CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof

2 AULA 0 - FUNÇÕES. - Conceito matemático de função Definição : Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente. Definição : Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente. Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos. Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois conjuntos. Definição : Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano (indica-se: A B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B. (Eq.) A B {(, y )/ A e y B }. Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B, dá-se o nome de relação r de A em B a qualquer subconjunto de A B. (Eq.) r é relação de A em B r A B. Eemplo: Sejam os conjuntos A {0,,,}, B {0,,4,6,8,0} e a relação r de A em B, tal que y, A e y B. Escrever os elementos dessa relação r. Como A : 0 y 0 (0,0) A B ; y (,) A B ; y 4 (,4) A B ; y 6 (,6) A B. Então, r {(0,0), (,), (,4), (,6)}. A 0 r 0 B [Fig.]: Representação da relação por diagrama. y [Fig.]: Representação da relação por sistema cartesiano. 0

3 Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B, o conjunto r é formado pelos pares (, y ) em que o elemento A é associado ao elemento y B mediante uma lei de associação (no caso, y ).. - Definição de função Definição 5: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B. Nos eercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B. Juntifique sua resposta e apresente o diagrama da relação. Eemplos: ) Dados os conjuntos A {0,5,5} e B {0,5,0,5,0,5}, seja a relação de A em B epressa pela fórmula y +5, com A e y B. 0 y 5 (0,5) A B ; 5 y 0 (5,0) A B ; 5 y 0 (5,0) A B. A B Todos os elementos de A estão associados a elementos de B. A cada elemento de A está associado um único elemento de B. Neste caso, a relação de A em B epressa pela fórmula y +5 é uma função de A em B. ) Dados os conjuntos A {,0,,5} e B {0,,5,0,0}, seja a relação de A em B epressa pela fórmula y, com A e y B. 0 y 0 (0,0) A B ; y (,) A B ; 5 y 5 (5,5) A B. A B O elemento de A não está associado a nenhum elemento de B. Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B.

4 ) Dados os conjuntos A {,,,} e B {,,6,9}, seja a relação de A em B epressa pela fórmula y, com A e y B. y 9 (,9) A B ; y (,) A B ; y (,) A B ; y 9 (,9) A B. A - - Todos os elementos de A estão associados a elementos de B. A cada elemento de A está associado um único elemento de B. Neste caso, a relação de A em B epressa pela fórmula y é uma função de A em B. 6 9 B 4) Dados os conjuntos A {6,8} e B {,,}, seja a relação de A em B epressa pela 4 fórmula y, com A e y B. A B 6 y ou y (6, ) e (6,) A B ; 8 y (8,) A B. Todos os elementos de A estão associados a elementos de B. O elemento 6 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B. Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B.. Notação de Função Quando temos uma função de A em B, podemos representá-la da seguinte forma: f : A B (lê-se: função de A em B ) a y (lê-se: a cada valor de A associa-se um só valor y B ) A letra f, em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g, h, etc. Numa função g : R R, dada pela fórmula y 8, podemos também escrever g ( ) 8. Neste caso, g ( ) significa o valor de y quando, ou g ( ) 6.

5 .4 - Domínio, contradomínio e imagem de uma função Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por: f : A B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B ) a y f ( ) (a cada elemento A corresponde um único y B ) O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D. O domínio da função também chamado campo de definição ou campo de eistência da função, serve para definir em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável. O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD. É no contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio. Cada elemento do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de pela função f. O conjunto de todos os valores de y que são imagens de valores de forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im. Note que o conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma. f : A B a y f ( ) D A, CD B, Im { y CD / y é correspondente de algum valor de }. Eemplos: ) Dados os conjuntos A {,,0,} e B {,0,,,,4}, determinar o conjunto imagem da função f : A B definida por f ( ) +. f ( )( )+ f ( )( )+ f (0)(0)+ f ()()+4 Im {,,,4} A B ) Dada a função f : R R definida por f ( ) a +b, com a,b R, calcular a e b, sabendo que f ()4 e f ( ). A lei de formação da função é f ( ) a +b ou y a +b. f ()4 e y 4 4 a +b (i) f ( ) e y a ( )+b (ii) De (i) e (ii), temos: a + b 4 a + b b b e a a e b f ( ) +. 4

6 .5 Função Composta Tome as funções f : A B, definida por f ( ), e g : B C, definida por g ( ). Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g. f : A B : a cada A associa-se um único y B, tal que y. g : B C : a cada y B associa-se um único z C, tal que z y. Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A C, que faz a composição entre as funções f e g : A B C g f y z f. [Fig. ]: Função composta h : A C : a cada A associa-se um único z C, tal que z y ( ) 4. h Essa função h de A em C, dada por h ( )4, é denominada função composta de g e De um modo geral, para indicar como o elemento z C é determinado de modo único pelo elemento A, escrevemos: z g ( y ) g ( f ( )) Notação: A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se: g círculo f ) (Eq.) ( g o f )( ) g ( f ( )) Eemplos: ) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( ) + e g ( ) Determine: a) f ( g ( )). f ( g ( )) f ( ) + f ( g ( )). b) g ( f ( )). g ( f ( )) g ( +)( +) g ( f ( )) +4. ( + +) c) Os valores de para que se tenha f ( g ( )) g ( f ( )). f ( g ( )) g ( f ( ))

7 ) Sendo f ( ) e f ( g ( ))6 +8, determine g ( ). Como f ( ), então f ( g ( )) g ( ). Como f ( g ( ))6 +8, então g ( ) g ( ) 6 +8 g ( ) g ( ) g ( ) +..6 Função Inversa Definição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas condições abaio:. O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do domínio.. Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio. Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa f se for bijetora..6. Determinação da Função Inversa Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua inversa. Para isso trocamos a variável por y na lei que define a função e em seguida isolamos o y, obtendo a lei que define a função inversa. É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida. Eemplo: ) Obter a lei da função inversa f da função f dada por y +. y + função f. y + trocando a variável por y e y por. y isolando y. Então, y é a lei da função inversa da função dada por y +. Logo: f ( ) + e f ( ) ) Construir os gráficos das funções f e coordenadas. f do eercício anterior, num mesmo sistema de f ( ) f ( ) Note que os gráficos das funções f e f são simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes do o e o quadrantes. 4 y f f - 6

