Cálculo 1 Lista 03 Limites

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1 Cálculo Lista 0 Limites Professor: Daniel Pinguim Definições intuitivas iniciais ) Considere a função f: A R, f() = 4 a) Dê o domínio máimo possível para essa função. b) G Faça um esboço do gráfico da função f(). c) G Calcule o valor de f(), f(.5), f(.8), f(.9), f(.99), f(.999), f(2.00), f(2.0), f(2.), f(2.2), f(2.5), f() d) Estime um valor para lim 2 f(). 2) Considere a função f: A R, f() = a) Dê o domínio máimo possível para essa função. b) G Faça um esboço do gráfico da função (utilize software se for necessário) c) G Calcule o valor de f(0.9), f(0.99), f(0.999), f(0.9999), f(.000), f(.00), f(.0), f(.) d) Estime um valor para lim f(). ) Considere a função f: A R, f() = sin ( ) a) Dê o domínio máimo possível para essa função. b) G Faça um esboço do gráfico da função (utilize software se for necessário) c) G Calcule o valor de f( 0.), f( 0.0), f( 0.00), f( 0.000), f( ), f(0.0000), f(0.000),,f(0.00), f(0.0), f(0.). d) Estime um valor para lim 0 f(). 2, se 4) Considere a função f: A R, f() = { + 2, se > a) Dê o domínio máimo possível para essa função. b) G Faça um esboço do gráfico da função (utilize software se for necessário) c) G Calcule o valor de f(2.9), f(2.99), f(2.999), f(2.9999), f(.000), f(.00), f(.0), f(.) d) Estime um valor para lim f() 2 2, se 5) Considere a função f: A R, f() = { 2, se > a) Dê o domínio máimo possível para essa função. b) Faça um esboço do gráfico da função (utilize software se for necessário) c) Calcule o valor de f(0.9), f(0.99), f(0.999), f(0.9999), f(.000), f(.00), f(.0), f(.) d) Estime um valor para lim f(). Definições formais de limite 6) Defina vizinhança de um ponto em R. 7) Defina ponto de acumulação de um conjunto real. 8) Determine os pontos de acumulação dos conjuntos dados: a) A = [2; 5] b) A =] ; 0] c) A =] 2; 2[ d) A = {0; } e) R {4} 9) Seja o conjunto dado por A = { R = n, n N} a) Descreva esse conjunto. b) Mostre que 0 A. c) Mostre que 0 é um ponto de acumulação desse conjunto. d) Mostre que nenhum ponto de A é ponto de acumulação do próprio conjunto.

2 0) Considere a função f: A R, f() = 2. a) Determine o domínio máimo dessa função. b) Determine o conjunto dos pontos de acumulação do domínio dessa função. ) Considere a função f: A R, f() = a) Determine o domínio máimo dessa função. b) Determine o conjunto dos pontos de acumulação do domínio dessa função. 2) Considere a função f: A R, f() = log 2 (4 ) a) Determine o domínio máimo dessa função. b) Determine o conjunto dos pontos de acumulação do domínio dessa função. ) Dê a definição formal de limite de uma função f() para quando tende a p, onde p é um ponto de acumulação do domínio de f(). 4) Interprete com suas palavras a definição formal de limite. Faça também um desenho representando as interpretações geométricas de ε e δ para um caso em que o limite eiste. 5) Faça agora um desenho representando as interpretações geométricas de ε e δ para um caso em que o limite não eiste. (Não é necessário pensar em uma função algébrica que faça isso) 6) Porque é importante que p seja um ponto de acumulação do domínio da função para que o limite possa ser calculado? 7) É necessário que uma função esteja definida em p para que lim f() eista? Demonstrando limites pela definição 8) Considere a função constante f: R R, f() = C, onde C é uma constante real qualquer. Demonstre, através da definição formal de limites, que lim f() = C, p R. 9) Demonstre, através da definição formal de limites que lim + 4 = ) Demonstre, através da definição formal de limites que lim = ) Demonstre, através da definição formal de limites que lim 2 + = 2. 4, se < 2 22) Demonstre, através da definição formal de limites que lim f() =, onde f() = { 2, se > 2 2) Demonstre, através da definição formal de limites que lim 0 sen ( ) = 0, se Q 24) Demonstre, através da definição formal de limites que lim f() =, onde f() = {, se Q Calculando limites 25) Diga se as propriedades a seguir são verdadeiras ou falsas. a) Se lim f() = L e lim g() = L 2, então lim(f() + g()) = L + L 2 b) Se lim f() = L e lim g() = L 2, então lim(f() g()) = L L 2 c) Se lim f() = L e lim g() = L 2, então lim(f() g()) = L L 2 d) Se lim f() = L e lim g() = L 2, então lim ) = L g() L 2 e) Se lim f() = L, então lim(λf()) = λl, λ R f) Se lim f() = L, então lim f() = λl, λ R λp g) Se lim f() = L, e lim f() = L 2, então lim f() = L + L 2 q (p+q) h) Se lim f() = e lim g() =, então lim(f() + g()) = i) Se lim(f() + g()) eiste e lim f() eiste, então lim g() pode não eistir. ( f(), se Q se Q 26) Considere as funções f: R R, f() = { e g: R R, g() = {0, 0, se Q, se Q.

