UENP - Universidade Estadual do Norte do Paraná CLM - Campus Luiz Meneghel / CCT - Centro de Ciências Tecnológicas Disciplina de Matemática Discreta

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1 Termos Semelhantes(redução) a) + (não há termos semelhantes) b) ²+3-5 (não há termos semelhantes) c) +3+ => 5+ d) 5 + (3 ) - ( 9) e) 8 [ - + ( + 3 7)] 8 [ ] f) a² + { 3a [ 6a (3a² + a)]} a² + { 3a [ 6a 3a² a]} a² + { 3a 6a + 3a² + a} a² + 3a 6a + 3a² + a a² + 3a² + 3a 6a +a 5 a² -a b) (3 ) y c) ( ) d) 3 ( ) y 9 y 3 y 3y 3y 3y () ( ) 6 ( 3 y ) ( y 6 ) y 8 y 8 e) ( a3 b a b )( ) 3b 3 a b ( a b )( y Propriedades dos radicais 3 a a b ) a b 6 ab Sejam u e v números reais, variáveis ou epressões algébricas e m e n números positivos inteiros maiores que. Vamos supor que todas as raízes seja números reais e todos os denominadores não sejam zero. Propriedades de potenciação Sejam u e v números reais, variáveis ou epressões algébricas e m e n números inteiros. Todas as bases são consideradas diferentes de zero. Eemplo: a) u m u n = u m+ n = 5 7 ou = 3 b) u m u = n u(m n ) 9 c) u = 8 = d) u m = u = (9 ) = 5 3 = 3 e) (uv) m = u m v n () 5 = 5 5 = 3⁵ f) (u m ) n = u m.n ( ) 3 =.3 = 6 g) ( u v ) m = u m Eercícios de Fiação I v ( a m b ) 7 = a 7 b 7 Simplifique as epressões considerando que as variáveis dos denominadores sejam diferentes de zero. Produtos Notáveis Sejam u e v números reais, variáveis ou epressões algébricas. a) Produto de uma soma de uma diferença b) Quadrado de uma soma de dois termos c) Quadrado de uma diferença de dois termos d) Cubo de uma soma de dois termos e) Cubo de uma diferença de dois termos: Epressões Algébricas (u + v)(u v) = u² - v² (u + v)² = u² + uv + v² (u - v)² = u² - uv + v² (u + v)³ = u³ + 3u²v + 3uv² + v³ (u v)³ = u³ 3u²v + 3uv² - v³ a) y 3 y 5.. y y Multiplicação de epressões algébricas: Para a multiplicação das epressões algébricas, deve-se multiplicar cada monômio da primeira epressão por cada monômio da segunda epressão.

2 Eemplo: a) (3+ )(5 +3) (3+ ) X (5+3) b) (+5)( 3) Resposta: + 5 c) (3 +5)(+3) Resposta: d) ( )(3 ++) Resposta: Divisão de epressões algébricas: Para a divisão, deve-se colocá-las na forma de fração e depois simplificar a epressão obtida. A simplificação ocorre assim como apresentado nos eercícios de fiação I. ou c) Conjunto Domínio / Imagem Definição de Domínio (D(f)): O conjunto Domínio são todos os valores possíveis para a variável X. Definição de Conjunto Imagem (Im(f)): O Conjunto Imagem são os valores de Y, ou seja, quando você substitui na função um valor de e encontra o valor correspondente de Y. a) + D(f): { } Im(f): { } Nesse caso não há restrições para o valor de, isto é, para o Domínio da função, poderá assumir qualquer número Real. Da mesma forma que o valor resultado obtido com essa operação, isto é + poderá ser tanto positivo quanto negativo, incluindo o valor, logo a Imagem da função poderá ser também qualquer número Real. b) D(f): { >} Im(f): { +} Para o Domínio, a raiz de não poderá ser um valor negativo. Para a Imagem, o resultado somente poderá será um valor positivo. c) 3 D(f): { 3} Im(f): { } Para o Domínio, o resultado do quociente não poderá ser (zero). Para a Imagem, o resultado poderá será um valor positivo ou negativo, decimal o inteiro. d) log D(f): { } Im(f): { +} Toda função definida pela lei de formação f()=log a, com a e a> é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio ou imagem, é o conjunto dos reais. O mesmo é válido para logaritmo neperiano ou natural (ln). e) tg D(f): Im(f): Sugestão: Não há tangente de 9 e 7 graus. f) 5+6 D(f): Im(f): Sugestão: encontre as raízes através de Bháskara e em seguida faça uma análise ) Resolva as seguintes equações lineares a) ( 3)+3(+)= 5+ Resposta: =,5 b) 5y = + y 8 Resposta: y =6 3) Efetue as seguintes divisões das epressões algébricas a) b) c) Eercícios de Fiação II Resposta: +3 Resposta: + Resposta: ) Encontre o domínio de cada função: ( + +)+(3) Quando houver resto, esse é somado junto a epressão. a) f ()= +3 Resposta: A epressão dentro do radical não pode ser negativa. Como devemos ter +3, então 3. O domínio de f é o intervalo [ -3, + ).

