5 Funções elementares

Transcrição

1 5 Funções elementares

2

3 5 Funções elementares objetivo deste capítulo é fazer um estudo das funções elementares, as quais servem de modelo para a descrição de fenômenos e situações reais, preparando o caminho para a compreensão do Cálculo Diferencial e Integral. Nosso estudo terá como base o capítulo anterior: provavelmente você terá que se deslocar para aquele universo várias vezes. Veremos as funções polinomiais, funções racionais e funções trigonométricas. Use seus conhecimentos de pacotes computacionais para visualizar gráficos; no final do capítulo listaremos alguns deles. Lembre-se que deste estudo dependerá seu sucesso nas disciplinas de Cálculo. 5. Funções polinomiais Estudaremos com detalhes as funções polinomiais de grau um (função afim) e dois (função quadrática). Em seguida faremos alguns comentários sobre as funções polinomiais de outros graus. 5.. Função afim Uma função f : chama-se função afim quando eistem constantes reais a e b tais que f () = a + b, para todo. conjunto é o maior conjunto de valores para os quais é possível encontrar f( ). Quando o domínio não é especificado, estaremos considerando-o como o conjunto. Um eemplo de situação real descrita por uma função afim é o preço a pagar por uma corrida de tái: o valor da corrida depende da distância percorrida (em km) e dos valores constantes do km rodado e da bandeirada. A distância percorrida em km é multiplicada por uma constante a (o valor do km rodado), e a este produto adiciona-se um valor constante inicial b (que é o valor da bandeirada), resultando no preço a pagar. Assim, a distância percorrida (em km) é a variável independente e f () = a + b ou = a+ b é o preço a pagar pela corrida. 85

4 Eemplos de funções afins: ) ) ) ) 5) f :, f () = + 7 ( a= e b= 7) g :, g() = + ( a= e b= ) h :, h() = ( a = e b= ) k :, k() = 7 ( a = 7 e b= 0) s :, s() = 59 ( a = 0 e b= 59) Casos particulares da função afim (i) a = 0 Neste caso, f () = b, e a função chama-se função constante (veja o eemplo 5). gráfico da função constante f () = b é o conjunto G( f) = {(, b) / }, uma reta paralela ao eio 0,b. e que passa pelo ponto ( ) Eemplo 6) f :, f () = - G(f) Figura 5. bservação. Você pode notar que o nome de função constante já revela o comportamento da função: independente da variável, o valor de f( ) é sempre o mesmo. 86 (ii) a = e b= 0 Neste caso f () =,, e esta é a função identidade, já vista no Capítulo. Seu gráfico é o conjunto G( f) = {(, ) / }, a reta que é a bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes.

5 () f :, f = G(f) 5º Figura 5. (iii) b = 0 e a 0 Neste caso f () = a,, e estas são chamadas funções lineares. gráfico de uma função linear é o conjunto G( f) = {(, a) / }, uma reta que passa pela origem do plano cartesiano, uma vez que f () 0 = 0. Eemplos 7) f () = 5 f() Figura 5. 8) f () = f() Figura 5. 87

6 9) f () = 5 f() Figura 5.5 Gráfico de uma função afim Seja f :, f () = a+ b. Podemos considerar a 0, uma vez que já conhecemos o gráfico da função constante. Proposição. gráfico G( f ) da função f () = a + b é uma reta. P Q S pontos quaisquer do gráfico de f. Nosso objetivo é mostrar que estes três pontos são colineares, isto é, estão alinhados. Lembrando que o gráfico é o conjunto dos pares ordenados (, f() ), podemos escrever: = a+ b, = a + b e = a+ b. Veja a figura: Demonstração: Sejam (, ), (, ) e (, ) Q θ S B P α A Figura 5.6 s triângulos PAQ e QBS são triângulos retângulos. As tangentes AQ BS dos ângulos α e θ são dadas pelas razões e AP BQ : ( ) ( ) AQ a + b a + b a + b a b a AP = = = = = a 88

7 BS AQ BS Analogamente, temos que = = a. Assim, =. BQ AP BQ E como os ângulos em A e B são retos, segue que os triângulos PAQ e QBS são semelhantes e assim os ângulos α e θ são iguais. Conclui-se daí que os pontos P, Q e S estão alinhados. Como P, Q e S são pontos quaisquer do gráfico, fica provado que o gráfico da função afim é uma reta. Conseqüência: gráfico de uma função afim fica completamente determinado por apenas dois pontos (lembre-se que eiste uma única reta que passa por dois pontos). Eemplo 0) Esboçar o gráfico da função f () = 5 f() Figura 5.7 bservação. Uma função afim pode estar definida em um intervalo, isto é, podemos restringir seu domínio a um intervalo. Neste caso, seu gráfico é um segmento de reta. Veja o eemplo : ) [ ] () f :,, f =. f() Figura

8 bservação. Se f () = a + b, chamamos o número a de coeficiente angular da reta que representa o gráfico da função f, f ( ) f ( ) ou taa de crescimento da função f. Note que a =, para quaisquer números reais e. Veja a figura: f( ) f( ) - } } f( ) - f( ) Figura 5.9 Eercício resolvido ) Seja f () = a + b. Mostre que: a) se a > 0, f é crescente; b) se a< 0, f é decrescente. Resolução. a) Sabemos do Capítulo que: ( ) ( ) Uma função é crescente em um conjunto A de seu domínio se e somente se < implica f ( ) < f ( ), para todos e no conjunto A. Como o domínio de f é, vamos considerar e dois números reais quaisquer, com <. Pela bs. sabe- f f mos que a = e neste caso podemos escrever 90

9 ( ) ( ) ( ) f f = a. Por hipótese, temos a > 0 e também estamos considerando <, o que significa > 0. Então, a( ) > 0. Assim, a ( ) = f( ) f( ) > 0, ou seja, f < f. Logo, f é crescente. ( ) ( ) b) Do Capítulo sabemos que: Uma função f é decrescente em um conjunto A de seu domínio se e somente se < implica f ( ) > f ( ), para todos e no conjunto A. Consideremos então e dois números reais quaisquer, com < ; então > 0 e como por hipótese a < 0, teremos a( ) < 0. Logo, f ( ) - f ( ) = a( ) < 0, o que significa f <. Concluímos então que f é decrescente. f > ( ) que ( ) Inversa de uma função afim Com eceção das funções constantes, toda função afim é inversível. Isto acontece porque as funções afins são bijetoras (prove isso como eercício!). Vamos fazer um eemplo de como encontrar a inversa de uma função afim: Eemplo ) Calcular a inversa da função f :, f () = 5+ Resolução. Estamos procurando uma função g : tal que f( g() ) = e g( f () ) = para todo real (lembre-se da definição de função inversa, no Capítulo ). Então fazemos: f g = 5 g + = ( ()) () A segunda igualdade nos dá a função procurada: g() = 5 Também se verifica que f () 5 5 g( f () ) + = = = = Assim, g é a função inversa de f e é anotada f : f () = 5 9