3 a) Descreva como é a função (f + g)(). b) Calcule lim π (f + g)() c) Esse eemplo contraria a propriedade de que lim (f() + g()) = lim f() + lim g()? 27) Calcule os seguintes limites (lembrando que o limite não eiste é uma resposta possível): a) lim 0 4 b) lim π 4 c) lim d) lim cos() + sec() e) lim π f) lim 6 log 2 ( 2 4) g) lim 4 cos(π) h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim m) lim n) lim + o) lim p) lim q) lim r) lim s) lim t) lim u) lim 2 2 v) lim w) lim ) lim +6 y) lim p p p z) lim aa) lim bb) lim cc) lim dd) lim p, onde p > 0 é uma constante real conhecida., onde p > 0 é uma constante real conhecida. Teoremas envolvendo limites 28) Suponha que lim f() = L, onde L > 0. Mostre que eiste δ > 0 tal que ]p δ; p + δ[, temos que f() > 0, com a possível eceção quando = p.

4 ( OBS: Esse teorema é conhecido como teorema da conservação de sinal. É um importante resultado na matemática.) 29) Reenuncie e demonstre o teorema da conservação do sinal para o caso em que L < 0 0) Interprete o teorema da conservação de sinal (dos dois eercícios anteriores) geometricamente, e eplique o seu significado com suas palavras. ) Demonstre que lim f() = 0 lim f() = 0 2) Em um caso geral, se lim f() = L, isso implica em lim f() = L? ) Em um caso geral, se lim f() = L, isso implica em lim f() = L? 4) Enuncie o teorema do confronto e interprete-o geometricamente. 5) Demonstre o teorema do confronto. 6) Seja f() uma função tal que f() π 4 2. Calcule lim 2 f() 7) Sejam f() e g() duas funções tais que [f()] 4 + [g()] 4 = 2, R. a) Demonstre que as funções f() e g() são funções limitadas (e indique por quais valores). b) Calcule o valor de lim(f() + g()) (sen() cos()) π 4 8) Sejam f() uma função limitada, e g() uma função tal que lim g() = 0, onde p é um ponto de acumulação do domínio de ambas as funções. Demonstre que lim f() g() = 0. 9) Qual o valor do limite lim sen ( )? Isso contradiz a propriedade de limite do produto? 0 0, se Q 40) Seja f() = {. Já foi provado nessa lista que lim f() =., se Q a) Calcule lim f() (4 2 ) 2 b) Calcule lim sen() f() + tg() cos(f()) π Primeiro limite fundamental 4) Interprete geometricamente a desigualdade sen() tg(), ] π 2 ; π 2 [. 42) Demonstre o primeiro limite fundamental. 4) Em física, às vezes usa-se a aproimação sen(θ) θ (θ em radianos) quando o ângulo θ é pequeno. Eplique matematicamente o significado dessa aproimação, e porquê ela funciona melhor para ângulos pequenos. 44) Resolva os limites a seguir: sen() a) lim 0 2 sen() b) lim 0 sen(2) c) lim 0 d) lim sen(4) 0 5 e) lim 0 sen() tg() f) lim 0 g) lim 2+sen() 0 4 h) lim 0 sen()+tg() sen(2) i) lim 0 tg() j) lim sen(α) 0 β cos() k) lim π 2 π 2 sen() l) lim π π, onde α, β R

