Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral

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1 Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral

2 Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral

3 Sumário 1 Integral Antidiferenciação Exercícios Algumas Técnicas de Antidiferenciação Exercícios Integração por Partes Exercícios Integração de Potências de Seno e Cosseno Caso Caso Caso Caso Exercícios Integração de Potências da Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Caso Caso Caso Caso Caso Caso 6: Exercícios Integração por Substituição Trigonométrica Caso Caso Caso Exercícios Integração das Funções Racionais por Frações Parciais Quando o denominador tem somente Fatores Lineares Caso Caso Exercícios Quando o denominador contém Fatores Quadráticos Caso Caso Exercícios Referências 9

4 Lista de Figuras 1 Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo

5 1 Integral 1.1 Antidiferenciação Você já está familiarizado com operações inversas. Adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação são operações inversas. Nesta seção, vamos desenvolver a operação inversa da diferenciação chamada de antidiferenciação. Definição 1. Uma função F será chamada de antiderivada de uma função f num intervalo I se F (x) = f(x) para todo x em I. Ilustração 1. Se F for definida por F (x) = 4x 3 + x + 5, então, F (x) = 1x + x. Assim, se f for a função definida por f(x) = 1x + x, logo, afirmamos que f é a derivada de F e que F é uma antiderivada de f. Se G for a função definida por G(x) = 4x 3 + x 17 então, G também será uma antiderivada de f, pois G (x) = 1x + x. Na realidade, toda função cujos valores funcionais são dados por 4x 3 + x + C, onde C é uma constante qualquer, é uma antiderivada de f. Em geral, se uma função F for antiderivada de uma função f num intervalo I e se a função G for definida por G(x) = F (x) + C, onde C é uma constante arbitrária, então G (x) = F (x) = f(x), e G também será uma antiderivada de f no intervalo I. Apostila Integral 5

6 Teorema 1. a Se f e g forem duas funções, tais que f (x) = g (x) para todo x no intervalo I, então haverá uma constante K, tal que f(x) = g(x) + K, para todo x em I. a ver prova na página 86, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Teorema. a Se F for uma antiderivada particular de f em um intervalo I, então toda antiderivada de f em I será dada por F (x) + C, (1) onde C é uma constante arbitrária e todas as antiderivadas de f em I poderão ser obtidas de (1), atribuindo-se certos valores a C. a ver prova na página 87, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Antidiferenciação é o processo de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de uma dada função. O símbolo denota a operação de antidiferenciação e escrevemos f(x) = F (x) + C, () onde e De () e (3) podemos escrever F (x) = f(x), d(f (x)) = f(x). (3) d(f (x)) = F (x) + C. De acordo com essa fórmula, quando antidiferenciamos a diferencial de uma função, obtemos a própria função mais uma constante arbitrária. Assim, podemos considerar que o símbolo de antidiferenciação significa a operação inversa da operação denotada por d para o cálculo da diferencial. Se F (x)+c for o conjunto de todas as funções cuja diferencial é f(x), também será o conjunto de todas as funções cujas derivadas são f(x). Assim Apostila Integral 6

7 sendo, a antidiferenciação é considerada como a operação de encontrar o conjunto de todas as funções, tendo uma dada derivada. Como a antidiferenciação é a operação inversa da diferenciação, os teoremas sobre antidiferenciação podem ser obtidos dos teoremas sobre diferenciação. Assim sendo, os teoremas a seguir podem ser provados a partir dos teoremas correspondentes da diferenciação. Teorema 3. = x + C. Teorema 4. af(x) = a f(x), onde a é uma constante. O Teorema 4 estabelece que para determinar uma antiderivada de uma constante vezes uma função, achamos primeiro uma antiderivada da função, multiplicando-a, em seguida, pela constante. Teorema 5. Se f 1 e f estão definidas no mesmo intervalo, então [f 1 (x) + f (x)] = f 1 (x) + f (x). O Teorema 5 estabelece que para determinar uma antiderivada da soma de duas funções, achamos primeiro a antiderivada de cada uma das funções separadamente e então, somamos os resultados, ficando subentendido que ambas as funções estão definidas no mesmo intervalo. O Teorema 5 pode ser estendido a um número qualquer, finito, de funções. Teorema 6. Se f 1, f,..., f n estão definidas no mesmo intervalo, [c 1 f 1 (x) + c f (x) c n f n (x)] = = c 1 f 1 (x) + c f (x) c n f n (x), onde c 1, c,..., c n são constantes. Apostila Integral 7

