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1 Matemática Básica

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3 Sumário Matemática Básica Unidade I 1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES... EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES RESOLVENDO EQUAÇÕES RESOLVENDO INEQUAÇÕES...13 REGRA DE TRÊS SIMPLES: RELAÇÃO DIRETA E INVERSA ENTRE GRANDEZAS PORCENTAGEM: CONCEITOS FUNDAMENTAIS...19 Unidade II 7 FUNÇÕES MATEMÁTICAS E SUAS REPRESENTAÇÕES... 8 FUNÇÃO DO 1º GRAU... 9 FUNÇÃO DO º GRAU SISTEMA DE EQUAÇÕES (PONTO DE INTERSEÇÃO)...3

4

5 MATEMÁTICA BÁSICA Unidade I APRESENTAÇÃO Caro aluno, 1 0 Sua visitação por conteúdos matemáticos já estudados no Ensino Fundamental e Médio contemplará o objetivo geral da disciplina Matemática Básica que, por sua vez, deseja capacitá-lo na operação com formulações e modelos matemáticos, no desenvolvimento do raciocínio lógico, espírito de investigação e habilidade em solucionar problemas, além de fazê-lo se familiarizar com símbolos, métodos e técnicas matemáticas que ajudem a estimular, organizar o pensamento e, portanto, oferecer ferramentas necessárias para futuras aplicações da matemática nas diferentes áreas profissionais. O material apresentado a seguir está dividido em duas partes. Primeiramente, estudaremos os conjuntos numéricos, suas operações e a resolução de equações e inequações, além de algumas aplicações utilizando regra de três simples e números percentuais. Em seguida, na segunda parte, abordaremos o conceito de Função e suas representações. Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugere-se, como complemento de estudo, a utilização de outras bibliografias. Observação: durante as aulas (estudos e provas), se for necessário, utilize apenas uma simples calculadora para facilitar os cálculos. 1

6 Unidade I 1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES Representações Os números que utilizamos diariamente em nossa vida são organizados por meio de conjuntos. Veja: conjunto dos números naturais: N = {0; 1; ; 3; 4;...}; conjunto dos números inteiros (Z): o conjunto dos números inteiros é formado por todos os elementos do conjunto dos números naturais (números inteiros positivos) e também por todos os números inteiros negativos: Z = {...; 4; 3; ; 1; 0; 1; ; 3; 4;...}; conjunto dos números racionais (Q): um número racional é representado por meio de uma fração. Por exemplo: 1 3 ; ; 3 ; ; ; 1 ; 1 ; 1 ; 3 ;. 9 1 Toda fração pode ser representada de outra maneira se dividirmos o seu numerador pelo seu denominador. Observe os exemplos abaixo: 1 = 1: = 0, 3 = 3: 4 = 0, = 3: = 1, = : 1= 1 8 = 8: 1 = = 1: 3 = 0, (dízima periódica) 7 = 7: 9 = 0, (dízima periódica) 9

7 MATEMÁTICA BÁSICA Portanto, podemos dizer que o conjunto dos números racionais (Q) é formado pelo conjunto dos números inteiros (que podem ser representados na forma de fração) e também por números não inteiros que, necessariamente, são representados por meio de frações e de números decimais; conjunto dos números irracionais (Ir): o conjunto dos números irracionais é formado por números que não se podem expressar como quocientes de dois números inteiros, ou seja, não se podem expressar por meio de fração. Por exemplo: se a raiz quadrada de um número natural não for inteira, é irracional. Logo, são irracionais, 3,, 7, 8, e outros. Tais números são representados por dízimas infinitas e não periódicas. Veja: 1 = 1, = 1, =, ; conjuntos dos números reais (R): reunindo o conjunto dos números irracionais (Ir) e o conjunto dos números racionais (Q), obtemos o conjunto dos números reais (R). A representação dos números reais na reta numérica: Reais Observação: vale lembrar que, entre dois números reais inteiros, existem infinitos outros números reais. Operações relembrando através de exemplos Multiplicação e Divisão em primeiro lugar: +. 7 = + 3 = 37 1 : 3 = = 3

