Pré-Cálculo. Camila Perraro Sehn Eduardo de Sá Bueno Nóbrega. FURG - Universidade Federal de Rio Grande

Transcrição

1 Pré-Cálculo Camila Perraro Sehn Eduardo de Sá Bueno Nóbrega

2 Projeto Pré-Cálculo Este projeto consiste na formulação de uma apostila contendo os principais assuntos trabalhados na disciplina de Matemática no período do Ensino Médio, tendo a função de fixar conhecimentos para facilitar o aprendizado de novas disciplinas na faculdade. A apostila contém assuntos como Polinômios, Produtos Notáveis, Trigonometria, Funções e outros. Conhecimentos estes que são de extrema importância para o aprendizado de Cálculo Diferencial e Integral, Àlgebra Linear, Geometria Analítica e afins.

3 Introdução Apresentaremos nesta aula os assuntos: Produtos Notáveis Frações

4 PRODUTOS NOTÁVEIS

5 Produtos Notáveis Quadrado da soma de dois termos: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (1) Note que: (x + y) 2 = (x + y)(x + y) Exemplo: (x + 3y) 2 = (x) 2 + 2(x)(3y) + (3y) 2 = x 2 + 6xy + 9y 2

6 Produtos Notáveis Quadrado da diferença de dois termos: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (x y) 2 = x 2 2xy + y 2 (2) Note que: (x y) 2 = (x y)(x y) Exemplo: (7x 4) 2 = (7x) 2 2(7x)(4) + (4) 2 = 49x 2 56x + 16

7 Produtos Notáveis Produto da soma pela diferença de dois termos: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. (x + y)(x y) = x 2 y 2 (3) Exemplo: (3a + x)(3a x) = (3a) 2 (x) 2 = 9a 2 x 2

8 Produtos Notáveis Cubo da soma de dois termos: O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo. (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (4) Note que: (x + y) 3 = (x + y)(x + y)(x + y) Exemplo (a+b) 3 = (a) 3 +3(a) 2 (b)+3(a)(b) 2 +(b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

9 Produtos Notáveis Cubo da diferença de dois termos: O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo. (x y) 3 = x 3 3x 2 y + 3xy 2 y 3 (5) Note que: (x y) 3 = (x y)(x y)(x y) Exemplo: (2a y) 3 = (2a) 3 3(2a) 2 (y) + 3(2a)(y) 2 (y) 3 = 8a 3 12a 2 y + 6ay 2 y 3

10 FRAÇÕES

11 Simplificação de Frações Regras Básicas: Para simplificar frações deve-se ter conhecimento das propriedades das frações. Citaremos algumas formas de operações com números fracionários.

12 Operações com Frações Soma e Subtração: Quando as frações possuem denominadores iguais: É necessário somar ou subtrair os numeradores, conservando os denominadores. Quando as frações possuem denominadores diferentes: Neste caso,o primeiro passo é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc (mínimo múltiplo comum) dos denominadores das frações em questão.

13 Operações com Frações Multiplicação e Divisão: Multiplicação: Multiplica-se o numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifica-se o produto. Divisão: Deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Se necessário, simplifica-se o resultado.

14 Operações com Frações Exponenciação: É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão: Exemplo: ( ) 1 2 = = 1 = 0, 25 4 Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado: Exemplo: ( ) 1 2 = (0, 5) 2 = 0, 25 2

15 Operações com Frações Expoente Fracionário: Da mesma forma como na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação. Exemplo: = = 3 64 = 4

16 RADICAIS

17 Definição: Onde a e b são números reais e n um número inteiro e positivo, podemos escrever: n a = b (6) Nomenclatura: n a = radical a = radicando n = índice do radical b = raiz

18 Propriedades dos Primeira Propriedade: Quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, a raiz é exata e igual à base da potência do radicando. Onde a 0 e n um número inteiro e positivo. Exemplo: = 2 n a n = a (7)

19 Propriedades dos Segunda propriedade: A raiz do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto das raízes de mesmo índice de cada fator. n ab = n a n b (8) Onde a 0, b 0 e n um número inteiro e positivo. Exemplo: 9.16 = 144 = 12 ou 9 16 = 3.4 = 12

20 Propriedades dos Terceira propriedade: A raiz do quociente de dois números é igual ao quociente da raiz de mesmo índice de cada número. n a n a b = n (9) b Onde a 0, b > 0 e n um número inteiro e positivo. Exemplo: = 8

21 Propriedades dos Quarta propriedade: O valor de um radical não se modifica quando multiplicamos ou dividimos o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número inteiro positivo. n a m = n.p a m.p (10) Onde a 0 e m, n, p números inteiros e positivos. n a m = n:p a m:p (11) Onde a 0 e m, n, p números inteiros e positivos. Exemplo: = = 9 7 6

22 Introdução de um fator externo no radicando: Para introduzir um fator externo em um radicando, devemos escrevê-lo com o mesmo expoente do índice do radical. p n a = n p n.a (12) Onde a 0, n e p números inteiros e positivos. Exemplo: 3 5 = = 9.5 = 45

23 Simplificação de radicais: Simplificar um radical significa escrevê-lo com termos mais simples, com o auxílio das propriedades citadas anteriormente. Geralmente, é necessário decompor o radicando em fatores primos antes de aplicar as propriedades dos radicais. Lembrando que, número primo é aquele que é divisível por um ou por ele mesmo. Exemplos: = 8:4 7 4:4 = 7 3 8x 3 = x 3 = x 2 x = 3.2 2x x = 6x 2x Observação: Note que x 2 + y 2 é diferente de x + y, assim como x 2 y 2 é diferente de x y.