8 Teorema 7. a Se n for um número racional, x n = xn+1 + C, n 1. n + 1 a ver prova na página 89, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Exemplo 1. Aplicando o Teorema 7, calcule para valores específicos de n: 1. x ;. x 3 ; 3. 1 x ; 4. 3 x. 1. x = x3 3 + C;. x 3 = x4 4 + C; 3. 1 x = x = x C = x C = 1 x + C; 4. 3 x = x 1 3 = x C = x C = 3 4 x C. Apostila Integral 8

9 Exemplo. Utilize os Teoremas 3 até 7 para antidiferenciar (3x + 5). (3x + 5) = 3x + 5 (pelo Teorema 5) = 3 x + 5 (pelo Teorema 4) = ( ) x 3 + C 1 + 5(x + C ) (pelos Teoremas 7 e 3) = 3 x + 5x + (3C 1 + 5C ). Como 3C 1 + 5C é uma constante arbitrária, ela pode ser denotada por C; assim, o resultado pode ser escrito como 3 x + 5x + C. Pode-se conferir a resposta calculando sua derivada. ( ) 3 D x x + 5x + C = 3x + 5. Exemplo 3. Calcule (5x 4 8x 3 + 9x x + 7). = 5 x 4 8 (5x 4 8x 3 + 9x x + 7) = x x x + 7 = 5. x x x3 3. x + 7x + C = x 5 x 4 + 3x 3 x + 7x + C. Apostila Integral 9

10 Exemplo 4. Calcule ( x x + 1 ) x. ( x x + 1 ) x = = x 1 (x + x 1 ) (x 3 + x 1 ) = x x C = 5 x 5 + x 1 + C. Exemplo 5. Calcule 5t + 7 dt. t 4 3 5t + 7 t 1 dt = 5 dt + 7 dt t 4 3 t 4 3 t 4 3 = 5 t 3 dt + 7 t 4 3 dt ( ) ( ) t 5 3 t 1 3 = C = ( 3 5 t 5 3 = 3t t ) + 7( 3t 1 3 ) + C + C. Apostila Integral 10

11 Os teoremas para a antiderivada das funções seno e cosseno seguem imediatamente dos teoremas correspondentes para diferenciação. Teorema 8. a sen x = cos x + C. a ver prova na página 91, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Teorema 9. a cos x = sen x + C. a ver prova na página 91, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Os teoremas a seguir são consequências dos teoremas para as derivadas das funções tangente, cotangente, secante e cossecante. As demonstrações também são imediatas, obtidas com o cálculo da derivada do segundo membro das fórmulas. Teorema 10. sec x = tan x + C. Teorema 11. cosec x = cotan x + C. Teorema 1. sec x tan x = sec x + C. Teorema 13. cosec x cotan x = cosec x + C. Apostila Integral 11

12 Exemplo 6. Calcule (3 sec x tan x 5 cosec x). Aplicando os Teoremas 1 e 11, (3 sec x tan x 5 cosec x) = 3 sec x tan x 5 cosec x = 3 sec x 5( cotan x) + C = 3 sec x + 5 cotan x + C. As identidades trigonométricas são frequentemente usadas quando calculamos antiderivadas envolvendo funções trigonométricas. As oito identidades fundamentais a seguir são cruciais: sen x cosec x = 1; tan x = sen x cos x ; sen x + cos x = 1; cos x sec x = 1; cotan x = cos x sen x ; tan x + 1 = sec x; tan x cotan x = 1; cotan x + 1 = cosec x. Exemplo 7. Calcule cotan x 3 sen x sen x. cotan x 3 sen x sen x = Apostila Integral 1

13 = = 1 sen x sen x. cotan x 3 sen x sen x cosec x cotan x 3 = ( cosec x) 3( cos x) + C (dos Teoremas 13 e 8) = cosec x + 3 cos x + C. Exemplo 8. Calcule (tan x + cotan x + 4). (tan x + cotan x + 4) = = = [(sec x 1) + (cosec x 1) + 4] sec x + cosec x + = tan x cotan x + x + C (dos Teoremas 10 e 11). Frequentemente, em aplicações envolvendo antidiferenciação, desejamos encontrar uma antiderivada específica que satisfaça determinadas condições chamadas inicial 1 ou lateral, conforme elas ocorrem no ponto inicial ou para os pontos extremos do intervalo de definição da variável. Por exemplo, se uma equação envolvendo dy for dada, bem como a condição inicial de que y = y 1 quando x = x 1, então depois que o conjunto de todas as antiderivadas for encontrado, se x e y forem substituídos por x 1 e y 1, iremos determinar um valor específico da constante arbitrária C. Com esse valor de C, uma determinada antiderivada é obtida. 1 também conhecida como condição de Cauchy. também conhecida como condição de contorno, de fronteira ou de extremos. Apostila Integral 13

