Técnicas de. Integração

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1 Técnicas de Capítulo 7 Integração

2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nessa seção, vamos aprender como integrar funções racionais reduzindo-as a uma soma de frações mais simples.

3 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Nesta seção mostraremos como integrar qualquer função racional (um quociente de polinômios) expressando-a como uma soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, que já sabemos como integrar.

4 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Para ilustrar o método, observe que, levando as frações /(x 1) e 1/(x ) a um denominador comum, obtemos: 1 ( x+ ) ( x 1) = = x 1 x+ ( x 1)( x+ ) = x x x

5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Se revertermos o procedimento, veremos como integrar a função no lado direito dessa equação: x dx = dx x + x x 1 x+ = ln x 1 ln x+ + C

6 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Para ver como esse método de frações parciais funciona em geral, consideramos a função racional P( x) f( x) = Qx ( ) onde P e Q são polinômios.

7 FUNÇÃO PRÓPRIA É possível expressar f como uma soma de frações mais simples, desde que o grau de P seja menor que o grau de Q. Essa função racional é denominada própria. Lembre-se de que se n n 1 Px ( ) = ax + a x + + ax+ a n n No qual a n 0, então o grau de P é n, e escrevemos gr(p) = n.

8 Se f é imprópria, isto é, gr(p) gr(q), então devemos fazer uma etapa preliminar dividindo P por Q (por divisão de polinômios). Até o resto R(x) ser obtido, com gr(r) < gr(q).

9 O resultado da divisão é Equação 1 P( x) R( x) f( x) = = S( x) + Qx ( ) Qx ( ) onde S e R são polinômios também.

10 Como o exemplo a seguir mostra, algumas vezes essa etapa preliminar é tudo de que precisamos.

11 Encontre 3 x + x dx x 1 Exemplo 1 Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, primeiro devemos fazer a divisão.

12 Exemplo 1 Isso nos permite escrever: x 3 + x dx x x dx x = x 1 3 x x = + + x+ ln x 1 + C 3

13 A próxima etapa é fatorar o denominador Q(x) o máximo possível. É possível demonstrar que qualquer polinômio Q pode ser fatorado como um produto de fatores lineares (da forma ax + b) e fatores quadráticos irredutíveis (da forma ax + bx + c, onde b 4ac < 0).

14 FATORANDO Q(x) Por exemplo, se Q(x) = x 4 16, poderíamos fatorá-lo como: Qx ( ) = ( x 4)( x + 4) = ( x )( x+ )( x + 4)

15 FATORANDO Q(x) A terceira etapa é expressar a função racional própria R(x)/Q(x) (da Equação 1) como uma soma de frações parciais da forma: A ( ax b) + i ou Ax + B ( ax + bx + c) j

16 FATORANDO Q(x) Um teorema na álgebra garante que é sempre possível fazer isso. Explicamos os detalhes para os quatro casos que ocorrem.

17 CASO 1 O denominador Q(x) é um produto de fatores lineares distintos. Isso significa que podemos escrever Q(x) = (a 1 x + b 1 ) (a x + b ) (a k x + b k ) onde nenhum fator é repetido (e nenhum fator é múltiplo constante do outro).

18 CASO 1 Equação Nesse caso o teorema das frações parciais afirma que existem constantesa 1, A,..., A k tal que: Rx ( ) A1 A Ak = Qx ( ) ax+ b ax+ b ax+ b 1 1 Essas constantes podem ser determinadas como no exemplo seguinte. k k

19 Calcule x + x 1 x + x x 3 3 dx Exemplo Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não precisamos dividir. Fatoramos o denominador como: x 3 + 3x x = x(x + 3x ) = x(x 1)(x + ) Como o denominador tem três fatores lineares distintos.

20 Ex.: Equação 3 A decomposição em frações parciais do integrando () tem a forma: x + x 1 A B C = + + x(x 1)( x+ ) x x 1 x+

21 Ex.: Equação 4 Para determinar os valores de A, B e C multiplicamos ambos os lados dessa equação pelo produto dos denominadores, x(x 1)(x + ), obtendo: x + x + 1 = A(x 1)(x + ) + Bx(x + ) + Cx(x 1)

22 Ex.: Equação 5 Expandindo o lado direito da Equação 4 e escrevendo-a na forma-padrão para os polinômios, temos: x + x + 1 = (A + B + C)x + (3A + B C) A

23 Exemplo Os polinômios na Equação 5 são idênticos, então seus coeficientes devem ser iguais. O coeficiente de x do lado direito, A + B + C, deve ser igual ao coeficiente de x do lado esquerdo, ou seja, 1. Do mesmo modo, os coeficientes de x são iguais e os termos constantes também.