5 m) lim 4 0 sen( ) 4 n) lim 0 sen( 2 ) 42 o) lim 0 sen( ) 2 p) lim 0 sen()+tg() 22 q) lim 0 sen(2)+cos() sen()+ r) lim 0 tg()+ s) lim +sen(2) 0 tg() sen() t) lim π 2 2 π sen() u) lim π (2 π) 2 2 sen(π) v) lim w) lim π 2 ) cos( tg(π) ) lim 2 9 y) lim tg() π sen() + cos() 4 sen() sen(p) p cos() cos(p) p z) lim aa) lim, onde p R, onde p R Limites Laterais 45) Defina matematicamente limite lateral à esquerda. 46) Defina matematicamente limite lateral à direita. 47) Demonstre que, se uma função real f: A R, f() é tal que para algum ponto de acumulação p de seu domínio então lim f() = lim f() = L, então lim f() = L. + 48) A recíproca do teorema é verdadeira? Justifique. 49) Resolva os limites a seguir: a) lim b) lim c) lim d) lim 0 e) lim 0 f) lim 0 g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim m) lim n, onde n Z, e a operação indica a operação menor inteiro maior ou igual a, definida na lista anterior. n) lim, onde n Z, e a operação indica a operação menor inteiro maior ou igual a, definida na lista n + anterior.

6 o) lim n, onde n Z, e a operação indica a operação menor inteiro maior ou igual a, definida na lista anterior. p) lim, onde n Z, e a operação indica a operação maior inteiro menor ou igual a, definida na lista n anterior. q) lim, onde n Z, e a operação indica a operação maior inteiro menor ou igual a, definida na lista n anterior. r) lim, onde n Z, e a operação indica a operação maior inteiro menor ou igual a, definida na lista n anterior., se 2 50) Considere a função f: R R, f() = { 2, se > 2 a) Esboce o gráfico dessa função. b) Calcule lim f() 2 5) Considere a função f: A R, f() = a) Calcule lim f() b) Calcule lim f() c) Esboce o gráfico dessa função. { sen(π) + 2, se <, se < < 2, se > Definições sobre limites envolvendo infinito 52) Eplique com suas palavras porque infinito não é um número real. 5) Eplique com suas palavras porque a definição anterior (ε/δ) não pode ser aplicada nem a limites que resultam em infinito, nem em limites nos quais tende a infinito. 54) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim f() = L, quando L R 55) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim f() = L, quando L R 56) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim f() = 57) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim f() = 58) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim f() = 59) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim f() = 60) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim + f() = 6) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim f() = + 62) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim f() = 6) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim f() = 64) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim f() = 65) Defina e interprete geometricamente (preferencialmente fazendo um esboço) de lim f() = 66) Demonstre, através da definição que lim = 0 67) Demonstre, através da definição que lim = ) Demonstre, através da definição que lim = 0

7 Calculando limites que envolvem infinito 69) Diga se as propriedades a seguir são verdadeiras ou falsas: a) Se lim f() = e lim g() =, então lim(f() + g()) = b) Se lim f() = e lim g() =, então lim(f() g()) = 0 c) Se lim f() = e lim g() =, então lim(f() g()) = d) Se lim f() = e lim g() =, então lim ) = g() e) Se lim f() = e lim g() =, então lim(f() g()) = f) Se lim f() = e lim g() = λ, onde λ R +, então lim(f() + g()) = g) Se lim f() = e lim g() = λ, onde λ R +, então lim(f() g()) = h) Se lim f() = e lim g() = λ, onde λ R +, então lim(g() f()) = i) Se lim f() = e lim g() = λ, onde λ R +, então lim(f() g()) = ( f() j) Se lim f() = e lim g() = λ, onde λ R +, então lim ( f() ) = g() k) Se lim f() = e lim g() = λ, onde λ R +, então lim ( g() ) = 0 f() l) Se lim f() = e lim g() = λ, onde λ >, então lim (g()) f() = m) Se lim f() = e lim g() = λ, onde 0 < λ <, então lim (g()) f() = 0 n) Se lim f() = e lim g() =, então lim (g()) f() = 70) Calcule os seguintes limites: a) lim +2 4 b) lim 2 c) lim d) lim e) lim f) lim 2 4 g) lim h) lim (9 2 ) 4 2+ i) lim j) lim k) lim l) lim m) lim + n) lim o) lim p) lim 2 4 q) lim r) lim sen() s) lim t) lim sen () u) lim sen() sen()+cos() v) lim 4 w) lim sen(cos()) ) lim 2