8 ) Determinar a função inversa g da função g ( ) + 5 y função g. y + 5 y trocando a variável por y e y por. ( y ) y +5 isolando y. y y 5 y ( ) y , cujo domínio é D R. Logo, g : R R + 5 dada por y é a função inversa procurada. AULA 0 EXERCÍCIOS ) Seja a relação de A {0,, } em B {0,,,, 4, 5} definida por g() 4 +. Faça o diagrama de g e verifique se g é uma função de A em B. Em caso afirmativo escreva o conjunto imagem. ) Seja a função f de D {,,, 4, 5} em R definida por f() ( )( 4). Determine o seu conjunto imagem. ) Sejam f e g funções reais definidas, para todo o número real não nulo, por: 5 f ( ) 8 + ( ) e 5 g ( ) ( + ) Se a e b são números reais distintos tais que f(a) g(a) e f(b) g(b), calcule a + b 4) Considere a função f() real, definida por f() 4 e f( + ) f() 5. Determine o valor de f(0) 5) Determine o domínio das seguintes funções: a) f ( ) 4 5 b) f ( ) c) y + 7 d) f ( ) ) Sendo f ( ), e g ( ) 4, ache o valor de f ( g()) + g f. 7) Se f ( ), qual o valor de para que f(f())? + 6 8) Dada a função f ( ) com 5. 5 calcule: a) f - () b) f - (4) Respostas: ) sim, Im{0, } ) Im {-, 0, } ) 4) 9 5) a) D R b) D R {-, } c) D R D R < < 4, e, d) { } 6) 9 7) ) a) b) 7

9 AULA 0 - FUNÇÃO POLINOMIAL Definição 8: Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é aquela cuja formulação matemática é epressa por um polinômio.. - Função polinomial do o grau A função polinomial do o grau é a que tem sua representação matemática por um polinômio de grau. Representação da função polinomial do o grau: independente. Eemplo: f ( ) a +b, com a,b R (a 0). a e b são os coeficientes e a variável Em uma função polinomial do o grau, y f ( ), sabe-se que f ()4 e f ( )0. Escreva a função f e calcule f. Se f é polinomial do o grau, então podemos escrever: y a +b. Usando os dados do problema: f ()4 e y 4. Então, a +b 4 a +b 4 (i). f ( )0 e y 0. Então, a ( )+b 0 a +b 0 (ii). Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii): (i) a + b 4 a + b 4 (ii) a + b 0 ( ) a b 0 Se a, então +b 4 b 6. A função f é dada por f ( ) +6. Cálculo de f : f A função é f ( ) +6 e f 7. a 6 a.. - Função linear Seja a função polinomial do o grau f ( ) a +b. No caso de b 0, temos f ( ) a, e ela recebe o nome especial de função linear. Obs.: Se, em uma função linear tivermos a, teremos f ( ) ou y, que se dá o nome de função identidade. 8

10 .. Gráfico de uma função polinomial do o grau Para construir o gráfico de uma função polinomial do o grau, atribuímos valores do domínio à variável e calculamos as respectivas imagens. Eemplo: Construir o gráfico da função real f dada por y. y Par ordenado 5 (, 5) (, ) 0 (0, ) (,) (,) 5 (,5) 5 4 y Definição 9: O gráfico da função linear y a (a 0) é sempre uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano. Definição 0: O gráfico da função polinomial do o grau y a +b (a 0) intercepta o eio das ordenadas no ponto (0,b )... Determinação de uma função a partir do gráfico Nos eercícios abaio, determine a lei de formação da função f ( ) a +b. Eemplo: ) Determine a lei de formação da função f, cujo gráfico cartesiano é: 5 4 y

11 Sabendo-se que y a +b, do gráfico, temos que: e y a ( )+b a +b (i). e y a ()+b a +b (ii). (i) a + b (ii) a + b b Se b, então a +b a + a Logo: A função é f ( ) +. b ) Determine a lei de formação da função f, cujo gráfico cartesiano é: 5 4 y Sabendo-se que y a +b, do gráfico, temos que: e y a ()+b a +b (i). e y a ()+b a +b (ii). (i) a + b ( ) a b (ii) a + b a + b a a Se a, então +b b 4 Logo: A função é f ( ) Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do o grau Seja f a função polinomial do o grau definida por f ( ) a +b. Podemos determinar que: i) A função f é crescente se o coeficiente a >0; ii) A função f é decrescente se o coeficiente a <0. Eemplo: 0

12 Construir os gráficos das funções f e g do o grau a seguir: i) f ( ) + ii) g ( ) + 5 y 5 y i) Aumentando os valores atribuídos a, aumentam também os valores correspondentes da imagem f ( ). ii) Aumentando os valores atribuídos a, diminuem os valores correspondentes da imagem g ( ) Estudo do sinal da função polinomial do o grau Definição : Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de temos f ( )>0, f ( )<0 ou f ( ) Zero de uma função polinomial do o grau Definição : Denomina-se zero ou raiz da função f ( ) a +b o valor de que anula a função, isto é, torna f ( )0. Definição : Geometricamente, o zero da função polinomial do o grau f ( ) a +b, a 0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eio. Eemplo: Dada a lei de formação da função y 4, construir o gráfico e determinar os valores reais de para os quais: a) y 0; b) y >0 e c) y < y Podemos notar que a função é decrescente, pois a <0. O zero da função é: Logo, a reta intercepta o eio no ponto de abscissa. A solução do problema é: a) f ( )0 { R ; }; b) f ( )>0 { R ; < }; c) f ( )<0 { R ; > }.

13 ..5. Quadro de sinais da função polinomial do o grau f ( ) a +b, a 0 Zero da função: a +b 0 a b a >0 a <0 b a b a f( )<0 b a f( )>0 f( )>0 b a f( )<0 f ( ) 0 a b f ( ) 0 a b f ( )> 0 > a b f ( )> 0 < a b f ( )< 0 < a b f ( )< 0 > a b. Inequações do o grau Definição 4: Denomina-se inequação do o grau na variável toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: a +b 0; a +b >0; a +b 0; a +b <0. com a, b R e a 0. Eemplo: Verificar se 4( ) ( +) é uma inequação do o grau. 4( ) ( +) Logo, 4 é um polinômio do o grau, então 4( +) ( +) é uma inequação do o grau... - Resolução de inequações do o grau Definição 5: Para se resolver uma inequação do o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).