14 Ilustração. Suponha que desejemos encontrar uma determinada função y(x) satisfazendo a equação dy = x (ou seja, uma antiderivada da função f(x) = x) e a condição inicial de que y = 6 quando x =. Da fórmula y = x, temos y = x + C. (4) Em (4), substituímos x por e y por 6, obtendo 6 = 4 + C C =. Quando esse valor de C é substituído em (4), obtemos y = x +, que dá a antiderivada desejada. Exemplo 9. Em qualquer ponto (x, y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a 4x 5. Se a curva contém o ponto (3, 7), ache sua equação. Como a inclinação da reta tangente a uma curva em qualquer ponto (x, y) é o valor da derivada nesse ponto, temos dy = 4x 5 y = (4x 5) y = ( ) x 4 5x + C y = x 5x + C. (5) Apostila Integral 14

15 A equação (5) representa uma família de curvas. Como queremos determinar uma certa curva dessa família que contenha o ponto (3, 7), substituímos x por 3 e y por 7 em (5), obtendo 7 = (9) 5(3) + C 7 = C C = 4. Substituindo C por 4 em (5), iremos obter a equação da curva pedida, que é y = x 5x + 4. Teorema 14. a x = ax ln a + C. Exemplo 10. Calcule e x. De acordo com o Teorema 14, e x = ex ln e + C = ex + C. Exemplo 11. Calcule 1 x 1 x, para x > 0. = (ln x) + C, para x > 0, pois (ln x + C) = 1 x. Apostila Integral 15

16 1.1.1 Exercícios 1. Faça a antidiferenciação e, calculando a derivada de sua resposta, verifique o resultado. (i) (3 t + t ) dt. (a) 3x 4. (j) (b) (4x 3 3x + 6x 1). x 7. (k) (c) 1 x. (8x 4 + 4x 3 6x 4x + 5). 3 (d) 3 t dt. 5 (e) (f) (g) (h) 5u 3 du x. 7 3 x. 3 y dy. (l) ( + 3x 8x 3 ). (m) sen x cos x. (n) cos x sen x. (o) (p) (4 cosec x cotan x + sec x). (3 cosec t 5 sec t tan t) dt. Apostila Integral 16

17 . Encontre a antiderivada. (a) 6t 3 t dt. (b) 7x 3 x. (c) (4x 3 + x ). (d) (3u 5 u 3 ) du. (e) y 3 (y 3) dy. (k) (l) (m) (n) (o) ( x + 3 ) 3 x + 5 (3 1x 4 + 1x ) x + 4x 4 x y 4 + y 1 y ( 3 x + 1 x ). dy.... (f) x 4 (5 x ). (p) 7t t dt. (g) x(x + 1). (q) (3 sen t cos t) dt. (h) (ax + bx + c). (r) (5 cos x 4 sen x). (i) (j) (x 3 x). ( x 1 x ). (s) (t) ( cotan θ 3 tan θ) dθ. 3 tan θ 4 cos θ dθ. cos θ Apostila Integral 17

18 1. Algumas Técnicas de Antidiferenciação Muitas antiderivadas não podem ser encontradas diretamente com a aplicação dos teoremas vistos na Seção 1.1. Então, faz-se necessário aprender certas técnicas que podem ser usadas no cálculo de tais antiderivadas. Nesta seção serão apresentadas técnicas que requerem a regra da cadeia para a antidiferenciação e aquelas que envolvem uma mudança de variável. Ilustração 3. Para diferenciar 1 10 (1 + x ) 10 aplicamos a regra da cadeia para a diferenciação e obtemos D x [ 1 10 (1 + x ) 10 ] = (1 + x ) 9 (x). Suponha que desejamos antidiferenciar (1 + x ) 9 (x). Então, precisamos calcular (1 + x ) 9 (x ). (6) Para chegarmos a um procedimento que possa ser usado em tal situação, seja g(x) = 1 + x e g (x) = x. (7) Então, (6) pode ser escrita como [g(x)] 9 [g (x) ]. (8) Do Teorema 7, u 9 du = 1 10 u10 + C. (9) Observe que (8) é da mesma forma que o primeiro membro de (9). Assim, [g(x)] 9 [g (x) ] = 1 10 [g(x)]10 + C, e com g(x) e g (x) dados em (7), temos (1 + x ) 9 (x ) = 1 10 (1 + x ) 10 + C. Apostila Integral 18