10 Eercícios propostos ) Faça o gráfico das funções: a) f () = + 5 b) c) () = h g() = 6 ( ) ( ) d) k:,, k = + e) () s + se 0 = + se < 0 ) Defina a função afim cujo gráfico contém os pontos (, 5) e (- 9, 0). ) Encontre a inversa das funções: a) f () = b) g() = 8 c) h() = 7 ) Para () 5 7 f =, calcule de modo que f () = Funções quadráticas Definição. Uma função f : chama-se quadrática (ou função polinomial do segundo grau) se eistem constantes reais a, b e c, com a 0, tais que f () = a + b + c. Eemplos ) f () = 5 ( a = 5, b=, c= 0) ) g() = + ( a =, b= 0, c= ) 9

11 5) h() = + 7 ( a =, b= 7, c= ) Você sabe a diferença? bservação. Não confunda a função quadrática com a equação do segundo grau! Muitas vezes vemos também a epressão função do segundo grau, que não está correta, uma vez que não há definição do que seja o grau de uma função. bservação 5. Resolução de problemas que utilizam uma função quadrática ou uma equação do segundo grau, estão entre os mais antigos da matemática. Raízes da função quadrática As raízes da função quadrática f () = a + b + c são os valores para os quais se tem f () = 0, ou seja, a + b + c = 0 (esta é uma equação do segundo grau). As raízes da equação f () = 0 também são chamadas de raízes da função quadrática f( ). bservação 6. Se Δ= b ac> 0, temos duas raízes reais distintas. Se Δ= b ac< 0, não eistem raízes reais para a função f( ). Neste caso as raízes serão números compleos dados b+ i Δ b i Δ por = ou =, com i =. a a b Se Δ= 0, temos duas raízes reais e iguais, = =. a Gráfico da função quadrática Aprendemos que o gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola. Mas o que é uma parábola? Definição. Dados um ponto F no plano e uma reta d que não contém F, a parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à mesma distância de F e de d. ponto F é o foco da parábola e d é a reta diretriz. bservação 7. Uma parábola é então uma curva no plano, que é simétrica, sendo o eio de simetria a reta que contém o foco F e que é perpendicular à reta diretriz. Veja a figura: 9

12 F eio de simetria d d d = d d Figura 5.0 A parábola é a curva que serve de modelo para o gráfico da função quadrática. Mas nem toda parábola é o gráfico de uma função deste tipo. As parábolas que serão gráficos de funções quadráticas são aquelas cujo eio de simetria é paralelo ao eio Y. Com estas informações, como comentamos no Capítulo, alguns pontos, obtidos atribuindo valores à variável independente, são suficientes para esboçar o gráfico de uma função quadrática. Valores especiais da variável independente são as raízes e = 0. Lembre-se que as raízes são tais que f( ) = 0. Assim, os pontos (,0), real, são pontos de intersecção da curva com o eio X; dizemos também que a curva corta o eio X nos pontos (,0). Para = 0 temos f(0) = c (pois f ( ) = a + b + c ), e ( 0,c ) é o ponto de intersecção da curva com o eio Y (ou o ponto onde a curva corta o eio Y). Eemplo 6) Esboçar o gráfico da função f :, f () = f() Figura 5. utra característica da parábola será importante para esboçar gráficos: a concavidade. 9

13 Concavidade, vértice e imagem da função quadrática A função quadrática f () = a + b + c pode ser escrita como b ac b f () = a + +. bserve que a primeira parcela a a da epressão dentro dos colchetes depende de e é sempre positiva, enquanto a segunda parcela é constante. Como pode ser qualquer número real, com as propriedades estudadas no Capítulo (Números Reais) é possível mostrar que a partir de certo valor b b ac tem-se + (o membro à direita da desigualdade é constante), ou seja, a a b ac b a a b ac b Suponhamos a > 0. Então f () = a a a a partir de um determinado valor. Por um resultado do Capítulo, o b conjunto dos f( ),, tem um mínimo. De + 0,, a b isto acontece para o menor valor possível da parcela + a, ou b b seja, =. Isto significa que para = o valor f( ) é o menor a a b b possível, ou ainda,, f a a é o ponto do gráfico de f que possui a menor ordenada. Podemos então concluir que a parábola neste caso é côncava para cima, como mostra a figura: Figura 5. b ac b Se a < 0, concluímos que f () = a + + é negativa a partir de um determinado valor e que a função deverá a a b apresentar um valor máimo para =. Neste caso, a parábola a é côncava para baio, como mostra a figura: 95

14 Figura 5. b b ponto, f a a é chamado de vértice da parábola. Calculando f obtemos o ponto,. Assim, o vértice tem b b Δ a a a b Δ coordenadas v = e v =. a a A reta vertical que passa pelo vértice é o eio de simetria da parábola. b Δ Note que v = f = é o menor valor assumido pela função, se a > 0, e o maior valor assumido pela função, se a < 0. Isto a a nos dá a informação sobre o conjunto imagem da função f: (i) Se 0 (ii) Se 0 a >, Im = [, ) f v a <, Im f = ( ], v bservação 8. Ao esboçar o gráfico de uma função quadrática, é importante saber verificar alguns elementos da parábola: a) Concavidade ( posição dada pelo coeficiente a de ); b) Pontos onde o gráfico corta o eio X (raízes, determinadas pela solução da equação f () = 0 ); c) Ponto onde o gráfico corta o eio Y (cálculo de f (0), ou termo independente); b Δ d) Vértice (ponto, a a ); b e) Eio de simetria (reta = ). a 96

15 Eercício resolvido ) Esboçar o gráfico da função quadrática f = + 7+ () Resolução. Temos inicialmente a =, b= 7 e c=. Seguindo o roteiro acima, observamos que: a) a = < 0: a parábola é côncava para baio. b) os pontos onde o gráfico corta o eio X são os pontos para os quais f () = 0, ou seja, as raízes da equação + 7+ = 0. Vamos calculá-las = 0 é equivalente a 7 0 = (multiplicamos ambos os membros por ). Assim, mos as raízes = e =. 7± 9+ = e te- Logo, os pontos onde o gráfico corta o eio X são,0 e (,0 ). c) ponto onde o gráfico de f corta o eio Y é o valor de f no ponto 0, ou seja, f () 0 = =. Assim, este ponto 0,. é ( ) d) vértice é dado por: v v b = = 7 7 = a ( 9 ) ( ) 7 Δ = f = = = = a vértice é o ponto, 8. 97