24 Exemplo Isso resulta no seguinte sistema de equações para A, B e C: A + B + C = 1 3A + B C = A = 1

25 Exemplo Resolvendo, obtemos: A = ½ B = 1/5 C = 1/10

26 E assim, Exemplo x + x 1 3 x + 3x x dx = + x 5 x 1 10 x dx = ln x + ln x 1 x+ + K

27 Exemplo Ao integrar o termo do meio, fizemos mentalmente a substituição u = x 1, que resulta em du = dx e dx = du/.

28 OBSERVAÇÃO Podemos usar um método alternativo para encontrar os coeficientes A, B e C no Exemplo. A Equação 4 é uma identidade; é verdadeira para cada valor de x. Vamos escolher valores de x que simplificam a equação.

29 OBSERVAÇÃO Se pusermos x = 0 na Equação 4, o segundo e o terceiro membros do lado direito desaparecerão, e a equação será A = 1. Ou A = ½.

30 OBSERVAÇÃO Da mesma maneira, x = ½ dá5b/4 = 1/4 e x = dá 10C = 1. Assim, B = 1/5 e C = 1/10.

31 OBSERVAÇÃO Você pode argumentar que a Equação 3 não é válida para x = 0, ½, ou. Então, por que a Equação 4 deveria ser válida para aqueles valores? De fato, a Equação 4 é válida para todos os valores de x, até para x = 0, ½, e. Veja o Exercício 69 para uma explicação.

32 Exemplo 3 dx Encontre, onde a 0. x a O método das frações parciais dá: 1 1 A = + ( )( ) x a x a x+ a x a x+ a B E portanto, Ax ( + a) + Bx ( a) = 1

33 Exemplo 3 Usando o método da observação anterior. Colocamos x = a nesta equação e obtemos A(a) = 1. Assim, A = 1/(a). Se pusermos x = a, obteremos B( a) = 1. E dessa forma, B = 1/(a).

34 Então, Exemplo 3 dx = x a a x a x+ a dx 1 = (ln x a ln x+ a ) + C a

35 Ex.: 3 Fórmula 6 Como ln x ln y = ln(x/y), podemos escrever a integral como: dx 1 x a = ln + + x a a x a C Veja os Exercícios para maneiras de usar a Fórmula 6.

36 CASO Q(x) é um produto de fatores lineares, e alguns dos fatores são repetidos. Suponha que o primeiro fator linear (a 1 x + b 1 ) seja repetido r vezes. Isto é, (a 1 x + b 1 ) r ocorre na fatoração de Q(x).

37 CASO Equação 7 Então, em vez de um único termo A 1 /(a 1 x + b 1 ) na Equação, usaríamos: A A A r ax b ( ax b) ( ax b) r

38 CASO Para ilustrar, poderíamos escrever: 3 x x+ 1 A B C D E = x ( x 1) x x x 1 ( x 1) ( x 1) 3 3 Mas é preferível detalhar um exemplo mais simples.

39 Exemplo 4 Encontre dx x x x 3 x x x A primeira etapa é dividir. O resultado da divisão de polinômios é: 4 x x + 4x+ 1 3 x x x+ 1 4x = x x x x+ 1

40 Exemplo 4 A segunda etapa é fatorar o denominador Q(x) = x 3 x x + 1. Como Q(1) = 0, sabemos quex 1 é um fator e obtemos: 3 x x x+ 1 = ( x 1)( x 1) = ( x 1)( x 1)( x+ 1) ( x 1) ( x 1) = +

41 Exemplo 4 Como o fator linear x 1 ocorre duas vezes. A decomposição em frações parciais é: 4 x = A + B + C x x+ x x x+ ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1

42 Ex.: 4 Equação 8 Multiplicando pelo mínimo denominador comum, (x 1) (x + 1), temos: 4 x= A( x 1)( x+ 1) + B( x+ 1) + C( x 1) = ( A+ C) x + ( B C) x+ ( A+ B+ C)

43 Exemplo 4 Agora igualamos os coeficientes: A+ C = 0 B C = 4 A+ B+ C = 0

44 Exemplo 4 Resolvendo, obtemos: A = 1 B = C = -1

45 Exemplo 4 Assim, 4 x x + 4x+ 1 dx 3 x x x = x x x x+ 1 ( 1) 1 dx x = + x+ ln x 1 ln x+ 1 + K x 1 x x 1 = + x + ln + K x 1 x+ 1

46 CASO 3 Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis, nenhum dos quais se repete. Se Q(x) tem o fator ax + bx + c, onde b 4ac < 0, então, além das frações parciais nas Equações e 7, a expressão para R(x)/Q(x) terá um termo da forma em que A e B são as constantes a serem determinadas. Ax + B ax + bx + c

47 CASO 3 Por exemplo, a função dada por f(x) = x/[(x )(x + 1)(x + 4) tem uma decomposição em frações parciais da forma x ( x )( x + 1)( x + 4) A Bx + C Dx + E = + + x x + 1 x + 4

48 CASO 3 Fórmula 10 O termo dado em (9) pode ser integrado completando o quadrado e usando a fórmula

49 Calcule x x+ 4 x 3 + 4x dx Exemplo 5 Como x 3 + 4x = x(x + 4) não pode ser mais fatorado, escrevemos: = + xx ( + 4) x x + 4 x x A Bx C

