A evolução do caderno. matemática. 9 o ano ENSINO FUNDAMENTAL

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1 A evolução do caderno matemática 9 o ano ENSINO FUNDAMENTAL a edição são paulo 01

2 Coleção Caderno do Futuro Matemática IBEP, 01 Diretor superintendente Jorge Yunes Gerente editorial Célia de Assis Editor Mizue Jyo Assistente editorial Edson Rodrigues Revisão André Odashima Maria Inez de Souza Coordenadora de arte Karina Monteiro Assistente de arte Marilia Vilela Nane Carvalho Carla Almeida Freire Coordenadora de iconografia Maria do Céu Pires Passuello Assistente de iconografia Adriana Neves Wilson de Castilho Produção gráfica José Antônio Ferraz Assistente de produção gráfica Eliane M. M. Ferreira Projeto gráfico Departamento de Arte Ibep Capa Departamento de Arte Ibep Editoração eletrônica N-Publicações CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ S58m. ed Silva, Jorge Daniel Matemática, 9º ano / Jorge Daniel da Silva, Valter dos Santos Fernandes, Orlando Donisete Mabelini. -. ed. - São Paulo : IBEP, 01. il. ; 8 cm (Caderno do futuro) ISBN (aluno) (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) - Estudo e ensino. I. Fernandes, Valter dos Santos. II. Mabelini, Orlando Donisete. III. Título. IV. Série CDD: 7.7 CDU: : a edição São Paulo 01 Todos os direitos reservados. Av. Aleandre Mackenzie, 619 Jaguaré São Paulo SP Brasil Tel.: (11) editoras@ibep-nacional.com.br

3 sumário Noções básicas de astronomia capítulo 1 radiciação Noções básicas de astronomia capítulo 6 FuNções 1. Raiz enésima de um número real...4. Simplificação de radicais...7. Como inserir um fator em um radical Como reduzir radicais ao mesmo índice Radicais semelhantes...9 Noções básicas de astronomia capítulo operações com radicais 1. Adição e subtração de radicais Multiplicação e divisão de radicais...1. Potenciação de radicais Radiciação de radicais Racionalização de denominadores Etração da raiz quadrada...18 Noções básicas de astronomia capítulo equações do º grau 1. Equações do º grau incompletas...0. Resolução de equações do º grau incompletas em R...1. Resolução de equações do º grau completas em R Discussão quanto às raízes de uma equação do º grau Como determinar os coeficientes de uma equação do º grau Relações entre coeficientes e raízes de uma equação do º grau Formando uma equação do º grau a partir de suas raízes Raízes simétricas...8 Noções capítulo básicas 4 de equações astronomia biquadradas e equações irracionais 1. Equações biquadradas...9. Equações irracionais...41 Noções básicas de astronomia capítulo 5 sistemas de equações 1. Produto cartesiano Relação binária Função Valor numérico de uma função polinomial de R em R Função polinomial do 1º grau Função quadrática...55 Noções básicas de astronomia capítulo 7 inequações do º grau Resoluções de inequações do º grau...59 Noções básicas de astronomia capítulo 8 semelhança de triângulos 1. Razão entre segmentos...6. Teorema de Tales...6. Triângulos semelhantes...66 Noções básicas de astronomia capítulo 9 triângulo retângulo 1. Relações métricas no triângulo retângulo Aplicações do teorema de Pitágoras Relações trigonométricas no triângulo retângulo...81 Noções capítulo básicas 10 de astronomia relações métricas em um triângulo qualquer 1. Relações métricas Classificação de um triângulo quanto aos ângulos...87 Noções capítulo básicas 11 de astronomia circunferência e polígonos regulares 1. Relações métricas na circunferência Relações métricas nos polígonos regulares Áreas de figuras geométricas planas Solução de um sistema de equações...44

4 capítulo 1 radiciação 1. raiz enésima de um número real Sendo a e b números reais e n natural e diferente de zero, define-se: n a = b b n = a n a = b Lê-se: raiz enésima de a é igual a b. Eemplo: 7 =, pois = = 7 índice radicando radical 7 = raiz Se a = 0, então b = 0, pois 0 n = 0. Se a < 0, então n a será real se n for um número ímpar. 1. Observe o eemplo. 16 = 4 4 = 16. A raiz quadrada de 16 é igual a 4; o que equivale a 4 elevado ao quadrado ser igual a 16. Escreva, por etenso, as seguintes equivalências: a) 49 = 7 7 = 49 A raiz quadrada de 49 é igual a 7; o que equivale a 7 elevado ao quadrado ser igual a 49. b) = 10 = 104 A raiz décima de 104 é igual a ; o que equivale a elevado à décima potência ser igual a 104. c) 4 81 = 4 = 81 A raiz quarta de 81 é igual a ; o que equivale a elevado à quarta potência ser igual a 81. Eemplo: O tabuleiro de adrez é um quadrado dividido em 64 casas. d) 5 = ( )5 = A raiz quinta de é igual a ; o que equivale a elevado à quinta potência ser igual a.. Dê o índice, o radical, o radicando e a raiz em cada item, conforme o eemplo. Para encontrar o número de casas de cada lado, basta calcular a raiz quadrada de 64. Portanto: 64 = 8 8 = = índice: radical: 7 radicando: 7 raiz: a) 49 = 7 índice: radical: 49 radicando: 49 raiz: 7 4

5 b) 4 16 = índice: 4 radical: 4 16 radicando: 16 raiz: e) 9 R f) 6 R c) 5 = 5 índice: radical: 5 radicando: 5 raiz: 5 g) 4 16 R h) 7 R. Complete as equivalências. a) 64 = 4 4 = 64 b) 5 = 5 5 = 5 c) 16 = 4 4 = 16 i) j) 5 4 R R A raiz enésima de um número real positivo a elevado à potência n é igual ao próprio número a. n a n = a d) 7 = ( ) = 7 e) 1 = 1 1 = 1 5. Complete as sentenças. a) = f) 0 = 0 0 = 0 b) 5 = 5 g) 81 = 9 9 = 81 c) a = a h) 6 = 6 6 = 6 d) 5 5 = 4. Complete as sentenças com os símbolos e) 7 = 7 (pertence) ou (não pertence). a) 16 R f) = 17 b) 9 R c) 16 R d) 1 R g) 1 = 1 h) 5 = 5 i) 8 8 (5a) = 5a 5

6 j) 8 8 = Raiz enésima de um produto k) p a p = a l) b = b Multiplicando ou dividindo o índice do radical e o epoente do radicando por um mesmo número positivo e diferente de zero, o radical não se altera. 6. De acordo com o eemplo, divida o índice e o epoente pelo mdc (máimo divisor comum) entre eles para estes radicais. 6 a 4 = 6 : a 4 : = a A raiz enésima do produto de dois ou mais números reais positivos é igual ao produto das raízes enésimas desses fatores. Eemplo: a = a 7. Observe o eemplo e complete. 5 a = 5 5 a a) 5 7 = 5 7 b) a b c = a b c a) 6 a 9 = 6: a 9: = a = a b) 15 a 5 = 15:5 a 5:5 = a c) 14 7 = 14:7 7:7 = = d) 86 = : 8 6: = 8 1 = 8 e) 518 = : 5 18: = = 5 9 c) 10 a = 10 a d) 8ab = 8 a b e) 5 9 = f) 5a b 5 = 5 a b 5 g) 8a7 b 5 = 8 a 7 b 5 6

7 Raiz enésima de um quociente A raiz enésima de um quociente corresponde ao quociente das raízes enésimas do dividendo e do divisor. Eemplo: n a b = n a n b, com b 0 8. Observe o eemplo e complete. a b = a b. Simplificação de radicais Eemplos: 10 4 = 10 4 = = = 5 8 = = 4 a 4 b = 4 a 4 4 b = a 4 b 5a 6 b 8 c = 5 a 6 b 8 c = = 5a b 4 c a b = a b = a b 9. Simplifique os radicais. a) 7 5 = 7 5 b) 7 = 7 c) 5 = 5 5 d) 8 4 = e) = a) 8 6 = 8: 6: = 4 b) 15 a 10 = 15:5 a 10:5 = a c) 4 b 8 = 4:4 b 8:4 = 1 b = b d) 16 = 4 = : 4: = 1 = e) 64 = 6 = : 6: = 1 = f) = f) 7 = = : : = 1 = g) 7 4 = g) 5 = 5 = 5 = 5 h) 8a 6 = 8 a 6 = a = a 7