16 Vamos encontrar mais alguns pontos e fazer o gráfico: f() eio de simetria Figura 5. 8, v =, 8, que é a projeção ortogonal de seu gráfico no eio das ordenadas. bserve que a imagem da função f é o intervalo ( ] Aplicação A função quadrática serve de modelo para resolução de problemas de maimização e de minimização. Faremos dois eemplos de problemas cuja resolução depende da análise e interpretação do gráfico de uma função quadrática. Problema ) Entre todos os retângulos de perímetro u.m., quais as dimensões daquele que possui maior área? 98

17 Resolução. Chamamos de e as dimensões do retângulo e S = a sua área. Vamos escrever S como função de usando o outro dado do problema, isto é, que o perímetro é u.m. perímetro é dado por + =. Então + = 6 e = 6. Substituindo na epressão da área, obtemos S() = ( 6 ) = 6. Temos assim uma função qua- drática Sque ( ) epressa a área de um retângulo de perímetro u.m. em função de uma de suas dimensões. Estamos procurando o valor máimo desta área, e isto significa que estamos procurando o valor máimo da função quadrática S() = 6, ou S() = + 6. gráfico de S é uma parábola côncava para baio, pois a = < 0. Assim, o valor máimo da função Sé ( ) a ordenada do vértice da parábola. Vamos calcular a abscissa do vértice, lembrando que a = e b= 6 : v b 6 = = = a Este valor que encontramos é uma das dimensões do retângulo que tem área máima. Fazendo = 6 = 6 =, encontramos a outra dimensão, =. Vemos então que o retângulo de perímetro u.m. que possui a maior área é o quadrado de lado. Resposta. retângulo de perímetro que possui a maior área é o quadrado de lado. Problema ) De todos os números reais e tais que + 5 = 0, determine aqueles para os quais o valor + seja mínimo. Resolução. Chamamos de M o valor que queremos minimizar, ou seja, M = +. Vamos escrever M em função de um dos 0 números: se + 5 = 0, temos que = e, portanto, M() = + = ( ) = M é uma função quadrática com 6 a =, b= e c=. 5 5 Como a > 0, a parábola que representa o gráfico de M é côncava para cima, indicando que M tem um valor mínimo no vértice. 99

18 Vamos calcular este vértice: b 5 5 = = =. a Calculando o valor, obtemos = = =. valor 5 5 mínimo de + será M = + = =. 69 Resposta. s números procurados são Eercícios resolvidos 5 5 = e =. ) Faça o gráfico e determine o conjunto imagem da função f () + 5 se < 6 se < = 9 se se > Resolução. A função é dada por quatro sentenças: + 5 no intervalo (, ), que é uma função afim; 6 no intervalo [,) 9, que é uma função quadrática; no intervalo [, ], que é uma função constante; no intervalo ( ), +, que é uma função linear. Fazendo o gráfico correspondente em cada intervalo, teremos: 00

19 Figura 5.5 A imagem da função é a projeção ortogonal do seu gráfico no 9 eio das ordenadas. Assim, Im f = [ 6,) ( 7, + ). ) Esboce num mesmo sistema cartesiano os gráficos das funções: f () =, g() =, h() =. que você pode observar quando variamos o coeficiente a? 0

20 Resolução: f () = g() = h() = / / Figura 5.6 bservando o coeficiente a > 0, vemos que ele determina a abertura da parábola. Quanto menor o valor de a, maior é a abertura. 0

21 5) Determine o maior valor de k em A= { / k} de modo que a função f de A em definida por f () = + seja injetora. Resolução. Vamos lembrar a definição de função injetora do capítulo : Dizemos que f é injetora em A se e somente se, A, se u, equivalentemente:, A, se, então f ( ) f ( ). =, então f ( ) f ( ) =. Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola e que a parábola tem um eio de simetria que passa pelo vértice e é paralelo ao eio Y. Isto nos sugere que eistem valores diferentes no domínio que possuem a mesma imagem. Vamos então fazer o gráfico de f como se fosse seu domínio, e analisar que restrição devemos fazer neste domínio para que a função seja injetora. Seguindo o roteiro para construção do gráfico, observamos que: a) gráfico da função f () = + é uma parábola côncava para cima (pois a = > 0). b) Suas raízes não são números reais, pois Δ= 9 = < 0. Então o gráfico não corta (ou não intersecta) o eio X e a parábola está situada acima do eio X (por quê?). c) gráfico corta o eio Y no ponto ( 0, ). d) vértice tem coordenadas v =, v = 8. Conseqüente- mente, a imagem da função é, + e o eio de simetria 8 passa pelo ponto, 8. 0

22 f() 0 8 Figura 5.7 Analisando o gráfico, para que a função seja injetora, devemos considerar uma das metades da parábola (ou uma parte menor), determinadas pelo eio de simetria. As projeções das metades no eio X são os intervalos, e, +. Como o domínio de f é A= { / k}, ou seja, A (, k] =, é necessário tomar para valores de aqueles à esquerda do vértice, ou seja, menores ou iguais do que v =. Assim, qualquer valor de k menor ou igual a satisfaz a propriedade. maior deles é k = e f será injetora no intervalo A =,. 0

23 Eercícios propostos 5) Estude as funções dadas abaio, determinando raízes, vértice, pontos de intersecção com os eios, eio de simetria, gráfico e conjunto imagem: a) b) c) d) e) f) g) h) () f = + 6 () f = 5 + () = ( )( + ) f () f = 6 () = f () = ( ) f f () = + f = () ( ) 6) Encontre o valor de modo que f () 7) Determine o valor b em B= { / b} = + =. de modo que a função f de em B definida por f () = + 6 seja sobrejetora. 8) A soma de dois números reais é 6. Encontre estes dois números sabendo que seu produto é máimo. 9) Em cada item a seguir, encontre a função quadrática que satisfaz as condições dadas: a) b) f () 0 = 5, f () = 0, f ( ) =. o vértice do gráfico de g é ( ) ( 0, )., e g intercepta o eio Y em c) o valor máimo de h é 0; o gráfico de h é simétrico em relação à reta 0,8. = e h intercepta o eio Y em ( ) 05

24 d) o gráfico de t intercepta o eio nos valores = e =, e 0,8. intercepta o eio Y em ( ) 0) Um restaurante a quilo vende 00 kg de comida por dia, a R$,00 o quilo. Uma pesquisa revelou que, para cada real de aumento no preço, o restaurante perderia 0 clientes, com um consumo médio de 500 gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior receita? ) Considere os conjuntos A= / e B= { / } e as funções f : A definida por f () =, g : + definida por g() = e h: + B definida por h () =. De- h g f. termine a função inversa de ( ) 5... Funções polinomiais de modo geral Definição. Uma função f : é uma função polinomial quando eistem constantes reais a 0, a, a,..., a n tais que n n f = a + a a + a + a, com n natural não-nulo. () n n 0 Eemplos 78 7) f () = + 78 a0 = ; a =0; a = ; a = ) g() t = 8t + t t+ a = ; a = ; a = a = a = 0; a = ; a = a = a = 0; a = ) ht () = ; a 0 = ; as outras constantes são nulas. n n bservação 9. A epressão a n + an a + a + a0 chama-se polinômio e se an 0, dizemos que é um polinômio de grau n. grau do polinômio (e não da função!) é então o maior valor de n para o qual a n é diferente de zero. A função n n f () = an + an a + a + a0 é uma função polinomial de grau n quando an 0. As funções afim e quadrática são eemplos de funções polinomiais.

