MÉTODOS MATEMÁTICOS. Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta

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1 MÉTODOS MATEMÁTICOS Claudia Mazza Dias Sandra Mara C. Malta 1

2 Métodos Matemáticos Aulas: De 03/11 a 08/11-8:30 as 11:00h Ementa: 1. Funções 2. Eq. Diferenciais Ordinárias de 1 a ordem 3. Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias 4. Aplicações Bibliografia 1.Leithold 2. Munen e Foulis 3. Begon 4. Boldrine 5. Paccola 2

3 FUNÇÕES Noção Vamos supor que uma quantidade variável y dependa de um modo bem definido de uma outra quantidade x. Portanto, para cada valor particular de x existe um único valor correspondente de y. Tal correspondência é denominada função e se diz que a variável y é uma função da variável x. Exemplo : A área de um círculo Se x simboliza o raio de um círculo e y simboliza a área do mesmo círculo, formalmente, y = π x 2 3

4 Observação Se f é uma função, é comum representar-se o valor de y correspondente a x como f(x). No exemplo: f(x) = π x 2. Definição 1 : Função como Regra de Correspondência Uma função f é uma regra de correspondência que faz associar um e somente um valor da variável y para cada valor da variável x. A variável x é denominada variável independente, pode tomar qualquer valor num certo conjunto de números denominados domínio de f. Para cada valor de x no domínio de f, o valor correspondente de y é denotado por f(x) tal que y = f(x). A variável y é denominada variável dependente, visto que seu valor depende do valor de x. O conjunto de valores assumidos por y à medida que x varia no domínio é denominado imagem de f. 4

5 Em forma esquemática: Exemplo : Dados os conjuntos A={1, 2, 3} e B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Consideremos a função f: A B, definida pôr f(x) = 2x + 1, ou y = 2x + 1. para x = 1; y = = 3 para x = 2; y = = 5 para x = 3; y = = 7 Logo, 5

6 Definição 2 : Gráfico de uma Função O Gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x,y) no plano xy tal que x pertence ao domínio de f e y a imagem de f, e y = f(x). Exemplo 1 : Esboce o gráfico da função f(x) = 2x + 1. Tabela de Correspondências: Gráfico de uma Função x y y (ordenadas) f(x) = 2x x (abscissas) 6

7 Exemplo 2 : Esboce o gráfico da função f definida pela equação y = 2 x 2 com a restrição x>0. 35 y x f(x) = 2 x^2 x y Observar que no primeiro exemplo o gráfico é uma reta (linear) enquanto que no segundo exemplo temos uma meia parábola (quadrático). 7

8 O domínio e a imagem de uma função podem ser facilmente determinados no gráfico da função. Assim, o domínio de uma função é o conjunto de todas as abscissas dos pontos sobre o gráfico, enquanto sua imagem é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos de seu gráfico. 8

9 Definição 3 : Função como um Conjunto de Pares Ordenados Uma função é um conjunto de pares ordenados no qual dois pares distintos não possuem nunca o mesmo primeiro membro. Se (x,y) é uma par ordenado neste conjunto, diz-se que y corresponde a x pela função f. Exemplo 1 : O conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tal que xy 2 = 1, não é uma função, já que (1,1) e (1,-1) pertence ao conjunto e ambos possuem a mesma abscissa 1. Exemplo 2 : O conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tal que x y = 1 é uma função já que: x y 1 = x y 2... Logo, y 1 = y 2. Então os pares são os mesmos. 9

10 Funções Pares e Ímpares Considere as funções f e g, definidas pelas equações f(x) = x 2-4 e g(x) = x 3 plotadas nos gráficos, y f(x) = x^ x x y Observe que f(-x) = f(x). Portanto, o gráfico de f é simétrico em relação a y. 10

11 y f(x) = x^ x x y Observe que g(-x) = - g(x). Portanto, o gráfico é simétrico em relação à origem. Definição 4 : Funções Pares e Ímpares (a) Uma função f é par se, para todo x do domínio de f, -x pertence também ao domínio de f e f(-x) = f(x). Ou ainda, se f(-x) = f(x), x D(f). (b) Uma função f é ímpar se, para todo x do domínio de f, -x pertence também ao domínio de f e f(-x) = - f(x). Ou ainda, se f(-x) = - f(x), x D(f). 11

12 Funções Polinomiais Uma função definida pôr uma equação da forma f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n onde n é um inteiro não-negativo, e os coeficientes a 0, a 1, a 2,... a n são números reais constantes é denominada função polinomial. Se a n 0, diz-se que esta função polinomial é de grau n. Exemplo 1 : f(x) = x 2-4 pode ser escrita como : x + 1. x 2 onde, a 0 = -4, a 1 = 0 e a 2 = 1. Logo, f(x) = x 2-4 é uma função polinomial do grau 2. 12

