Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 02 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Transcrição

1 Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 Equações Polinomiais do primeiro grau Significado do termo Equação : As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+b=0,em que a e b são números constantes, com a diferente de 0, e x é a variável. Por x + 1 = 5 x 4 = 1 Uma equação também pode ser dada por uma sentença algébrica com expressões não totalmente reduzidas. Por exemplo: 3x + 5 x = 4. (3 1) equivale a x + 5 = 8 A resolução desse tipo de equação é fundamentada nas princípios da igualdade descritos a seguir. a)adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma equação, ou subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a igualdade se mantém. Este é o princípio aditivo. b)dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma equação por um mesmo número não-nulo, a igualdade se mantém. Este é o princípio multiplicativo. Vejamos alguns exemplos: 1)Seja a equação:

2 Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 )Seja a equação: 3)Seja a equação: Membros de uma equação Numa equação a expressão situada à esquerda da igualdade é chamada de 1º membro da equação, e a expressão situada à direita da igualdade, de º membro da equação. - 3x + 1 = x - 9 1º membro º membro Cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação é chamada termo da equação. Variável (ou incógnita) de uma equação Os elementos desconhecidos de uma equação são chamados de variáveis ou incógnitas. Exemplos: A equação x + 5 = 18 tem uma incógnita: x A equação y 3 = y + 3 tem uma incógnita: y Cada um dos valores que, colocados no lugar da incógnita, transformam a equação em uma sentença verdadeira é chamado de raiz da equação. Para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação, basta substituirmos a incógnita por esse número e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira. 1º exemplo: verificar se três é raiz de 5x 3 = x + 6 º Resolver a equação 5x 8 = 1 + x Colocamos no primeiro membro os termos que apresentam variável, e no segundo membro os termos que não apresentam variável, usando para isso os princípios

3 Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 aditivos e multiplicativos. Os termos que mudam de membro tem os sinais trocados (porque?). 5x 8 = 1 + x 5x x = 1 + x x 5x x = Calculamos a somas algébricas de cada termo. 4. x = 0 Na prática, quando se passa de um membro para o outro usa-se a operação inversa, ou seja, o que está multiplicando passa dividindo e o que está dividindo passa multiplicando. Isto se justifica pelo princípio multiplicativo. O que está adicionando passa subtraindo e o que está subtraindo passa adicionando.isto se justifica pelo princípio aditivo. O número 4 no primeiro membro está multiplicando o x então ele passará dividindo no segundo membro. Equações Polinomiais do Segundo Grau Chamamos de equação do segundo grau na incógnita x toda equação do tipo com a, b e c R e a 0. ax + bx + c = 0 Casos de Resolução de equações do segundo grau: 1. Quando o coeficiente b é igual a zero temos ax + c = 0 Então x = c a x = ± c a Obs: só haverá soluções se o número c for um número positivo, pois não há a raízes quadradas reais para números negativos. 4x 9 = 0 4x = 9 x = 9 4

4 Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 x = 3 x = ± 9 4 ou x = 3. Quando o coeficiente c é igual a zero temos ax + bx = 0 Fatorando a expressão no primeiro termo temos x ax + b = 0 O produto acima será zero se algum dos fatores for zero. Então Ou x = 0 Ou ax + b = 0, o que implica x = b a Exemplo Então ou x = 0 Ou 3x 6 = 0 x = 3x 6x = 0 x 3x 6 = 0 As raízes da equação serão x = 0 e x =. 3. Equação com todos os coeficientes: Fórmula de Bhaskara Quando a equação do segundo grau tem todos os coeficientes temos ax + bx + c = 0 Dividindo os dois lados da igualdade por a temos ax ax + bx + c a = 0 a a + b a x + c a = 0 x + b a x + c a = 0 Completando quadrados para gerar um produto notável teremos x + b b x + a 4a b 4a + c a = 0

5 Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 Então x + b a x + b a = ± = + b 4a c a = b 4ac 4a b 4ac 4a x + b a = ± x = b a ± = ± b 4ac a b 4ac a b 4ac a Geralmente escreve-se x = b ± b 4ac a b 4ac = E, as soluções da equação são dadas por x = b ± a A expressão acima é a chamada Fórmula de Bháskara para resolução de equações do segundo grau x 5x + 6 = 0 = ( 5) = 5 4 = 1 x = ( 5) ± 1.1 Então x = 5 ± 1 x = 5+1 =6 = 3 Ou x = 5 1 =4 =

6 Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 Quantidade de Soluções de uma equação do segundo grau Durante o processo de solução de uma equação do segundo grau, ao calcular o valor de (delta), podemos concluir sobre a quantidade de raízes da equação: Se > 0, a equação terá duas soluções distintas em R Se = 0, a equação terá uma solução em R Se < 0, a equação não terá soluções em R Fatorando em funções das soluções Se r 1 e r são soluções da equação ax + bx + c = 0 Então o polinômio ax + bx + c pode ser fatorado como ax + bx + c = x r 1 (x r ) Vimos que x = e x = 3 são soluções da equação Então x 5x + 6 = 0 x 5x + 6 = x (x 3)