8 i) 64 4 y 8 = 64 4 y 8 = 6 y 4 = y Analise as sentenças e escreva nos j) = = 4 4 = parênteses V para verdadeiro ou F para falso. a) a 4 = a a = a a V k) 5a b 4 = 5 a b 4 = 5 a b = 5ab b) = 5 = 4 F l) 1 = = c) 8 = = = V m) 75 = 5 = 5 = 5 = 5 d) a 7 = a a a = a a a F e) 5 9 = V n) 18 = = = = f) 1000 = 10 = = V o) 50 = 5 = 5 = 5 = 5 p) 1 = 1 = = = q) 48a = 48 a = 4 a = = 4 a = a = 4 a. como inserir um fator em um radical Eemplos: a) a 7 b = a 7 b = a 1 b b) 5 y = 5 5 y c) a 5 = a 5 = 9 a 5 = 45a r) 9 = 9 = = 11. Desenvolva as multiplicações, colocando os fatores nos radicais. a) 5 y = 5 15 y s) 5a 6 5 a6 5 = a6 = = 5 a = 5a b) a 7 b = 7 a 7 b t) 49a 16 = 49 a 16 = 49 a 4 = 7 a = 7a 4 c) m a = m a d) = = 9 = 18 8

9 e) 5 = 5 = 4 5 = 0 f) a 7 = a 7 = 9 a 7 = 6 a g) 5 = = 5 5 = c) 8 a ; 1 b 5 4 a 9 ; 4 b 10 d) 5 ; ; e) ; ; ; 1 8 ; 1 h) 8 = 8 = 64 = 19 f) 6 5 ; ; ; 6 ; i) 4 = 4 = 16 = 48 j) 5 = 5 = 8 5 = 40 g) a ; a ; 4 a 1 a 6 ; 1 a 4 ; 1 a h) 5 7 ; 10 5 ; 5 ; ; 0 10 ; ; 0 5 k) 4 = 4 4 = 4 5 l) y y = y y = y 4 m) a a = a a = a n) ab ab = a b a b = a b 4. como reduzir radicais ao mesmo índice Vamos escrever os seguintes radicais com o mesmo índice. ; 5 4 ; 7 Sendo mmc (, 4, ) = 1, fazemos: ; 5 4 ; ; ; Reduza os radicais ao mesmo índice. a) ; 5 6 ; 6 5 b) a ; a ; 4 1 a 6 1 a 8 ; 1 5. radicais semelhantes Dois ou mais radicais são semelhantes quando têm o memso índice e o mesmo radicando. 1. Escreva nos parênteses S para radicais semelhantes ou N para radicais não- -semelhantes. a) 8 ; ; S b) 5 ; 4 5 ; 5 N c) ; ; 8 S d) a b ; 5 b ; b S e) 54 7 ; 5 7 ; 5 7 N f) a ; b ; c N 9

10 g) 5 ; N h) ; 8 ; S i) 7 ; 9 ; S j) 8 5 ; 8 5 N k) a ; a N l) 5 ; 5 N m) 10 ; 17 S n) 7 ; 7 7 ; 8 7 S 14. Simplifique os radicais. a) 8 = 4 b) a6 b 10 = a b 5 c) 88 = 4 d) 81 6 y 10 = 9 y 5 e) 100 = 10 f) 9 = 4 g) 4 = h) 8 6 = 15. Desenvolva as multiplicações, colocando os fatores dentro dos radicais. a) 18 = 18 = 16 b) ab 5 = 5a b c) 5a = 5 a = 50a d) = = 1000 e) 7 = (7 ) = 14 f) = = g) m7 a = a m ( 7 ) = am 1 h) a 4a = 4a (a) = 16a 16. Ligue os radicais semelhantes 5 conforme o eemplo a Reduza os radicais ao mesmo índice. a) ; 5 ; ; ; 1 b) 5 ; 7 ; 4 ; 0 4 ; ; 0 5 c) a ; 7 a 14 a 7 ; 14 a 6 d) ; 10 a 7 ; ; 0 a 1 ;

11 Capítulo operações Com radicais 1. adição e subtração de radicais i) = ( 1 1) 7 = 1 7 j) 8 a 9 a + 10 a = ( ) a = 9 a Com radicais semelhantes Na adição e subtração de radicais semelhantes operamos os coeficientes e conservamos os radicais. Eemplo: = ( ) = 9 k) a a a + a = (1 1 + ) a = 0 l) = ( ) 7 = Resolva as operações. a) = (7 + 8) 7 = 15 7 b) = (10 + 5) = 15 c) = (10 7) 5 = 5 d) 7 1 = (7 1) 1 = 5 Com radicais não semelhantes Quando os radicais não são semelhantes, devemos simplificá-los e reduzi-los a termos semelhantes e indicar a soma dos não semelhantes. Eemplo: = = + 5 = = + 5 = + 15 = 17. Simplifique e reduza os termos e) = (8 1) 5 = 7 5 semelhantes conforme o eemplo. f) a 4 a + a = ( 4 + ) a = a = + 4 = = + = + 4 = 6 g) = ( ) 7 5 = a) = = + = + = = + = 5 h) 10 8 = (1 10 8) = 17 11

12 b) = = = = = = = 1 h) a + 18a = = a + 18 a = = a + a = a + a = = a + a = 6a c) = = = = = = 7 5 i) = = = = = = + + = = = 14 d) = = = = = = = 16 j) = = = = + 14 e) 4a + 9 a 64a 9a = = 4 a + 9 a 64 a 9 a = = a + 9 a 8 a a = = a + 9 a 8 a a = 0 k) = = = = = = = = = = 11 + f) = = = = = = = + 50 = 51 l) 5 + 4a a = = 5 + a a = 5 + a a = = a + a = 1 + a g) = = = = = = = = = 4 m) 49m 100n + 16m 64n = = 7 m 10 n + 4 m 8 n = = 7 m 10 n + 4 m 8 n = = 7 m + 4 m 10 n 8 n = = 11 m 18 n 1

13 . multiplicação e divisão de radicais Com radicais de mesmo índice Conservamos o índice comum e multiplicamos ou dividimos os radicandos. Com radicais de índices diferentes Neste caso é necessário reduzi-los ao mesmo índice para depois se efetuar a multiplicação ou a divisão. Eemplo: 4 = = 1 4 = = = 1 4. Efetue as operações. a) = 6 4. Efetue as operações. a) = 6 6 = 6 = = 6 7 b) 5 = 10 b) a 7 a = 14 a 7 14 a 6 = 14 a 7 a 6 = 14 a 1 c) 5 = 0 c) 5 b 10 b = 10 b 6 10 b = 10 b 6 b = 10 b 7 d) 5 = 15 6 e) 0 6 = 5 d) = 60 4 = = = 60 4 = 60 4 = f) 5 a 5 a 5 b = 5 a b g) = 4 10 e) a 5 a = 15 a a = 15 6 a 6 a = = 15 6 a a = 15 6 a 5 h) = f) = = = 4 5 i) a 18a = a 6a = a 6a = 18a j) 10 5 = g) 8 a 7 a = 4 a 7 a = 4 6 a 14 6 a = = 4 6 a 14 a = 4 6 a 11 = 4 6 a 6 6 a 5 = 4a 6 a 5 h) 7 a 5 a 7 5 a = 5 a 5 a 7 a = = 5 10 a 5 a 14 a 5 = 5 10 a 4 = 5 10 a 0 10 a 4 = = 5 a 5 a = 5a 5 a 1

14 i) m 5 m m = 0 m 15 0 m 6 0 m 10 = = 0 m 15 m 6 m 10 = 0 m 1 = 0 m 0 0 m = m 0 m h) ( a ) = (a) = 9a = 9 a = = a = a j) a 7 a = 14 a 7 14 a = 14 a 7 a = 14 a 5 i) ( 5b) = (5b) = 5b k) 10 a 7 a 4 = 10 1 a 14 1 a 1 = = 10 1 a 14 a 1 = 10 1 a j) ( m ) 8 = (m ) 8 = m 4 = m 1 k) ( 6 ) = ( 6 ) = 18 = 9 l) 6 a a = a a = 6 a 6 a = = 6 a a = 6 a. potenciação de radicais l) ( ) 7 = 7 = 6 = 4. radiciação de radicais Para elevar um radical a uma potência basta elevar o radicando a essa potência. Eemplo: ( a ) = a Para determinar a raiz de um radical, basta conservar o radicando e multiplicar os índices dos radicais entre si. Eemplo: = a = a = 6 a 5. Efetue e simplifique quando possível. 6. Efetue e simplifique quando possível. a) ( 5) = 5 = 5 a) a = 6 a b) ( 7 a ) 5 = 7 a 5 b) 5 = 1 5 c) ( 5 ) = 5 4 = 5 16 c) a = 4 a d) ( a ) = a = a a = a a d) 5 a = 15 5 e) ( a ) 5 = a 5 = a 4 a = a a e) a 6 = 4 a 6 = a = a a = a a f) ( m ) 10 = m 10 = m 5 f) 5 = 10 = 5 g) ( a ) = a = a g) ( 4 ) = (4 ) = 4 14