24 Redução de radicais ao mesmo índice: Para reduzir dois ou mais radicais ao mesmo índice: 1 Determinamos o mmc dos índices dos radicais, obtendo o índice comum. 2 Dividimos o mmc encontrado pelo índice de cada radical. 3 Multiplicamos cada quociente pelo expoente do respectivo radicando.

25 Redução de radicais ao mesmo índice: Exemplo: Reduzir ao mesmo índice os radicais: e MMC ( Mínimo Múltiplo Comum) entre 4 e 6= :4= 3 12:6= = = Assim obtemos, e

26 Operações com radicais: Adição algébrica de radicais semelhantes: Para obter a soma algébrica de radicais semelhantes, adicionamos algebricamente os fatores externos e reduzimos a expressão a um só radical. Exemplo: = ( ) 3 = 6 3

27 Multiplicação de radicais: de mesmo índice: A multiplicação de radicais de mesmo índice é igual a outro radical em que o índice é o mesmo e o radicando é igual ao produto dos radicandos. n a n b = n ab (13) Exemplo: 7.8 = 56 = = 2 14

28 Multiplicação de radicais: de índices diferentes: Para multiplicar radicais de índices diferentes, devemos reduzi-los a um mesmo índice antes de efetuar a operação. Exemplo: = = = =

29 Divisão de radicais: de mesmo índice: A divisão de radicais de mesmo índice é igual a outro radical em que o índice é o mesmo e o radicando é igual ao quociente dos radicandos. n a n b = n a b ou n a : n b = n a : b (14) Exemplo: = 5 5 = 2

30 Divisão de radicais: de índices diferentes: Para dividir radicais de índices diferentes, devemos reduzi-los a um mesmo índice antes de efetuar a operação. Exemplo: = 6 = = 6 9 9

31 Potenciação de radicais: Para elevar um radical a uma potência, elevamos o radicando ao expoente dessa potência. Onde a real, m inteiro, n inteiro e positivo. Exemplo: ( n a) m = n a m (15) ( 3) 5 = 3 5 = = = 2:2 3 4:2 3 = = = 9 3

32 Radiciação de radicais: Para extrair a raiz de uma raiz, multiplicamos os índices e conservamos o radicando. m n a = m.n a (16) Onde a real, m e n inteiros e positivos. Exemplo: 10 = = 4 10 Observação: Antes de calcular a raiz de uma raiz, é conveniente introduzir todos os termos no radicando mais interior.

33 Racionalização de denominadores: Em frações em que os denominadores são raízes não-exatas(números irracionais), deve-se transformar estes denominadores em números racionais, multiplicando o numerador e o denominador por um mesmo número diferente de zero. Tal processo chama-se Racionalização de denominadores.

34 Racionalização de denominadores: Fração com denominador na forma n a m Quando o denominador da fração é um radical da forma n a m, multiplicamos o numerador e o denominador por n a n m para racionalizar esse denominador. Exemplo: Racionalizar o denominador de 1 3 : Multiplicamos o numerador e o denominador por 3 (2 1) : 1 = = = =

35 Racionalização de denominadores: Fração com denominador na forma a + b Quando o denominador da fração é uma expressão da forma a + b, multiplicamos o numerador e o denominador por a b para racionalizar esse denominador.

36 Racionalização de denominadores: Exemplo: Racionalizar o denominador de : Multiplicamos o numerador e o denominador por 5 1: 1 1( 5 1) 5 1 = ( 5 + 1)( 5 1) = ( 5) 2 1 = = 4

37 Racionalização de denominadores: Fração com denominador na forma a b Quando o denominador da fração é uma expressão da forma a b, multiplicamos o numerador e o denominador por a + b para racionalizar esse denominador.

38 Racionalização de denominadores: Exemplo: Racionalizar o denominador de : Multiplicamos o numerador e o denominador por 3 + 1: = = 5 5( 3 + 1) ( 3 1)( 3 + 1) = ( 3) 2 1 =

39 Exercícios 1 Simplifique a equação 3n n 1 3 n+1. 2 Calcule ( ) Calcule + 2

40 Muito obrigado pela atenção!

41 Bibliografia Malveira, Linaldo. Matemática Fácil para 8 a série. 9 a edição. São Paulo: Ática, Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos. Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 1 a edição, São Paulo. G.Cavalcante, Luiz. Para Saber Matemática, 6 a série. 2 a edição. São Paulo: Saraiva, Guelli, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 2002.