Fundamentos da Matemática

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1 Fundamentos da Matemática Aula 09 Os direitos desta obra foram cedidos à Universidade Nove de Julho

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3 Aula 09: Razão e proporção Objetivo: razão e proporção são usadas para a compreensão de conceitos matemáticos tanto nas questões numéricas como naquelas envolvendo medidas e geometria. Proporcionalidade é um conceito das mais diversas áreas de conhecimento. Vamos conhecê-lo em seus diferentes enfoques, no sentido de pensar a proporcionalidade como um assunto cujo aprendizado vai além das situações puramente técnicas como é o caso da resolução da regra de três e que pode estruturar o estudante a resolver problemas nas diversas áreas de conhecimento com compreensão, significado e habilidade. A razão de duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as suas medidas racionais, consideradas na mesma unidade. Grandezas são características dos objetos possíveis de serem comparadas e cujas medidas podem ser adicionadas, subtraídas ou divididas uma pela outra. A razão é uma forma de divisão. Razão é a divisão ou relação entre duas grandezas. Razão de um número a para um número b, sendo b diferente de zero, é o quociente de a por b. a: b ou b a O número a é chamado de antecedente, e o b de consequente. Assim, o conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois números. Por exemplo, para saber quantas vezes o número 100 é maior do que o número 2 (ou, em outras palavras, qual a razão entre 100 e 2), procedemos da seguinte forma: 100 : 2 = 50 Portanto, o número 100 é 50 vezes maior do que o número 2. A razão é a relação entre duas grandezas que já estão relacionadas, é uma divisão entre dois

4 valores. Um exemplo é a razão entre um perímetro e a medida de um lado de um triângulo: a razão seria o perímetro dividido pela medida do lado. Podemos dizer que uma razão entre dois valores é o mesmo que uma fração. Uma razão é o quociente (divisão) entre dois valores em uma mesma unidade de grandeza. Vamos analisar alguns exemplos para entender o que é razão. Exemplos: 1) A razão de uma taxa percentual é a razão entre um número e 100. Taxa percentual = número 100 2) Em uma cidade, há cerca de pessoas, e, dessas pessoas, 800 são mulheres. A razão entre as mulheres e a quantidade total de pessoas é dada por: : ou ) Um time de futebol fez 15 gols em uma partida, e 8 gols foram realizados pelo jogador Leandro. A razão entre os gols de Leandro e os pontos da equipe toda é de: 8 : 15 ou ) O peso de Alberto é 80 kg, e o de Valmir é g. Qual a razão entre seus pesos? Devemos transformar primeiro as grandezas na mesma unidade de medida: g = 60 kg Assim, = e, portanto, a proporção entre as igualdades é de

5 5) Se numa classe tivermos 40 meninos e 30 meninas, qual a razão entre o número de meninos e o número de meninas? A razão entre meninos e meninas é de: 3 4 Proporção entre razões A proporção é a igualdade entre razões. Duas razões são proporcionais quando o produto dos extremos for igual ao produto dos meios. Esse enunciado é conhecido também como a propriedade fundamental das proporções: multiplicação em X. Podemos equacionar essa propriedade da seguinte forma: a b c d, multiplica-se em X e obtemos a.d = b. c Exemplo: 1) Temos duas maneiras de representar a divisão de duas frações, como: 1 : 2 = 3 : 6 ou 1.6 = Agora vamos multiplicar em X a fração: Ao efetuarmos o cálculo, temos: 1. 6 = 6 e 2. 3 = 6 As duas multiplicações resultaram em 6, portanto, existe proporção entre essas duas frações. 2) Meu carro faz 13 km por litro de combustível, então para 26 km preciso de 2 L, para 39 km preciso de 3 L, e assim por diante.

6 1ª situação: 2ª situação:, logo formam uma proporção. Observe a igualdade: Se você multiplicar em cruz, o resultado será o mesmo: = = 78 Numa proporção, quando multiplicamos em cruz, o resultado é o mesmo. Mas, além dessa propriedade, temos outras que serão muito úteis. Numa proporção, quando somamos termo a termo:, a razão se mantém. Numa proporção, quando subtraímos termo a termo:, a razão se mantém. Dadas as proporções:

7 REFERÊNCIAS IEZZI, Gelson et al. Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: Atual, JMPIRES. Sistemas de equações do 1º grau. Disponível em: < Acesso em: 23 mai MEDEIROS et al. Matemática Aplicada aos cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. v ed. São Paulo: Atlas, MORETTIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton O.; HAZZAN, Samuel. Cálculo. Função de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.