25 bservação 0. Se todas as constantes a0, a, a,..., a n são nulas, temos o polinômio nulo, cujo grau não está definido. Se a constante a 0 é não nula e todas as outras são nulas, temos um polinômio de grau zero (eemplo 9). Igualdade de polinômios n n Dois polinômios a n + an a + a + a0 e m m b m + bm b + b + b0 são iguais quando m= n e an = bm, an = bm,..., a = b, a = b, a0 = b0. Assim, dois polinômios são iguais quando têm o mesmo grau e seus termos correspondentes são iguais. bservação. É claro que a igualdade de funções vale para funções polinomiais. Duas funções polinomiais f( ) e g ( ) serão iguais quando f( ) = g( ),. Isto acontece quando seus coeficientes correspondentes são iguais. Simbolicamente, para n n f( ) = an + an a + a + a0, m m g ( ) = b m + bm b + b + b0 f = g se e somente se m= n e a = b, a = b,..., a = b, a = b, a = b. n m n m 0 0 Raízes de uma função polinomial Dizemos que s é raiz da função polinomial n n f () = an + an a + a + a0 quando f () s = 0, ou n n seja, quando as n + an s as + as + a0 = 0. Teorema Fundamental da Álgebra (que será estudado com detalhes posteriormente, em outra disciplina) nos diz que um polinômio de grau n tem eatamente n raízes compleas. Estas raízes não são necessariamente distintas. Eemplos 0) f () = possui três raízes iguais, = = = 0. Diz-se neste caso que zero é uma raiz de multiplicidade. 5 ) g() = possui cinco raízes reais, mas três delas são 5 iguais. De fato, = 0 implica ( ) = 0 e daí obtemos as raízes =, =, = = 5 = 0. 07

26 Gráfico das funções polinomiais Conforme já foi visto, funções polinomiais de grau 0 ou (funções afins) têm como gráfico uma reta e funções polinomiais de grau (funções quadráticas) têm como gráfico uma parábola. Para funções polinomiais de grau maior do que não eiste uma tal caracterização do gráfico. que sabemos é que as raízes determinam pontos onde o gráfico corta o eio X e o termo independente (coeficiente a 0 ) determina o ponto onde o gráfico corta o eio Y. Como ilustração, vamos esboçar o gráfico da função f () = : f() Figura 5.8 Im f = e f é crescente em seu domínio (prove!). bserve também que f () = f ( ), f ( ) = f ( ), f () = f ( ), e de modo geral f () = f ( ). Isto caracteriza uma função ímpar, conforme a definição a seguir: 08

27 Definição. Uma função f : é uma função par quando f () = f ( ) para todo em seu domínio; a função é uma função f = f para todo em seu domínio. ímpar quando () ( ) Eemplos ) Como já vimos, f () = é uma função ímpar, pois f e f f = f. () = ( ) =, ou seja, () ( ) ) f () = + é uma função par, pois ( ) ( ) ( ) f = + e f = + = +, ou seja, f = f. () ( ) bservação. Funções pares e ímpares têm características importantes em seus gráficos: (i) o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eio Y: (, ) e (-, ) são pontos do gráfico da função, para todo do domínio. Figura 5.9: Gráfico de uma função par (ii) o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do plano cartesiano: (, ) e (-, -) são pontos do gráfico da função, para todo do domínio. Figura 5.0: Gráfico de uma função ímpar 09

28 Eercícios propostos ) Esboce o gráfico das funções () () que você pode observar? f f = + e =. ) gráfico abaio é o gráfico de uma função polinomial de grau. Determine a função Figura Funções racionais P As funções racionais são as funções da forma f () =, sendo P e Q funções Q() polinomiais. Para f estar definida, o denominador deve ser diferente de zero; 0 ()

29 o denominador será zero quando Q() = 0, ou seja, nas raízes da função polinomial Q(). Assim, o domínio de f é o conjunto / Q = 0. { () } Eemplos ) f () = ; o domínio de f será pois a função polino- + mial que aparece no denominador não se anula (não tem raízes reais): D( f ) =. 5) g() = + ; D () g = {}, uma vez que é raiz da função polinomial Q() = ) h() = ; para determinarmos o domínio de h devemos verificar para quais valores de a função polinomial Q() = se anula, ou seja, devemos calcular as raízes de Q: ( ) = 0 = 0 = 0 ou = 0 = 0 ou = ou =. ( ) Então teremos D() h = { 0,, }. 7) K() = ; neste caso não é tão simples determinar o domínio. Não sabemos como calcular, através de + 5 uma fórmula, as raízes de uma função polinomial deste tipo. Para determinar o domínio da função K, devemos usar métodos mais elaborados de cálculo de raízes através de aproimações. Você estudará estes métodos após as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. bservação. Para as funções polinomiais de grau do tipo h( ) = a + b + c, isto é com os coeficientes de e iguais a zero, podemos calcular as raízes usando uma mudança de variável, isto é, fazendo = (conseqüentemente = ) e cons- truindo uma nova função h ( ) = a + b + c. As raízes de h irão determinar as raízes de h.

30 Eemplo 8) Determinar as raízes de h ( ) 5 = +. Resolução: Fazendo a mudança de variável, =, obtemos h( ) = 5+. Para h( ) = 0, temos 5+ = 0 (uma equação do segundo grau) e as raízes são = e =. Como =, fazemos = e = ; resolvendo estas equações, temos =, =, = e =. Estas são as raízes da função h ( ). + + = 0 são chamadas equações biqua- As equações do tipo dradas. a b c Gráfico das funções racionais Não é possível fazer generalizações sobre o gráfico destas funções. Mas é possível verificar algumas regularidades nos gráficos das funções racionais. Vejamos: Eemplos ; 0 9) f () = D ( f ) = {} f() Figura 5.

31 Note que f( ) = é uma função ímpar (prove!). Para > 0, à medida que se aproima de zero, o valor da função aumenta (quanto menor o denominador, maior a fração). Por outro lado, à medida que > 0 assume valores cada vez maiores, o valor da função se aproima de zero. Tarefa que acontece à esquerda do eio Y? Eemplos ; 0) f () = D( f) = {} f() Figura 5. Note a semelhança do gráfico da função f () = com o gráfico da função do eemplo anterior. gráfico de f () = pode ser obtido pelo deslocamento horizontal (de duas unidades) do gráfico de f( ) =.