3 b) f ()= 5 Resposta: A epressão dentro do radical não pode ser negativa; portanto,. Também, o denominador de uma função não pode ser zero; portanto, 5. O domínio de f é o intervalo [, + ) com o número 5 removido, o qual podemos escrever como a união de dois intervalos, da seguinte maneira: [, 5 ) e (5, + ). c) A(s)= 3 s² onde A(s) é a área de um triângulo equilátero com lados de comprimento s. Resposta: A epressão algébrica tem como domínio todos os números reais, mas pelo que a função representa (cálculo da área), s não pode ser negativo. O domínio de A é o intervalo [, + ). d) f ()= + Resposta: Não há nenhuma restrição para essa epressão, logo o domínio de f são todos os números reais. 3 e) f ()= (+3)( ) Resposta: Para essa epressão o denominador não poderá ser zero. Assim, ( + 3) ou ( ) não poderão ser zero. Logo o domínio de f são todos os números reais, eceto 3 e. Esses valores podem ser epressos em forma de intervalo, isto é: ( -, -3 ) ( - 3, ) (, + ) f) f ()= Resposta: Analogamente a questão anterior, os denominadores não poderão ser zero. Logo e 3. g) f ()= 3 Resposta: A epressão dentro do radical não poderá ser negativa,, logo + e. Além disso, e para o denominador, o qual não pode ser zero. Então, +3. O domínio de f é portanto, a união de Inequações Quando comparamos dois números reais a e b, somente uma das três afirmações é verdadeira: a < b ou a = b ou a > b. Se os números a e b forem distintos, então a < b ou a > b e dizemos que a e b são desiguais, isto é, eiste entre eles uma desigualdade. Vejamos alguns eemplos de desigualdades, todas verdadeiras: é menor que 7( < 7) 3 é maior que (3 > ) - é menor que (- < ) 7/ é maior que /3 (7/ > /3) Vejamos agora sentenças abertas representadas por desigualdades: O dobro de um número é maior que 8 ( > 8) O consecutivo do triplo de um número é menor que menos (3 + < -) Essas sentenças abertas são denominadas inequações. Inequações é uma sentença aberta epressa por uma desigualdade entre duas epressões algébricas. A letra em cada uma das desigualdades é denominada incógnita ou variável, e cada epressão algébrica são os membros da inequação. O membro à direita é o º membro e o da esquerda é o º membro da inequação. Para resolver uma inequação, o primeiro passo é isolar o, por eemplo: > 7 3 > 7-5 > /3 Ou seja, para satisfazer a inequação, deve ter valor maior do que /7. Outro eemplo: > > + > / > 6 Ou seja, para satisfazer a inequação, deve ter valor maior ou igual a 6. h) f ()= 5 Resposta: A epressão 5 não poderá ser zero. Assim, se colocarmos o em evidência teremos ( 5). Dessa forma, e 5, sendo esses resultados o domínio de f. Propriedades das Desigualdades ª Propriedade: Uma desigualdade não se altera quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número a ambos de seus membros. 3