19 Teorema 15. A Regra da Cadeia para a Antidiferenciação a : Seja g uma função diferenciável e seja o intervalo I a imagem de g. Suponha que f seja uma função definida em I e que F seja uma antiderivada de f em I. Então, f(g(x))[g (x) ] = F (g(x)) + C. a ver prova na página 96, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Como caso particular do Teorema 15, a partir do Teorema 7, temos a fórmula da potência generalizada para antiderivadas que será enunciada a seguir. Teorema 16. Se g for uma função diferenciável e se n for um número racional, [g(x)] n [g (x) ] = [g(x)]n+1 + C, n 1. n + 1 Exemplo 1. Calcule 3x + 4. Para aplicar o Teorema 16, escrevemos primeiro 3x + 4 = (3x + 4) 1. Observamos que, se g(x) = 3x + 4, então g (x) = 3. (10) Logo, precisamos de um fator de 3 que acompanhe para dar g (x). Assim sendo, (3x + 4) 1 = (3x + 4) 1 1 (3 ) 3 = 1 (3x + 4) 1 (3 ). 3 Apostila Integral 19

20 Do Teorema 16, com g(x) e g (x) dados por (10), temos 3 1 (3x + 4) 1 1 (3x + 4) (3 ) =. 3 + C 3 3 = 9 (3x + 4) 3 + C. Exemplo 13. Ache x (5 + x 3 ) 8. Observe que, se g(x) = 5 + x 3, então g (x) = 6x. (11) Como x (5 + x 3 ) 8 = (5 + x 3 ) 8 (x ), precisamos de um fator 6 que acompanhe x para obter g (x). Assim, escrevemos x (5 + x 3 ) 8 = 1 (5 + x 3 ) 8 (6x ). 6 Aplicando o Teorema 16 com g(x) e g (x) dado em (11), obtemos 1 (5 + x 3 ) 8 (6x ) = (5 + x3 ) 9 + C 9 = 1 54 (5 + x3 ) 9 + C. A regra da cadeia para antidiferenciação (Teorema 15) é f(g(x))[g (x) ] = F (g(x)) + C, onde F é uma antiderivada de f. Se nessa fórmula f for a função cosseno, então F será a função seno e teremos cos(g(x))[g (x) ] = sen(g(x)) + C. (1) Apostila Integral 0

21 Exemplo 14. Calcule x cos x. Se Como g(x) = x, então g (x) = x. (13) x cos x = (cos x )(x ), precisamos de um fator de acompanhando x para obter g (x). Assim, x cos x = 1 (cos x )(x ). Aplicando (1) com g(x) e g (x) dados por (13), iremos obter 1 (cos x )(x ) = 1 sen x + C. Exemplo 15. Calcule 4x (1 8x 3 ) 4. Como D x (1 8x 3 ) = 4x, escreveremos 4x = 4 (1 8x 3 ) 4 (x ) (1 8x 3 ) 4 ( = 4 1 ) (1 8x 3 ) 4 ( 4x ) 4 = 1 6. (1 8x3 ) C = 1 18(1 8x 3 ) 3 + C. Apostila Integral 1

22 Observação: Os resultados de cada um dos exemplos resolvidos anteriormente podem ser verificados através do cálculo da derivada da resposta. Em um exemplo resolvido anteriormente tínhamos x (5 + x 3 ) 8 = 1 54 (5 + x3 ) 9 + C. Verificando por diferenciação, obtemos D x [ 1 54 (5 + x3 ) 9 ] = (5 + x3 ) 8 (6x ) = x (5 + x 3 ) 8. Algumas vezes é possível calcular uma antiderivada após efetuarmos a mudança de uma variável, conforme mostra o Exemplo 16. Exemplo 16. Calcule x 1 + x. Seja u = 1 + x; du = ; x = u 1. Temos x 1 + x = (u 1) u 1 du = (u u + 1)u 1 du = u 5 du u 3 du + u 1 du = u 7 7. u u C = 7 (1 + x) (1 + x) (1 + x) 3 + C. Observação: tomar Um método alternativo para a solução do Exemplo 16 é v = 1 + x; v = 1 + x; x = v 1; = v dv. Apostila Integral

23 O cálculo, então, é feito da seguinte forma: x 1 + x = (v 1). v. (v dv) = v 6 dv 4 v 4 dv + v dv = 7 v7 4 5 v5 + 3 v3 + C = 7 (1 + x) (1 + x) (1 + x) 3 + C. Verificando por diferenciação, obtemos [ ] D x 7 (1 + x) (1 + x) (1 + x) 3 = = (1 + x) (1 + x) + (1 + x) = (1 + x) 1 [(1 + x) (1 + x) + 1] = (1 + x) 1 [1 + x + x x + 1] = x 1 + x. Exemplo 17. Calcule sen x x. Seja u = x e du = 1 x. Logo, sen x = x = sen ( ) 1 x x sen u du = cos u + C = cos x + C. Apostila Integral 3

