Definimos como conjunto uma coleção qualquer de elementos.

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1 Conjuntos Numéricos Conjunto Definimos como conjunto uma coleção qualquer de elementos. Exemplos: Conjunto dos números naturais pares; Conjunto formado por meninas da 6ª série do ensino fundamental de um determinado colégio; Conjunto dos números primos; Formas de representar um conjunto 1º caso: Forma de listagem Conjunto dos números pares positivos P = {2, 4, 6, 8,...} 2º caso: Propriedades dos elementos Conjunto dos números pares positivo P = { x / x é par e positivo} 3º caso: Diagrama de Venn Conjunto dos números pares maiores que 2 e menores ou igual a 8. Relação de Pertinência Para relacionar elemento com conjunto é utilizado o símbolo de (pertence) e (não pertence).

2 Se x pertence a um conjunto A, então dizemos que x A Se y não pertence a um conjunto A, então dizemos que y A Conjunto Vazio Quando um conjunto não possui elementos então dizemos que o conjunto é vazio representado por ou { }. = {x; x x} Conjunto Universo Quando um conjunto é formado por todos os elementos então dizemos que o conjunto é o universo U U={x; x=x} Subconjunto Se todo elemento de um conjunto A também é elemento de um conjunto B então dizemos que A B lê-se (A esta contido em B), ou seja, A é subconjunto de B. Observação importante A A, todo conjunto esta contido nele mesmo; A, o conjunto vazio esta contido em qualquer conjunto; Se um conjunto A possui n elementos então ele possui 2 n subconjuntos; O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {1,2}, o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {,{1},{2},{1,2}}.

3 Conjuntos numéricos fundamentais Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber: Conjunto dos Números Naturais Os números que trabalhamos são distribuídos em forma de conjuntos, primeiro foi definido os Números Naturais representado pela letra N, o conjunto dos números naturais é formado por N={0,1,2,3,4,...}, este conjunto é infinito, ou seja, não tem fim, porém possui inicio que é o número zero. Observou-se que este conjunto não é fechado quanto à subtração e a divisão, pois nem toda subtração e divisão de números naturais é um número natural =? =? 12 : 5 =? 8 : 7 =? Conjunto dos Números Inteiros Como podemos vê não existe nenhum número natural que represente a diferença lê-se dez menos quinze ou lê-se quinhentos menos oitocentos assim surgiu à necessidade de se construir outro conjunto, chamado de Números Inteiros, representado pela letra Z. O Conjunto dos números inteiros Z = {...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...}, é formado por todos os números naturais mais seus opostos, lembrando que o zero é tido como nulo ou neutro, ele não é nem negativo nem positivo.

4 É comum encontrarmos os números inteiros no dia a dia. Quando verificamos a situação de débito ou crédito de uma conta bancária. Quando medimos a temperatura de um líquido Quando utilizamos o elevador de um prédio. Reta Numérica Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, que crescem da esquerda para a direita, assim -7 é menor que -2, 0 é maior que -6 e assim por diante. Vamos comparar alguns números inteiros -3 > -8, lê-se -3 é maior que < +10, lê-se -15 é menor que < 0, lê-se -200 é menor que 0 Observação importante: Zero é maior que qualquer número negativo; Menos um é o maior número negativo; Zero é menor que qualquer número positivo; Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo;

5 Números opostos ou simétricos Observe que a distância de -5 até o zero é a mesma do +5 até o zero, estes números são chamados de opostos ou simétricos. Exemplos: -4 é o oposto ou simétrico de 4; 20 é o oposto ou simétrico de -20; -100 é o oposto ou simétrico de 100; Adição e Subtração de Números Inteiros Adição: 1º Passo: Tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números; 2º Passo: Sinais iguais conserva-se o sinal e soma. Sinais diferentes conserva-se o sinal do número mais distante do zero e subtrai. Exemplos: (+7)+(+3)= = +10 (- 8)+(- 5) = -8-5 = - 13 (+12) + (-10) = = + 2 (-30) + (+25) = = - 5