15 h) (5 ) = 5 ( ) = 5 = 50 e) 8 = 8 = 4 = 6 = 6 i) (a 5 ) = (a) ( 5) = 9a 5 = 45a 5. racionalização de denominadores f) 10 = : 10 = 10 = : 5 Racionaliza-se o denominador de uma fração multiplicando seu numerador e seu denominador pelo fator racionalizante. Esse processo converte uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente de denominador racional. Eemplo: 5 = = 5 ( 5) = Racionalize: a) 8 = 8 = 8 g) 7 = = 7 7 h) 15 = 15 = 15 i) = = = 1 7 = 5 = 6 j) 5 = 5 = 5 = 5 6 b) 5 = = 5 5 k) 8 = 8 : = 8 = 4 : c) 7 = 7 = 7 l) 7 = 7 = 7 = 1 6 d) = = = 6 15

16 m) 5 = 5 = 5 = 6 10 Fator racionalizante n) 8 7 = = = Associe a coluna da esquerda com a da direita escrevendo dentro dos parênteses Em 5 a, o fator racionalizante é a 5, pois: 5 a a 5 = a 5 5 = a a 5 5 a a = 5 a 5 5 a = 5 a 5 a Observe: De modo geral, o fator racionalizante de n a p é a n n p. a) 5 a letra correspondente. f ab b 9. Racionalize. a) a = a a a = a a b) c) 7 a 5 d a b b b) 5 7 a = 5 7 a a a = 57 a 4 4 a d) a b e a a c) 8 5 a = 8 5 a a a = 8 a a e) a c 7 d) 5 = = 5 = 5 4 f) a b b = e) 7 8 a = 7 8 a a a = 7 a a f) 10 = =

17 g) 5 4 b = 5 4 b 4 b 4 b = 5 4 b b 10. Racionalize. a) 5 + = = h) 8 = = 8 8 = 8 = ( 5 ) ( 5 ) ( ) = ( 5 ) 5 = ( 5 ) = 8 = 8 i) 6 = 6 = 6 = 4 = b) 7 8 = 7 = 7 7 = 7 = 7 = 7 c) = + + = j) 9 = = = ( + ) = ( + ) = ( ) ( ) ( + ) Eemplos: a) 7 + 7, pois: o fator racionalizante é d) + = ( ) 4 = + = ( ) = ( ) ( ) = ( 7 + ) ( 7 ) = ( 7 ) ( ) = 7 = 4 Então: 7 + = 7 = ( 7 ) b) o fator racionalizante é 5, e) 5 + = 5( ) 7 = 5 + = 5 ( ) 9 = pois: ( + 5 ) ( 5 ) = () ( 5) = 9 5 = 4. Então: = = ( 5 ) = 8 ( 5 ) 4 = 17

18 f) 7 7 = = c) 49 = 7 = 7 = 7 ( 7 + ) 7 = 7( 7 + ) 5 d) 100 = 10 = 10 g) 5 5 = = e) 64 = 8 = 8 = 5 ( 5 + ) 5 = 5( 5 + ) f) 81 = 9 = 9 g) 5 = 5 = 5 = 15 h) = 6 + = 6 + = 6 = + = 6 = = = = h) 196 = 7 = 7 = 14 i) 1 = 1 6. Etração da raiz quadrada j) 11 = 11 = 11 Para etrair a raiz de números quadrados perfeitos, basta decompor esses números em seus fatores primos e simplificar o radical. Eemplo: 144 = 4 = = Obtenha os valores das raízes. k) 6 = 6 = 6 l) 400 = 4 5 = 5 = 0 m) 900 = 5 = = 5 = 0 a) 4 = = n) 1600 = 6 5 = 5 = 40 b) 5 = 5 = 5 o) 65 = 5 4 = 5 = 5 18

19 p) 196 = 4 4 = = 6 q) 500 = 5 4 = 5 = Racionalize. a) 5 = = 5 5 r) = 10 4 = 10 = 100 b) = = 1. Efetue. a) = 6 5 c) y = y y y = y y b) = = = = = = = 9 d) y = y + y + y e) 1 + = 1 + = ( + y ) y = c) 4 5 = = 5 = 5 = 0 = d) 4 a = f) = = a 9 = 1 4 a 9 e) = = = f) 4 a 6 a = 1 a 9 1 a = 1 a 9 a = 1 a 7 19

20 Capítulo EquaçõEs do o grau e) = 0 Equações do tipo a + b + c = 0, com a, b e c reais e a 0, são denominadas equações do o grau. a, b e c são os coeficientes da equação. O coeficiente c é chamado termo independente. Eemplo: Escreva a equação que representa a área deste paralelogramo: -- a = 5; b = 1 e c = Equações do o grau incompletas São equações que possuem os coeficientes b e c nulos, ou apenas um deles nulo. Eemplos: 5² = 0 ² + = 0 ² + 9 = ( ) (5 ) = = = a = 5; b = 1 e c = 6 1. Determine os valores dos coeficientes a, b e c destas equações. a) 5 7 = 0. Dados os valores dos coeficientes a, b e c, determine as equações do -º grau com incógnita. Eemplo: a = 1; b = 5; c = + 5 = 0 a) a = 1; b = 6; c = = 0 a = 5; b = 7 e c = b) 4 + = 0 a = 1; b = 4 e c = b) a = ; b = 7; c = = 0 c) 1 = 0 a = 1; b = 1 e c = 1 d) = 0 c) a = 5; b = 10; c = = 0 a = ; b = 7 e c = 8 0

21 d) a = ; b = 0; c = = 0. Determine o conjunto solução das equações, sendo U = R. a) 5 = 0 e) a = 8; b = 0; c = 0 8 = 0 = 0 = 0 S = {0} f) a = 1; b = ; c = = 0 b) = 0 = 0 g) a = 7; b = 1; c = = 0 = 0 S = {0}. resolução de equações do o grau incompletas em r Resolver uma equação é determinar seu conjunto solução S. 1 o caso: Quando os coeficientes b e c são nulos, ou seja, b = 0 e c = 0. b = 0 e c = 0 a = 0 = 0 = 0 = 0 a S = {0} o caso: Quando somente o coeficiente c é nulo, ou seja, b 0 e c = 0. a + b = 0 Colocando em evidência: (a + b) = 0, um produto só é nulo quando um dos fatores é zero; assim: = 0 ou a + b = 0 = b a S = 0, b a c) 4 = 0 = 0 = 0 S = {0} d) 7 = 0 = 0 = 0 S = {0} e) 10 = 0 = 0 = 0 S = {0} 1

22 f) 5 = 0 ( 5) = 0 = 0 ou = 5 S = {0, 5} g) 7 = 0 ( 7) = 0 = 0 ou = 7 S = {0, 7} k) 4 7 = 0 (4 7) = 0 = 0 ou = 7 4 S = 0, 7 4 l) 9 9 = 0 (9 9) = 0 = 0 ou = 1 S = {0, 1} h) + = 0 ( + ) = 0 = 0 ou = S = {0, } i) = 0 (5 + 10) = 0 = 0 ou = S = {0, } m) + 5 = 0 ( + 5) = 0 = 0 ou = 5 S = 0, 5 n) = 0 ( 1) = 0 = 0 ou = 1 S = {0, 1} j) 6 = 0 ( 6) = 0 = 0 ou = S = {0, } o caso: Quando somente o coeficiente b é nulo, ou seja, b = 0 e c 0. a + c = 0 a = c = c a Então, = ± c a S = ± c a

23 4. Resolva as equações do -º grau, sendo U = R: a) 6 = 0 = 0 f) 7 = 0 = 7 = ± 7 S = { 7, 7} = 0 S = {0} g) = 0 b) 49 = 0 = 49 = ± 49 = ±7 = 4 = ± 4 S = Ø R S = { 7, 7} c) 9 = 0 = 9 = ± 9 = ± S = {, } h) + 7 = 0 = 7 = ± 7 = ± 7 = ± 1 S = 1, 1 i) 8 8 = 0 d) = 0 = 16 = ± 16 = ±4 (8 8) = 0 = 0 ou = 1 S = {0, 1} S = { 4, 4} j) = 0 e) + 5 = 0 = 5 = ± 5 S = Ø R ( 1) = 0 = 0 ou = 1 S = {0, 1}