8 Unidade I Distributiva: 3. (4 + 6) = = = 30. ( 6) =. +. ( 6) = 0 30 = 0 Os sinais: 7 4 = = = 3 ( 7). ( 4) = +8 ( 7). (+4) = 8 7. ( 4) = 8 ( 7) : ( 4) = +1,7 ( 7) : (+4) = 1,7 7 : ( 4) = 1,7 Potências: =. = 0. =. (.) =.0 = 00 ( ) = ( ). ( ) = 0 = (. ) = 0 3 =.. = 1 ( ) 3 = ( ). ( ). ( ) = / = 9 = 3 Frações e representações decimais: 7 + = = 7: 3 =, , = + = = : 4 = 1,

9 MATEMÁTICA BÁSICA (Obs.: a fração ½ é equivalente à fração /4) = = = 8: 1 = 0, , : = 6 3 = 6 = 1 (Obs.: multiplica-se a primeira fração pela inversa da segunda) As raízes: 8. = 16 = 4 8 : = 4 = 8 +,83 + 1,41 4,4 (Obs.: 8 + ) 8,83 1,41 1,4 (Obs.: 8 6) ( 8) = =. 3. 1,73 3,46 Subconjuntos de R Interpretando a simbologia: A = {x R x > 3} Quais são os elementos do conjunto A? Resp.: elementos x pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que x são elementos reais maiores que 3. B? B = {x R x } Quais são os elementos do conjunto Resp.: elementos x pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que x são elementos reais menores ou iguais a.

10 Unidade I C = {x R 8 < x < 3} Quais são os elementos do conjunto C? Resp.: elementos x pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que x são elementos reais maiores que 8 (pois -8 < x) e menores que 3 (pois x < 3), ou seja, elementos reais que estão entre os números 8 e 3. EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES Utilizamos as letras para representar ou traduzir, em linguagem matemática, as operações estudadas em aritmética. Tais representações são ferramentas muito úteis na resolução de problemas. Para relembrar: valor numérico de expressões literais: Considere: y = x + x Qual o valor de y quando x =? Resp.: y = () +.() = = 8 1 Considere: p = m3 4m + 3m + Qual o valor de p quando m = 3? Resp.: p = (3) 3 4.(3) + 3.(3) + = 7 4.(9) = = operações com expressões literais: x. x = x 0 x + x = x (b + 3c a) + (3a 4b c) = b + 3c a + 3a 4b c = b + c + a (6x + 1y) = 6x 1y 6

11 MATEMÁTICA BÁSICA ( x + 3y) = + x 3y (9x + 1y) (6x + 1y) = 9x + 1y 6x 1y = 3x + 3y (3c). ( 4c) = 1c.(3x + 4y) = 6x + 8y 3c. (4c c ) = 1c 6c 3 (x + 3y).(x 3y) = x 6xy + 1xy 9y = x + 9xy 9y (1x 3 ) : (3x) = 4x produtos notáveis: (a + b) = (a + b).(a + b) = a + ab + ab + b = a + ab + b (a b) = (a b).(a b) = a ab ab + b = a ab + b (a + b).(a b) = a ab + ab b = a b 3 RESOLVENDO EQUAÇÕES As equações são igualdades envolvendo expressões literais. Por meio da resolução de uma equação, pode-se encontrar um valor desconhecido. Veja: 1 Exemplo 1: y + 6 = (Vamos encontrar y ) y = 6 y = 4 0 y = y = 4 7

12 Unidade I Exemplo : x + 3 = x + 6 (Vamos encontrar x ) x = x x = x + 3 x x = x x + 3 3x = x = x = Exemplo 3: m + 3 = 4m + 6 (Vamos encontrar m ) m = 4m m = 4m + 3 m 4m = 4m 4m + 3 6m = m = m = = = 0, 6 8

13 MATEMÁTICA BÁSICA Exemplo 4: 14 = p + 3 (Vamos encontrar p ) 14 3 = p = p 11 = p,=p Exemplo :.(3t + ) = 4.(t 3) (Vamos encontrar t ) 6t + = 4t 1 6t + = 4t 1 6t = 4t 6t 4t = 4t 4t t = t = 1 t = 11 Exemplo 6: 4n + = 0 (Vamos encontrar n ) 4n + = 0 9