8 y) lim (π ) z) lim ( 2 ) aa) lim (2 + cos()) 2 + bb) lim + cc) lim 2 + dd) lim ee) lim + ff) lim gg) lim + hh) lim ii) lim jj) lim kk) lim + ll) lim mm) lim nn) lim oo) lim π 2 tg() pp) lim tg() π + 2 qq) lim sec() π + 2 rr) lim log 0 + 2() ss) lim ) Dê um eemplo de uma função cujo limite quando tende a infinito vale. 72) Dê um eemplo de uma função cujos limites laterais quando tende a zero valem infinito e menos infinito. 7) Dê um eemplo de uma função cujo limite quando tende a 2 vale menos infinito. 74) Dê um eemplo de uma função cujo limite quando tende a infinito é menos infinito. 75) Dê um eemplo de duas funções f() e g() tais que lim f() = ; lim g() =, mas lim (f() + g()) 0 76) Dê um eemplo de duas funções f() e g() tais que lim f() = ; lim g() =, mas lim ( f() ) 0 g() 77) Dê um eemplo de duas funções f() e g() tais que lim f() = ; lim g() = 0, mas lim (f() g()) 0, e lim (f() g()) Segundo limite fundamental 78) Enuncie o segundo limite fundamental. 79) G Considere uma aplicação financeira que, ao se aplicar um capital inicial C 0, após o período de um ano, pagase uma taa de 00% de juros, ou seja, você resgata 2C 0 ao final de um ano. Essa aplicação permite que você resgate o dinheiro da aplicação antes do final de um ano, ganhando a taa diretamente proporcional ao tempo investido. Então, por eemplo, se o resgate for feito em seis meses, é pago uma taa de 50%, e você resgata.5c 0. a) Calcule (com calculadora, ou com algum software apropriado), qual o valor total resgatado se você resgatar o dinheiro após seis meses, e reaplicá-lo logo em seguida por mais seis meses. b) E se esse processo fosse feito a cada mês? c) E a cada dia? d) E por 2000 vezes no ano? e) A taa irá crescer para sempre? Justifique.

9 80) Demonstre, a partir do segundo limite fundamental que lim ( + ) = e, onde e indica o número de Euler. 8) Calcule os seguintes limites: a) lim ( + )+ b) lim ( + ) c) lim ( + ) d) lim ( + ) e) lim ( + ) f) lim ( )4 g) lim ( + )2 h) lim ( + )+a, onde a R i) lim ( + a ), onde a R j) lim ( + a ), onde a R k) lim ( + +a ), onde a R l) lim ( 5 )2(+4) 6 m) lim ( + )2 n) lim ( ) o) lim ( ) p) lim ( ) ) Calcule o valor do limite lim e 0 8) Calcule o valor do limite lim a 0, onde a > 0 Continuidade 84) Defina continuidade de uma função em um ponto p. 85) Defina continuidade de uma função em seu domínio. 86) Diga se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas a) Funções constantes são contínuas em seu domínio. b) Funções polinomiais são contínuas em seu domínio. c) Funções trigonométricas são contínuas em seu domínio. d) Funções eponenciais são contínuas em seu domínio. e) Funções logarítmicas são contínuas em seu domínio. f) Funções trigonométricas inversas (arcsen(); arctg() ) são contínuas em seu domínio. g) Se f() e g() são funções contínuas com domínio comum, então f() + g() é contínua. h) Se f() e g() são funções contínuas com domínio comum, então f() g() é contínua. i) Se f() e g() são funções contínuas com domínio comum, então f() g() é contínua. j) Se f() e g() são funções contínuas com domínio comum, então f() g() é contínua. k) Se f() e g() são funções contínuas tais que sua composta é definida (ou seja, a imagem de g() pertence ao domínio de f()), então f(g()) é contínua. l) Se f() é uma função contínua, então f() é contínua. m) Se f() é uma função contínua, então f() é contínua. n) Se f() é uma função contínua, então e f() é contínua. o) Se f() é uma função contínua, então ln(f()) é contínua. p) Se f() é uma função contínua e bijetora, então f () é contínua. 87) Verifique se as funções a seguir são contínuas no ponto pedido:

