Inequação do Primeiro Grau

Transcrição

1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Inequação do Primeiro Grau Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de Produção

2 Definição Equação x Inequação Uma equação é uma igualdade entre dois membros e por isso usa-se o sinal de igual(=) entre eles. Uma inequação é uma desigualdade, então, em vez de um sinal de igual, usa-se sinais de:

3 Definição

4 Inequação Nas inequações utiliza-se a mesma linguagem das equações: membro, termo, incógnita e solução.

5 Inequação Assim, na desigualdade x+2 > 4, tem-se: Incógnita - x 1º membro - X + 2 2º membro - 4 Numa inequação temos muitas soluções: 5 é solução de > 4 3 é solução de > 4 OBS: Uma inequação está resolvida quando se determina o conjunto solução da mesma.

6 Inequação Toda sentença matemática que contém um ou mais elementos desconhecidos e que representa uma desigualdade é denominada inequação. Não é inequações: 5² + 5 > 3² - 2. Embora seja desigualdade, não possui elemento desconhecido. 3x + 1 = 45-4x. É uma equação.

7 Princípios Das Desigualdades

8 Princípio Aditivo Se numa balança tivermos 3kg num prato e 5kg no outro, e se acrescentarmos 2kg a cada um dos pratos, a situação não se altera. Matematicamente 5 > > ou 5 2 > 3-2

9 Princípio Multiplicativo Multiplicação por um número positivo: Observando que 2 é menor que 3 matematicamente escrevemos: 2 < 3 Podemos multiplicar ambos os membros por qualquer número positivo, que a desigualdade não se alterará: 2 x 6 < 3 x 6 2 x 0,01 < 3 x 0,01

10 Princípio Multiplicativo Podemos multiplicar ambos os membros de uma inequação por um n.º positivo, mantendo o sinal da desigualdade, que obtemos uma inequação equivalente à primeira.

11 Princípio Multiplicativo Multiplicação por um número negativo: Tendo que: 2 < 3, se multiplicarmos ambos os lados por -1 verifica-se que: (-1) x 2 = -2 e (-1) x 3 = -3 Nota-se que -2 é maior que -3, por isso ao multiplicarmos uma inequação por um número negativo, deve-se inverter o sinal da desigualdade. 2 x (-1) < 3 x (-1) -2 > -3

12 Princípio Multiplicativo Podemos multiplicar ambos os membros de uma inequação por um n.º negativo, INVERTENDO o sinal da desigualdade, que obtemos uma inequação equivalente à primeira.

13 Inequações Consideremos a seguinte situação: Um retângulo tem y metros de comprimento e x metros de largura, enquanto um triângulo equilátero tem 3 m de lado. Qual a sentença matemática que podemos escrever para expressar o fato de o perímetro do retângulo ser maior que o perímetro do triângulo equilátero?

14 Inequações Resolução: Sendo p1 o perímetro do retângulo e p2 o perímetro do triângulo, temos: p1 = 2x + 2y e p2 = 9 Como, de acordo com a situação, devemos ter p1 > p2, a sentença matemática pedida é: 2x + 2y > 9

15 Inequações do Primeiro Grau Exemplos: Vamos resolver a inequação 7x + 6 > 4x + 7, sendo U = Resolução: 7x - 4x > 7-6; 3x > 1.: x > 1/3 Podemos dizer que todos os números racionais maiores que 1/3 formam o conjunto solução da inequação dada, que representamos por:

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17 Inequações Do Primeiro Grau Pode-se resolver qualquer inequação do 1 grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1 grau, com o seguinte procedimento: 1. Iguala-se a expressão ax + b a zero; 2. Localiza-se a raiz no eixo x; 3. Estuda-se o sinal conforme os exemplos.