4 ª Propriedade: Uma desigualdade não se altera quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por um mesmo número positivo. Passo - Esboço do gráfico 3ª Propriedade: Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por um mesmo número negativo. Eemplo: - < 3 se multiplicarmos ambos os membros por e não invertermos a desigualdade tem-se uma sentença falsa, isto é: *(-) < -3 (sentença falsa) *(-) > - 3 (sentença verdadeira) Resolvendo Inequações de º grau Pode-se resolver qualquer inequação do grau por meio do estudo do sinal de uma função do grau, com o seguinte procedimento: Passo - Determinar a raiz. Passo - Esboçar do gráfico; Passo 3 - Analisar do sinal. Eemplo Passo 3 - Análise do Sinal ou -6 Se a raiz é 3 e a reta é crescente, então os valores possível para que a epressão -6 seja satisfeita, são todos os valores maiores ou igual a 3, isto é, o intervalo está entre [3, + ). Podendo ser epresso também por: S={ R 3} Eemplo 3 Passo - Determinar a raiz > Dada a inequação = Iguala a zero = 7/ Encontra-se a raiz Passo - Esboço do gráfico Passo - Determinar a raiz ( - ) > Dada a inequação + = Iguala a zero = - Encontra-se a raiz Passo - Esboço do gráfico Passo 3 - Análise do Sinal - +7 > Passo 3 - Análise do Sinal ( + ) > Se a raiz é - e a reta é crescente, então os valores possível para que a epressão (+) > seja satisfeita, são todos os valores maiores que -, isto é, o intervalo está entre (-, + ). Podendo ser epresso também por: S={ R > -} Eemplo Passo - Determinar a raiz Dada a inequação -6 = Iguala a zero = 3 Encontra-se a raiz Se a raiz é 7/ e a reta é decrescente, então os valores possível para que a epressão -+7 > seja satisfeita, são todos os valores menores 7/, isto é, o intervalo está entre (-,7/). Podendo ser epresso também por: S={ R < 7/} Eemplo Passo - Determinar a raiz 3 - < 3 - = = Passo - Esboço do gráfico Dada a inequação Iguala a zero Encontra-se a raiz

5 Passo 3 - Análise do Sinal 3 - < Se a raiz é e a reta é crescente, então os valores possível para que a epressão 3- < seja satisfeita, são todos os valores menores que, isto é, o intervalo está entre (-,). Podendo ser epresso também por: S={ R < } Eemplo 3 Determine a solução da inequação ² Obtendo as raízes por Bháskara ou Soma e Produto.,= e,, = Resolvendo Inequação do grau De forma análoga, a inequação de grau pode ser resolvida por meio do estudo do sinal de uma função do grau, com os mesmos procedimentos: Passo - Determinação das raízes. Passo - Esboço do gráfico; Passo 3 - Análise do sinal. Eemplo Vamos resolver a inequação 3² <. Obtendo as raízes por Bháskara ou Soma e Produto Analisando o Sinal, temos:,= -,, = -7/3 Analisando o Sinal, temos: Se as raízes são; e e a parábola possui concavidade para cima, então os valores possíveis para que ² seja verdadeira, devem ser estar no intervalo (, ]. Eemplo S= { R } Determine a solução da inequação ² >. Obtendo as raízes por Bháskara ou Soma e Produto,= 3 e,, = 3 Se as raízes são; -7/3 e - e a parábola possui concavidade para cima, então os valores possíveis para 3² < seja verdadeira devem ser estar no intervalo (-7/3, -) -7/3 - Logo, Eemplo S ={ R 7 / 3 < < } Analisando o Sinal, temos: Se as raízes são; 3 e 3 e a parábola possui concavidade para cima, então os valores possíveis para que ² > seja verdadeira, devem ser estar no intervalo ( -,3) e (3,+ ) Determine a solução da inequação ² +. Obtendo as raízes por Bháskara ou Soma e Produto,= - e,, = ½ 3 S= { R 3 > > 3 } Lista de Eercícios Analisando o Sinal, temos: ) Resolva as inequações e represente graficamente o conjunto solução graficamente na reta real. a) > Resposta: > 6 Se as raízes são; - e / e a parábola possui concavidade para baio, então os valores possíveis para que ² + seja verdadeira, devem ser estar no intervalo (-, - ] e [/, + ) - / S= { R - / } b) +3>5 Resposta: > c) +3 Resposta: 5