32 + ) f () = ; D( f) = {} f() Figura 5. bserve, também neste eemplo, a semelhança com os gráficos dos eemplos anteriores. ) f () = ; D( f) = {, } /9 / f() Figura 5.5

33 Note que este gráfico difere dos anteriores; observe a função que aparece no denominador. Eercícios propostos ) Dê o domínio e faça o gráfico das funções racionais: a) f () = + b) g() = c) h() = + 5) Dê os intervalos de crescimento e decrescimento das funções do eercício anterior. 5. Função-módulo A função f : dada por f () = é chamada função-módulo. Lembrando a definição de módulo, =, te- se 0 se < 0 se 0 mos f () =. se < 0 gráfico de f será: f() Figura 5.6 bservando o gráfico, vemos que Im f = [ 0, + ). 5

34 Eemplos de função-módulo composta com outras funções: ) f () = 6 f () 6 se 6 0 = ( 6 ) se 6 < 0 Resolvendo as inequações, temos: < 0 < 0 < Assim, a função f pode ser escrita como f () 6 se =. + 6 se < gráfico de f é: - f() Figura 5.7 bservamos pelo gráfico que Im f = [ 0, + ). ) g() = 5 () g 5 se 5 0 = + 5 se 5 < 0 6

35 Resolvendo as inequações, temos: ou 5 5< 0 5 < < 5 A função g pode ser escrita como 5 se 5 ou 5 g() = + 5 se 5 < < 5 gráfico de g é: f() Figura 5.8 bserve a diferença do gráfico de g com o gráfico de h() = 5. No gráfico da função g a parte correspondente aos valores entre as raízes de h foi rebatida para a parte positiva do plano (acima do eio X). bservação. gráfico de uma função-módulo estará sempre acima do e/ou sobre o eio X. 7

36 Eercícios propostos 6) Construa os gráficos das seguintes funções: a) b) c) f () = () g = h() = 7) Dê o domínio e construa o gráfico da função: () g + se < 0 = se > 0 5. Funções Trigonométricas Vamos inicialmente estudar alguns conceitos básicos necessários à compreensão das funções trigonométricas: arco de circunferência, medidas de arcos, ângulo central e arcos côngruos. Arco de circunferência Considere uma circunferência qualquer e nela fie um ponto A. Todos estes conceitos foram trabalhados nos cursos de Geometria I e II. É conveniente que você tenha bastante clareza destes para prosseguir neste estudo. Se você tem dúvidas, volte àqueles materiais e aprofunde seus conhecimentos. Aqui será apresentada uma revisão sucinta destes conceitos e sua operacionalização. M A Figura 5.9 Suponha que um ponto móvel desloque-se sobre a circunferência a partir de A, sempre no mesmo sentido, até parar no ponto M. 8

37 caminho percorrido pelo ponto é o arco AM. Dizemos que AM é um arco de circunferência. Pergunta: como medimos este arco? (lembre-se de suas disciplinas de geometria!) Você já se perguntou por que foi feita a divisão em 60 partes e não em 00, por eemplo? A origem dessa escolha é histórica, pois foi criada inicialmente pelos babilônios e também por povos pré-colombianos das Américas (Incas, Maias...), que utilizavam um sistema de numeração com base seagesimal. utra eplicação é o estabelecimento de uma relação com o chamado movimento de Translação da Terra em torno do Sol, que alguns povos acreditavam se completar em 60 dias. Medidas de arcos São usadas basicamente duas medidas de arcos: o grau, que você já conhece e é usado há milênios, e o radiano, que você também conhece, unidade que vamos usar em nosso estudo das funções trigonométricas. Grau: uma circunferência é dividida em 60 partes iguais; cada uma dessas partes é um arco que mede grau. Assim, a circunferência toda mede 60 graus e um arco de graus corresponde a da 60 o circunferência (veja a figura 5.0). Denotamos graus por. M 60º A Figura 5.0 Radiano: diz-se que um arco mede um radiano se seu comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém (pense que você pode esticar o arco e colocá-lo sobre uma régua). A notação para radiano é rad e um radiano corresponde a aproimadamente 57,96 graus. B r r A AB mede rad Figura 5. 9

38 Eemplos 5) B cm A AB mede rad = cm AB Figura 5. A circunferência tem raio de cm e AB mede radianos; seu comprimento em centímetros é. bservação 5. A medida do arco é em rad, mas seu comprimento pode ser medido em qualquer unidade de comprimento, por eemplo, em centímetros! 6) B 5 cm AB mede rad = cm 5 AB A Figura 5. s pontos A e B determinam um arco de rad sobre a circunferência de raio 5 cm; o comprimento do arco AB é 5 cm. Relação entre grau e radiano Didaticamente é importante que seus alunos percebam o porquê da correspondência Sabe-se que o comprimento de uma circunferência de raio r é r entre o arco de 80 e sua (se esticarmos a circunferência de raio r sobre uma régua, obtemos a medida de r na unidade de comprimento do raio). A me- senão os estudantes apenas medida em radianos ( rad), acreditarão e memorizarão dida do arco correspondente à circunferência toda é então rad, esta informação, sem uma vez que cada arco de comprimento r mede rad. Mas o arco perceber o que significa. o correspondente à circunferência toda também mede 60, então Conseqüentemente, terão o o dificuldade em operar 60 correspondem a rad ou 80 correspondem a rad. com ela. 0

39 Para epressarmos os graus em radianos ou os radianos em graus fazemos uma regra de três. Eemplos 7) Epresse 5º em radianos. 80 rad 5 5 = = 80 rad 8) Epresse 6 em graus. 80 rad z 6 80 z 6 = = 0 Eercício proposto 8) Epresse em radianos: a) 90º b) 60º c) 5º d) 70º e) 0º

40 Ângulo central B A Figura 5. Seja o centro da circunferência e A e B pontos sobre ela. As semi-retas A e B determinam o ângulo AB ˆ. Por definição, a medida do ângulo central AB ˆ é igual à medida do arco AB (em graus ou radianos). bservação 6. Note que na figura 5.5 a seguir os arcos AB e CD têm a mesma medida (em graus ou radianos), mas não têm o mesmo comprimento. D B C A Figura 5.5 Isto acontece porque a medida de um arco independe do tamanho da circunferência, ou seja, do seu raio. Já o comprimento do arco depende do raio da circunferência que o contém. Eemplo 9) Calcule o comprimento L do arco correspondente a um ângulo central de 60, em uma circunferência de raio 0 cm. o

