PROGRAMA DE NIVELAMENTO 2011 MATEMÁTICA

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1 PROGRAMA DE NIVELAMENTO 0 MATEMÁTICA

2 I - CONJUNTOS NUMÉRICOS Z {..., -, -, -, 0,,,,...} Não há números inteiros em fração ou decimais Q Racionais São os números que representam partes inteiras ou divisões, ou seja, os inteiros, frações, decimais exatos e dízimas periódicas. Q {...,,,...} Esta figura representa a classe dos números. Veja a seguir: N Naturais São os números os quais utilizamos para contar quantidades inteiras N {0,,,,,,...} Não há números naturais negativos I Irracionais São todos os decimais não exatos, não periódicos e não negativos. I {...,, π,,...} 7 R Reais É a união de todos os conjuntos numéricos: todo número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real). Z Inteiros São números relativos que estão ligados as trocas, ou seja, transações de coisas Só não são reais as raízes em que o radicando seja negativo e o índice par

3 Interseção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: CONCEITOS DE CONJUNTOS Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou. Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja, A B. Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja: União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:

4 EXERCÍCIOS. Seja A {,, {, }, 6}. Complete com os símbolos,, ou e assinale a alternativa que contêm esses símbolos em uma correspondência correta e na respectiva ordem: I) A II) {} A III) {;} A IV) A V) A VI) {,6} A a),, e b), e c),, e d), e e),, e. Diga se é verdadeiro ou falso. a) {a, e, i, o, u} { } b) {a, b} {,, a, b} c) {n N/ pares} d) {,, 7, b} {, b} e) a {0, {a}, } f) b {a, b, 0} g) {a} {0, {a}, }. Efetue as operações. a) {a,, b, } {0,,,, } b) {a,, b, } {0,,,, } c) {,,,, 7} { 0,,,, } d) {,,,, 7} { 0,,,, } e) {0,,,, } N f) {0,,,, } N g) Z N h) Z N. Quatrocentos alunos realizaram provas de Matemática e Física: 6 foram aprovados em Matemática, 00 foram aprovados em Física e 60 foram aprovados em ambas. Qual é o número de alunos não aprovados em nenhuma das disciplinas?

5 . Das 0 crianças de uma classe, são meninas, 6 praticam esportes radicais e apenas 7 meninos não gostam e não pra ticam esportes radicais. O número de garotas que não praticam esportes radicais é: a) 6 b) 0 c) d) e) 7 Respostas:. d. a) V; b) F; c) V; d) V; e) F; f) F; g) F..a) {a, b, 0,,,, }; b) {, }; c) {0,,,,,, 7}; d) {,, }; e) N; f) { 0,,,, }; g) Z; h) N.. alunos. e 6. 8 alunos 6. Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pesquisa sobre preferências dos alunos quanto ao cardápio do Restaurante Universitário. Nove alunos optaram somente por carne de frango, somente por peixe, 7 por carne bovina e frango, 9 por peixe e carne bovina e pelos três tipos de carne. Considerando que 0 alunos manifestaram-se vegetarianos, 6 não optaram por carne bovina e não optaram por peixe. Quantos alunos foram entrevistados?

6 II OPERAÇÕES NUMÉRICAS Adição Exemplo: Adicione as seguintes parcelas: a) + b), + 0 6, c), + + 0,,6 d), , ,7 8,76 Aplicação: Ao efetuar uma compra de uma calça de R$ 6,6 e uma camiseta que custa R$,0. Qual o valor que devo pagar? Armar a operação 6,6 +,0 com vírgula embaixo de vírgula e efetuar a soma da parte numérica; 99,9 após transportar a vírgula. Aplicação: Pedi para meu filho ir até a feira para comprar uma dúzia de ovos. Sabendo que dei R$ 0,00 para ele e a dúzia de ovos custa R$,0. Quanto de troco meu filho deve trazer? Armar a operação 0,00,0 com vírgula em baixo de vírgula e subtrai-se a parte numérica; 7,0 após transportar a vírgula. Multiplicação Exemplo: Efetua as seguintes multiplicações: a) *7 8 b) (,)*,6 c) *(7,) 0 d) *6* 90 e) (,0)**(,) 6,608 Subtração Exemplo: Diminua as parcelas: a) 7 66 b) 0,,9 c) 7,09,,97 d),99,0 7,9,0 Aplicação: Fui ao mercado comprar melancia. Sabendo que o preço por quilo era de R$0,8 e escolhi uma melancia que pesava,7kg. Qual o valor da minha compra? 0,8 *,7 contar quantos algarismos se encontram após a vírgula ( algarismos) e eliminá-la; 8 * 7 multiplicam se os números inteiros que resulta em 80. 6