24 . resolução de equações do o grau completas em r 5. Resolva as equações do -º grau em R. a) = 0 a = 1; b = 8; c = 15 Considere a equação completa a² + b + c = 0. Para determinar os valores de que satisfazem essa equação (raízes), utilizamos o seguinte procedimento: Determinamos o valor do discriminante, por meio da epressão = b 4ac Para determinar as raízes da equação, substituímos o valor obtido na fórmula = b ±, a comumente conhecida como fórmula de Bhaskara. = b 4 a c = ( 8) = = = 4 = b ± a = 8 ± 4 1 = 8 ± S = {, 5} 1 = 8 = 8 + = 6 = 10 1 = = 5 Eemplo: Determine as raízes da equação ² = = 0 a = 1; b = 7; c = 6 = b 4 a c = ( 7) = = 49 4 = 5 = 5 = b ± a = 7 ± 5 1 = 7 ± 5 S = {1, 6} 1 = = 7 5 = 1 = 1 = 6 = 1 b) = 0 a = 1; b = 10; c = 5 = b 4 a c = = = = 0 = b ± a = 10 ± 0 1 S = { 5} = 10 = 5 4

25 c) = 0 a = ; b = 4 ; c = 1 = b 4 a c = = 6. Resolva as equações do o grau em R. a) = 0 = 5 4 = 1 = 16 1 = 4 1 = 5 1 = 6 1 = = b ± a = 4 ± 4 = 4 ± 6 = 5 ± 1 1 = 4 6 = = 1 S = {, } = = 4 = S = 1, 1 = = 6 = 1 b) = 0 = = 1 1 = 7 1 = 6 1 = d) = 0 Multiplicando os dois membros por 1, temos: = 0 = 7 ± 1 = = 8 = 4 a = 1; b = 1 ; c = 0 S = {, 4} = b 4 a c = ( 1) = = = 64 c) = 0 = b ± a = 1 ± 64 1 = 1 ± 8 = 5 16 = 9 1 = 5 = 8 1 = 4 1 = 1 8 = 4 1 = = 5 ± S = {, 10} = = 0 = 10 S = { 4, 1} = 5 + = = 1 5

26 d) = 0 = 9 8 = 1 g) = 0 = 6 6 = 0 = ± 1 1 = 1 4 = = 4 4 = 4 1 = 1 = 1 = 6 ± 0 S = {} = 6 = S = 1, 1 h) + 10 = 0 = 9 40 = 1 e) = 0 = = 144 = ± 1 R 1 = 18 1 = 6 1 = S = Ø = 18 ± 1 = = 0 = 15 i) = 0 = 6 60 = 4 S = {, 15} = 6 ± 4 10 R f) + 0 = = 0 = = 11 1 = 1 11 = 1 1 = 6 S = Ø j) = 0 = 1 56 = 55 = 1 ± 11 S = { 6, 5} = = 10 = 5 = 1 ± S = Ø R 6

27 k) + 5 = 0 = = 49 n) = 0 = = 81 = 5 ± 7 S =, 1 1 = = = 1 4 = 4 1 = = 1 = 11 ± 9 10 S = 1 5, o) + 1 = 0 1 = = = 10 = = 1 5 = l) = 0 = 4 4 = 0 = = 5 1 = = = 1 = ± 0 S = {1} = = 1 = 1 ± 5 1 = = 4 1 = 1 p) = 0 = 16 0 = 4 S = 1, 1 = 4 ± 4 R m) = 0 S = Ø = = 5 1 = = = q) = 0 = = 169 = 1 ± 5 1 S =, = = 18 1 = = 11 ± 1 8 S =, = 11 1 = = = 8 1 = = 1 4 7

28 Para determinar as raízes de uma equação do o grau com o auílio da fórmula de Bhaskara, a equação deve ser epressa na forma geral a² + b + c = 0. Eemplo: ( + ) = = = 0 = 6 = 4 = 6 ± S = { 4, } 1 = 6 = 6 + = 8 = 4 7. Resolva as equações em R. 1 = 4 = c) ( ) = = = 0 = = 7 = 6 ± 7 6 S = Ø R d) ( 5) = = 0 = 5 4 = 1 = 5 ± 1 1 = 5 1 = 4 1 = a) ( + 1) = = 0 = 6 6 = 0 S = {, } = = 6 = = 6 ± 0 18 = 6 18 = 1 e) ( + 4) = 1 S = = 0 b) ( 4) = = 0 = 16 1 = 4 1 = 4 6 = = 1 = = 0 = 16 ± 0 8 S = {} = 16 8 = = 4 ± 6 S = 1, 1 = = 6 = 1 8

29 f) + = 0 + = 0 ( + ) = 0 = 0 ou + = 0 = S = {0, } h) 1 = ( 0) 9 = 9 = ± 9 = ± S = {, } i) ( 5) = = = 0 = = 16 1 = 10 4 = 6 1 = = 10 ± 4 = = 14 = 7 S = {, 7} g) 6 = ( 0) 6 = + j) ( ) = = + = = = 0 = 5 4 = 1 6 = 0 = = 5 = 1 ± 5 1 = 1 5 = 4 1 = = 5 ± 1 1 = 5 1 = = 4 = 6 1 = = = = 6 = S = {, } S = {, } 9

30 k) ( + 5) ( 5) = 0 5 = 0 = 5 = ± 5 = ±5 S = { 5, 5} n) = 0 (5 6) = 0 = 0 ou 5 = 0 l) ( + ) ( ) = 0 + = 0 = ou = 0 = 5 6 = 0 5 = 6 = 6 5 S = 0, 6 5 S = {, } o) ( ) ( ) = 1 m) = = 0 = + 6 = = 0 = = 49 = = 5 1 = 5 7 = 1 = 1 1 = 5 = 8 1 = 4 = 5 ± 7 = ± 5 = = 1 = 6 = + 5 = = 1 S = { 1, 6} S = { 4, 1} 0

31 4. discussão quanto às raízes de uma equação do o grau d) = 0 = = 0 Admite duas raízes reais e iguais. A resolução de equações do o grau, por meio da fórmula de Bhaskara, depende do valor do discriminante : Quando > 0, a equação apresenta duas raízes reais e diferentes. Quando = 0, a equação apresenta duas raízes reais e iguais. Quando < 0, a equação não apresenta nenhuma raiz real. e) = 0 = 1 60 = 59 < 0 Não admite nenhuma raiz real. 8. Calcule apenas o e responda se a equação admite: duas raízes reais e diferentes, duas raízes reais e iguais ou não admite nenhuma raiz real. f) = 0 = 9 0 = 9 0 Admite duas raízes reais e diferentes. a) = 0 = 5 4 = 1 > 0 Admite duas raízes reais e diferentes. g) 4 16 = 0 = = 56 > 0 Admite duas raízes reais e diferentes. b) = 0 = 4 = 8 < 0 Não admite nenhuma raiz real. h) + 5 = 0 = 0 0 = 0 < 0 Não admite nenhuma raiz real. c) + 4 = 0 = 9 16 = 7 < 0 Não admite nenhuma raiz real. 1

32 5. Como determinar os coeficientes de uma equação do o grau Eemplos: 1) Calcule o valor de m na equação 4 m = 0, para que ela admita duas raízes reais e diferentes. 4 m = 0 a = 1; b = 4; c = m = b 4ac = ( 4) 4 1 ( m) = m = m Para que essa equação tenha duas raízes reais e diferentes o valor de tem que ser maior do que zero ( > 0). Como = m, temos: m > 0 4m > 16 m > 16 m > 4 4 Para essa equação ter duas raízes reais diferentes, o valor de m tem que ser maior do que 4. ) Calcule o valor de k na equação k = 0, para que ela admita duas raízes reais e iguais k = 0 a = 1; b = 10; c = 5k = b 4ac = ( 10) 4 1 5k = 100 0k = 100 0k, para termos raízes reais e iguais: = 0, então, 100 0k = 0 0k = 100 ( 1) 0k = k = k = 5 0 ) Calcule o valor de m na equação 8 + (m + 1) = 0, para que ela não admita nenhuma raiz real. 8 + (m + 1) = 0 a = 1; b = 8; c = m + 1 = b 4ac = ( 8) 4 1 (m + 1) = = 64 4m 4 = 60 4m, para que ela não admita nenhuma raiz real: < 0, então, 60 4m < 0 4m < 60 ( 1) 4m > 60 m > 60 4 m > 15