24 Exemplo 18. Calcule sen x 1 cos x. Seja u = 1 cos x e du = sen x. Assim, sen x 1 cos x = u 1 du = 3 u 3 + C = 3 (1 cos x) 3 + C. Exemplo 19. Calcule tan x sec x por dois métodos: (a) Faça u = tan x; (b) Faça v = sec x; (c) Explique a diferença nas respostas de (a) e de (b). (a) Se u = tan x, então du = sec x. Temos tan x sec x = u du = u + C = 1 tan x + C. Apostila Integral 4

25 (b) Se v = sec x, então dv = sec x tan x. Assim, tan x sec x = sec x(sec x tan x ) = v dv = v + C = 1 sec x + C. (c) Como sec x = 1 + tan x, as funções definidas por 1 tan x e 1 sec x diferem por uma constante e, assim sendo, cada uma serve como antiderivada de tan x sec x. Além disso, podemos escrever 1 sec x + C = 1 (tan x + 1) + C = 1 tan x C = 1 tan x + K, onde K = 1 + C. Exemplo 0. Seja α 0 uma constante. Verifique que e αx = 1 α eαx + C. Assim, [ ] 1 α eαx = 1 α [eαx ] = 1 α eαx α = e αx. e αx = 1 α eαx + C. Apostila Integral 5

26 Exemplo 1. Calcule e x. De acordo com o Exemplo 0, e αx = 1 α eαx + C, logo, e x = 1 ex + C. Observação: Uma outra forma de resolver o Exemplo 1 é fazendo uma mudança de variável. Sendo u = x, du =. Fazendo a substituição em e x, temos que e u du = 1 e u du = 1 eu + C = 1 ex + C. Exemplo. Seja α 0 uma constante. Verifique que cos αx = 1 sen αx + C. α Assim, [ ] 1 sen αx = 1 α α sen αx. (αx) = cos αx. cos αx = 1 sen αx + C. α Apostila Integral 6

27 Exemplo 3. Calcule cos 3x. De acordo com o Exemplo, cos αx = 1 α sen αx + C = 1 sen 3x + C. 3 Observação: Uma outra forma de resolver o Exemplo 3 é fazendo uma mudança de variável. Sendo u = 3x, du = 3. Fazendo a substituição em cos 3x, temos que cos u du 3 = 1 cos u du = sen u + C = 1 sen 3x + C. 3 Exemplo 4. Calcule sen 5x. Seja u = 5x, du = 5. Fazendo a substituição em sen 5x, temos que sen u du 5 = 1 sen u du = cos u + C = 1 cos 5x + C. 5 Apostila Integral 7

28 Exemplo 5. Encontre x 3 cos(x 4 + ). Fazemos a substituição u = x 4 + porque sua diferencial é du = 4x 3, que, à parte do fator constante 4, ocorre na integral. Assim, usando x 3 = du 4, fazendo uma mudança de variável, temos x 3 cos(x 4 + ) = cos u. 1 4 du = 1 4 = 1 4 sen u + C = 1 4 sen(x4 + ) + C. cos u du Exemplo 6. Calcule x 1 4x. Seja u = 1 4x. Então du = 8x, portanto x = 1 8 du e x = 1 1 4x 8 = u du u 1 du = 1 8 ( u) + C = x + C. Apostila Integral 8

29 Exemplo 7. Calcule tan x. Vamos escrever primeiro a tangente em termos de seno e cosseno: sen x tan x = cos x. Isso sugere que devemos substituir u = cos x, visto que du = sen x e, portanto, sen x = du: sen x du tan x = cos x = u = ln u + C = ln cos x + C. ( Uma vez que ln cos x = ln( cos x 1 ) = ln resultado do Exemplo 7 pode também ser escrito como tan x = ln sec x + C. 1 cos x ) = ln sec x, o Apostila Integral 9

30 1..1 Exercícios 1. Efetue a antidiferenciação. (a) 1 4y dy. (k) y 3 dy (1 y 4 ) 5. (b) 3 3x 4. (l) s ds 3s + 1. (c) 3 6 x. (m) (x 4x + 4) 4 3. (d) 5r + 1 dr. (n) x 4 3x 5 5. (e) x x 9. (o) x x +. (f) 3x 4 x. (p) t dt t + 3. (g) (h) x (x 3 1) 10. x(x + 1) 6. (q) (r) r dr (1 r) 7. x 3 ( x ) 1. (i) 5x 3 (9 4x ). (s) x 3 x. (j) x (x + 1) 3. (t) (x 3 + 3) 1 4 x 5. Apostila Integral 30