13 Exemplo 2: f(x) = 4, onde, a 0 = 4, a 1 = 0 e a 2 =0, etc.. Logo, f(x) = 4 é uma função polinomial do grau zero, conhecida como Função Constante y f(x) = 4 x y x 13

14 Exemplo 3: f(x) = 2x - 1, pode ser escrita como f(x) = x, onde, a 0 = -1, a 1 = 2.. Logo, f(x) = 2x - 1 é uma função polinomial do grau um, e seu gráfico é uma reta com coeficiente angular a 1 (ou seja 2) e ordenada à origem a y 3 2 f(x) = 2x x y x 14

15 Exemplo 4: f(x) = x, pode ser escrita como f(x) = x, onde, a 0 = 0, a 1 = 1.. Logo, f(x) = x é uma função polinomial do grau um, e seu gráfico é uma reta com coeficiente angular a 1 (ou seja 1) passando pela origem. Essa função é conhecida como Função Identidade. 5 4 x y y f(x) = x x 15

16 Observação: A Função Modular, f(x) = x, é uma função a parte, definida em duas sentenças, ou seja f(x) = x = x, se x 0 = - x, se x < 0 4 x y y 3 f(x) = x x 16

17 Funções Racionais e Algébricas Definição 5 : Função Racional A função f definida pela equação f(x) = p(x)/ q(x), onde p e q são funções polinomiais e q não é uma função constante nula, é denominada Função Racional. Exemplo: f(x) = x x + 1 Observação: Onde, p(x) = x e q(x) = x + 1. Ambas funções polinomiais de grau 1. As funções polinomiais são casos particulares de funções racionais onde q(x) = 1. 17

18 Álgebra e Composição de Funções Definição 6 : Soma, diferença, produto e quociente de funções Sejam f e g duas funções cujos domínios se sobreponham. Definem-se as funções soma, diferença, produto e quociente pelas seguintes equações: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f - g)(x) = f(x) - g(x) (f. g)(x) = f(x). g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x) Em cada caso, o domínio da função definida consiste em todos os valores de x comuns aos domínios de f e g, exceto que no quarto caso os valores para os quais g(x) = 0 serão excluídos. 18

19 Exemplo: Sejam, f(x) = x e g(x) = 2x -1 (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x x -1 = x 2 + 2x + 2 (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x (2x -1) = x 2-2x + 4 (f. g)(x) = f(x). g(x) = (x 2 + 3). (2x -1) = 2x 3 - x 2 = 6x -3 (f/g)(x) = f(x)/g(x) = (x 2 + 3) / (2x -1) Definição 7 : Composição de funções Sejam f e g duas funções que satisfazem a condição de que pelo menos um número da imagem de g pertence ao domínio de f. Então, a composição de f e g, simbolizada por f g, é a função definida pela equação: (f g)(x) = f[ g(x) ] Exemplo: Sejam, f(x) = 3x - 1 e g(x) = x 3 (f g)(x) = f[ g(x) ] = f [ x 3 ] = 3x 3-1 (g f)(x) = g[ f(x) ] = g [3x -1] = (3x -1 ) 3 = 27x 3-27x 2 + 9x -1 19

20 Função Inversa Definição 8 : Funções Inversas uma da outra Duas funções f e g são inversas, se as 4 condições seguintes são satisfeitas: (i) A imagem de g está contida no domínio de f (ii) Para todo número real x no domínio de g, (f g)(x) = x (iii) A imagem de f está contida do domínio de g (iv) Para todo número real x no domínio de f, (g f)(x) = x Uma função f para a qual exista a tal função g é dita invertível. Observação: Nem toda função é invertível. Mas se f é uma função invertível, então existe uma e somente uma função f -1 tal que f e f -1 sejam inversas uma da outra. 20

21 Definição 9 : A Inversa de uma Função Suponha que f seja uma função invertível. Define-se a inversa da função f, simbolizada pôr f -1 como a função cujo gráfico é simétrico do gráfico de f em relação a reta y = x. A função f -1 é denominada a inversa de f. 21

22 Exemplo: Seja, f(x) = 2x + 1 Ou seja, y = 2x + 1 x = 1/2 (y - 1) Troca-se x por y... y = 1/2 (x - 1) f -1 (x) = 1/2 (x - 1) Observar que f -1 (x) 1/f(x)!!! y 1 x y y x f(x)= 2x + 1 f(x)-1= 0.5(x-1) 22

23 Definição 10 : Funções Algébricas Elementares Uma função algébrica elementar é uma função que pode ser obtida através de um número finito de operações algébricas (adição, multiplicação, subtração, divisão e radiciação), começando pelas funções identidade e constante. As funções restantes, ou seja, as que não são algébricas, são denominadas funções transcendentes. Por exemplo, são transcendentes as funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e hiperbólicas. 23