6 d) e) Resposta: Resposta: 9 5 UENP - Universidade Estadual do Norte do Paraná l) 3 > S = { < > } m) 3 S = { 3 } n) + + > S = { 3 < < } ) Resolva as seguintes desigualdades a) 3 < 5+ 3 Eercício resolvido 3 <5 +3 < < < c) 3 5< 3 Se é negativo, então pela 3ª Propriedade da desigualdade, isso é, *(-) temos: + 3 Resp. > b) 5 + > 6 S = { > } S = { < 3 } d) 5 3 < S={ > } o) + < S = p) 6 +9 S = {3 } q) + 6 > S = r) 3 + 3) Assinale a alternativa correta (Alfenas) Os valores de k para que a função f() = (k ) + seja estritamente decrescente são: S = a k b) k c) k d) k < e) k = Resp. d) k < 3 7 e) < 6 S = { < 3 } f) g) + < 3 S = { <3 } S = { } Função Linear - A equação de uma reta Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos definem uma única reta. Na geometria analítica podemos determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos distintos do plano cartesiano. Para tal, consideremos a reta definida pelos pontos A = ( ; y ) e B = ( ; y ) da Figura. (a); um ponto qualquer P = (; y) também estará sobre esta reta desde que A, B e P sejam colineares (estejam alinhados) - Figura.(b). h) > S={ <5 } 9 i) 3 + > S={ } j) ( 3)( +5) S = { 5 3 } k) 7 +6 S = { 6 } Figura.: Definindo a equação de uma reta 6

7 Eemplo Eemplo. (Reta por dois pontos dados) Determine a equação da reta pelos pontos (; 3) e (; 5), mostrada na Figura.. Figura.: Definindo a equação de uma reta Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e APN forem semelhantes (neste caso uma semelhan ça do tipo ângulo-ângulo-ângulo); assim podemos escrever Simplicamos a equação (.) notando que a razão é constante. Tal constante é chamada de coeficiente angular da reta e doravante vamos denotá-la pela letra a. É útil observar que o coeficiente angular de uma reta pode ser prontamente encontrado dividindo-se a variação Δy das ordenadas dos pontos pela variação Δ de suas as abcissas; assim Inicialmente calculamos seu coeciente angular a= Δ y Δ = 5 3 = A seguir, usando o ponto (; 3), obtemos a equação da reta na forma ponto-coeficiente y 3= ( ) Finalmente isolamos a variável y para obter sua forma reduzida y = + Então, esta reta tem coeciente angular a = e coeciente linear b =. No eemplo anterior poderíamos obter a equação da reta usando o ponto (; 5), ao invés do ponto (; 3). Neste caso a equação da reta na forma ponto-coeficiente seria Substituindo o valor do cofieciente angular dado em (.) na equação da reta (.) obtemos e a forma reduzida y - 5 = ( - ); y = + : ou, mais apropriadamente, chamada equação da reta na forma ponto-cofieciente angular. Isolando y nesta equação obtemos onde notamos que -a + y é uma constante, denominada coeficiente linear da reta e a qual denotaremos pela letra b. Podemos então reescrever a equação (.) como y = a + b Observamos que a equação da reta na forma ponto-coeficiente não é única: mudando-se o ponto usado muda-se a equação; por outro lado a forma reduzida é única, independente de qual ponto é usado para escrever sua equação. Eercícios de Fiação III Determine os coeficientes angulares das seguintes retas. a) y= 5 Resposta: (coeficiente angular é o valor número que acompanha ), logo a resposta é 5. b) 5y= 9 Resposta: 5 chamada equação da reta na forma reduzida. c) y 7= 5 ( ) Resposta: 5 7