7 Finalmente escreva a vírgula contando da direita para a esquerda quantos algarismos se encontravam após a vírgula no começo da conta ( algarismos);,80,8,9 reais. Divisão Exemplo: Determine o quociente: a) 8: 6 b) 0:8, c) :8 0, d) 8: e) 0:: f) (0,)::,0 Aplicação: Desejo dividir, igualmente, meia melancia entre quatro pessoas. Quanto da melancia cada uma dessas pessoas irá comer? 0, : multiplique simultaneamente os números por 0 quantas vezes forem necessárias até que se tenha apenas números inteiros; : 0 efetue a divisão; 0, da melancia cada pessoas comeu. Regra da soma de sinais: * se os sinais são iguais, soma-se à parte numérica e mantém-se o sinal; * se os sinais são opostos, subtrai-se à parte numérica e mantém-se o sinal do número de maior módulo. Regra da multiplicação de sinais: (+).(+) (+) (-).(-) (+) (-).(+) (-) (+).(-) (-) * multiplicação de sinais iguais o sinal resultante é positivo; * multiplicação de sinais opostos o sinal resultante é negativo. 7

8 Adição/Subtração de números na forma fracionária: EXERCÍCIOS. Efetue: a + l,7 * (-) b, + m,0 * (-,) c,,9 n -, * (,) d 6,0 + 0, o -,8 * (-,) e,6 7,0 p, +,8 * () f 0,9 q :(8) g -0 +, r :(-6) h 9, 0,09 s :(-) i, +,, t * (,) * () j,* () u, * (-9,) +,6:() Respostas:. a) 7; c )0,6; e),7; g),7; i) -,6; l),7; n) ; p) 0,; r) 0,8; t) Exemplo: * para somar/subtrair frações é necessário deixar as frações com os mesmos denominadores. Mínimo múltiplo comum: ; ; ; mmc. 6 Exemplo: ( ) 6 6 Aplicação: Fomos em uma pizzaria, éramos em pessoas e pedimos uma pizza. Sabendo que Joãozinho comeu cinco pedaços da pizza. Quantos pedaços de pizza Mariazinha comeu? pizza tem 8 pedaços, logo cada pedaço equivale 8 da pizza. Como Joãozinho comeu 8 da pizza. 8

9 8 Mariazinha comeu: - da pizza, isto é, pedaços Multiplicação de números na forma fracionária: Exemplo:. 7 0 * multiplica-se os numeradores entre si assim como os denominadores. Aplicação: Ao receber o salário de R$ 8,00 irei dar a igreja um décimo dele. Quanto a igreja irá receber de mim? , reais. 0 0 Divisão de números na forma fracionária: Exemplo: : 7 7. * mantém-se a primeira fração, troca-se a operação da divisão para a multiplicação e inverte-se a segunda fração. Aplicação: Desejo dividir meia barra de chocolate para três pessoas: :. da barra de chocolate para cada pessoa. 6 Exemplo: 6 :. 6 Equivalência entre as frações: Exemplo: é equivalente a, pois representa a mesma quantidade do todo. Figura: A figura apresenta a equivalência entre as frações:. 8 Aplicação: Ao chegar para comprar café em uma mercearia não é comum pedirmos três sextos do quilo de café, mas sim, meio quilo que café. 9

10 Transformação de números fracionários em decimal e decimal em fracionários Costumeiramente se em uma expressão há números fracionários e decimais, logo optamos por transformar os números fracionários em decimal. Exemplo: + 0, +, (fracionário em decimal) E se quiséssemos transformar um decimal em fracionário?, 0, ,7 00 0, * ou seja, multiplique por 0 o numerador e o denominador tantas vezes forem necessárias para que a parte decimal desapareça.. Efetue: a b c d e f g h i EXERCÍCIOS j + l + m n - - o p q. r s : 7 : : : 6 : : 6 7. : 0

11 . Efetue a simplificação: a b c d 6 8 e f CESUMAR CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ Respostas: ) a) ; c) ; e) ; g) ; i) 9; l) ; n) ; p) ; r) ) a) ; c) ; d) ; f) ) a) ; c) ; e) ; g) Efetue a transformação para a forma fracionária e quanto possível simplifique: a 0, e,7 b 0, f 0,0 c 0,0 g 0,0 d, h,0. Se na geladeira tinha 0,7 de um melão e comi a metade. Quanto comi do melão?

