PROFESSOR: JARBAS 4 2 5

Transcrição

1 PROFESSOR: JARBAS

2 Função do 2.º grau Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2.º grau, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f() = a 2 + b + c onde a, b e c são números reais e a 0. O gráfico de uma função do 2.º grau é uma curva chamada parábola. Tipos de parábolas: Concavidade para cima Concavidade para baio

3 Estudo da concavidade da parábola Quando a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima. Quando a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baio.

4 Raízes (zeros) da função do 2.º grau Para determinar as raízes (ou zeros) da função do 2º grau f() = a 2 + b + c, basta calcular os valores de que tem imagem igual a zero. Ou seja, devemos resolver a equação do 2º grau a 2 + b + c = 0. E, para isso, usamos a fórmula de báskara. = b² 4ac = b 2a Podemos estabelecer uma relação entre o discriminante e a intersecção da parábola com o eio. ± Δ

5 Se > 0, a função tem duas raízes reais e a parábola intercepta o eio em dois pontos. ou Se = 0, a função tem duas raízes reais iguais e a parábola intercepta o eio em um único ponto. Se < 0, a função não tem raízes reais e a parábola não intercepta o eio. ou ou

6 Vértice da parábola O vértice V ( v, y v ) é um ponto fundamental da parábola, o único ponto pertencente ao eio de simetria. 1 cm 1 cm 2 cm 2 cm

7 Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada 1010 para 1101 baio 0001 e 0100 um ponto 1011 de máimo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são gráficos: y 4a b 2a a>0 ( 4a b a 2, ) 4a. Veja os y b 2a a<0

8 Outra maneira de obter o vértice V ( v, y v ) de uma parábola da equação f() = a 2 + b + c, é: Calculamos a média 0100 aritmética 1011 das raízes e, para obtermos a abscissa ( v ) desse vértice. ' + '' v = 2 Em seguida, substituímos v, na função e encontramos a ordenada do vértice y v.

9 Eemplo: y = ( ) 0011 O 0010 vértice 1010 da parábola de equação é dado por V X, Y, V V em que: v ( 6) b = = 3 2a 2.1 Portanto, o vértice da parábola é o ponto v(3, -4). e y v ( ) 2 b² 4ac = = = 4 4a 4a

10 Nas questões em que é pedido ou se faz referência ao valor máimo ou mínimo de uma função do 2º grau, temos que descobrir O que a questão está pedindo é Xv ou Yv? O valor de Yv = -Δ/4a, é o próprio valor máimo, se a<0, ou mínimo da função, se a>0. Já o valor de Xv = -b/2a, é o que torna o valor de Yv máimo ou mínimo. Eemplos: 11. Uma bola é atirada para cima, com velocidade inicial de 40 m/s, do alto de um edifício de 100m de altura. A altura (h) atingida pela bola em relação ao solo, em função do tempo (t) é dada pela epressão: 2 h( t) = 5t + 40t Qual a altura máima alcançada pela bola?

11 2.O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por: C = n n Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo?

12 Outro ponto importante da parábola é o ponto de intersecção da função com o eio y. Para determiná-lo, basta substituir = 0 na função f() = a 2 + b + c f(0) = a b.0 + c f(0) = c (0, c ) y

13 Esboço do gráfico da função do 2.º grau

14 Construção do gráfico da função do 2.º grau Construir o gráfico da função f() = , com e y R. 1º passo: determinar as raízes da função 2 a = = 0 b = -6 c = 8 = (-6) = = 4 = ( 6) ± ' = 4 '' = 2º passo: estudo da concavidade a = +1 concavidade para cima 2

15 3º passo: determinar o vértice da parábola V ' + '' = V y = V y = = = 3 2 V y = -1 V V = (3, -1) 4º passo: ponto de intersecção da função com o eio y (quando =0) f() = f(0) = f(0) = 8 Temos então o ponto (0,8)

16 5º passo: esboço do gráfico Termo independente f() = Raízes da função Vértice

17 Construção do gráfico da função do 2.º grau Passo a passo 1º passo: determinar as raízes da função 2º passo: estudo da concavidade 3º passo: determinar o vértice da parábola 4º passo: ponto de intersecção da função com o eio y (quando =0) 5º passo: esboço do gráfico

18 Imagem f ( ) = a² + b + c O conjunto imagem Im da função, a 0 é o conjunto dos valores que y 1011 pode assumir. Há duas possibilidades: 1ª - quando a > 0, 2ª quando a < 0, Im = γ γν = 4a { γ R } a > 0 y V Yv Xv Im = {γ R γ γν = } 4a Yv y Xv V a < 0

19 Eercícios: 1) Encontre a imagem das funções abaio: a) Y = X² b) Y = - X² + 5-4

20 4.8 Conclusões: Observamos que o gráfico de uma função do 2º grau é sempre uma parábola. Quando a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima, a < 0 a parábola tem concavidade voltada para baio. O coeficiente c é a ordenada do ponto (0,c) onde a parábola intercepta o eio y. O zeros ou raízes da função são o pontos onde a parábola intercepta o eio, ou seja, onde f() = 0.

21 Estudo do Sinal da função do 2º grau Para a > 0 > 0 = 0 < 0

22 Estudo do Sinal da função do 2º grau Para a < 0 > 0 = 0 < 0

23 Eemplo: 1) Estude o sinal das funções abaio. a) Y = -² + 6-8

24 a) Y = ²

25 2) Considere a função quadrática f() = ² , para quais valores de tem-se f() 0?