Equação de 1º Grau. ax = -b

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1 Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0 Não são equações: = (Não é uma sentença aberta) x - 5 < 3 (Não é igualdade) (não é sentença aberta, nem igualdade) A equação geral do primeiro grau: ax+b = 0 onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos: dividindo agora por a (dos dois lados), temos: ax = -b Considera a equação 2x - 8 = 3x -10 A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida". Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2ºmembro. Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

2 Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5. Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação. Observe este outro exemplo: Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25 O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação. Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}. Daí concluímos que: Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U. Observações: Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação. Indica-se por V. O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo. Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais. O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S. Raízes de uma equação Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência: Substituir a incógnita por esse número. Determinar o valor de cada membro da equação. Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

3 Exemplos: Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade. Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}. Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0-2 = 0 => -2 = 0. (F) Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1-2 = 0 => -1 = 0. (F) Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2-2 = 0 => 0 = 0. (V) Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3-2 = 0 => 1 = 0. (F) Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}. Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}. Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2. (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F) Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: = 1 => -5 = 1. (F) Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: = 1 => -3 = 1. (F) Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: = 1 => -1 = 1. (F) A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø. Pares ordenados Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem. Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos: Assim: Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento. Observações De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos:. Exemplos Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.

4 Representação gráfica de um Par Ordenado Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano. Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado. Coordenadas Cartesianas Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos: A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A. Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim: Plano Cartesiano Representamos um par ordenado em um plano cartesiano. Esse plano é formado por duas retas, x e y,perpendiculares entre si. A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixox). A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y). O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

5 Localização de um Ponto Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a sequência prática: O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo: Localize o ponto (4, 3). Produto Cartesiano Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B. Assim, obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)} Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por: Logo: Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde

6 Exercícios de fixação 1) Resolva as equações abaixo: a) 2x - 6 = - x + 15 b) 2(x - 3) - 4x = - 3x - 8 c) 8x - (x + 3) = 11 d) 100x + 80 = 120x - (40x - 300) e) 9-3(2x - 8) + 2(4-5x) = 20 - (5 + 2x) f) 50x = 20(x - 4) g) 14t - 9-3t = 2t + 36 h) 6m + 3(10-4m) = m 2) Resolva as equações abaixo no campo dos reais: 3x x - 10 x + 1 a) - = x + 6 2x - 3 x - 1 b) - = Gabarito: 1) 2) a) 7 b) -2 c) 2 d) 11 e) 13/7 f) -6 g) 5 h) 5/14 a) -8/9 b) 11

7 Gabarito: 1) x = 10 2) Eu dei R$ 20,00 em dinheiro para o pagamento da mercadoria 3) Eu tenho 15 anos de idade 4) O valor unitário deste produto é de R$ 5,00. 5) O volume de chuva de hoje foi de 10 ml. 6) S = { 4,5 }. 7) 7/11 é a raiz da equação. 8) S = { } é o conjunto solução (conjunto vazio), pois -3 não pertence ao conjunto universo 9) V = {4/5} é o conjunto solução da equação. 10) Não, pois -3 é que é a raiz desta equação.