31 (u) (v) cos 4θ dθ. sen 1 3 x. (x) 1 t cos 4t dt. (y) sec 5x. (w) 6x sen x 3. (z) cosec θ dθ.. Encontre a antiderivada. (a) y cosec 3y cotan 3y (i) dy. (b) (c) r sec r 3 dr. cos x( sen x) 5. (d) 4 sen x (1 + cos x). (e) (f) (g) (h) x x. 1 t 1 dt t. sen x cos x. sen x cos x. (j) (k) (l) (m) (n) (o) cos t sen t dt. sen 3 θ cos θ dθ. (tan x + cotan x). 1 cos 1 4 x sen 14 x. cos 3x 1 sen 3x. sec 3 t t dt. (x + x) x3 + 3x + 1. Apostila Integral 31

32 (p) (q) (r) x(x + 1) (v) 4 x x 4. x(3x + 1) (3x 4 + x + 1). 3 + s(s + 1) ds. (w) ( t + 1 ) 3 ( ) t 1 t t x 3. (x + 4) 3 dt. (s) (t) (u) (y + 3) dy. (3 y) 3 (t + 1) 1 3 t 3 dt. 1 (r 3 + ) 4 dr 3. r (x) (y) (z) x 3 1 x. sen x sen(cos x). sec x tan x cos(sec x). 3. Calcule a antiderivada das funções e verifique sua resposta por derivação. (a) (f) e x. e x. (b) e 5x. (g) sen x. (c) (e x + e 4x ). (h) cos 5x. (d) ( 1 x + 1 ) e x. (i) sen 4t dt. (e) ( 3 x + ) x 3. (j) cos 7t dt. Apostila Integral 3

33 (k) cos 3t dt. (l) (m) (n) (o) (p) ( 1 1 ) cos x (x + 15 cos 3x ) sen x cos x... ( 1 3 cos 8x 1 ) sen 7x 7 ( ) 1 3 e3x + sen 3x.. Apostila Integral 33

34 1.3 Integração por Partes Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtemos um método de integração muito útil chamado integração por partes. Se f e g forem funções diferenciáveis, então D x [f(x)g(x)] = f(x)g (x) + g(x)f (x) f(x)g (x) = D x [f(x)g(x)] g(x)f (x). Integrando ambos os membros, iremos obter f(x)g (x) = D x [f(x)g(x)] g(x)f (x) f(x)g (x) = f(x)g(x) g(x)f (x). (14) Chamaremos (14) de fórmula de integração por partes. Para propósitos de cálculo existe uma maneira mais conveniente de escrever essa fórmula, tomando u = f(x) e v = g(x). Então du = f (x) e dv = g (x). Assim sendo, (14) torna-se u dv = uv v du. (15) Essa fórmula expressa a integral u dv em termos de uma outra integral, v du. Escolhendo adequadamente u e dv, pode ser mais fácil calcular a segunda integral do que a primeira. Quando escolhemos as substituições para u e dv, em geral pretendemos que dv seja o fator do integrando mais complicado do que se possa integrar diretamente, e que u seja uma função cuja derivada seja uma função mais simples. Apostila Integral 34

35 Exemplo 8. Calcule x ln x. Para determinar quais as substituições para u e dv, deve-se ter em mente que para encontrar v é preciso saber integrar dv. Isso sugere que dv = x e u = ln x. Então, Da fórmula (15), x ln x = ln x v = x + C 1 e du = x. ( ) x ( ) x + C 1 + C 1 x x C 1 x = x ln x + C 1 ln x 1 = x ln x + C 1 ln x x 4 C 1 ln x + C = 1 x ln x 1 4 x + C. No Exemplo 8, observe que a primeira constante de integração C 1 não aparece na resposta final. C 1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma 1 x +C 1 produzem o mesmo resultado para x ln x. Essa situação é válida em geral e provamos isso da seguinte forma: escrevendo v + C 1 na fórmula (15), teremos u dv = u(v + C 1 ) (v + C 1 ) du = uv + C 1 v v du C 1 du = uv + C 1 u v du C 1 u = uv v du. Assim sendo, é desnecessário escrever C 1 quando calcularmos v a partir de dv. Apostila Integral 35