33 9. Para que valores de m a equação 4 + m = 0 possui duas raízes reais e diferentes? > m > 0 8m > 16 8m < Para que valores de m a equação m = 0 possui duas raízes reais e iguais? = m = 0 0m = 100 m = 5 m < 1. Calcule o valor de p na equação 10. Para que valores de m a equação + + 6m = 0 possui duas raízes reais e diferentes? > 0 4 4m > 0 4m > 4 4m < 4 m 1 < p = 0, para que ela admita duas raízes reais e iguais. = p = 0 60 p = 5 60p = 5 p = 5 60 p = Calcule o valor de k na equação + + k = 0, para que ela admita duas raízes reais e diferentes. > 0 1 1k > 0 1k > 1 1k < 1 k < Para que valores de k a equação 8 + (k + 1) = 0 admite duas raízes reais e iguais? = (k + 1) = k 4 = 0 4k = k = 60 k = 15

34 15. Para que valores de m a equação + (m 1) = 0 não admite nenhuma raiz real? c) admita duas raízes reais e desiguais. > p > 0 4p > 6 p > 9 < (m 1) < 0 9 4m + 4 < 0 4m < 1 4m > 1 m > Determine o valor de m na equação + (m + 1) = 0, para que ela: a) admita duas raízes reais e iguais; b) admita duas raízes reais e diferentes; 16. Calcule o valor de k na equação 10 + k = 0, para que ela não admita nenhuma raiz real. < k < 0 4k < 100 4k > 100 c) não admita nenhuma raiz real. a) = (m + 1) = 0 9 4m 4 = 0 5 4m = 0 4m = 5 m = 5 4 k > Calcule o valor de p na equação 6 p = 0, para que ela: a) não admita nenhuma raiz real; b) > 0 5 4m > 0 4m > 5 4m < 5 m > 5 4 < p < 0 4p < 6 p < 9 b) admita duas raízes reais e iguais; = p = 0 4p = 6 c) < 0 5 4m < 0 4m < 5 4m > 5 m > 5 4 p = 9 4

35 6. relações entre coeficientes e raízes de uma equação do o grau Soma das raízes 1 + = b a Produto das raízes 1 = c a S = b a P = c a Eemplos: Determine a soma e o produto das raízes sem resolver a equação: a) = = b a = 6 1 = c a = 9 = S = = P = b) 5 = = b a = ( 5) = = 5 S = 5 1 = c a = 0 1 = 0 P = 0 c) 6 10 = 0 S = 6 S = ; P = 10 d) = 0 S = 14 7 e) = 0 S = 1 f) + 7 = 0 S = 7 1 g) 9 = 0 S = 0 1 S = ; P = 1 7 S = ; P = 0 1 h) = 0 S = 7 5 ; P = 0 5 S = 7; P = 0 1 S = 0; P = 9 1 P = 0 P = 0 P = 0 P = 9 P = 19. Determine a soma S e o produto P das raízes das equações, sem resolvê-las: a) = 0 S = 6 1 S = 6; P = 8 1 b) = 0 S = 10 5 S = ; P = 0 5 P = 8 P = 4 i) 9 18 = 0 S = 18 9 j) 6 = 0 S = 0 6 S = ; P = 0 9 S = 0; P = 0 6 k) = 0 S = 5 ; P = 7 P = 0 P = 0 5

36 l) 8 16 = 0 S = 8 ; P = 16 8 P = d) 0 e S = e P = 0 + = 0 7. Formando uma equação do o grau a partir de suas raízes e) 5 e 5 S = 0 e P = 5 5 = 0 f) 0 e 0 S = 0 e P = 0 = 0 Considere a equação a + b + c = 0 (a 0). Dividindo-a por a, temos: + b a + c a = 0 Sendo S = 1 + = b a e P = = c 1 a, então, podemos escrever: S + P = 0 Eemplo: Compor a equação do 0 grau de raízes 1 = 8 e =. S = 1 + = 10 P = 1 = = 0 0. Compor as equações do o grau a) 5 e (com a = 1) que têm por raízes: S = 7 e P = = 0 g) e 5 S = 8 e P = = 0 h) e 5 S = 7 e P = = 0 i) 8 e S = 5 e P = = 0 j) e S = 5 e P = = 0 b) 1 e 1 S = e P = = 0 k) 0 e 1 S = 1 e P = 0 + = 0 c) e 0 S = e P = 0 = 0 l) 4 e 5 S = 1 e P = = 0 6

37 Eemplos: 1) Determine dois números cuja soma seja 0 e o produto 6. S = 0 P = 6 Resolvendo a equação: = = 56 = 0 ± = 0 = 1 = = Os números são 18 e = 6 = 18 = 4 = ) Determine m na equação m = 0, de modo que uma raiz seja igual a. S = 7 ou 1 + = 7 P = m ou 1 = m Se 1 = + = 7 = 7 = 9 Se m = 1 m = ( 9) m = Ache dois números cuja soma seja 0 e. Determine dois números cuja soma seja 15 e o produto = 0 = 5 56 = 169 = (1) = 15 ± 1 Os números são 1 e = 15 1 = = = 8 1 = 1 = 14. Determine dois números que tenham por soma 6 e produto = 0 = = 576 = (4) o produto = 0 1 = 6 4 = 1 1 = 6 = = 676 = (6) = 0 ± 6 1 = 0 6 = = 4 = 56 1 = = 8 = 6 ± 4 Os números são 6 e 0. = = 60 = 0 Os números são e 8. 7

38 4. Calcule m na equação 5 + m = 0, S = b a P = c a de modo que uma raiz seja igual a. 1 + = ( 5) 1 1 = m 1 + = 5 = = m 6 = m 8. raízes simétricas Raízes simétricas são aquelas cujos sinais são opostos. Genericamente: 1 = Quando as raízes são simétricas, temos S = 0, pois S = 1 +. m = 6. Determine p em + (p 5) 81 = 0 para que as raízes sejam simétricas. S = b a 0 = (p 5) 1 0 = p Determine o valor de k na equação S = b a + + (k + 1) = 0, para que ela tenha duas raízes reais e iguais = 1 1 = 1 = p = 5 7. Determine o valor de k em (k + ) + 6 = 0, para que as raízes P = c a 9 4 = k = k = 4k + 4 4k = 5 = k + 1 sejam simétricas. S = b a 0 = ( k ) 0 = k + 0 = k + k = k = 5 4 8

39 Capítulo 4 EquaçõEs biquadradas E EquaçõEs irracionais 1. Equações biquadradas Equações biquadradas são escritas genericamente da seguinte forma: a 4 + b + c = 0. Para determinar suas raízes, devemos apresentá-la como uma equação do º grau. Raiz de uma equação biquadrada Eemplo: Sendo U = R, determine as raízes das equações seguintes. a) = 0 Substituindo por y e 4 por y, vem: y 5y + 4 = 0. Resolvendo essa equação: = 5 16 = 9 y = 5 ± 9 = Como = y, temos: = 4 = 1 = ± 4 = ± 1 S = { 1, 1,, } 5 ± 1 = = = 1 4 = 1 y 1 = 4 e y = 1 b) 4 + = 0 Substituindo por y e 4 por y, temos: y + y = 0 Resolvendo essa equação: = = 16 y = ± 16 = ± 4 y 1 = 1 e y = Como = y, temos: = 1 = ± 1 1 = 1 = 1 = = ± R S = { 1, 1} Essa equação tem apenas duas raízes reais. Agora, faça você. 1. Assinale as alternativas que apresentam equações biquadradas. a) + 7 = 0 e) = 0 b) 4 + = 0 f) = 0 c) 4 5 = 0 g) = 0 d) 4 16 = 0 h) = 0. Resolva as equações para U = R. a) = 0 y 17y + 16 = 0 = = 5 = (15) y 17 ± 15 = y = y 1 = 1 = 1 = ± 1 = ± 1 y = y = 16 = 16 = ± 16 = ±4 S = { 1, 1, 4, 4} 9

40 b) = 0 y 1y + 6 = 0 = = 5 = (5) y = 1 ± 5 e) = 0 y y + 7 = 0 = 4 8 = 4 < 0 Não há raízes reais. S = y 1 = 1 5 y 1 = 4 = 4 = ± 4 = ± y = y = 9 = 9 = ± 9 = ± S = {,,, } c) = 0 y 6y + 5 = 0 = 6 0 = 16 = (4) y = 6 ± 4 y 1 = 6 4 = ± 1 = = ± 1 y 1 = 1 = 1 f) = 0 y + y + 5 = 0 = 9 0 = 11 < 0 Não há raízes reais. S = y = = ± 5 y = 5 = 5 S = { 1, 1, 5, 5} d) 4 + = 0 y + y = 0 = = 9 = () y = 1 ± y 1 = 1 y 1 = = = ± IR S = { 1, 1 } y 1 + = y = 1 = 1 = ± 1 = ± 1 g) 4 64 = 0 y 64 = 0 y = 64 y = ± 64 S = {, } y 1 = 8 = 8 = ± 8 IR y = 8 = 8 = ± 8 = ± = ± 40