6 Subtração: 1º Passo: Tiramos os parênteses e trocamos o sinal do número depois da subtração 2º Passo: Sinais iguais conserva-se o sinal e soma. Sinais diferentes conserva-se o sinal do número mais distante do zero e subtrai. Exemplos: (+7) - (+3)= +7-3 = +4 (- 8) - (- 5) = = - 3 (+12) - (-10) = = +22 (-30) - (+25) = = - 55 Observação importante: Para facilitar o entendimento ao efetuar o 2º passo tanto da adição como da subtração pode pensar em débito (número negativo) e crédito (número positivo). Multiplicação e Divisão de Números Inteiros Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números inteiros efetuamos o jogo de sinais como nos casos abaixo: 1º caso: Sinais iguais resultado positivo (-5) x (-7) = + 35 (+5) x (+7) = +35 (+15) : (+3) = + 5 (-15) : (- 3) = + 5

7 2º caso: Sinais diferentes resultado negativo (-5) x (+7) = - 35 (+5) x (-7) = - 35 (+15) : (-3) = - 5 (-15) : (+3) = - 5 Potenciação de Números Inteiros Uma potência representa a quantidade (n) de vezes que um número (a) é multiplicado por ele mesmo. Representamos simbolicamente uma potência por a n, onde definimos: a, como a base n, como o expoente. (+2)x(+2)x(+2)=+8=(+2) 3, lê-se mais dois ao cubo (-3)x(-3) = +9 = (-3) 2, lê-se menos três ao quadrado Regras para efetuar uma potência 1ª Caso: Se o expoente for zero, a resposta será igual a 1. (-3) 0 = 1 (+500) 0 = 1 Observação Importante: Sem os parênteses haverá mudança no resultado: = -1

8 2º Caso: Se o expoente for natural par, a resposta será sempre positiva. (-3) 2 = (-3)x(-3)=+9 (+2) 4 = (+2)x(+2)x(+2)x(+2) = +16 3º Caso: Se o expoente for natural impar, a resposta terá o mesmo sinal da base. (-3) 3 = (-3)x(-3)x(-3)=(+9)x(-3)= - 27 (+2) 5 = (+2)x(+2)x(+2)x(+2)x(+2)=(+4)x(+4)x(+2)=(+16)x(+2)=+32 Observação Importante: Sem os parênteses haverá mudança no resultado: (-2) 2 = (-2)x(-2)= = -(2)x(2)= -4 Radiciação de Números Inteiros A radiciação é a propriedade inversa da potenciação, logo se 3 2 = 9 então a raiz quadrada de 9 é 3, ou seja,. Representamos simbolicamente um radical por definimos: onde a, como radicando n, como índice., pois 5 x 5 = 25

9 , pois 7 x 7 = 49, não existe raiz de número negativo com índice par., neste caso o menos esta fora da raiz, portanto existe resultado que é -9., pois (-2)x(-2)x(-2)= - 8, pois 2 x 2 x 2 = 8 Propriedade: Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros É fundamental para a resolução de uma expressão numérica seguirmos alguns passos. Priorizamos nesta ordem às operações de potenciação e radiciação, multiplicação e divisão e por último soma e subtração obedecendo também à ordem de eliminação dos parênteses, colchetes e por último as chaves. a) [(5² - 6.2²).3 + (13 7)² : 3] : 5 = [(25 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = [(25 24) : 3 ] : 5 = [ ] : 5 = [ ] : 5 = 15 : 5 = 3

10 Observação importante: 1º) Caso tenha uma expressão com multiplicação e divisão simultaneamente resolvemos primeiro a operação que vier da esquerda para a direita. 8 : 2 x 4 = - 4x4 = º) O conjunto dos números inteiros não é fechado quanto a divisão, ou seja, a divisão entre dois números inteiros nem sempre é um número inteiro. (- 8) : (- 3) =? (+20) : (- 7) =? Por isso foi necessário que se construísse um terceiro conjunto, o conjunto dos números racionais. Conjunto dos Números Racionais Representado pela letra Q o conjunto dos números racionais é formado por todo número que pode ser escrito em forma de fração, ou seja, assim definimos: onde z* são os inteiros não nulos, a, como numerador b, como denominador 2, pois 2 = 2/1, onde 2 é o numerador e 1 é o denominador; -1/2 (lê-se menos um meio ), onde -1 é o numerador e 2 é o denominador; 3/5 (lê-se três quintos ), onde 3 é o numerador e 5 é o denominador; 0,001 = 1/1000 (lê-se Um milésimo ), onde 1 é o numerador e 1000 é o denominador; 0,333...=3/9=1/3, onde 1 é o numerador e 3 é o denominador;