8 ) Dados os seguintes pares ordenados da reta r, pede-se: i) função f(); ii) esboço do gráfico; a) y b) c) y UENP - Universidade Estadual do Norte do Paraná Eercícios de Fiação IV Resposta (b): y i) f() = - - ii) gráfico Resposta (a): Para essa questão é necessário escolher dois pares ordenados. Nesse caso, (,) e (3,) foram os pares escolhidos aleatoriamente. y y O coeficiente angular através da fórmula a = Nesse caso, tem-se = 3 = 3 3 Resposta (c): i) f() = ii) gráfico Como a fórmula geral da reta é y=a+b, o valor do coeficiente angular da reta é a = 3. Logo, y=3+b. Considerando ainda, que estamos trabalhando com uma reta contínua, podemos escolher qualquer outro par ordenado para a determinação do coeficiente linear. Nesse caso, foi novamente escolhido o par ordenado (3,). Dessa forma, temos: =3.3+b =9+b -9=b b=-5 Logo, temos como coeficiente angular (a) o valor 3 e coeficiente linear (b) igual a -5. i) f() = 3-5 ii) esboço do gráfico Função Crescente e Decrescente Função crescente: à medida que os valores de aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam. Função decrescente: à medida que os valores de aumentam, os valores correspondentes de y diminuem. iii) Como a função constante ocorre quando qualquer valor que se substitua em resulta sempre no mesmo resultado. O gráfico é linha reta sem ângulo. Nesse caso, não é constante. iv) O gráfico da função identidade é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrante (=y), ou seja, a reta passa pela origem (,). Por essa mesma razão ele se parece com a função linear. Função Crescente a > Função Decrescente a < Lista de Eercícios ) Dados os seguintes gráficos, pede-se: i) duas coordenadas cartesianas; ii) raiz da função; iii) classifique a função quanto a: crescente ou decrescente (caso ocorra); 8

9 Questão ( a) UENP - Universidade Estadual do Norte do Paraná Questão (d) -,5 - -,5,5,5,5 3 3,5, Questão (b) Função Constante Função constante é toda função f : R R, tal que f()=k, em que k é uma constante real. Em uma função constante, todos os elementos do Domínio terão a mesma imagem, ou seja: Im = k O domínio pertence a todos os reais: D = R Outra característica importante é a ausência de raiz: Raiz = Seu intercepto y é: y = k Eemplo: f ()= 6 Questão (c) 5/3 5 i) gráfico (função constante) ii) coordenadas (,) e (,) iii) raiz: Não eiste iv) Não há coeficiente angular, a função é uma constante. Função Identidade Chama-se função identidade a toda função f: IR IR definida por: f() = Note que a função identidade é um caso particular da função afim f() = a + b, pois neste caso temos a = e b =. As principais características da função identidade são: :: Domínio: R :: Imagem: R 9

10 i. equação do gráfico; ii. a(s) raiz(es) (se houver); iii. vértice (se houver); iv. conjunto Domínio f; v. conjunto Imagem I; vi. o valor do ângulo vii. classificação (crescente/decrescente /constante/identidade ) Gráfico A Lista de Eercícios 3 6 y Gráfico D y y y Gráfico E 3,5-3 -3,5 Gráfico B - y ,5,5 8 6 y - - y Gráfico F y Gráfico C - y y Eercício Refaça os gráficos apresentados nessa lista, comparando os resultados obtidos através do recurso de «linha tendência - Ecel ou Libre Office».