14 Eemplos: ) Resolver a inequação seguinte: 4( ) ( +). Represente a solução na reta real. 4( ) ( +) S{ R ; } ) Resolver a inequação seguinte: + 4 ( ) 4 ( ) + > Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum: > Simplificando: 0 +0> +4 0 > 0+4 > 6 Multiplicando por ( ): <6 6 < 6 S{ R ; < } > +. Represente a solução na reta real Sistemas de inequações do o grau Definição 6: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema. Eemplo: Resolver a inequação <. Apresente o conjunto solução S e represente na reta real. Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema: (i) < (i) > (ii) (ii) (i) (ii) S{ R ; < } (i) (ii)

15 .. - Inequação-produto e inequação-quociente Uma inequação do o grau do tipo pode ser epressa por um produto de inequações do o grau, fatorando o o membro da desigualdade: ( ) ( +4) 0. Definição 7: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais do o grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Eemplos: ) Resolver a inequação ( + ) ( +) 0. ( + ) ( +) 0 ( +) ( ) ( +) 0 f() + f() 0 a > 0 g() g() 0 a > 0 h() + h() 0 a < 0 f ( ) g( ) h( ) f( ) g( ) h( ) - S{ R ; ou } ) Resolver a inequação + 0. f() + f() 0 / a < 0 g() g() 0 a < 0 f ( ) g( ) f ( ) g( ) S{ R ; <} 4

16 ) Resolver a inequação ( + ) ( ) 0 f() + f() 0 a > 0 g() g() 0 a > 0 h() h() 0 a > 0 f ( ) g( ) h( ) f( ) g( ) h( ) - S{ R ; ou < } 4) Determine o domínio da função y ( + ) ( ) 5 f() + f() 0 a > 0 g() g() 0 a > 0 h() 5 h() 0 5 a > 0 f ( ) g( ) h( ) f( ) g( ) h( ) - 5 D{ R ; ou >5} 0 5

17 AULA 0 EXERCÍCIOS ) Dada a função f() 5, determine: a) f() b) o valor de para que f() 0 ) Em uma função polinomial do o grau, y f(), sabe-se que f() 4 e f(-) 0. Escreva a função f e calcule f ) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fia, no valor de R$900,00 e uma variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Epressar a lei da função que representa seu salário mensal b) Calcular o salário do vendedor que durante um mês ele vendeu R$ ,00 em produtos 4) Num determinado país, o gasto governamental com educação, por aluno em escola pública, foi de.000 dólares no ano de 985, e de.600 dólares em 99. Admitindo que o gráfico do gasto por aluno em função do tempo seja constituído de pontos de uma reta: a) Obtenha a lei que descreve o gasto por aluno (y) em função do tempo (), considerando 0 para o ano de 985, para o ano de 986, para o ano de 987 e assim por diante. b) Em que ano o gasto por aluno será o dobro do que era em 985? 5) Considere as funções f e g definidas em R por f() 8 e g() a) Ache as raízes das funções f e g b) Sabendo que os gráficos de f e g são retas concorrentes, calcule as coordenadas do ponto de intersecção. 6) Resolver a inequação 4 + ( ) 0 7) Determinar o conjunto verdade da inequação: 8) Resolver o sistema 4( ) + > < 0 9) João possui um terreno de 000m, no qual pretende construir uma casa. Ao engenheiro responsável pela planta, ele impõe as seguintes condições: a área destinada ao lazer (piscina, churrasqueira, etc) deve ter 00m, e a área interna da casa mais a área de lazer devem ultrapassar 50% da área total do terreno; além disso, o custo para construir a casa deverá ser de, no máimo, R$ ,00. Sabendo que o metro quadrado construído nessa região custa R$ 500,00, qual é a área interna da casa que o engenheiro poderá projetar? 0) Determinar o domínio da função y + Respostas: ) a) 8 b) /5 ) f() e f(-/) 7 ) a) y ,08 b) R$ 4900,00 4) a) y b) 05 5) a) 8 e 0 b) (, 6) 6) 7) S R 6 S R < S R 8) { } 9) entre 00m e 400m 0) D { R < } 6

18 AULA 0. - Função polinomial do o grau Definição 8: A função f : R R dada por f ( ) a +b + c, com a, b e c reais e a 0, denomina-se função polinomial do o grau ou função quadrática. Os números representados por a, b e c são os coeficientes da função. Note que se a 0 temos uma função do o grau ou uma função constante. Eemplo: Considere a função f do o formação dessa função e calcule f (5). Resolução Tome f ( ) a +b + c, com a 0. grau, em que f (0)5, f () e f ( ). Escreva a lei de f (0) 5 a (0) +b (0)+ c 5 c 5 c 5 f () a () +b ()+ c a +b i) f ( ) a ( ) +b ( )+ c a b 4 ii) Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii): (i) a + b (ii) a b 4 (i)+(ii) a 6 a b A lei de formação da função será f ( ) + +5 f (5) (5) +(5)+5 f (5) Gráfico de uma função quadrática O gráfico de uma função polinomial do o grau ou quadrática é uma curva aberta chamada parábola. Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função quadrática: (i) Concavidade (ii) Zeros ou raízes (iii) Vértice.. - Concavidade A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática f ( ) a +b + c do o grau depende do sinal do coeficiente a : 7

19 a >0: concavidade para CIMA a <0: concavidade para BAIXO [Fig.4]: Concavidade de uma função quadrática... - Zeros de uma função quadrática Definição 9: Os zeros ou raízes da função quadrática f ( ) a +b + c são as raízes da equação do o grau a +b + c 0, ou seja: Raízes: Considerando Δ b ± b 4ac. a b 4 ac, pode-se ocorrer três situações: i) Δ>0 as duas raízes são reais e diferentes: b + Δ a e b ii) Δ0 as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla):. a iii) Δ<0 não há raízes reais. b Δ a Obs.: Em uma equação do o grau a +b + c 0, a soma das raízes é S e o produto é P tal que: b c S + e P. a a. Definição 0: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do o grau são as abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eio Vértice da parábola Considere as parábolas abaio e observe o vértice V ( V, y V ) em cada uma: y Eio de simetria y V(, ) V y V V(, ) [Fig.5]: Vértice de parábolas (Δ>0 para as duas). V y V 8

