MATEMÁTICA. Equações do Primeiro Grau. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1

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1 MATEMÁTICA Equações do Primeiro Grau Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1

2 Equações do primeiro grau Objetivo Definir e resolver equações do primeiro grau. Definição Chama-se equação do 1º grau, na incógnita (ou variável) x, a toda equação da forma: ax + b = 0 Onde: a e b e a 0. Resolução de equações do primeiro grau Para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação, basta substituirmos a incógnita por esse número. Se o valor substituído tornar a sentença verdadeira então ele é raiz da equação. Exemplos a) Verificar se 4 é raiz da equação: x = x +. Substituindo o valor de x por 4 na equação dada, teremos:.4 = = 6 5 = 6? Como a sentença não é verdadeira então 4 não é raiz da equação. b) Verificar se 5 é raiz da equação: + x = 5x 8 Substituindo o valor de x por 5 na equação dada, obtemos: +.5 = = = 17! Como a sentença é verdadeira então 5 é raiz da equação dada. A resolução de uma equação do 1º grau é baseada nas regras de equivalência citadas no início dessa Unidade. Exemplos a) Resolver a equação: x 7 = Nesse caso aplicamos a regra da adição (princípio aditivo), transpondo o (-7) para o segundo membro, lembrando-se que o sinal será trocado, ficando: x = + 7 Monster Concursos

3 Efetuamos então a soma algébrica, obtendo-se: x = 9 A raiz da equação (ou o conjunto verdade) será V ={9}. b) Resolver a equação: x 4 = 5 Primeiramente aplicamos a regra da adição e efetuamos a soma algébrica, onde teremos: x = x = 9 Aplicamos a regra da multiplicação, o elemento que está multiplicando o primeiro termo passará dividindo o segundo termo, ou seja: x = 9 x = Assim a raiz (conjunto verdade) da equação dada é: V = {}. c) Determinar o conjunto verdade da equação:.(4x ) = (x -1) + Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação teremos:.4x +.(-) = *x +.(-1) + 1x 6 = x + Aplicando a regra aditiva, isolamos as incógnitas no primeiro membro e as constantes no segundo membro, obtendo-se: 1x x = x = 6 x = O conjunto verdade será: V =. 5 x 4 x 1 5x 1 d) Resolver a equação: 1 Primeiramente devemos determinar o m.m.c. dos denominadores: m.m.c. (4,, ) = 1 Dividimos 1 por cada denominador e multiplicamos o resultado por cada numerador, obtendo-se: Monster Concursos

4 .x 6.(x 1) (5x 1) 1.(1) 1 1 Multiplicando ambos os membros por 1 e efetuando as operações, teremos: 9x 1x + 6 = 10x Transpondo as incógnitas para o primeiro membro e as constantes para o segundo membro, obtemos: 9x 10x = x = Usando o princípio multiplicativo, teremos: x 1 x 1 A raiz (conjunto verdade) será: V = {-1}. e) Resolver a equação: x x 1 5x 6 O m.m.c. (,, 6) é 1, reduzindo ao mesmo denominador e aplicando o princípio aditivo e o multiplicativo, teremos: 6x + 4(x 1) = 10x 6x + 4x - 4 = 10x 10x 10x = 4 0x = 4 Não existe nenhum número que multiplicado por 0 cujo resultado é 4. Concluímos que essa equação não tem solução, logo seu conjunto verdade será: V =. f) Determinar conjunto verdade da equação: x 1 4x 6 O m.m.c. (,6) é 6, aplicando o princípio aditivo e multiplicativo e efetuando as operações, teremos: 6.(x 1) =.(4x - ) 1x - 6 = 1x 6 1x 1x = x = 0 Nesse caso, nós vamos ter infinitos valores de x que satisfazem a equação dada, dizemos então que a equação tem infinitas soluções. O conjunto verdade será o conjunto dos números reais, ou seja: V = {R} Monster Concursos 4

5 Observação Equações em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades. Exercícios Resolver as equações: x x 4x 5 1) (r: V = {60}) ) 5.(x-1) +.(x-) + x = 5 (r: V = {}) x 4 x 6 ) 1 (r: V = 11 7 ) x 4 x 1 6 4) x (r: V = 1 ) 9 5) x x 1 x 9x 5 10 (r: V = } 6) x 4 x 5 10 (r: V = {R}) Observação Ao resolver uma equação do 1º grau podemos achar uma raiz (conjunto verdade unitário), nenhuma raiz (conjunto verdade vazio) ou infinitas raízes (conjunto verdade igual ao conjunto dos reais). Aplicações das equações do primeiro grau Objetivo Resolver problemas do primeiro grau com a utilização de equações. Monster Concursos 5