41 . Equações irracionais Equações que possuem variáveis em um radicando são denominadas equações irracionais. Eemplo: + = 17 Solução de uma equação irracional Eemplos: Determine a solução das equações irracionais, para U = R. 1) = 7 Elevando ao quadrado ambos os membros: ( ) = 7 = 49 Verificação: 49 = 7 7 = 7 (Verdadeiro) Logo, S = {49}. ) = Isolamos o radical no 1 o membro: 1 = 5 Elevamos ao quadrado ambos os membros: ( 1) = ( 5) 9( 1) = = = 0 Resolvendo essa equação, temos: 1 = 17 e = Verificação: Para = = = 1 1 = 1 (Verdadeiro) Para = 1 = 5 Logo, S = {17}. 1 = = (Falso) ) = Isolamos um dos radicais em um dos membros: + 0 = Elevamos ao quadrado ambos os membros: ( + 0) = ( + + 4) + 0 = Isolamos novamente o radical: = = 4 + 4, dividindo ambos os membros por 4: = + 4 Elevamos ao quadrado ambos os membros: 9 = + 4 = 5 Verificação: = 5 9 = 5 = = (Verdadeiro) Logo, S = {5}. 4) = Elevamos ao cubo ambos os membros: ( ) = = 8 Isolamos o radical e elevamos ao quadrado ambos os membros: + = ( + ) = + = 9 = 7 Verificação: = = 5 + = 8 = = (Verdadeiro) Logo, S = {7}. 41

42 . Resolva as equações irracionais em R. a) = 5 = 5 = 5 Verificação: 5 = 5 5 = 5 (V) S = {5} c) + = = ( + 1) + = = = 0 = 1 = 1 = ± 1 = ±1 Verificação: para = 1 ( 1) + = = 0 0 = 0 0 = 0 (V) para = = = 4 = = (V) S = { 1, 1} b) + = + = ( ) + = = = = 0 = 49 4 = 5 = (5) 4 = 7 ± 5 1 = 7 5 = Verificação: para = = 1 4 = = (F) para = = 6 9 = = (V) S = {6} 1 = 1 = 6 d) = = = (11 ) + 9 = = = = 0 = = 81 = (9) = ± 9 1 = 9 = + 9 Verificação: para = = = = = 11 (V) 1 = 7 = 16 para = = = = 11 1 = 11 (F) S = {7}

43 e) + 1 = + 1 = + 1 = 8 = 7 Verificação: = 8 = = (V) S = {7} g) = = + = 0 ( + 1) = 0 = 0 ou = 1 Verificação: para = 0 0 = 0 0 = 0 (V) para = 1 1 = 1 1 = 1 (V) S = {0, 1} f) 5 = = () 5 = Verificação: 5 = = (V) S = {} h) 4 = + 4 (4) = ( + 4 ) 16 = = i) 10 = ( 10 ) = () 10 = 9 = = 19 4

44 Capítulo 5 SiStemaS de equações Solução de um sistema de equações Eemplos: 1) O produto de dois números reais é 180 e a soma desses números é. Quais são esses números? y = y = Isolando na equação + y =, temos = y. Substituindo esse valor de em y = 180, obtemos: ( y) y = 180 y y = 180 y y 180 = 0 Resolvendo essa equação do o grau, temos: y 1 = 15; y = 1 Substituindo y em = y, temos: Para y = 15 = 15 = 1 ( 1, 15) Para y = 1 = ( 1) = 15 (15, 1) Portanto, S = {( 1, 15), (15, 1)}. ) + y = 7 + y = 5 Isolando na equação + y = 7, temos = 7 y. Substituindo esse valor de em + y = 5, obtemos: (7 y) + y = y + y + y = 5 y 14y = 0 y 14y + 4 = 0. Dividindo ambos os membros por e resolvendo a equação do o grau, temos: y 1 = 4; y = Substituindo y em = 7 y, temos: Para y = 4 = 7 4 = (, 4) Para y = = 7 = 4 (4, ) Portanto, S = {(, 4), (4, )}. 1. Resolva os sistemas de equações. a) + y = 7 = 7 y y = 10 (7 y) y = 10 7y y = 10 y = 7 ± y 1 = 7 y = 7 + y 1 = y = 5 y + 7y 10 = 0 y 7y + 10 = 0 = = 9 = () para y = = 7 = 5 (5, ) para y = 5 = 7 5 = (, 5) S = {(5, ); (, 5)} 44

45 b) y = = + y + y = 45 ( + y) + y = y + y + y = 45 y + 6y 6 = 0 = = 4 = (18) y = 4 y 1 = 6 y = 6 ± 18 4 y = 4 y = para y = 6 = 6 = (, 6) para y = = + = 6 (6, ) S = {(, 6); (6, )} e) = y + y = 45 (y) + y = 45 4y + y = 45 5 y = 45 y = 9 y = ± 9 y = ± para y = = ( ) = 6 ( 6, ) para y = = = 6 (6, ) S = {( 6, ); (6, )} Determine a solução dos problemas a seguir. c) = y + y = 8 (y) + y = 8 9y + y = 8 7y + y = 8 8 y = 8 y = 1 y = ± 1 y = ± 1 para y = 1 = ( 1) = (, 1) para y = 1 = 1 = (, 1) S = {(, 1); (, 1)}. Qual é o número que somado a seu quadrado resulta 56? + = = 0 = = 5 = (15) = 1 ± 15 1 = = O número pode ser 8 ou = 8 = 7 d) y = 9 = 9 + y y = 14 (9 + y) y = 14 9y + y = 14 y + 9y + 14 = 0 = = 5 = (5) y = 9 ± 5 y 1 = 9 5 y 1 = 7 y = y = para y = 7 = 9 7 = (, 7) para y = = 9 = 7 (7, ) S = {(, 7); (7, )}. Um número ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 5. Qual é esse número? + = = 0 = = 144 = (1) = ± 1 1 = = O número pode ser 7 ou = 7 = 5 45

46 4. O quadrado de um número menos o seu 6. Quantos lados tem o polígono que triplo é igual a 40. Qual é esse número? = = 0 = = 169 = (1) = ± 1 1 = = O número pode ser 5 ou 8. 1 = 5 = 8 5 = possui 5 diagonais? Sugestão: usar d (n ) n = d = n o de diagonais n = n o de lados (n ) n n + n + 10 = 0 n n 10 = 0 10 = n n = = 49 = (7), onde 5. A soma das idades de um pai e de um de seus filhos é 40 anos, e a diferença dos quadrados das idades é 800. Quais são as idades? Idade do pai: Idade do filho: y n = + 7 n 1 = 7 n = + 7 n 1 = lados (não convém) n = 5 lados O polígono que possui 5 diagonais tem 5 lados. Logo + y = 40 = 40 y y = 800 (40 y) y = y + y y = y = 800 y = 10 = = 0 O pai tem 0 anos e o filho, 10 anos. 46

47 Capítulo 6 Funções 1. produto cartesiano Dados os conjuntos A = {1,, } e B = {, 4}, por eemplo, chamamos de produto cartesiano de A por B o novo conjunto formado por todos os pares ordenados (, y), em que é um elemento de A e y é um elemento de B, tomados um a um. A B (lê-se: A cartesiano B) corresponde ao conjunto formado pelos seguintes pares ordenados: (1, ), (1, 4), (, ), (, 4), (, ) e (, 4). A B = {(1, ), (1, 4), (, ), (, 4), (, ), (, 4)} nota: Um par ordenado consiste de dois elementos e y, por eemplo, tomados numa determinada ordem: é o 1 o elemento e, consequentemente, y é o o. Sua designação é (, y). Representando esse produto cartesiano com um diagrama de flechas: Observe que de cada elemento de A parte uma flecha em direção a um elemento de B. 1. Sendo A= {1, }, B= {1, 5} e C= {,, 5}, efetue: a) A B A B = {(1, 1); (1, 5); (, 1); (, 5)} b) B A B A = {(1,1); (1, ); (5, 1); (5, )} c) A C A C = {(1, ); (1, ); (1, 5); (, ); (, ); (, 5)} d) B C B C = {(1, ); (1, ); (1, 5); (5, ); (5, ); (5, 5)} e) C A C A = {(, 1); (, ); (, 1); (, ); (5, 1); (5, )}. Dados: A B = {(1, 5), (1, 6), (1, 7)} e C D = {(1, 1), (1, 4), (, 1), (, 4)}, determine os conjuntos: a) A A = {1} b) B B = {5, 6, 7}} c) C C = {1, } d) D D = {1, 4} f) C B C B = {(, 1); (, 5); (, 1); (, 5); (5, 1); (5, 5)} 47