20 Uma forma de se obter o vértice V ( V, y V ) é: V y V a +, já que o vértice encontra-se no eio de simetria da parábola; V +b V + c, já que o V foi obtido acima., Outra forma de se obter o vértice V ( V V b a e y V Δ. 4a y V ) é aplicando as fórmulas:..5 - Gráfico de uma parábola Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com mais facilidade o gráfico de uma função quadrática. Eemplos: ) Construir o gráfico da função y +, determinando sua imagem. a >0 concavidade voltada para cima. Zeros da função: Ponto onde a parábola corta o eio y : + 0 ( +)0 0 e. 0 y 0 (0,0) y 5 4 Vértice da parábola: V y V b a Δ 4 4a 4 V (, ) V Imagem: y para todo Real Im { y R ; y } ) Construir o gráfico da função y +4 5, determinando sua imagem. a <0 concavidade voltada para baio. Zeros da função: Δ 4. / zeros reais. Ponto onde a parábola corta o eio y : 0 y 5 (0, 5) y 5 4 Vértice da parábola: V y V b 4 a V (, ) Δ 4 4a V Imagem: y para todo Real Im { y R ; y } 9

21 ..6 - Estudo do sinal da função quadrática Os valores reais de que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaio. f ( ) a +b + c com ( a, b e c R e a 0) a >0 a <0 f ( )>0 para < ou > f ( )<0 para < ou > f ( )<0 para < < f ( )>0 para < < f ( )0 para ou f ( )0 para ou f ( )>0 para f ( )<0 para f ( )<0 / real f ( )>0 / real f ( )0 para f ( )0 para f ( )>0 real f ( )<0 / real f ( )0 / real f ( )<0 real f ( )>0 / real f ( )0 / real.4 - Inequações do o grau Definição : Denomina-se inequação do o grau na variável toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: a +b + c 0; a +b + c >0; a +b + c 0; a +b + c <0. com a, b, c R e a 0. 0

22 .4. - Resolução de inequações do o grau Definição : Para se resolver uma inequação do o grau, são utilizadas as propriedades das desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S). Eemplo: ) Resolver a inequação Resolução +>0. Estudar a variação do sinal da função f ( ) +. a >0 Concavidade para cima. +0 Δ>0 Duas raízes reais diferentes. ± S{ R ; < ou >}. Obs: somente valores positivos. ) Resolver a inequação Resolução Estudar a variação do sinal da função f ( ) a > Concavidade para cima. Δ0 Raiz dupla (única). 0 5 S R. Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero. ) Resolver a inequação Resolução Estudar a variação do sinal da função f ( ) a < Δ <0 Concavidade para baio. Não possui zeros reais. / real S. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero Sistemas de inequações do o grau Definição : O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.

23 Eemplo: ) Resolver o sistema de inequações < 0 Resolução (i) (ii) +5< Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( ) a > Δ4>0 Concavidade para cima. Duas raízes reais diferentes. 6 ± 4 S(i){ R ; 4 ou }. Reta real: Resolução de (ii): +5<0 < 5. S(ii){ R ; 5}. Reta real: Intersecção entre (i) e (ii) (i) (ii): (i) (ii) -5 (i) (ii) -5 S{ R ; 5}. ) Resolver a inequação 4< 4 +. Resolução (i) 4< <0 ( ) >0. (ii) Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( ). a >0 Concavidade para cima. 0 ( )0 Zeros{0,}. Δ>0 Duas raízes reais diferentes. ± 0 0 S(i){ R ; <0 ou >}. Reta real: 0

24 Resolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função g ( ) 6. a >0 Concavidade para cima. 60 Δ5>0 Duas raízes reais diferentes. ± 5 - S(ii){ R ; }. Reta real: Intersecção entre (i) e (ii) (i) (ii): (i) 0 - (ii) - (i) (ii) - 0 S{ R ; <0 ou < } Inequação-produto e inequação-quociente Definição 4: RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais. Eemplos: ) Resolver a inequação ( ) ( +4)>0. Resolução f() a > 0 Δ6 > 0 - e g() +4 a < 0 Δ5 > 0 f() 4 e g()

25 f ( ) g( ) f( ) g( ) -4 - S{ R ; 4< < ou < <}. ) Resolver a inequação Resolução f() 5 +6 a > 0 Δ > 0 e g() 6 a > 0 Δ64 > 0 4 e 4 f() g() f ( ) g( ) f ( ) g( ) -4 4 S{ R ; < 4 ou ou >4}. ) Determine o domínio da função f ( ) Resolução 0 6. f só representa um número real se f() 0 a > 0 Δ49 > 0 e 5 g() 6 a > 0 g() 0 6 f() g()

26 f ( ) g( ) f ( ) g( ) D { R ; 5 ou >6}. AULA 0 EXERCÍCIOS ) Considere a função f do 0 grau, onde f(0) 5, f() e f(-). Escreva a lei de formação dessa função e calcule f(5). ) Determine o valor de m para que a parábola que representa graficamente a função y + m passe pelo ponto (, 6) ) Determinar os zeros da função y 4 5 4) Seja a função f() + k. Sabendo que essa função possui dois zeros reais iguais, determine o valor real de k. 5) A função f() + k + 6 possui duas raízes reais, m e n, de modo que 5 + m n. Determine o valor de f(-) nessa função 6) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f() ) Determinar a e b de modo que o gráfico da função definida por y a + b 9 tenha o vértice no ponto (4, - 5) 8) Determinar o conjunto imagem da função f() + 9) A função f() 6 admite valor máimo ou valor mínimo? Qual é esse valor? 0) Considerar todos os possíveis retângulos que possuem perímetro igual a 80 cm. Dentre esses retângulos, determinar aquele que terá área máima. Qual será essa área? ) Determinar p de modo que a função f() p + (p ) + p assuma valores positivos para todo real. ) Resolver a inequação + 0 ) Determinar o conjunto solução da inequação ) Resolver a inequação 4 < ) Resolver a inequação < f(5) - 65 ) 4 ) 5 e - 4) / 5) 5 6) V, 0 0 7) a e b - 8 8) Im y R / y 4 9) O valor mínimo da função é y - 5/4 0) O retângulo que terá a maior área será o de lados 0 cm e 0cm, e a área máima será de 400 cm. ) p R / p > 4 S R, ou, ) { } ) S R 4) S { R < 0 ou < } 5) S { R < - ou -< <} Respostas ) f()