36 Observação: A resposta do Exemplo 8 pode ser escrita como 1 x (ln x 1 ) + C. Esse resultado pode ser verificado calculando a derivada de um produto. [ ] 1 D x x (ln x 1) = 1 ( ) ( 1 x + x ln x 1 ) x = 1 x + x ln x 1 x = x ln x. Exemplo 9. Calcule x 3 e x. Usamos integração por partes com dv = xe x v = 1 ex e du = x. Da fórmula (15) ( ) 1 x 3 e x = x ex = 1 x e x e u = x. Então, ( ) 1 ex x xe x = 1 x e x 1 ex + C. Apostila Integral 36

37 Exemplo 30. Calcule x cos x. Seja u = x e dv = cos x. Então, du = e v = sen x. Assim, x cos x = x sen x sen x = x sen x + cos x + C. Observação: No Exemplo 30, se para u e dv tivéssemos escolhido u = cos x e dv = x, então, du = sen x e v = 1 x. Assim, x cos x = x cos x + 1 x sen x. A integral do segundo membro é mais complicada do que a que tínhamos inicialmente, indicando assim que as escolhas feitas para u e dv não são boas. Pode acontecer que determinada integral exija repetidas aplicações da integração por partes. Exemplo 31. Calcule x e x. Seja u = x e dv = e x. Então, du = x e v = e x. Apostila Integral 37

38 Temos assim, x e x = x e x xe x. Vamos aplicar a integração por partes ao segundo membro. Seja u = x e dv = e x. Então, du = e v = e x. Obtemos assim, xe x = xe x e x = xe x e x + C. Logo, x e x = x e x (xe x e x + C) = x e x xe x + e x + C, onde C = C. A integração por partes é frequentemente usada quando o integrando envolve logaritmos, funções trigonométricas inversas e produtos de funções. Exemplo 3. Calcule tan 1 x. Seja u = tan 1 x e dv =. Então, Assim, du = 1 + x e v = x. tan 1 x = x tan 1 x x 1 + x = x tan 1 x 1 ln(1 + x ) + C. Apostila Integral 38

39 Exemplo 33. Calcule e x sen x. Seja u = e x e dv = sen x. Então, du = e x e v = cos x. Logo, e x sen x = e x cos x + e x cos x. A integral do segundo membro é semelhante à primeira integral, exceto que em vez de sen x temos cos x. Aplicamos a integração por partes novamente, sendo u = e x e dv = cos x. Então, du = e x e v = sen x. Assim, e x sen x = e x cos x + ( e x sen x ) e x sen x. Agora temos no segundo membro a mesma integral que no primeiro. Assim, se somarmos e x sen x a ambos os membros da igualdade, teremos e x sen x = e x cos x + e x sen x + C. Observe que o segundo membro da igualdade acima tem uma constante arbitrária, pois no primeiro membro temos uma integral indefinida. Essa constante arbitrária foi escrita como C; assim, quando dividirmos por os membros da igualdade, a constante arbitrária na resposta será C. Assim temos e x sen x = 1 ex (sen x cos x) + C. Apostila Integral 39

40 Ao aplicarmos a integração por partes em uma dada integral, um determinado par de escolhas para u e dv pode funcionar, enquanto que outro par pode falhar. Observação: No Exemplo 33, na etapa em que tínhamos e x sen x = e x cos x + e x cos x, se calcularmos a integral à direita tomando u = cos x e dv = e x cos x, temos du = sen x e v = e x. Assim, iremos obter ( e x sen x = e x cos x + e x cos x + = e x sen x. ) e x sen x Apostila Integral 40

41 1.3.1 Exercícios 1. Calcule a integral indefinida. (a) xe 3x. (j) x ln x. (b) x cos x. (k) xe x (x + 1). (c) x sec x tan x. (l) x sen 3x. (d) x3 x. (m) sen x ln(cos x). (e) ln x. (n) sen(ln x). (f) sen 1 w dw. (o) e x cos x. (g) (ln x). (p) x 5 e x. (h) x sec x. (q) x 3 1 x. (i) x tan 1 x. (r) sen x e x. Apostila Integral 41

42 (s) e x 1 e x. (t) cotan 1 z z dz. (u) (v) (w) cos 1 x. cos x. tan 1 x. Apostila Integral 4

43 1.4 Integração de Potências de Seno e Cosseno Vamos considerar quatro casos de integrais indefinidas envolvendo potências de seno e cosseno, conforme as potências sejam pares ou ímpares Caso 1 sen n u du ou cos n u du, onde n é um inteiro ímpar. Exemplo 34. Calcule cos 3 x. cos 3 x = cos x(cos x ) = (1 sen x)(cos x ) cos 3 x = cos x sen x cos x. (16) Para a segunda integral do lado direito de (16) observe que sendo D x (sen x) = cos x, temos sen x(cos x ) = 1 3 sen3 x + C 1. Como a primeira integral do lado direito de (16) é sen x + C, cos 3 x = sen x 1 3 sen3 x + C. Apostila Integral 43