41 B 0 cm A Figura 5.6 Note que a medida de arco que se relaciona com o comprimento é o radiano: um arco mede rad quando seu comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. 60 corresponde a rad. A cada radiano corresponde uma medida do raio, ou seja, 0 0 cm. A rad corresponderá 0= cm, ou aproimadamente 0,6 cm (lembre-se que é um número real, irracional, com representação decimal, Em geral usaremos para a aproimação,). Ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica Alguns autores chamam de círculo trigonométrico, como você deve ter estudado em Geometria II. Em trigonometria convencionou-se estabelecer uma orientação sobre a circunferência, fiando nela um sentido de percurso. ciclo trigonométrico é a circunferência de raio, centrada na origem do sistema cartesiano XY, orientada a partir do ponto (, 0 ). sentido positivo é o anti-horário e o sentido negativo é horário. ciclo trigonométrico é o lugar onde faremos nosso estudo das funções trigonométricas. A Figura 5.7

42 Marcamos os arcos no ciclo trigonométrico a partir do ponto A = (, 0), em sentido positivo ou negativo. Veja em seguida os eemplos dos arcos de rad e de rad no ciclo trigonométrico: A Figura 5.8: Arco de rad A - Figura 5.9: Arco de rad No ciclo trigonométrico o comprimento de um arco é igual ao módulo de sua medida em radianos. Se α é a medida do arco em radianos (α pode ser negativo!) e L é o seu comprimento, vimos que L=α r (eemplo 9). Como r =, teremos L =α. Eemplo 0) A medida do arco em radianos é ; como o raio é, seu comprimento é unidades de comprimento. arco de medida tem o mesmo comprimento.

43 A - Figura 5.0 Quadrantes ciclo trigonométrico tem quatro quadrantes, numerados também a partir do ponto (, 0 ): Quadrante I: de Quadrante II: de Quadrante III: de o 0 ou 0 rad a o 90 ou rad. o 90 ou rad a o 80 ou rad. o 80 ou rad a o Quadrante IV: de 70 ou rad a círculo. Veja a figura: o 70 ou rad. 90º ou rad o 60 ou rad, fechando o 80º ou rad II III I IV A 0º ou rad 70º ou rad Figura 5. Eercício resolvido 6) Localizar no ciclo trigonométrico o arco de medida rad. 5

44 Resolução. Note que um arco de medida rad corresponde a arcos sucessivos de rad, isto é, =. Como a circunferência mede, um arco de corresponde a um oitavo da circunferência: =. Assim, o arco de medida corresponde a três oitavos da circunferência. Veja a 8 figura: / / / A Figura Eercícios propostos 9) ciclo trigonométrico foi dividido em oito partes iguais. Localize sobre ele a etremidade B do arco AB, sendo dada a medida deste arco: a) b) 5º 80º 5 c) rad d) rad e) rad 0) Localize no ciclo trigonométrico a etremidade B dos arcos AB de medida: 6 a) 0º

45 b) 0º c) rad 6 d) rad 7 e) rad 6 Arcos côngruos Suponha que um ponto móvel (como na definição de arco) desloque-se sobre a circunferência a partir de (, 0 ), sempre no mesmo sentido, até parar em. Temos duas possibilidades: o ponto pára em assim que o atinge ou o ponto dá certo número de voltas na circunferência antes de parar em. bserve na figura 5. que o arco de rad tem a mesma etremidade que os arcos + rad, + rad, + 6rad,..., + k,... para todo inteiro k. s valores negativos de k também produzem arcos de mesma etremidade que, resultantes do movimento em sentido horário (sentido negativo): rad, rad, 6rad... A Figura 5. 7

46 Genericamente, se B é a etremidade de um arco de α rad, então B é a etremidade de todos os arcos α + kp rad, para todo k inteiro. Dois arcos são côngruos quando têm a mesma etremidade, isto é, diferem entre si por um múltiplo inteiro de. Para medidas em graus, dois arcos são côngruos quando têm a mesma etremidade e diferem entre si por um múltiplo inteiro de 60º. Percebemos assim que quando marcamos a etremidade de um arco no ciclo trigonométrico, estamos na verdade marcando a etremidade de uma infinidade de arcos. Chamamos de primeira determinação positiva (abreviamos pdp) de um arco de medida α rad ao arco côngruo a α cuja medida é β, com 0 β. Para medidas em o graus, a primeira determinação positiva (pdp) de um arco de é o o arco côngruo a cuja medida é para Como eemplo, vamos encontrar a pdp do arco de medida. Procuramos o maior múltiplo de 7 menor do que Como, este múltiplo é e podemos escrever 0 ( 6) 6 6 = + = + = Côngruo é um termo derivado da palavra congruente que, matematicamente, refere-se a objetos de mesma medida. Você lembra do Algoritmo da Divisão, estudado em Fundamentos I? 6 Como 0, e os arcos de medidas 0 e 6 diferem de um múltiplo inteiro (pois 0 6 = ), a pdp de 0 6 será Eercícios resolvidos 7) Encontrar a pdp do arco de medida 7. 6 Resolução. Como 7 = , escrevemos: 7 ( 5) 5 = + = Note que 7 não é um múltiplo de ; neste caso fazemos 7= 6+. Então: = 6++ =

47 Assim, 7 = 6, o que significa que os arcos de medida e diferem por um múltiplo inteiro de. Também A pdp será então. Veja a figura: A Figura 5. 8) Encontre a pdp do arco de medida 65º. Resolução. 65 é maior do que 60; logo, este arco tem mais de uma volta. Como 65 = , a pdp do arco de medida 65º será 05º. Veja a figura: 05º 90º A Figura 5.5 9

48 Eercícios propostos ) Determinar a pdp dos arcos cujas medidas são: a) b) c) º d) 0º ) Dê a medida de três arcos cuja pdp é 5. ) Dê a medida de três arcos cuja pdp é 0º. 5.. Função seno e função cosseno As funções trigonométricas constituem um tema importante da Matemática, tanto por suas aplicações (que vão desde as mais elementares, no dia-a-dia, até as mais compleas, na Ciência e na alta tecnologia) como pelo papel central que desempenham na Análise. objetivo inicial da Trigonometria era o tradicional problema da resolução de triângulos, que consiste em determinar os seis elementos dessa figura (três lados e três ângulos) quando se conhecem três deles, sendo pelo menos um deles um lado. Posteriormente, com a criação do Cálculo Infinitesimal, e o seu prolongamento, que é a Análise Matemática, surgiu a necessidade de atribuir às noções de seno, cosseno e suas associadas tangente, cotangente, secante e cossecante, o status de função real de uma variável real. Assim, por eemplo, além de cos α, cosseno do ângulo α, tem-se também cos, o cosseno do número real, isto é, a função cos :. Analogamente há também as funções seno, tangente, cotangente, secante e cossecante, completando as funções trigonométricas. 0