27 AULA 04 FUNÇÃO EXPONENCIAL. Revisão de Potenciação.. - Potências com epoente natural Sendo a um número real e n um número natural, com n, definimos: (Eq.4) (Eq.5) (Eq.6) n a a 4 a a 4 K a. n fatores Para n e n 0 são definidos: a a. 0 a ( a 0)... - Potências com epoente inteiro Se a é um número real não-nulo ( a 0) e n um número inteiro e positivo, definimos: (Eq.7) n a n. a.. - Potências com epoente racional Se a é um número real positivo e n m um número racional, com n inteiro positivo, definimos: (Eq.8) m n a n a m...4 -Potências com epoente real Podemos considerar que as potências com epoente real têm significado no conjunto dos números reais. Temos, por eemplo: 0 5, Propriedades Para as potências com epoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias: m n m n a a a +. m n m n a : a a ( a 0). m n m n ( a ) a. n a b) ( n n a b. n a b n a b n (b 0). 6

28 Eemplos ) Dê o resultado mais simples de ( ): 5. Resolução Usando as propriedades, temos: ( ): 5 ( ): : 5 5 ) Calcule o valor da epressão Resolução ) Simplifique. Resolução ( ) ) Calcule 8. Resolução 4 Primeira resolução: Segunda resolução: 8 ( ) ) Determine o valor de 8, 0 : 8,. Resolução 0 7 8, 0 : 8, 0, 7 0, , 4 0, 5 ( ) 9. 0) Qual o valor de 5 ( 0 ) :( 0, )? Resolução 5 ( 0 ) :( 0, ) 5 0 :(0 ) 5 0 : 0 0 ( 5) Equações eponenciais Definição 5: Chama-se equação eponencial toda equação que contém incógnita no epoente. Eemplo:

29 Resolução de equações eponenciais Para resolver uma equação eponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato: Definição 6: Se a >0, a e é a incógnita, a solução da equação Eemplos: ) Resolver a equação Resolução 4 5. a p a é p. Usando as propriedades das potências, vamos transformar o o e o membros da equação em potências de mesma base: 4 5 S 9. ( ) ) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um aumento anual de produção de 50%, pergunta-se: a) Qual a produção P dessa empresa t anos depois? b) Após quantos anos a produção anual da empresa será de unidades? Resolução 50 a) Obs: 50% 0,5 00 Um ano depois: , (+0,5)8000,5 Dois anos depois: (8000,5),58000 (, 5) Três anos depois: (8000 (, 5) ),58000 (, 5) t Produção P, t anos depois: P8000 (, 5) b) Fazendo P40500, na fórmula anterior, obtemos a equação: t (, 5) Resolvendo a equação: t (, 5) t (, 5). Obs:, t 8 6 t 4 4 t 4 t 4. Desse modo, a produção anual da empresa será de unidades após 4 anos. 8

30 ) Determine o conjunto solução da equação Resolução 0 Sabendo que 8, temos: S{ }. 8 + no universo dos números reais... - Resolução de equações eponenciais com o uso de artifícios Para se resolver determinadas equações eponenciais, são necessárias algumas transformações e artifícios. Eemplos: ) Resolver a equação Resolução Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada: ( ) ( ) Fazendo y, temos a equação do o grau em y : 5 ± 5 6 y 5 y +40 y y 4 e y. Voltando à igualdade y : y 4: y 4. y : y 0 0. S{0,}. ) Determine o conjunto solução da equação Resolução Preparando a equação, temos: Fazendo 5 y, temos: 5 y 5 y 4 y 54 y y 4 y 50 y y Voltando à igualdade 5 y : y 5: 5 y y : 5 y S{} Esta equação não tem raiz em R, pois. - Função eponencial 5 >0, para todo real. Definição 7: A função f : R R dada por f ( ) a (com a >0 e a ) é denominada função eponencial de base a. 9

31 .. - Gráfico da função eponencial no plano cartesiano Dada a função f : R R, definida por f ( ) a (com a >0 e a ), temos dois casos para traçar seu gráfico: (i) a > e (ii) 0< a <. (i) a >. ) Traçar o gráfico de f ( ). f ( ) y OBS.: Quanto maior o epoente, maior é a potência crescente. (ii) 0< a <. a, ou seja, se a > a função f ( ) a é ) Traçar o gráfico de f ( ). f ( ) y

32 Obs.: Quanto maior o epoente, menor é a potência f ( ) a é decrescente. Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações: a, ou seja, se 0< a < a função.. - Características da função eponencial Seja f : R R, definida por f ( ) a (com a >0 e a ). Domínio da função f são todos os números reais D R. Imagem da função f são os números reais positivos Im R +. A curva da função passa pelo ponto (0,). A função é crescente para a base a >. A função é decrescente para a base 0< a <..4 - Inequações eponenciais Definição 8: São inequações eponenciais aquelas que aparecem incógnitas no epoente Resolução de inequações eponenciais Para resolver inequações eponenciais, devemos observar dois passos importantes: ) Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; ) Verificar a base da eponencial, a > ou 0< a <, aplicando as propriedades abaio. Caso (i): a > Caso (ii): 0< a < m a > a n m > n As desigualdades têm mesmo sentido Eemplos: ) Resolva a inequação >. Resolução 5 Como, a inequação pode ser escrita: > 5 Caso (i): a >. >5. S{ R ; >5}. m a > a n m < n As desigualdades têm sentidos diferentes ) Resolva a inequação + ( ). Resolução + ( ) + 0 ( ) ( ) Caso (i): a >. + 0 Tome f ( ) + f ( ) S{ R ; / ou 0}.