14 Unidade I 4n = 4 4 n = 4 n = = =, 4 Exemplo 7 (Equação do º grau): x 6x = (Vamos encontrar x ) x 6x + = + x 6x + = 0 a = 1 b = 6 c = + = b 4.a.c = ( 6) 4.(1).() = 36 0 = 16 b x = + a ( ) + ( ) x = ( ) ( ) x " = = + 4 = = 6 = 4 = = 1 Exemplo 8 (Equação do º grau): 1 x 9 = 0 (Vamos encontrar x ) a = 1 b = 0 c = 9

15 MATEMÁTICA BÁSICA = b 4.a.c = (0) 4.(1).( 9) = = 36 b x = + a 0 36 ( x = ) + ( 1) 0 36 ( x " = ) ( 1) = = = 3 = 0 6 = 6 = 3 Exemplo 9 (Equação do º grau): x + x = 0 (Vamos encontrar x ) a = b = 1 c = 0 = b 4.a.c = (1) 4.().(0) = 1 0 = 1 b x = + a ( x = ) + ( ) 1 1 = = = ( x " = ) ( ) 1 1 = 1 1 = =

16 Unidade I As equações são ferramentas auxiliares na resolução de vários problemas envolvendo a matemática e o cotidiano. Por exemplo: a) A soma de nossas idades atualmente é 4. Calcule-as, sabendo que sou 7 anos mais velho do que você. Resolução: Seja: x...minha idade atual e x 7...sua idade atual. x + (x 7) = 4 x + x 7 = 4 x 7 = 4 x = x = x = x = 6 1 Portanto, a minha idade atual é 6 anos e a sua idade atual é 6 7 = 19 anos. b) A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 0 4p. Determinar a quantidade de produtos vendidos para p = R$ 1,00. Resolução: 0 Q = 0 4p 1

17 MATEMÁTICA BÁSICA Q = 0 4.(1) Q = 0 60 = 40 unidades do produto. c) A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 0 4p. Determinar o preço p correspondente a 0 unidades de produtos vendidos. Q = 0 4p 0 = 0 4p 0 0 = 0 0 4p 0 = 4p 0 = 4p 4 4 R$ 1,0 = p. 4 RESOLVENDO INEQUAÇÕES 1 As inequações são desigualdades envolvendo expressões literais. Por meio da resolução de uma inequação, podem-se encontrar infinitos valores que satisfazem a uma determinada condição matemática. Os símbolos utilizados nas desigualdades são: > (maior), < (menor), (maior ou igual), (menor ou igual). Exemplo 1: y + 6 > 0 y > 6 y > 4 13

18 Unidade I y > 4 y > ou seja {y R y > } Solução desta inequação: elementos y pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que y são elementos reais maiores que. Exemplo : x + 3 < x + 6 x < x x < x + 3 x x < x x + 3 3x < x < 3 3 x < 1 ou seja {x R x < 1} Solução desta inequação: elementos x pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que x são elementos reais menores que 1. 1 Exemplo 3: m + 3 4m + 6 (Vamos encontrar m ) m m m 4m + 3 m 4m 4m 4m

19 MATEMÁTICA BÁSICA 6m +3 Atenção: é necessário tornar 6m um termo positivo. Por isso, neste caso, dividem-se os dois membros da inequação por 6. 6m > Então, troca-se o sinal por m 3 6 m 1 = 0, m 0, ou seja {m R m 0,} Solução desta inequação: elementos m pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que m são elementos reais menores ou iguais a 0,. Exemplo 4: 14 p p p 11 p, p ou p, Atenção: os sinais ou são invertidos sempre que os membros são trocados. 1 {p R p,} 1

20 Unidade I Solução desta inequação: elementos p pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que p são elementos reais maiores ou iguais a,. Exemplo : 4n + > 0 4n + > 0 4n > 4 n > 4 4 n > = =, n > n >, ou seja {n R n >,} Solução desta inequação: elementos n pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que n são elementos reais maiores que,. Dica importante: Vale observar que, por exemplo, a equação 14 = p + 3 pode ser escrita, também, como p + 3 = 14. Afinal, trata-se de uma igualdade. 1 Já nas desigualdades: Exemplo: a inequação 14 > p + 3 não pode ser escrita como p + 3 > 14, mas sim como p + 3 < 14. Pois, por exemplo, se 1 <, então > 1. 16