10 a) f() = 2, em = 2 b) f() = 2, em = c) f() = { d) f() = { e) f() = { 2, se, em = 2, se = 2 5+6, se 2, em = 2 0, se = , se 2, em = 2 0, se = , se < 0 f) f() = { 2, em = 0, se > 0 +, se < 0 g) f() = { 2, em = 0, se 0 +, se < 0 h) f() = { 0, se = 0, em = 0 2, se > 0 sen() + cos(), se 0 i) f() = {, se 0 < < π, em = 0 sen() cos(), se π sen() + cos(), se 0 j) f() = {, se 0 < < π, em = π sen() cos(), se π 88) Determine valor para as constantes A, B e C de modo que a função f() dada seja contínua em todos os reais., se 2 a) f() = { A + B, se 2 < < 2, se 2 4, se b) f() = { A + B, se 2 5+6, se > , se c) f() = { A + B, se < < e ln( ), se e d) f() = e) f() = { { 2 2 C, se, se < < 2 A + B, se 2 π sen() π, se > π , se < A 2 + B + C, se < 0 ou 0 < 0, se = 0 2 2, se > 89) G Utilizando um software gráfico, esboce os gráficos das funções encontradas na questão anterior. 90) Anteriormente, foi enunciado o teorema da conservação de sinal, dado por: Suponha que lim f() = L, onde L > 0. Mostre que eiste δ > 0 tal que ]p δ; p + δ[, temos que f() > 0, com a possível eceção quando = p. O que muda no enunciado desse teorema quando a função f() é contínua em p?

11 Teoremas envolvendo continuidade 9) Interprete geometricamente o teorema de Bolzano (ou do anulamento). 92) O teorema de Bolzano (ou do anulamento) diz que se f: [a; b] R é uma função contínua no intervalo [a; b], e f(a) f(b) < 0, então certamente haverá ao menos um ponto c ]a; b[, no qual f(c) = 0. Dê um eemplo de uma função descontínua na qual f(a) f(b) < 0, mas não eiste ponto c ]a; b[ no qual f(c) = 0. Isso contradiz o teorema de Bolzano? 9) Dê um eemplo de função f: [a; b] R contínua, no qual f(a) f(b) < 0, mas eiste mais de um valor no c ]a; b[ no qual f(c) = 0. Isso contradiz o teorema de Bolzano? 94) Dê um eemplo de função f: [a; b] R contínua, que possua uma raíz c ]a; b[, mas f() 0, [a; b]. Isso contradiz o teorema de Bolzano? 95) Prove que todo polinômio de grau três possui ao menos uma raiz real. 96) Prove que todo polinômio de grau ímpar possui ao menos uma raiz real. 97) Prove que a equação 2 = 2 possui ao menos uma raiz negativa. (Não é necessário determinar essa raiz) 98) Prove que eiste pelo menos uma solução para a equação = cos(), com pertencente ao primeiro quadrante. 99) Um alpinista começa a subir uma montanha às 08:00 da quinta-feira, chegando ao ponto mais alto da montanha às 6:00 do mesmo dia. Chegando lá, ele decide montar acampamento, e dormir. No dia seguinte, ele começa a descer a mesma montanha, pelo mesmo caminho feito na subida, começando a descida às 08:00, e terminando a descida às 6:00 do mesmo dia. Demonstre que houve ao menos um momento no qual o alpinista esteve no mesmo local, no mesmo horário, em dias diferentes. 00) Demonstre que, ao longo da linha do Equador, em um instante de tempo escolhido ao acaso, sempre haverão dois pontos diametralmente opostos no qual as suas temperaturas são iguais. 0) Partindo do teorema de Bolzano, demonstre o seguinte teorema: Seja f: [a; b] R, f() uma função contínua na qual f(a) < f(b). Então, para qualquer valor L, tal que f(a) < L < f(b), eistirá um valor c ]a; b[ no qual f(c) = L. ( OBS: Esse teorema é conhecido como teorema do valor intermediário, outro importante teorema da matemática.) 02) Prove que a equação = λ sempre possui ao menos uma raiz real para qualquer valor λ R dado.