11 Função quadrática Chama-se função quadrática, ou função polinomial do º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f() = a + b + c, onde a, b e c são números reais e a. Caso f() for igual a pode ser utilizado a forma de báskara para achar as raízes. As raízes da função quadrática são os valores de quando sua imagem (valor de y) for igual a, ou seja, o gráfico cortar o " eio " Determinação da função quadrática pelo método de Soma e Produto Fórmula geral: ² S + P onde: S é a Soma das raízes (, e,,) e P o produto entre essas mesmas raízes. Assim, é possível determinar a função (resumida) de uma função quadrática apenas observando suas raízes. No gráfico abaio. onde as raízes são:, = - e,, =. y Para: - a) b) c), a função terá duas raízes., a equação terá uma raiz apenas, não terá raiz o vértice pode ser determinado pela fórmula: Determinação das raízes de uma função quadrática através de Bháskara b± (b.a.c).a ( +5+6), = e,, = -3 ( 9), = 3 e,, = -3 para f()= a² + b + c ( 3+), =,6 e,, =,38 d) ( + ), = -, e,, = -, Soma = - + = -3 Produto = - * + = - Logo, ² -(-3) + (-) => ² Atenção: É necessário observar o vértice do gráfico, uma vez que a regra não apresenta informações sobre a concavidade da parábola, ou seja, se a > ou a<. Em outro eemplo, para se obter as raízes da função f() = 3² -3 -, é necessário encontrar primeiramente a função resumida. A Soma é portanto -b/a = -(-3)/3 = e o Produto c/a = -6/3 = - Agora podemos testar os possíveis valores, começando pelo produto e considerando que esses sejam apenas valores inteiros, temos: O quê? * quê? = - Possibilidades: ( )* ( - ) ou ( - ) * ( ) y Testando os mesmos valores para a Soma, a única possibilidade a ser considerada é ( - ) + ( ) = (,-) (,) Portanto:, = - e,, = Aplicando os valores obtidos a ² - S + P, temos f()= ² - - Note que f()=3² -3-6 é 3 vezes f()= ² - - Eercício (Matemática Aplicada) Vértice raízes Um fabricante produz caias abertas de papelão retangular de 6 por 3 centímetros. Cortando pequenos quadrados, dos cantos e dobrando pra cima os lados. Figura. O Departamento de Pesquisa e de Desenvolvimento pede que você determine o tamanho do retângulo (material utilizado), o qual resulta numa caia com o maior volume possível.

12 a) Seja o comprimento do lado do quadrado a ser cortado e seja V o volume da caia resultante. Determine a função que representa esse volume. b) Caso haja alguma restrição quanto ao valor de, pede-se que seja justificado. c) Faça um gráfico de V versus em um intervalo apropriado e use o gráfico para estimar o valor de que resulta no maior volume. d) Estime o maior volume. Trigonometria Para eplicar a função Seno de um ângulo qualquer, é necessário familiarizar-se com o círculo trigonométrico e as posições de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante junto as retas (abscissa) e y (ordenada) do plano cartesiano. Seno: Observando a Figura, o valor de seno é dado através de uma reta r que possui um ângulo o qual produz uma sombra sobre o eio y. O valor de seno está portanto compreendido entre - a. 6cm 3 cm 3 - a) b) 6 - Figura Seno e Cosseno Cosseno: Analogamente, o valor de cosseno é dado através de uma reta r que possui um ângulo o qual produz uma sombra sobre o eio. O valor de cosseno está compreendido entre - a. Tanto para seno quanto cosseno os valores são dados dentro do círculo trigonométrico. Tangente: Para a tangente, os valores obtidos são além do círculo trigonométrico. Uma reta paralela ao eio y é utilizado como escala, observando que esta somente eiste do lado direito do círculo trigonométrico. Figura. Figura Tangente e Cotangente

13 Cotangente: Nesse caso, para a cotangente, uma reta paralela ao eio de é utilizado como escala. Analogamente, a reta da cotangente somente eiste do lado de cima ao círculo trigonométrico. Figura. Secante: Para a secante, os valores estão localizados além do círculo trigonométrico. É o eio y a escala utilizada para a determinação da secante. Observe a Figura 3, onde a partir da reta (r), onde essa toca o círculo trigonométrico é construída uma segunda reta (l), a qual é perpendicular a reta (r). O prolongamento da reta (l) ao tocar no eio y, permite determinar o valor da secante. UENP - Universidade Estadual do Norte do Paraná Figura 3 secante e cossecante Cossecante: Analogamente a secante, a cossecante é dada como o prolongamento da reta(l) sobre o eio. Figura 3. Gráficos abertos das funções trigonométricas Identidades Fundamentais csc θ= sen θ sec θ= cosθ tan θ= sen θ cos θ cot θ= cos θ sen θ sen θ+ cos θ= + tg θ= sec θ cot θ= tan θ + cot θ= csc θ 3