24 Funções Trigonométricas θ(radianos) = s/r O Radiano é uma unidade de medida de arcos que eqüivale a um arco de comprimento igual ao raio da circunferência. Como o comprimento total de uma circunferência é 2πr, o que corresponde ao arco completo 360 o, então, 360 o = 2πr / r. Logo, π rad = 180 o Graus 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 360 o Radianos π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 2π 24

25 Definição 11 : Funções Trigonométricas Seja t um número real qualquer e associado a um ângulo de t radianos, com vértice na origem contado a partir do eixo dos x positivo, no sentido contrário aos dos ponteiros do relógio se t 0, e no sentido contrário se t < 0. Constróise então um círculo de raio 1, com centro na origem. Seja (x,y) o ponto onde a reta suporte do lado do ângulo encontra a circunferência. As seis funções trigonométricas relativas ao ângulo t são: cos t = x sec t = 1/x tan t = y/x sen t = y csc t = 1/y cot t = x/y 25

26 Observação: O domínio das funções seno e co-seno é R. Para as demais são os conjuntos dos valores de t para os quais o denominador da fração é diferente de zero y f(x) = sen(x) y f(x) = cos(x) x x y x f(x) = tg(x) Ver em anexo: - Relações entre as Funções Trigonométricas - Identidades Trigonométricas - Funções Inversas 26

27 Funções Exponenciais Noção: Vamos supor que numa determinada região tem-se P habitantes e que a taxa de natalidade seja de i% ao mês. Ignorando possíveis óbitos, temos que: Após 1 mês: nascimentos = P.i população = P + P.i = P(1 + i) Após 2 meses: nascimentos = [P + P.i].i = P(1+i).i população = P(1 + i) + P(1+i).i = P(1 + i) 2 Após o enésimo mês a população será = P(1+ i) n A função f(x) = P(1+ i) n é uma função exponencial. 27

28 Definição 12 : Funções Exponenciais Seja um número real positivo e diferente de 1 (a R +, e a 1). Chamamos de função exponencial de base a a função definida por, f(x) = a x Propriedades das potências de base positiva e expoente racional, ou seja, válidas para x,y R +, a,b Q, vide anexo. 10 Exemplo 1: f(x) = 10 x é uma função exponencial de base 10. Exemplo 2: f(x) = 3 x é uma função exponencial de base 3, cujo gráfico é. x y , y f(x) = 3^x x 28

29 Funções Logarítmicas Noção de Logaritmo: Sejam a e b números reais positivos com a 1, ou seja, b R + e a R + -{1}. Clamamos de logaritmo de b na base a ao número real x tal que a x = b. Indica-se que x é o logaritmo de b na base a por, x = log a b onde, b é o logaritmando a é a base do logaritmo x é o logaritmo log a b = x b = a x 29

30 Exemplos: 2 x = 64 2 x = 2 6 mesma base! Logo, x = 6 *** 5 x = 12 não é possível obter 2 membros potenciais de mesma base, portanto, usamos o conceito de logaritmo: x = log Observe que neste caso não conhecemos o valor de x, mas sabemos que 1 < x < 2 já que 5 1 < 12 e *** log 2 1 = x 1 = 2 x 2 0 = 2 x... Logo x = 0 30

31 Continuação, log 6 36 = x 36 = 6 x 6 2 = 6 x... Logo x = 2 Observação: Logaritmo de um produto: log a ( b.c ) = log a b + log a c Logaritmo de um quociente: log a (b / c ) = log a b - log a c Logaritmo de uma potência: log a b m = m. log a b Ver as demais propriedades dos logaritmos na tabela em anexo. 31

32 Definição 13: A Função Logarítmica Seja a R + -{1}, chamamos de Função Logarítmica de base a à função, g(x) = log a x Exemplo: y = log 3 x f(x)= log3 x 1 x y y x 32

33 Mudança de Base: log a b = log c b / log c a mesma base! Para a,b,c R +, a, b, c 1. Exemplo: Sejam log 3 2 e log 3 1/5 passar para a base 5. log 3 2 = log 5 2/ log 5 3 log 3 1/5 = log 5 1/5 / log 5 3 = log 1 log log = log

34 Observações: - Observar que até então utilizamos bases iguais nos 2 membros. Quando isso não for possível pode-se usar uma Tábua de logaritmos ou uma calculadora. - Logaritmos Decimais log 10 n = x n = 10 x Se n for potência de expoente inteiro de 10, n = 10 c, onde c Z, 10 c = 10 x... Logo x = c Assim, pode ser vantajoso utilizar logaritmos na base 10, já que dessa forma é possível se determinar x. Usando as propriedades dos logaritmos, log n = log 10 c = c. log 10 = c. 1 = c 34

35 Observações: - Logaritmos Naturais e é um número irracional aproximadamente igual a O logaritmo na base e é chamada do Logaritmo Neperiano, ou natural, ln x = log e x - A função logarítmica como função inversa As funções f(x) = a x e g(x) = log a x são funções inversas. 35