33 ) Resolva a inequação + < 7 Resolução + 7 < Caso (ii): 0< a <. +> 7 > 0 ( ) <0. S{ R ; <0}.. AULA 04 EXERCÍCIOS ) Uma cultura inicial de 00 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora. a) Qual a população dessa cultura após horas do instante inicial? b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 5.00 bactérias? ) Resolva as equações: a) b) ) Determine o conjunto solução das seguintes equações: a) b) c) 4 5 4) Se f() + e g(), determine para que f(g()). 5) Cada golpe de uma bomba etrai 0% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de m e, inicialmente, esta cheio. a) Após o 5 o golpe, qual o valor mais próimo para o volume de óleo que permanece no tanque? b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n golpes? 6) Resolva as inequações: a) ( 5) ( 5) b) < C) X + 0,75 + < 7) Determine o domínio da função y Respostas: ) a) 800 bactérias b) 9 horas ) a) / b) 4 ) a) {0, } b) {, } c) {, } 4) 0 5) a) 0,59m b) f(n). (0,9) n 6) a) { R /, ou, 4} b) { R / > } c) { R / < 0} 7) { / } R

34 AULA 05 4 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 4. Definição de Logaritmo Definição 9: Dados dois números reais positivos, a e b, com a, eiste um único número real de modo que a b. Este número é chamado de logaritmo de b na base a e indica-se log a b. Podemos então, escrever: (Eq.9) a b log a b ( a >0 e b >0). Na igualdade log b, temos: a é a base do logaritmo; b é o logaritmando ou antilogaritmo; é o logaritmo. a Eemplos: Calcular o valor de nos eercícios seguintes: ) log. ) log ) log ) log ) log OBS. : base é 0. log b significa log b 0. Quando não se indica a base, fica subentendido que a 4. - Conseqüências da definição Tome a >0, b >0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se verificar que:

35 ) O logaritmo de em qualquer base é igual a zero. 0 log a 0, pois a. ) O logaritmo da própria base é igual a. log a a, pois a a. ) O logaritmo de uma potência da base é igual ao epoente. log m a a m, pois m a a m. 4) O logaritmo de b na base a é o epoente ao qual devemos elevar a para obter b. a b a log b, pois a b log b Propriedades dos logaritmos ) Logaritmo de produto loga ( y) log a + log a y ( a >0, >0 e y >0). ) Logaritmo de quociente log a loga log a y ( a >0, >0 e y >0). y ) Logaritmo de potência log m a m log a ( a >0, >0 e m R ) Cologaritmo a Cologaritmo de um número positivo b numa base a ( a >0) é o logaritmo do inverso desse número b na base a. (Eq.0) Eemplo: colog a b log a colog a b log a b ( a >0 e b >0). b Sabendo que log a e log 5b, calcule os logaritmos abaio, em função de a e b. a) log 5 log 5 log ( 5) log + log 5 a +b. b) log 675 log 675 log ( 5 ) log + log 5 log +log 5 a +b. c) log log log 0 5 log 0 log 5 b Mudança de base As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única base. A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base. 4

36 Seja: log a b a b. Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos: log c a log c b log log c a log c b log Então: log log a b log b a (Eq.) c ( a >0, c >0 e b >0). c Eemplos: ) Sendo log 0, e log 0,4, calcule log 6. log 6 c c b a, mas log a b. log 6 log( ) log + log 0, + 0, 4 0, 7 7. log log log 0, 0, ) Resolva a equação log + log 4 + log 6 7. A condição de eistência é >0. Transformando para a base : log + log 4 + log 6 7 log log log log 4 log6 log log + log log + log + log log 8 log satisfaz a condição de eistência. Logo, o conjunto solução é: S{6}. ) Resolva a equação log ( +)+ log ( )5. Condições de eistência são: +>0 e >0 > e >. Então: >. log ( +)+ log ( )5 log [( +) ( )]5 ( +) ( ) ±6 6 não satisfaz a condição de eistência mas, 6 satisfaz. Logo, o conjunto solução é: S{6}. 5

37 4.6 - Função logarítmica A função eponencial g : R R + definida por g ( ) a (com a >0) é bijetora. Nesse caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaio. Definição 0: A função f : logarítmica de base a. + R R definida por f ( ) log (com a >0) é chamada função Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico da função eponencial. Seja f : R+ R, tal que y log a e f : R R +, tal que y a. Os gráficos de f e f serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal. (i) a > y a y y log a y a Gráfico da função logarítmica e eponencial ( a >). (ii) 0< a <. y a y y y log a Gráfico da função logarítmica e eponencial (0< a <). 6

38 4.7 - Inequações logarítmicas Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Eemplos: ) Resolva a inequação log ( ) log 4. Condição de eistência: >0 > (i). Base: (0< a <). Como a base é um número entre 0 e, a função logarítmica é decrescente e o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos. 4 (ii). A solução da inequação deve satisfazer as duas condições: (i) (ii) 7 S{ R ; < 7}. (i) (ii) 7 ) Resolva a inequação log 4 ( ) log 4 ( +0). a Condição de eistência: >0 <0 ou > (i). a Condição de eistência: +0>0 > 5 (ii). Base: ( a >) ou 5 (iii). A solução da inequação deve satisfazer as três condições: (i) 0 (ii) -5 (iii) - (i) (ii) (iii) -5-0 S{ R ; 5< ou 5}. 5 7