49 Uma propriedade fundamental das funções trigonométricas é que elas são periódicas. Por isso, são especialmente adequadas para descrever os fenômenos de natureza periódica, oscilatória ou vibratória: movimento de planetas, som, corrente elétrica alternada, circulação do sangue, batimentos cardíacos, etc. Quando se opera com números sen, cos e tg no triângulo retângulo, representa a medida de um ângulo agudo. Vamos estender as noções de seno, cosseno, tangente, cotangente secante e cossecante de para o caso em que representa a medida de um ângulo qualquer. Nesta situação usaremos como medida o radiano. Seja um número real e considere no ciclo trigonométrico o ponto P tal que o arco AP tenha medida rad. Este ponto P é determinado quando enrolamos o segmento de comprimento no ciclo trigonométrico a partir do ponto A. Se é positivo, este procedimento é no sentido anti-horário; se é negativo, o sentido é horário. s valores seno e cosseno de são as coordenadas do ponto P. Veja a figura: P P P A Figura 5.6 Podemos então definir: Definição. seno do ângulo de medida rad ou o seno do número real (ou do arco AP ) é a ordenada do ponto P; o cosseno do número real (ou do arco AP ) é a abscissa do ponto P. Como as coordenadas de um ponto são únicas, ficam definidas as funções seno e cosseno: sen : sen cos : cos Na figura 5.6, sen = P e cos = P.

50 Domínio e Imagem das funções seno e cosseno domínio das funções seno e cosseno é o conjunto dos números reais: a todo número real podemos associar um ponto P no ciclo trigonométrico e este ponto P terá duas coordenadas: a ordenada (marcada no eio Y) será sen e a abscissa (marcada no eio X) será cos. Como estas coordenadas estão limitadas pelo ciclo trigonométri-,. co, a imagem das funções seno e cosseno é o intervalo [ ] Relação fundamental Decorre do Teorema de Pitágoras que sen + cos =, para todo real. De fato, é só considerar o triângulo retângulo PP. s segmentos P e PP que correspondem a cos e sen, respectivamente, são os catetos; o segmento P é a hipotenusa. Veja a figura: P P. P Figura 5.7 bservando o ciclo trigonométrico, podemos determinar alguns valores das funções seno e cosseno: sen 0 = 0 cos 0 = sen = cos = 0 sen =0 cos = sen = cos = 0

51 Sinal algébrico do seno e cosseno de Na figura a seguir (5.8) apresentamos as possíveis posições de um ponto M no ciclo trigonométrico, de modo que o arco AM tenha medida, dependendo dos valores reais de : (i) M está no primeiro quadrante e corresponde ao arco de medida : seno e cosseno de são positivos. (ii) M está no segundo quadrante e corresponde ao arco de medida : seno de é positivo e cosseno de é negativo. (iii) M está no terceiro quadrante e corresponde ao arco de medida : seno e cosseno de são negativos. (iv) M está no quarto quadrante e corresponde ao arco de medida : seno de é negativo e cosseno de é positivo. Q M M Q P P P P Q M M Q Figura 5.8 A figura 5.9 dá um resumo dos sinais algébricos dos valores de seno e cosseno nos quatro quadrantes:

52 + + _ + _ + Sinal do seno Sinal do cosseno Figura 5.9 Seno e cosseno de arcos côngruos Quanto vale 7 7 sen? E cos? Como 7 é maior do que, tomamos sua primeira determinação positiva (pdp): 7 = + = +. Assim, a pdp do arco de medida 7 é ; isto significa que os arcos de medida 7 e têm a mesma etremidade, determinando as mesmas coordenadas. Logo, 7 sen = sen = e 7 cos = cos = 0. Generalizando, arcos côngruos têm o mesmo seno e o mesmo cosseno. Se é a primeira determinação positiva de um arco, os arcos côngruos a ele são representados por + k, com k percorrendo o conjunto dos números inteiros. Então sen( + k ) = sen, k cos( + k ) = cos, k

53 Valores notáveis do seno e cosseno Vamos lembrar o que acontece no triângulo retângulo: o α+β= 90, então: c sen α= = cos β a sen b β= = cos α a α b a. c β Figura 5.50 Vamos calcular agora os valores de seno e cosseno para os arcos de medida, e. Veja a figura o (i) Para α=β= 5, ou α=β=, temos: b = a a= b b b sen = = = = = cos a b b a. c= b Figura 5.5 5

54 o o (ii) α= 0 = e β= 60 = 6 a h + = a a a h = a = h= a a 6 h a Figura 5.5. a Então h a sen = = = = cos e a a 6 a cos = = = sen a 6 Resumindo: (em rad) 0 6 cos 0-0 sen Redução ao primeiro quadrante Se é a medida em radianos de um arco no segundo, terceiro ou quarto quadrantes, cos e sen podem ser determinados a partir de arcos no primeiro quadrante. Estes arcos do primeiro quadrante são tais que os valores de seno e cosseno, em módulo, são iguais a sen e cos. bserve na figura a seguir as simetrias que nos permitem proceder desta forma: 6

55 M β β α M β α β M α β β M M M cos α = = - = - cos β sen α = = sen β cos α = = - = - cos β sen α = = - = - sen β cos α cos β = = sen α - - sen β = = = Figura 5.5 Faremos agora um eemplo para em cada um dos quadrantes: ) Determinar 5 5 sen e cos. 6 6 bservemos que o arco de medida 5 encontra-se no segundo 6 5 quadrante e é um múltiplo de, isto é, = 5. Para chegar a 5 é necessário percorrer cinco arcos de Veja a figura: Figura 5.5 7

56 bservando a simetria, vemos que 5 5 sen = sen = e cos = cos = (lembre-se que no segundo quadrante o seno é positivo e o cosseno é negativo). ) Determine sen e cos. arco de medida encontra-se no terceiro quadrante; usando a mesma idéia do eemplo anterior, para chegar a, é necessário percorrer quatro arcos de. Veja a figura: Figura 5.55 Vemos então que sen = sen = e cos = cos = (Lembre-se que no terceiro quadrante seno e cosseno são negativos). ) Determine 7 7 sen e cos. arco de medida 7 encontra-se no quarto quadrante; analogamente aos eemplos anteriores e observando a figura, concluímos que: 8

57 Figura sen = sen = e cos = cos = (Lembre-se que no quarto quadrante o seno é negativo e o cosseno é positivo). Eercício proposto ) Determine seno e cosseno dos arcos de medida: 7 a) 6 b) 8 c) 5 d) 7 e) 6 f) g) 6 9

58 Gráficos da função seno e da função cosseno Como o domínio das funções seno e cosseno é o conjunto dos números reais e a imagem é o intervalo [,], os gráficos destas funções estão contidos na faia horizontal, [ ]. Estude os gráficos com atenção: eles darão informações sobre o comportamento das funções seno e cosseno função seno Figura função cosseno Figura

59 Considerações sobre as funções seno e cosseno As funções seno e cosseno têm características especiais; vamos estudá-las agora, utilizando todas as informações que já temos sobre o comportamento destas funções. Estas informações serão muito importantes para as próimas disciplinas de Cálculo. ) Zeros das funções seno e cosseno s zeros das funções seno e cosseno são os valores de para os quais se tem sen = 0 e cos = 0, respectivamente. Analisando os gráficos, vemos que: i) os zeros de sen são 0,,,,...,,,,... ou seja, os valores de dados por = k, para todo k. ii) os zeros da função cos são ,,,,...,,,,,... ( k + ) ou seja, os valores de dados por =, ou = k+, para todo k. ) Seno e cosseno são funções periódicas. Uma função f : diz-se periódica quando eiste um número real T 0 tal que f ( + T) = f ( ), para todo. Neste caso também tem-se f ( + kt) = f ( ), para todo k e para todo. menor número positivo T tal que f ( + T) = f ( ), para todo, é chamado de período da função f.