6 Problemas do primeiro grau Para facilitar a resolução de certos problemas devemos traduzi-los da linguagem escrita para a linguagem matemática. Nesses tipos de problemas, para simplificar os passos, podemos seguir quatro itens básicos: 1) Expressar o problema corretamente numa linguagem matemática (que é sua equação). ) Saber identificar o conjunto universo do seu problema. ) Resolver a equação. 4) Verificar se o resultado encontrado pertence ao conjunto universo do problema. Exemplo a) Determinar um número real que somado com 5 é igual à sua terça parte. Como determinado no problema, o conjunto universo é R (reais). Sendo x o número procurado, a expressão matemática será: x 5 x Aplicando o princípio multiplicativo e o aditivo e efetuando as operações, teremos: 15 x 7, (x + 5) = x x + 15 = x x = Como a raiz encontrada pertence ao conjunto universo dado, então o conjunto verdade será: V = {-7,5} b) Achar o número inteiro que somado com sua quarta parte é igual a 18. Primeiro sabemos que o conjunto universo é Z (inteiros). Sendo x o número procurado, a expressão matemática será: x x 18 Aplicando o princípio multiplicativo e efetuando as operações, teremos: 54 x + x = 54 4x = 54 x 1, 5 4 A raiz encontrada é um número fracionário, logo não pertence ao conjunto dos números inteiros, logo o conjunto verdade será: V =. Monster Concursos 6

7 c) Júlia foi ao supermercado e pagou por um mamão e um abacaxi a quantia de R$ 5,0. Sabendose que o abacaxi é R$ 0,40 mais caro que o mamão, quanto custou cada fruta? Aqui não está explicitado o conjunto universo, mas como o problema está tratando de dinheiro e esse tem os centavos, que é uma parte fracionária, então consideramos R (reais) o conjunto universo. Considerando x como o preço do mamão. Como o abacaxi é R$ 0,40 mais caro que o mamão, o seu preço será x + 0,40. Montamos então a equação: x + x + 0,40 = 5,0 Resolvendo a equação, teremos: x = 5,0 0,40 x = 4,80 x =,40 Logo o preço do mamão será R$,40 e o preço do abacaxi será:,40 + 0,40 = R$,80. Resposta: o mamão custou R$,40 e o abacaxi custou R$,80. d) Joãozinho perguntou à professora qual era sua idade e ela respondeu: - Se ao triplo da minha idade eu acrescentar 4 anos, ainda faltarão 6 anos para eu completar um século de idade. Qual é a idade da professora? Sabemos que não existe idade negativa e nem pessoas com zero ano de idade, mas uma pessoa pode ter 6 anos e meio de idade, logo podemos considerar como R * + o conjunto universo desse problema. Considerando como x a idade da professora, a expressão matemática será: x + 4 = Usando o princípio aditivo e o multiplicativo, teremos: x + 4 = 94 x = 90 x = 0 Como a raiz pertence ao conjunto universo, a resposta é: a idade da professora é 0 anos. Exercícios 1) O Sr. José recebeu seu salário e foi no supermercado gastando lá um terço do seu salário. Em seguida ele pagou todas suas contas do mês, gastando a metade do seu salário e sobrou R$ 400,00. Qual era o salário do Sr. José? (r: R$ 400,00) Monster Concursos 7

8 ) Uma herança de R$ 9.000,00 deve ser repartida para três pessoas. Margarida receberá certa quantia; João receberá o dobro da quantia de Margarida e Vicente receberá o triplo da quantia de João mais R$.000,00. Quanto receberá cada pessoa? (r: Margarida receberá R$.000,00, João receberá R$ 6.000,00 e Vicente receberá R$ 0.000,00). ) Três garotos, Pedro, Luiz e Léo possuem juntos 40 figurinhas. Luiz tem o triplo de figurinhas que Pedro e 0 a menos que a quantidade de figurinhas de Léo. Calcular o número de figurinhas de cada garoto. (r: Pedro tem 0 figurinhas, Luiz tem 90 figurinhas e Léo tem 10 figurinhas). 5) Lucas pagou uma conta de R$ 5,90 com 16 moedas; umas de R$ 0,50 e outras de R$ 0,0. Calcular a quantidade de moedas de cada espécie. (r: Sete moedas de R$ 0,0 e nove moedas de R$ 0,50). Monster Concursos 8