48 . Relação binária Considerando dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de relação binária (R) de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano de A por B. Eemplo: Considere os conjuntos A = {1,, } e B = {, 4}. Temos A B = {(1, ), (1, 4), (, ), (, 4), (, ), (, 4)}. Vamos considerar alguns subconjuntos de A B: R 1 = {(1, ), (1, 4)} R = {(1, ), (, ), (, 4)} R = {(, 4)} Note que os subconjuntos apresentados são relações binárias de A em B.. Dado o produto cartesiano A B, assinale as alternativas que apresentam relações binárias de A em B. A B = {(1, ), (1, 4), (1, 5), (, 4), (, 5)} a) R = {(1, ), (, 5)} b) R = {(1, ), (4, 1), (1, 5)} 4. Dadas todas as relações binárias de A em B, apresente os conjuntos A e B. R = {(, ), (, 5), (4, ), (4, 5), (6, ), (6, 5), (8, ), (8, 5)} A = {, 4, 6, 8} B = {, 5} c) R = {(, ), (, 4), (1, )} d) R = {(1, ), (, ), (5, )} 48

49 . Função c) d) Dados dois conjuntos A e B, função é uma lei que faz corresponder a cada elemento do conjunto A um único elemento y do conjunto B. Considere, por eemplo, o conjunto A = {1,,, 4}, que representa as medidas dos lados de quadrados, e o conjunto B = {1, 4, 9, 16}, que representa as áreas desses quadrados. Neste diagrama de flechas, observe a função que leva os elementos de A ao seu quadrado em B. f() = 1 1 e) f) g) h) i) j) Para todo elemento de A temos um único correspondente em B. Podemos então afirmar que temos uma função de A em B (indica-se f: A B). O conjunto A é chamado de domínio da função, e o conjunto B de contra domínio. e y são as variáveis, independente e dependente, respectivamente. Representa-se uma função por f(). 5. Dados os diagramas, assinale as alternativas em que esses diagramas representam função. a) b) 4. Valor numérico de uma função polinomial de R em R Sendo f() = + 5; por eemplo, temos: para = 0 f(0) = = 5 f(0) = 5; para = 1 f(1) = = 7 f(1) = 7; para = f() = + 5 = 9 f() = 9; para = 1 f( 1) = ( 1) + 5 = f( 1) =. No diagrama de flechas, podemos observar que para cada valor de temos um único correspondente f(). f()

50 6. Dado f() = + 7 (f: R R), calcule. a) f(0) f(0) = f(0) = f(0) = 7 b) f(1) f(1) = f(1) = + 7 f(1) = 10 c) f() f() = + 7 f() = f() = 1 d) f() f() = + 7 f() = f() = 16 e) f( 1) f( 1) = ( 1) + 7 f( 1) = + 7 f( 1) = 4 f) f(5) f(5) = f(5) = f(5) = 7. Dado f() = , calcule. a) f(0) c) f() f() = f() = f() = 8 d) f( 1) f( 1) = ( 1) + 7 ( 1) + 10 f( 1) = f( 1) = 4 e) f( ) f( ) = ( ) + 7 ( ) + 10 f( ) = f( ) = f) f( 5) f( 5) = ( 5) + 7 ( 5) + 10 f( 5) = f( 5) = 0 8. Sendo f() = + 4, f: R R, calcule para que se tenha: a) f() = = 0 = 4 = ± 4 R b) f() = = 5 = 1 = ± 1 = ± 1 c) f() = 1 f(0) = f(0) = f(0) = = 1 = 8 = ± 8 = ± b) f(1) f(1) = f(1) = f(1) = 18 d) f() = = 1 = 17 = ± 17 50

51 5. Função poliminial do 1 grau Função do 1 grau Uma função do tipo f() = a + b, com a e b reais e a 0, definida de R em R, é chamada função do 1º grau. Eemplo: Uma corrida de tái custa o preço da bandeirada mais um determinado preço por quilômetro rodado. Se a bandeirada custa R$,0 e o quilômetro rodado custa R$ 1,50, veja a função que epressa essa situação. y =,0 + 1,50 quilômetro rodado bandeirada preço da corrida Gráfico de uma função polinomial do 1 grau Vamos construir o gráfico da função y = + 1. Inicialmente, atribuímos valores reais a, e obtemos os valores correspondentes de y. y = + 1 (, y) para = 0 y = y = 1 (0, 1) para = 1 y = y = (1, ) para = y = + 1 y = 5 (, 5) para = y = + 1 y = 7 (, 7) Em seguida, dispomos os pares ordenados (, y) no plano cartesiano e ligamos os pontos correspondentes de modo a determinar a reta da equação y = + 1. y A representação gráfica de uma função polinomial do 1º grau é sempre uma reta. Assim, basta obtermos dois pontos (, y) para determiná-la

52 Eemplo: Vamos construir o gráfi co das seguintes funções polinomiais do 1º grau. a) y = + y (, y) 0 (0, ) 1 1 (1, 1) b) y = y (, y) 0 0 (0, 0) 1 (1, ) 9. Construa o gráfi co das funções polinomiais do 1º grau. a) y = + y (, y) 0 (0, ) 1 4 (1, 4) b) y = + 1 y (, y) 0 1 (0, 1) 1 4 (1, 4) 5

53 c) y = + y (, y) 0 (0, ) 1 1 (1, 1) d) y = 4 y (, y) 0 0 (0, 0) 1 4 (1, 4) 10. Construa o gráfico das funções polinomiais do 1º grau. a) y = y (, y) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1) b) y = + y (, y) 0 (0, ) 1 4 (1, 4) 5

54 c) y = + 1 y (, y) 0 1 (0, 1) 1 1 (1, 1) d) y = y (, y) 0 0 (0, 0) 1 (1, ) 54

55 6. Função quadrática Toda função polinomial do tipo y = a² + b + c, com a, b e c reais e a 0, definida de R em R, é chamada de função quadrática. Representação gráfica de uma função quadrática A curva que representa o gráfico de uma função quadrática é denominada parábola. A representação gráfica de funções do tipo y = a² + b + c, com a, b e c reais e a 0, depende do valor de Δ, como mostra o quadro. y = a + b + c a 0 > 0 = 0 y 0 y a > 0 (a positivo) v a < 0 (a negativo) y 0 y 0 v v Eemplos 1) Vamos construir o gráfico da função quadrática y = ² + 6. Atribuímos valores reais para e obtemos os valores correspondentes de y. y = + 6 (, y) para = y = + 6 y = 0 (, 0) para = 1 y = y = 4 (1, 4) para = 0 y = y = 6 (0, 6) para = 1 y = ( 1) + ( 1) 6 y = 6 ( 1, 6) para = y = ( ) + ( ) 6 y = 4 (, 4) para = y = ( ) + ( ) 6 y = 0 (, 0) Representamos os pares ordenados (, y) no plano cartesiano e traçamos a parábola que passa por esses pontos. < 0 0 y v v y 0 v 0 Observe que para Δ < 0, a parábola não corta o eio. Isso significa que a função não apresenta raízes reais. 55

56 ) Vamos construir o gráfico das funções quadráticas. a) y = y (, y) 4 (, 4) 1 1 ( 1, 1) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1) 4 (, 4) 11. Complete a tabela e construa o gráfico das funções quadráticas de R em R. a) y = y (, y) 1 ( 1, ) 0 0 (0, 0) 1 (1, ) 8 (, 8) b) y = + y (, y) 10 (, 10) 1 5 ( 1, 5) 0 (0, ) 1 1 (1, 1) (, ) y (, y) 1 ( 1, ) 0 0 (0, 0) 1 (1, ) 8 (, 8) 8 (, 8) 56

57 c) y = + y (, y) 0 (, 0) (, ) 1 4 ( 1, 4) 0 (0, ) 1 0 (1, 0) 5 (, 5) Concavidade de uma função quadrática Na representação gráfica da função quadrática temos: a) Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. b) Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baio. Raízes de uma função quadrática d) y = y (, y) 1 9 ( 1, 9) 0 4 (0, 4) 1 1 (1, 1) 0 (, 0) 1 (, 1) 4 4 (4, 4) Se Δ > 0, a equação admite duas raízes reais e diferentes. Então, a parábola corta o eio em dois pontos distintos. Eemplo: Δ > 0 e a > 0 Se Δ = 0, a equação admite duas raízes reais e iguais; então a parábola tangencia o eio. Eemplo: Δ = 0 e a > 0 Se Δ < 0, a equação não admite raiz real; então a parábola não tem ponto em comum com o eio. Eemplo: Δ < 0 e a < 0 57