60 Já sabemos que sen( + ) = sen para todo e também sen( + k ) = sen, k,. Isto nos garante que seno é uma função periódica e o menor número positivo T para o qual se tem sen( + T) = sen é T =. Assim, o período da função seno é. Isto significa que o gráfico da função sen se repete a cada intervalo de comprimento, a partir da origem. Analogamente, o período da função cosseno também é. Veja novamente as figuras 5.57 e Eercício resolvido 9) Encontre o período da função f () = sen 5 Resolução: Procuramos o menor número T > 0 tal que f ( + T) = f ( ), para todo. Isto significa que f ( + T) = sen ( + T) = sen + T = sen = f ( ) Como o período da função seno é, devemos ter 0 5 T= T= =. Logo, o período de f é 5. Confira 5 o resultado fazendo o gráfico. ) Cosseno é uma função par e seno é uma função ímpar Uma função f : é par quando f () = f ( ), e uma função f : é ímpar quando f () = f ( ),. Vamos analisar as funções seno e cosseno:

61 M B M = S M = QB S = QC -. Q A S C Figura 5.59 triângulo BC é isósceles, o que significa que os arcos AB e AC têm a mesma medida de rad. Logo, cos = cos ( ), e sen= sen ( ),. Assim, cosseno é uma função par e seno é uma função ímpar. ) Funções compostas envolvendo seno e cosseno Dada uma função real g, podemos pensar nas funções compostas ( sen g)() = sen( g() ), ( cos g)() = cos( g() ), ( g sen)() = g( sen ) e ( g cos)() = g( cos ). Vamos fazer alguns eemplos para casos especiais da função g. Eemplos ) g :, g() = +, ( sen g)() = sen g() = sen + ( ) ( ) Vamos fazer o gráfico da função ( ) sen +, comparando-o com o gráfico de sen :

62 sen sen ( ) + Figura sen ( + ) Analisando o gráfico, vemos que: ) s gráficos das funções sen e sen( + ) têm o mesmo formato. A diferença é que o gráfico de sen( + ) está deslocado unidades à direita no plano cartesiano em relação ao gráfico de sen. Note que os gráficos das duas funções cortam o eio X nos mesmos pontos. ) domínio e a imagem da função ( ) sen + são os mesmos da função sen. ) sen e sen( + ) têm o mesmo período (note que o gráfico de sen( + ) se repete a cada intervalo de comprimento, a partir de = 0 ). Tarefa Faça o gráfico da função composta ( cos g)() = cos( g() ) = cos( +) e compare-o com o gráfico de cos. que você conclui?

63 5) h : ( ) ( ), h() =, ( cos h)() = cos h() = cos Vamos comparar o gráfico da função ( ) cos com o gráfico de cos : cos () cos Figura cos () 0-0 Analisando os gráficos, vemos que: ) os gráficos de cos( ) e cos têm o mesmo formato mas o gráfico de cos( ) parece que encolheu! Por eemplo, cos( ) corta o eio X em =, enquanto cos corta o eio X em = (as funções não têm os mesmos zeros). Isto significa que cos e cos( ) não têm o mesmo período; o gráfico de cos( ) se repete a cada intervalo de comprimento, a partir da origem. De fato, para a função composta ( cos h)() = cos( h() ) = cos( ), temos que: ( cos h)( + ) = cos( h( + )) = cos( ( + )) = cos( + ) = cos( ) = cos( h( ) ) =( cos h)( ). ) o domínio e a imagem da função ( ) cos são os mesmos da função cos. 5

64 Tarefa ) Faça e estude os gráficos das funções compostas ( ) cos( ), cos e cos. cos, que você conclui sobre os períodos destas funções? E sobre os períodos das funções sen( ), sen( ), sen e sen? ) Para f () = +, faça o gráfico e determine o período da função composta ( cos f)() = cos( f () ) = cos +. Eemplo ( ) 6) u() = +, ( u sen)() = u sen() = + sen Vamos analisar e comparar os gráficos de sen e + sen : sen sen Figura 5.6 bservamos que: ) os dois gráficos têm o mesmo formato, mas o gráfico de + sen está deslocado uma unidade na vertical, para cima. Conseqüentemente, a função + sen não corta o eio X nos mesmos pontos que a função sen (as funções não têm os mesmos zeros). ) o período das funções é. ) o domínio de + sen é o mesmo da função sen, mas as imagens são diferentes: Im( + sen ) = [ 0, ]. 6

65 Tarefa Seja v() = +. Analise o gráfico da função composta ( v cos)() = v( cos() ) = + cos. Compare com o gráfico de cos. Eercícios propostos 5) Dê o período e os zeros das seguintes funções: a) b) m() = + cos s() = + sen + 6) Faça o gráfico das funções abaio, no intervalo [, ]. a) b) c) f () = sen( ) g() = sen m() = cos 7) Sabendo que cos = 0, e está no quarto quadrante, calcule sen. Inversas das funções seno e cosseno Seno e cosseno não são funções injetoras; por eemplo, temos sen 0= sen = 0 e cos 0= cos =, valores distintos resultando na mesma imagem. Mas, observando o gráfico destas funções, vemos que, se as restringirmos a certos intervalos (domínio e contradomínio), elas serão injetoras e sobrejetoras e, portanto, terão uma inversa. Vamos analisar a função seno. bserve atentamente seu gráfico: 7

66 função seno Figura 5.6 No intervalo, a função seno é injetora, e o mesmo ocorre nos intervalos,,,, e em uma infinidade de outros. bserve também que nestes intervalos a imagem da função é [,], ou seja, ela também é sobrejetora. Fiando o intervalo,, consideremos a função F :, [,] F() = sen F é uma função bijetora (prove isso!) e, portanto, inversível! Definimos a inversa da função F como g :[, ], g() = arcsen (lê-se arco seno de ). A função g associa a cada número real do intervalo [,], o arco cujo seno é. Por eemplo: g ; g() 0 0; g ; g = = = =