12 III - POTÊNCIAS Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A. n A é a baseda potência; A A *A *A *A*... n é o expoenteda potência,quedeterminaoseu grau. n vezes Assim: ³ * * 8 ³ 8 (- ) (- ) * (- ) * (- ) * (- ) (- ) (- ) 6; 6; (- )² 9; ² 9. Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base: ³ 7 ; (- )³ - 7 ; (- ) - Multiplicação de potências de mesma base Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes. + Realmente: ³* ² * * * * { vezes vezes Exemplo: vezes CASOS PARTICULARES: ² * 7 9 * * * * * * * * 9. A potência de expoente é igual à base: A A;. Toda potência de é igual a : ² ; ³. Toda potência de 0 é igual a 0: 0² 0; 0³ 0. Toda potência de expoente par é positiva: Divisão de potências de mesma base Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes. Realmente: 66 vezes 78 6 ***** 6 - *** vezes

13 Exemplo: 7 : * * * 8 denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo. Potenciação de potência Eleva-se a base ao produto dos expoentes. 6 * 6 Realmente: ( ) ( ) * ou vezes 0 Exemplo: ( ) Realmente: Exemplo: 7 7 * - 7 * - - Expoente nulo Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a unidade. - a :a a a 0 Realmente: a a :a 0 Exemplo: (- ) 0 Expoente negativo Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo Potências de 0 Efetuam-se as potências de 0 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. a) 0² 00 b) c) 00 * 00 * 0² d) 000 * 0³ e) * 0 f) *

14 Números decimais Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas são as ordens decimais. - Realmente: 0,00 * a) 0, b) 0,00 * 0 - c) 0, * 0 - d), * 0 - e) * 0-0,00 EXERCÍCIOS. Calcule: a) ³ b) 0 c) (- )³ d) (- )³ e) (- ) f) (- ) g) ³ * h) ² * * i) : j) : ² * k) * l) (- ) * (- ) m) : n) (- 6 ) : 6 o) (³) p) (³) q) ³ r) [ (³)² ]² s) ( * )³ t) (² * * )

15 u) v) * w) x) ( * ²) 0 y) - z) * - aa) bb) ( - * - ) - cc) x + * x dd) x * x ee) x : x. Exprimir, utilizando potências de 0: a) b) c) 0,0 d) 0,0000 IV RADICAIS Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A. OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo n A Assim: n - índice da raiz A - radicando - radical a) 6 porque ² 6 b) 8 porque ³ 8 c) 8 porque 8 Propriedade É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo índice do radical.

16 a) * b) 80 * * 6 8 c) * * * 8 8: d) Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplicase o expoente do fator pelo índice do radical. Assim: * Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum. a) * * b) c) * * ** 0 * d) Adição e subtração de radicais semelhantes Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical. a) b) Potenciação de radicais Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice. 7 a) ( ) b) * ( *) * 6

17 Radiciação de radicais Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando. a) * b) Racionalização de denominadores º Caso: O denominador é um radical do º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração. Expoente fracionário Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida a) * * numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando. b) * * 9 * 6 c) * * a) p q q a a p d) 6 * 6 * *6 0 b) a a c) d) 6 6 7

18 º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, são radicais do º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. OBS: A expressão conjugada de a + b é a b. Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo: (a + b) * (a b) a² - b² Assim: ( + ) * ( ) ² - ² 9 6 * ( - ) a) + ( + ) *( - ) ( ) ( ) - b) * ( - ) + ( + ) *( - ) ( ) -( ) * - - ( ) * ( - ) * ( - ) * - -. Efetuar: a) b) c) d) * 6 e) (- ) * (- ) 8 f) g) ( ) 6 h) * i) j) k) EXERCÍCIOS l) 8

19 . Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes: a) b) c) d) ( * ) 6. Racionalizar o denominador das frações seguintes: a) b) c) d) e)

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