21 MATEMÁTICA BÁSICA As inequações, assim como as equações, também são ferramentas auxiliares na resolução de vários problemas envolvendo a matemática e o cotidiano. Por exemplo: a relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 90 p. Determinar os valores de p para os quais a quantidade vendida seja de, no mínimo, 40 unidades: Resolução: Q p p p 0 p 0 p 1 Resposta: para que a quantidade de produtos vendidos seja de, no mínimo, 40 unidades, os preços devem ser menores ou iguais a R$,00. 0 REGRA DE TRÊS SIMPLES: RELAÇÃO DIRETA E INVERSA ENTRE GRANDEZAS Exemplo 1 (situação de proporcionalidade direta) Uma empresa acredita que, diminuindo R$ 1,00 no preço de determinado produto, as vendas aumentam cerca de 0 unidades. Suponha que a relação entre o preço do produto e a quantidade vendida seja diretamente proporcional. Neste caso, 17

22 Unidade I uma redução de R$ 18,00 no preço do produto acarretará um aumento na quantidade vendida de: Resolução: R$ 1,00 de redução no preço do produto 0 unidades no aumento de vendas R$ 18,00 de redução no preço do produto? Espera-se que, neste caso, ao aumentarmos a redução no preço do produto, aumentem-se, também, as vendas do mesmo. Trata-se, portanto, de grandezas diretamente proporcionais. Veja: R$ 1,00 0 R$ 18,00 x 1. x = x = x = = 1 30 unidades no aumento de vendas 0 Resposta: quando aumentamos a redução do preço do produto de R$ 1,00 para R$ 18,00, obtemos um aumento nas vendas de 0 unidades para 30 unidades. Exemplo (situação de proporcionalidade inversa) Com 4 pedreiros trabalhando, um muro é construído em 1 dias. Em quantos dias 6 pedreiros construiriam o mesmo muro trabalhando no mesmo ritmo? 18

23 MATEMÁTICA BÁSICA Resolução: 4 pedreiros trabalhando 1 dias de construção 6 pedreiros trabalhando??? Espera-se que, neste caso, ao aumentarmos o número de trabalhadores, o tempo de serviço diminua x Atenção: para tanto, devemos manter uma razão e inverter a outra. Veja: 4 x x = x = x = = dias de serviço 6 Resposta: quando aumentamos o número de trabalhadores de 4 para 6, obtemos uma diminuição no tempo de trabalho de 1 para dias. 6 PORCENTAGEM: CONCEITOS FUNDAMENTAIS Exemplos: a) 1% de

24 Unidade I 0, = 600 b) Salário de R$.300,00 acrescido de 6% de aumento , = = R$.438,00 ou ,06 = R$.438,00 c) Preço de um produto, no valor de R$ 4,00, com desconto de % = 4 4, = R$ 490,0 ou 4. 0,90 = R$ 490,0 d) O salário de um empregado, em janeiro de 0, era de R$.00,00. Se o índice de aumento de salário, deste mesmo mês, em relação a dezembro de 009 foi de 13%, qual o salário real desse empregado em dezembro de 009? 1 x = salário do empregado 1,13. x = x = = R$. 1, , 0 e) A comissão recebida mensalmente por um vendedor é igual a % de seu salário-base. Em determinado mês, foram acrescidos R$ 10,00 à comissão do vendedor. Assim, o valor total da comissão passou a ser igual a % de seu salário-base. Determine, a partir dessas informações, o valor do salário-base do vendedor: 0

25 MATEMÁTICA BÁSICA x = salário-base do vendedor 0,. x + 10 = 0,. x ou seja, R$ 10,00 corresponde a 1% do salário do vendedor. Então, podemos utilizar uma regra de três simples para resolver o problema: 10 1% x 0% 1. x = x = x = = R$ 800,

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