que f ( ) + f () b) Escreva a epressão designatória da aplicação ( f g)( ) e determine o número designado por ( f g) c) Caracterize a função inversa de g

8 IPB-ESTiG: Análise Matemática I 00-/0 7 ) Considere as rectas r e s, definidas por: r : y + s : y + a) Determine o ângulo que a recta r faz com o eio das abcissas b) Determine o ângulo que a recta s faz com o eio das ordenadas c) Determine o ângulo entre as duas rectas Sugestão para mais eercícios: Sebenta de eercícios: eercícios a 8 do capítulo