11 Adição e Subtração de Números Racionais Adição 1º Passo: Tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números; 2º Passo: Denominadores iguais, repetimos o denominador e somamos os numeradores. Denominadores diferentes e primos calcula-se o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores encontrando frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o exemplo abaixo.

12 Descrição dos passos: Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais um quinto mais cinco terço; Efetuamos o MMC entre os denominadores 3 e 5 obtendo 15 que substituiu os denominadores 3 e 5. Dividimos 15 por 5 e multiplicamos pelo numerador 1 obtendo 3 o novo numerador da primeira fração Dividimos 15 por 3 e multiplicamos pelo numerador 5 obtendo 25 o novo numerador da segunda fração Igualamos a soma das frações três quinze avos com vinte e cinco quinze avos Por últimos repetimos o denominador 15 e somamos os numeradores 3 mais 25 obtendo vinte oito quinze avos. Observação Importante: O MMC entre números primos é o produto entre eles. Números primos são números que são divisíveis apenas por 1 e por ele mesmo Alguns números primos: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,... Denominadores diferentes e Múltiplos calcula-se o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores encontrando frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o exemplo abaixo.

13 Descrição dos passos: Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais dois quinto mais três décimos; Efetuamos o MMC entre os denominadores 5 e 10 obtendo 10 que substituiu os denominadores 5 e 10. Dividimos 10 por 5 e multiplicamos pelo numerador 2 obtendo 4 o novo numerador da primeira fração Dividimos 10 por 10 e multiplicamos pelo numerador 3 obtendo 3 o novo numerador da segunda fração Igualamos a soma das frações quatro décimos com três décimos. Por últimos repetimos o denominador 15 e somamos os numeradores 3 mais 25 obtendo vinte oito quinze avos. Observação Importante: O MMC entre números múltiplos é o maior número entre eles. a) mmc(2,4)=4; b) mmc(3,9)=9; c) mmc(20,100)=100; Denominadores diferentes calcula-se o Mínimo Múltiplo Comum (MMC), fatoração simultânea, entre os denominadores encontrando frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o exemplo abaixo.

14 Descrição dos passos: Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais dois sextos mais três oitavos; Efetuamos o MMC entre os denominadores 6 e 8 obtendo 24 que substituiu os denominadores 6 e 8. Dividimos 24 por 6 e multiplicamos pelo numerador +2 obtendo +8 o novo numerador da primeira fração Dividimos 24 por 8 e multiplicamos pelo numerador +3 obtendo +9 o novo numerador da segunda fração Igualamos a soma das frações oito vinte quatro avos com dezessete vinte quatro avos. Por últimos repetimos o denominador 24 e somamos os numeradores 8 mais 9 obtendo dezessete vinte quatro avos. Observação Importante: O MMC utilizando fatoração simultânea. mmc(16,18)= = 144

15 Subtração: Na subtração o processo é semelhante, como mostra o exemplo. 1º Passo: Tiramos os parênteses e trocamos o sinal da fração após a subtração; 2º Passo: Tratamos como nos casos da adição. Descrição dos passos: Retiramos os parênteses trocando o sinal da fração que aparece após a subtração e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais um terço menos três quintos; Efetuamos o MMC entre os denominadores 3 e 5 obtendo 15 que substituiu os denominadores 3 e 5. Dividimos 15 por 3 e multiplicamos pelo numerador +1 obtendo +5 o novo numerador da primeira fração Dividimos 15 por 5 e multiplicamos pelo numerador -3 obtendo -9 o novo numerador da segunda fração Obtemos a expressão mais cinco quinze avos menos nove quinze avos. Por últimos repetimos o denominador 15 e efetuamos os numeradores +5-9 obtendo menos quatro quinze avos.