18 Inequações Do Primeiro Grau Exemplo 1: -2x + 7 > 0 x (-1) 2x - 7 < 0-2x + 7 = 0 x = 7/2 Exemplo 2: 2x 6 < 0 2x 6 = 0 x = 3

19 Inequações Do Primeiro Grau Exemplo 3: Resolver a inequação (x+3) > (-x-1). (x+3) > (-x-1) x+3 > -x-1 x + x > 0 2x + 4 > 0 Seja y = 2x + 4 2x + 4 = 0 x = -2 Estudando os sinais da função:

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21 Sistemas De Inequações do 1º Grau Os sistemas são conjuntos de inequações cuja solução satisfaz a todas, simultaneamente. Para resolver um sistema de inequações procedemos da seguinte maneira: Resolvemos individualmente cada inequação; O conjunto-solução do sistema é o conjunto resultado da intersecção das inequações resolvidas individualmente.

22 Sistemas De Inequações Do 1º Grau

23 Inequações Simultâneas Sentenças matemáticas que tem mais de uma desigualdade. Veja o exemplo: -3 < x < 4 Nessa inequação, os valores de x variam de 3 até 4. O processo de resolução das inequações simultâneas é semelhante ao do sistema de inequações. 1. Separamos a inequação em duas desigualdades; 2. Achamos as soluções individuais; 3. A solução procurada é determinada pela intersecção das respostas individuais.

24 Inequações Simultâneas Exemplo 1: Achar o conjunto solução da inequação simultânea -x + 3 < x+ 1 < 2x Resolução Separando as desigualdades, temos: -x + 3 < x + 1 inequação 1 x+1 < 2x inequação 2

25 Inequação Simultâneas Continuando: Encontrando o conjunto solução de cada inequação, individualmente, temos:

26 INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Resolução (continuação) A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção ( ) das soluções individuais, ou seja das soluções da Inequação 1 e 2: 1 2 = {x IR x > 1} {x IR x > 1}= {x IR x > 1} Observe que nesse exemplo, as desigualdades são iguais. Assim, a solução da desigualdade é S = {x IR x >1} = ]1, + )

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28 Inequações Produto e Quociente Sentenças matemáticas constituídas por desigualdades com produto ou quociente de funções. Essas inequações, em geral, tem sua solução baseada no estudo da variação do sinal de uma função do 1 o grau e nas propriedades dos sinais do produto e do quociente dos números reais.

29 Inequação Produto Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação produto do 1º grau (x-4) (x+2)>0 Resolvendo: Cada um dos fatores (x-4) (x+2) representa uma função do 1 o grau. Assim, iniciamos pelo estudo dos sinais dessas expressões que chamaremos de y e z, respectivamente. Para y = x-4 e z = x+2 temos: (1) Se y = x - 4, então sua raiz é obtida fazendo x - 4 = 0 x = 4. (2) Se z = x+2 então sua raiz é obtida fazendo x + 2 = 0 x = -2.

30 Inequação Produto (Continuação) (1) (2) A solução da inequação produto é obtida a partir da integração das análises das variações de sinais de y e z, representadas acima. Após, aplicamos a regra de sinais do produto dos números reais e analisamos o resultado final encontrado.

31 Inequação Produto (Continuação) y z yz Assim, a inequação produto (x-4) (x+2)>0 está definida no intervalo real { x IR x < -2 ou x > 4}

32 Inequação Quociente Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação quociente do 1º grau: < 0 Resolvendo: A resolução da inequação quociente é similar ao da inequação produto pois no conjunto dos números reais, a divisão ou multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de sinais. Assim, cada termo do quociente representa uma expressão do 1 o grau. Iniciamos pelo estudo dos sinais dessas expressões que chamamos de a e b, respectivamente.

33 Inequação Quociente (Continuação) Para a = x-1 e b = x+5 temos: (1) Se a = x-1 então sua raiz é obtida fazendo x-1 = 0 x = 1. (2) Se b = x+5 então sua raiz é obtida fazendo x+5 = 0 x = -5. A solução da inequação quociente é obtida a partir da integração das análises das variações de sinais das expressões a e b, representadas acima. Após, aplicamos a regra de sinais do quociente dos números reais e analisamos o resultado final encontrado.

34 Inequação Quociente (Continuação) Observe: Assim, a inequação quociente real { x IR -5 < x < 1} < 0 está definida no intervalo

35 Obrigado pela atenção!