58 1. Observe os gráficos e preencha os h) a < 0 y espaços vazios com os símbolos >, < ou =, tornando verdadeiras as relações entre = 0 os valores de a e e os gráficos. i) a < 0 y a) a > 0 y > 0 > 0 j) a < 0 y b) a > 0 y < 0 = 0 c) a < 0 y < 0 d) a > 0 y = 0 e) a > 0 y > 0 f) a > 0 y < 0 g) a < 0 y > 0 58

59 Capítulo 7 inequações do o grau resoluções de inequações do o grau Resolver uma inequação do º grau do tipo a² + b + c 0 ou a² + b + c 0 é determinar o conjunto de valores de que tornam a função verdadeira. Eemplos 1) Vamos resolver a inequação ² + + > 0. Resolver essa inequação é determinar o conjunto de valores de que tornam a função ² + + positiva. Esse conjunto de valores pode ser determinado por meio do gráfico da equação ² + + = 0. a = 1 (a > 0) concavidade para cima = 1 ( > 0) corta o eio = = 1 1 = = Observando atentamente o gráfico, verificamos que, para quaisquer valores de menores que ou maiores que 1, a função é positiva. Então, S = { R / < ou > 1}. ) < 0 a = 4 (a > 0) concavidade para cima = 9 ( > 0) corta o eio 1 = = 1 = 5 8 = Os valores de maiores que 1 4 e menores que 1 (entre 1 e 1) resolvem a inequação. 4 S = { R 1 4 < < 1} 1 4 ) > 0 a = 1 (a < 0) concavidade para baio = 0 tangencia o eio 1 = = 4 ± 0 = Nenhum valor de torna > 0. Então, S =. Determine o conjunto verdade das inequações do o grau em R. a) 4 + > 0 a = 1 > 0 (para cima) = 4 > 0 (corta o eio ) = 4 ± S = { R l < 1 ou > } 1 = 1 = b) 7 10 < 0 a = 1 < 0 (para baio) = 9 > 0 (corta o eio ) = 7 ± 1 = 5 = + 5 S = { R l < 5 ou > } 59

60 c) < 0 a = > 0 (para cima) = 0 (tangencia o eio ) = 0 f) > 0 a = 1 > 0 (para cima) = 9 > 0 (corta o eio ) = 5 ± 1 = 4 = S = S = { R l < 4 ou > 1} d) > 0 a = 1 > 0 (para cima) = 16 > 0 (corta o eio ) = ± 4 S = { R l < 1 ou > } 1 = 1 = g) 4 0 a = 1 (concavidade para cima) = 16 (corta o eio ) = 0 ± 4 1 = = Como a inequação apresenta desigualdade e igualdade, tem-se: + + S = { R l ou } e) + < 0 a = 1 > 0 (para cima) = 9 > 0 (corta o eio ) h) 9 0 a = 1 > 0 (para cima) = 6 > 0 (corta o eio ) = 1 ± 1 = = 1 = 0 ± 6 1 = = S = { R l < < 1} S = { R l }

61 i) a = 1 > 0 (para cima) = 16 > 0 (corta o eio ) l) a = 1 < 0 (para baio) = 4 > 0 (corta o eio ) ( + 4) = 0 1 = 0 = 4 = 6 ± 1 = = S = { R l 4 0} S = { R l 4} j) + 0 a = 1 < 0 (para baio) = 9 > 0 (corta o eio ) ( + ) = 0 1 = 0 = + S = { R l 0 } k) a = 1 > 0 (para cima) = 1 > 0 (corta o eio ) = 5 ± 1 1 = = + + S = { R l } 61

62 Capítulo 8 semelhança de triângulos 1. razão entre segmentos 1. Dados: AB = cm, CD = 4 cm, EF = 5 cm e GH = cm, determine: Razão entre dois segmentos é a razão entre suas medidas, tomadas numa mesma unidade. Eemplos: 1. cm A B m (AB) = cm a) AB CD = 4 b) GH CD = 4 = 1 e) AB GH = f) CD AB = 4 C 5 cm m (CD) = 5 cm D c) GH EF = 5 g) CD EF = 4 5 A razão dos segmentos AB e CD é 5. AB CD = 5. O triângulo LUA é ampliação do triângulo MAR. Qual é a razão entre MA e LU nessa ordem? M A R u d) EF CD = 5 4 h) GH AB =. Observe a figura A B C D, onde m(ab) = m(bc) = m(cd), e determine as razões: a) AB CD = 1 1 e) AB BD = 1 L b) AB BC = 1 1 f) AB AC = 1 U A c) BD CD = 1 g) AD AC = MA LU = 6 = 1 d) CD AD = 1 h) BC CD = 1 1 6

63 . Sendo AB, BC, CD e DE, nessa ordem, segmentos proporcionais, determine o valor de nos seguintes casos: Eemplo: AB = ; BC = cm; CD = 10 cm; DE = 6 cm AB BC = CD DE 6 = 0 = 10 6 = 5 cm a) AB = 4 cm; BC = ; CD = cm; DE = 4 cm AB BC = CD DE = 16 4 = 4 = 8cm b) AB = 9 cm; BC = 1 cm; CD = ; DE = 4cm AB BC = CD DE 9 1 = 4 e) AB = 6 cm; BC = ; CD = ; DE = cm AB BC = CD DE 6 = = 18 = 9 = cm. teorema de tales Considere um feie de retas paralelas interceptadas por duas retas transversais. Os segmentos correspondentes determinados sobre as transversais são proporcionais. As retas m e n são transversais ao feie de paralelas r, s e t. Então: ' = y y' ou y A n = ' y' m ' A' r 1 = 6 = cm B B' s c) AB = cm; BC = 6 cm; CD = 6 cm; DE = C y y' C' t AB BC = CD DE 6 = 6 = 6 = 1cm 4. Determine o valor de nos feies de d) AB = ; BC = 8 cm; CD = cm; DE = AB BC = CD DE 8 = a) retas paralelas. = 16 = ± = ±4 ( 4 não convém) = 4 cm 10 = = 0 = 6

64 b) 10 8 f) = = 40 = 5 4 = 6 4 = 1 = c) g) = 4 6 = 1 = 6 = 4 1 d) 9 1 = 4 = 6 h) 10 e) = = 18 = 6 10 = 5 i) = 0 = = 6 6 = 15 = 15 6 = 5 5 = 1 5 = 1 64

65 j) b) A 6 M B 1 N C 10 = 6 10 = 6 1 = 6 6 = 6 = 6 k) c) A M N 4 = = 6 10 B C l) = 1 = 6 = 18 5 = = 10 = 8 d) M A N 5. Determine o valor de nos triângulos, 18 1 sendo MN // BC. a) A M 6 N 8 B 1 = = 5 = 14 C B 8 = 6 C 6 = 4 = 4 65

66 . Triângulos semelhantes 6. Agora, resolva você. Determine o valor de e de y nos pares de Quando dois triângulos são semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes. triângulos semelhantes. a) ABC ~ A B C Lê-se: ABC semelhante ao A B C. AB = AC A B A C = BC B C (lados correspondentes proporcionais) ^ A ^ A; ^ B ^ B; ^ C ^ C (ângulos correspondentes congruentes) 9 = 6 9 = 6 9 = 1 y = 1 y = 54 = 18 9y = 6 y = 4 Eemplo: Sabendo que os triângulos são semelhantes, determine o valor de e de y: b) ABC ~ 8 4 = 5 = 1 y 8 4 = 5 = = 1 y y = 48 8 A B C AB A B = AC A C = BC B C 4 = = 40 = 10 8 y = 4 1 8y = 48 y = = 1 = 5 y 4 8 = = 5 y 8 = 48 = 6 4y = 40 y = 10 66

67 c) e) 4 = 15 y 4 = 9 15 y = 9 = 9 = 6 = 1 9y = 45 y = y = 0 y = 0 6 = 0 6 = = 150 = 5 0y = 10 y = 4 d) f) 4 8 = 1 = y = = y 6 8 = 48 = 6 8y = 4 y = 1 1 = 14 7 = y 8 = = y 8 14 = 84 = 6 7y = 11 y = 16 67

68 Capítulo 9 triângulo retângulo Elementos de um triângulo retângulo 1. Calcule a medida do elemento desconhecido nos triângulos retângulos: a) a é a hipotenusa. b e c são os catetos. h é a altura relativa à hipotenusa. n é a projeção de AB sobre a hipotenusa. m é a projeção de AC sobre a hipotenusa. c =? a = 9 n = 4 c = a n c = relações métricas no triângulo retângulo b) c = 6 c = 6 1 a relação: O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa. c = a. n b = a. m b =? a = 0 m = 5 b = a m b = 0 5 b = 100 b = 10 68