39 ) Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 0% ao ano. Depois de quanto tempo, aproimadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use log0 0,) p p 0 ( 0,) t p p 0 (0,8) t p p 0 p 0 Procura-se p, logo: 8 0 t t t p 0 8 p 0 ( p0 0) 0 t t 0 0 Aplicando log 0 em ambos os membros, temos: log 0 t log 0 ( t log 0 ( t 0 ) t log 0 0 ) log 0 t t log0 + log0 0 log0 t log0 t log0 0 0,t 0, t 0,0,9t t 0, 0,t t O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de anos AULA 05 EXERCÍCIOS ) Resolva as seguintes equações: a) log ( 4) b) log ( ) c) (log ) log 6 0 d) log 5 (log ) ) Sabendo que log 0,0 e log 0,477, calcule: a) log 6 b) log 5 c) log,5 d) log ) Qual o conjunto solução da equação a) log ( ) log ( ) 4 + b) + log log0 00 a) log (5 ) > log 4 b) log ( 4) > c) log ( ) + log ( ) Respostas: ) a) b) ½ c) {/9, 7} d) 4 ) a) 0,778 b) 0,699 c) 0,98 d) 0,85 ) a) b) 00 4) { R / <, ou, > 4, e, 5} 5) a) S { R / > } b) S { R / > 6} c) S R / 5} { < 4) Determine o campo de eistência da função ( ) log ( ) log ( 0 5) f + 5) Resolva as inequações: 8

40 AULA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 5. - Seno e cosseno de um arco: Tome o arco α dado na figura abaio: N O P α M A [Fig.5] Arco α para o conceito de seno e cosseno. Seno de um arco é a ordenada do ponto P. (Eq.) sen αon MP. Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P. (Eq.) cos αom NP. 5.. Conseqüências: Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que nem maiores que +. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre e +, o que nos permite concluir: (Eq.4) sen α e cos α Função seno e função cosseno Função seno é a função que associa a cada arco R o número sen R, ou y sen. Função cosseno é a função que associa a cada arco R o número cos R, ou y cos Gráfico das funções seno e cosseno Para estudar a função seno ( y sen ) e a função cosseno ( y cos ) vamos variar no intervalo [0,π] Função seno: y sen y O A O π π π π 6 4 π π π [Fig.6]Gráfico da função seno. 9

41 Conclusões O domínio da função y sen é o conjunto dos números reais, isto é, D R. A imagem da função y sen é o intervalo [,+], isto é, sen +. Toda vez que somamos π a um determinado valor de, a função seno assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y sen é p π. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arco. Quando adicionamos k π ao arco, obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a função seno é periódica de período π. (Eq.5) sen sen ( + k π), k Z (Inteiros) Seno é função ímpar No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números e têm imagens simétricas em relação ao eio das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen ( ) sen. Quando uma função f é tal que f ( ) f ( ), para todo do seu domínio, dizemos que f é uma função ímpar. Como sen ( ) sen, para todo real, podemos afirmar que a função seno é ímpar Função cosseno y cos y O A O π π π π 6 4 π π π [Fig. ]: Gráfico da função cosseno Conclusões O domínio da função y cos é o conjunto dos números reais, isto é, D R. A imagem da função y cos é o intervalo [,+], isto é, cos +. O período da função y cos é p π. Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o arco. Quando adicionamos k π ao arco, obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a função cosseno é periódica de período π. (Eq.6) cos cos ( + k π), k Z (Inteiros) Cosseno é função par No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números e têm imagens simétricas em relação ao eio das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa. Então, cos ( )cos. 40

42 Quando uma função f é tal que f ( ) f ( ), para todo do seu domínio, dizemos que f é uma função par. Eemplos: Como cos ( )cos, para todo real, podemos afirmar que a função cosseno é par. ) Construa o gráfico da função y sen, dando o domínio, a imagem e o período. sen sen y π π π ( ) y O π π π π π Observando o gráfico, temos: D R, Im [,], e p π. ) Construa o gráfico da função y cos, dando o domínio, a imagem e o período. cos y 0 0 π π 0 0 π π π π 0 0 π 4π Observando o gráfico, temos: D R, Im [,], e p 4π. y O π π π 4π 5. - Tangente de um arco Tome o arco α dado na figura abaio: eio das tangentes N O α P M T A [Fig. ]: Arco α para o conceito de tangente. 4

43 Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT). (Eq.7) tan α AT Conseqüências O eio vertical, suporte de AT, é chamado eio das tangentes. π Podemos dizer que tan α só é definida se α R e α + k π ( k Z ) Função tangente π Função tangente é a função que associa a cada arco R, com + k π (k Z ), o número tan R, ou y tan Gráfico da função tangente Para estudar a função tangente ( y tan ) vamos variar no intervalo [0,π]. y,7 0,58 O A O π π π π 6 4 π π 0,58,7 π [Fig. 4]: Gráfico da função tangente Conclusões O domínio da função y tan é o conjunto dos números reais R, com π + k π (k Z ), isto é, D { R / π + k π, k Z }. A imagem da função y tan é o conjunto dos números reais. Toda vez que somamos k π a um determinado valor de, a função tangente assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y tan é p π. (Eq.8) tan ( + k π) tan, k Z Tangente é uma função ímpar Como tan ( ) tan, para todo real, com π + k π (k Z ), podemos afirmar que a função tangente é ímpar. 4

44 5. - Cotangente de um arco Tome o arco α dado na figura abaio: N O B α P M A C eio das cotangentes [Fig. 5]: Arco α para o conceito de cotangente. Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC). (Eq.9) cot α BC Conseqüências O eio horizontal, suporte de BC, é chamado eio das cotangentes. Podemos dizer que cot α só é definida se α R e α k π ( k Z ) Função cotangente Função cotangente é a função que associa a cada arco R, com k π (k Z ), o número cot R, ou y cot Gráfico da função cotangente Para estudar a função cotangente ( y cot ) vamos variar no intervalo [0,π].,7 0,58 y O A O π π π 6 4 π π π π 0,58,7 [Fig. 6]: Gráfico da função cotangente Conclusões O domínio da função y cot é o conjunto dos números reais R, com k π (k Z ), isto é, D { R / k π, k Z }. A imagem da função y cot é o conjunto dos números reais. Toda vez que somamos k π a um determinado valor de, a função cotangente assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y cot é p π. cot ( + k π)cot, k Z. 4

45 Cotangente é uma função ímpar Como cot ( ) cot, para todo real, com k π (k Z ), podemos afirmar que a função cotangente é ímpar Secante e cossecante de um arco Tome o arco α dado na figura abaio: D N O α P M A S [Fig. 7]: Arco α para o conceito de secante e cossecante. Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eio das abscissas no ponto S e o eio das ordenadas no ponto D. (Eq.0) sec αos. (Eq.) cossec αod Função secante e cossecante Função secante é a função que associa a cada arco R, com π + k π (k Z ), o número sec R, ou y sec Função cossecante é a função que associa a cada arco R, com k π (k Z ), o número cossec R, ou y cossec Gráfico da função secante Para estudar a função secante ( y sec ) vamos variar no intervalo [0,π].,4,5 y O A O π π 4 π 6 π π π π,5,4 [Fig. 8]: Gráfico da função secante. 44