16 Observação importante: O processo é o mesmo para os diferentes tipos de denominadores. Multiplicação e Divisão de Números Racionais Multiplicação Ao multiplicarmos dois números racionais efetuamos o jogo de sinais como nos casos abaixo: 1º caso: Sinais iguais resultado positivo Descrição dos passos: Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal; Multiplicamos numerador com numerador 1 vezes 3 e denominador com denominador 5 vezes 7. Obtemos o resultado mais três trinta e cinco avos. 2º caso: Sinais diferentes resultado negativo

17 Divisão Ao dividirmos dois números racionais efetuamos o jogo de sinais como nos casos abaixo: 1º caso: Sinais iguais resultado positivo Descrição dos passos: Repetimos a primeira fração, trocamos o sinal de divisão por multiplicação e invertemos a segunda fração; Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal; Multiplicamos numerador com numerador, 1 vezes 7 e denominador com denominador 5 vezes 3. Obtemos o resultado mais sete quinze avos. 2º caso: Sinais diferentes resultado negativo Descrição dos passos: Repetimos a primeira fração, trocamos o sinal de divisão por multiplicação e invertemos a segunda fração; Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal; Multiplicamos numerador com numerador, 1 vezes 4 e denominador com denominador 7 vezes 9. Obtemos o resultado menos quatro sessenta e três avos.

18 Potenciação de Números Racionais Os conceitos vistos para potenciação de números inteiros podem ser expandidos para números racionais, seguida de algumas propriedades. Se a n é uma potência de base a e expoente n então são válidas a propriedade: Se a base a é uma fração do tipo então: Exemplos:

19 Radiciação de Números Racionais Da mesma forma que na potenciação podemos expandir os conceitos de radiciação já vistos anteriormente para números racionais. Se é um radical em que o radicando a é uma fração do tipo Então vale as propriedades: Exemplos:

20 Também são chamados de números racionais, ou seja, números que podem ser escritos em forma de fração os seguintes números: Os decimais; As dízimas periódicas simples e compostas; Como transformar decimal em fração Descrição dos passos Retira-se a vírgula e divide o número obtido por múltiplos de 10 de acordo com a quantidade de casas depois da vírgula, neste caso por 10, pois havia apenas uma casa após a vírgula que era o número 1.

21 Fração Geratriz Como transformar uma dízima periódica simples em uma fração. Descrição dos passos Neste caso a dízima é chama de periódica simples, pois só possui parte periódica, desta forma se pega o período que é o número 1 e divide-se por 9 em outros casos por 99 ou 999 e assim por diante, a quantidade de nove corresponde a quantidade de algarismos da parte periódica. Descrição dos passos Neste caso a dízima é chamada de periódica composta, pois possui além do período 3 a parte não periódica o número 2, para encontrar a fração geratriz se pega a parte não periódica junta-se à parte periódica formando o número 23 subtrai da parte não periódica encontrando o número 21 que passa a ser o numerador da fração geratriz já o denominador é formado por 90 em outros casos 990 ou 900 e assim por diante, a quantidade de nove equivale a quantidade de algarismos da parte periódica já a quantidade de zero equivale a quantidade de algarismos da parte não periódica. Observação importante: Quando a dízima periódica possui parte inteira devemos fazer como dos exemplos c e d.

22 Conjunto dos Números Irracionais Dizemos que o conjunto dos números irracionais é o que falta no conjunto dos números racionais para que este fique igual ao conjunto dos números reais, representado pela letra Q c, ou simplesmente I, os irracionais são formados por todos os números que não podem ser escritos em forma de fração, como o número Pi =3,14..., muito usado na geometria, o número neperiano e = 2, , as raízes não exatas como 2,3 e 5 também são exemplos de números irracionais. Conjunto dos Números Reais Representado pela letra R, o conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais com os números irracionais como mostramos através do diagrama abaixo. Observação importante: Todo número natural é inteiro; Todo número inteiro é racional; Nenhum número racional é irracional; Todo número racional ou irracional é real;