50 Exemplo 5 Multiplicando por x(x + 4), temos: x x+ 4 = A( x + 4) + ( Bx+ C) x = ( A+ B) x + Cx+ 4A

51 Exemplo 5 Igualando os coeficientes, obtemos: A + B = C = 1 4A = 4 Então, A = 1, B = 1, e C = 1.

52 Exemplo 5 Então, x x+ 4 1 x 1 dx = x 3 + 4x x x dx

53 Exemplo 5 Para integrar o segundo termo, o dividimos em duas partes: x 1 x 1 dx = dx dx x + 4 x + 4 x + 4

54 Exemplo 5 Fazemos a substituição u = x + 4 na primeira das integrais de modo que du = x dx. Calculamos a segunda integral usando a Fórmula 10 com a = :

55 Calcule x x dx 4x 4x+ 3 Exemplo 6 Como o grau do denominador não é menor que o do numerador, primeiro dividimos e obtemos. x x x 4x+ 3 = + x x 4 x+ 3

56 Exemplo 6 Observe que o termo quadrático 4x 4x + 3 é irredutível, porque seu discriminante é b 4ac = 3 < 0. Isso significa que este não pode ser fatorado, então não precisamos usar a técnica da frações parciais.

57 Exemplo 6 Para integrar a função dada completamos o quadrado no denominador: 4x 4x+ 3 = (x 1) + Isso sugere que façamos a substituição u = x 1. Então, du = dx, e x = ½(u + 1).

58 Assim, Exemplo 6

59 OBSERVAÇÃO O Exemplo 6 ilustra o procedimento geral para se integrar uma fração parcial da forma Ax + B ax + bx + c onde b 4ac< 0

60 OBSERVAÇÃO Completamos o quadrado no denominador e então fazemos a substituição que traz a integral para a forma Cu + D u 1 du = C du + D du u + a u + a u + a Então, a primeira integral é um logaritmo, e a segunda é expressa em termos de tg -1.

61 CASO 4 Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos. Se Q(x) tem um fator (ax + bx + c) r onde b 4ac < 0.

62 CASO 4 Então, em vez de uma única fração parcial (9), a soma Ax 1 + B1 Ax + B Ax r + Br ax + bx + c ( ax + bx + c) ( ax + bx + c) ocorre na decomposição em frações parciais de R(x)/Q(x). Fórmula 11 Cada um dos termos de (11) pode ser integrado primeiro completando o quadrado. r

63 Exemplo 7 Escreva a forma da decomposição em frações parciais da função x 3 + x xx ( 1)( x + x+ 1)( x + 1)

64 Temos: Exemplo 7 3 x + x + 1 xx ( 1)( x + x+ 1)( x + 1) 3 A B Cx+ D Ex+ F = x x 1 x + x+ 1 x + 1 Gx + h Ix + J ( x + 1) ( x + 1)

65 Exemplo 7 Calcule 3 1 x+ x x dx xx ( + 1) A forma da decomposição em frações parciais é: = + + xx ( + 1) x x + 1 ( x + 1) 3 x x x A Bx C Dx E

66 Exemplo 8 Multiplicando por x(x + 1), temos: x x x ( 1) ( ) ( 1) ( ) = Ax + + Bx+ Cxx + + Dx+ Ex A( x x 1) B( x x ) C( x x) Dx Ex = = ( A + Bx ) + Cx + ( A+ B+ Dx ) + ( C+ Ex ) + A

67 Exemplo 8 Se igualarmos os coeficientes, obteremos o sistema A C + B= 0 = 1 A+ B+ D= C+ E = 1 A = 1 Que tem a solução A = 1, B = 1, C = 1, D = 1, E = 0.

68 Então, Exemplo 8

69 EVITANDO FRAÇÕES PARCIAIS Observamos que algumas vezes as frações parciais podem ser evitadas na integração de funções racionais. x + 1 Por exemplo, embora a integral dx xx ( + 3) possa ser calculada pelo método do Caso III.

70 EVITANDO FRAÇÕES PARCIAIS É muito mais fácil observar que se u = x(x + 3) = x 3 + 3x, então du = (3x + 3) dx e assim x xx ( 3) 3 dx = ln x + 3 x + C 1 3

71 SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES Algumas funções não racionais podem ser transformadas em funções racionais por meio de substituições apropriadas. Em particular, quando um integrando contém uma expressão da forma n g(x), então a substituição u = n g(x) pode ser eficaz.

72 SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES Exemplo 9 Calcule x x + 4 dx Seja u = x+ 4 Então, u = x + 4 De modo que, x = u 4 e dx = u du

73 SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES Portanto, Exemplo 9 x x + 4 dx = u u u du 4 = u u 4 du 4 = 1+ 4 u du

74 SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES Exemplo 9 Podemos calcular essa integral fatorando u 4 em(u )(u + ).

75 SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES Exemplo 9 E usando as frações parciais ou a Fórmula 6 com a = : x + 4 dx x du = du + 8 u 4 1 u = u+ 8 ln + C u + x + 4 = x+ 4+ ln + C x + 4+

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