46 Conclusões O domínio da função y sec é o conjunto dos números reais R, com π + k π (k Z ), isto é, D { R / π + k π, k Z }. A imagem da função y sec é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a ou menores ou iguais a, isto é, Im { y R / y ou y }. Toda vez que somamos k π a um determinado valor de, a função secante assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y sec é p π. (Eq.) sec ( + k π)sec, k Z Gráfico da função cossecante Para estudar a função cossecante ( y cossec,4,5 y ) vamos variar no intervalo [0,π]. O A O π π π π 6 4 π π π,5,4 [Fig. 9]: Gráfico da função cossecante Conclusões O domínio da função y cossec é o conjunto dos números reais R, com k π (k Z ), isto é, D { R / k π, k Z }. A imagem da função y cossec é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a ou menores ou iguais a, isto é, Im { y R / y ou y }. Toda vez que somamos k π a um determinado valor de, a função cossecante assume o mesmo valor. Como π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y cossec é p π. (Eq.) cos sec ( + k π) cossec, k Z Relações trigonométricas Será feito o estudo das relações que eistem entre as funções trigonométricas, pois elas têm muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como base o ciclo trigonométrico e um ângulo α dado. 45

47 D eio das tangentes B N O α P T MA S C eio das cotangentes [Fig. 0]: Funções trigonométricas no ciclo. Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo α: sen αon ; cos αom ; tan α AT ; cot α BC ; sec αos e cossec αod. Analisando as funções no ciclo e fiando inicialmente o ângulo α, podemos fazer as seguintes mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas: O unidade cossecα secα BD F senα tanα α A C E cosα cotα [Fig. ]: Funções adaptadas no ciclo. Com as novas adaptações, temos as seguintes funções: sen α AB ; cos αoa ; tan αcd ; cot αoe ; sec αod e Daí tiram-se três triângulos semelhantes: cossec αof. ΔOAB ΔOCD ΔOEF. O α cosα B A senα O D α tanα C O secα α cossecα cotα [Fig. ]: Triângulos semelhantes. F E Usando o teorema de Pitágoras sen α+cos α; tan α+sec α; cot α+ cossec α Usando semelhança entre triângulos 46

48 Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os triângulos: secα Razões do triângulo para : sec α ; cosα cosα tan α senα sen α tan α. cosα cosα cossecα Razões do triângulo para : cossec α ; senα senα cotα cosα cosα cot α. senα senα cossecα secα secα Razões do triângulo para : cossec α ; tanα tanα cotα cot α. tanα tanα Eemplos: Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os eercícios que seguem abaio: ) Determine as razões que se pede abaio, do triângulo para. tan α sen α ; secα cos α. secα ) Determine as razões que se pede abaio, do triângulo para. sen α cos α cossecα cotα cossecα ;. ) Determine as razões que se pede abaio, do triângulo para. cossecα sec α ; cot α tan α. cotα Identidades trigonométricas A igualdade sen α+cos α é verdadeira para qualquer α pertencente aos domínios das funções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica. Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá-la como identidade após uma prova, ou seja, após uma demonstração. Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações dadas acima, que são identidades. 47

49 Processo para demonstrar identidades Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razão equivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a uma mesma epressão. Eemplos: Nos eercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades: ) tan α sen α tan α sen α O α cosα Levar do triângulo para : B senα A O D α tanα C O secα α cossecα cotα tan α sen α tan α sen α sen α sen α sen α sen α cos α cos α 4 sen α sen α sen αcos α cos α cos α 4 sen α sen α(sen α) cos α cos α 4 4 sen α sen α C.Q.D. (como queríamos demonstrar). cos α cos α F E ) (+cot α) +( cot α) cossec α O α cosα B senα A O D α tanα C O secα α cossecα cotα F E Todas as funções já se encontram no triângulo, basta desenvolver: (+cot α) +( cot α) cossec α (+cot α) +( cot α) cossec α +cot α+cot α+ cot α+cot α cossec α +cot α cossec α (+cot α) cossec α cossec α cossec α C.Q.D. ) sec α+ cossec αsec α cossec α O α cosα B senα A O D α tanα C O secα α cossecα cotα F E 48

50 Levar do triângulo para : sec α+ cossec αsec α cossec sec α sec α sec α+ sec α tan α tan α 4 sec αtan α + sec α sec α tan α tan α 4 sec α (tan α + ) sec α tan α tan α 4 sec α (sec α) sec α tan α tan α 4 4 sec α sec α C.Q.D. tan α tan α α 4) senα cosα cossecα secα O α cosα B senα A O D α tanα C O secα α cossecα cotα F E Levar dos triângulos e para : senα cosα cossecα secα senα cosα senα cosα sen α cos α sen αsen α C.Q.D. 5) cossecα senα cot α secα cosα O α cosα B senα A O D α tanα C O secα α cossecα cotα F E 49

51 Levar dos triângulos e para : cossecα senα cot α secα cosα cossecα cossecα cot α cossecα cotα cotα cossecα cossec α cossecα cot α Obs: cossec α cot α cossec α cot α cotαcossecα cot α cotαcossecα cot α cossecα cossec α cot α cot αcossecα cot α cossecα + cot α cot α cot α + 0 cot α cot αcot α C.Q.D. AULA 06 - EXERCÍCIOS ) Dado sen /4, com 0<< π /, calcular cos. ) Para que valores de a temos, simultaneamente, sena + e cos a? π ) Dado cos, com < < π, calcule tg. tgα + cot gα 4) Simplifique a epressão. secα cot gα 5) Demonstre as seguintes identidades: a) ( + cotg )( cos ) b) tg + cotg tg. Cossec sen cos c) tg + cos + cos Respostas: 7 ) cos 4 ) a 0 ou a - ) tg 4) sec α 50