44 Exemplo 35. Calcule sen 5 x. sen 5 x = (sen x) sen x = (1 cos x) sen x = (1 cos x + cos 4 x) sen x = sen x cos x sen x + = cos x + cos x( sen x ) cos 4 x sen x cos 4 x( sen x ) = cos x + 3 cos3 x 1 5 cos5 x + C Caso sen n x cos m x, onde pelo menos um dos expoentes é ímpar. A solução desse caso é semelhante à do Caso 1. Exemplo 36. Calcule sen 3 x cos 4 x. sen 3 x cos 4 x = = sen x cos 4 x(sen x ) (1 cos x) cos 4 x(sen x ). Apostila Integral 44

45 sen 3 x cos 4 x = cos 4 x sen x cos 6 x sen x = 1 5 cos5 x cos7 x + C Caso 3 sen n u du e cos n u du, onde n é um inteiro par. O método usado no Caso 1 e no Caso não funciona nesse caso. Usaremos as seguintes identidades trigonométricas: sen x = 1 cos x e cos x = 1 + cos x. Exemplo 37. Calcule sen x. sen x = 1 cos x = 1 x 1 sen x + C Caso 4 sen n x cos m x, ambos m e n são pares. A solução deste caso é semelhante à do Caso 3. Apostila Integral 45

46 Exemplo 38. Calcule sen x cos 4 x. sen x cos 4 x = ( ) ( ) 1 cos x 1 + cos x = = cos x 1 cos x 1 cos 3 x = 1 8 x sen x cos 4x 1 (1 sen x) cos x 8 8 = x sen x + x sen 4x 1 cos x + 1 sen x cos x = x sen x sen 4x sen x + + sen3 x + C = x 16 + sen3 x sen 4x + C Exemplo 39. Calcule sen 4 x cos 4 x. Se usarmos a identidade sen x cos x = 1 sen x, teremos sen 4 x cos 4 x = 1 sen 4 x 16 ( ) 1 cos 4x. = 1 16 Apostila Integral 46

47 sen 4 x cos 4 x = 1 (1 cos 4x) 16 4 = 1 1 cos 4x + 1 cos 4x = x sen 4x cos 8x 64 = x sen 4x x sen 8x C = 3x sen 4x sen 8x C. O Exemplo 40 envolve um outro tipo de integral contendo um produto de seno e cosseno. Exemplo 40. Calcule sen 3x cos x. Vamos usar a seguinte identidade trigonométrica: sen mx cos nx = 1 sen(m n)x + 1 sen(m + n)x. ( 1 sen 3x cos x = sen x + 1 ) sen 5x = 1 sen x + 1 sen 5x = 1 cos x 1 cos 5x + C. 10 Apostila Integral 47

48 1.4.5 Exercícios 1. Calcule a integral indefinida. (a) sen 4 x cos x. (k) sen x cos 3 x. (b) sen 5 x cos x. (l) cos 6 x. (c) cos 3 4x sen 4x. (m) sen 5 x cos x. (d) cos 6 1 x sen 1 x. (n) sen t cos 4 t dt. (e) sen 3 x. (o) sen 3t cos 3t dt. (f) sen 3x. (p) cos z sen 3 z dz. (g) sen 4 z dz. (q) cos 3 3x 3 sen 3x. (h) cos 5 x. (r) sen 3 1 y cos 1 y dy. (i) cos 1 x. (s) cos 4x sen 3x. (j) sen 3 x cos 3 x. (t) sen x cos 4x. Apostila Integral 48

49 (u) (v) sen 3y cos 5y dy. cos t cos 3t dt. (w) (x) (sen 3t sen t) dt. sen x sen 3x sen 5x. Apostila Integral 49

50 1.5 Integração de Potências da Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Vamos lembrar as seguintes fórmulas envolvendo tangente, cotangente, secante e cossecante: tan u du = ln sec u + C. sec u du = ln sec u + tan u + C. sec u du = tan u + C. sec u tan u du = sec u + C. cotan u du = ln sen u + C. cosec u du = ln cosec u cotan u + C. cosec u du = cotan u + C. cosec u cotan u du = cosec u + C. Com essas fórmulas e as identidades trigonométricas 1 + tan u = sec u e 1 + cotan u = cosec u, é possível calcular integrais da forma tan m u sec n u du e onde m e n são inteiros não-negativos. cotan m u cosec n u du, (17) Apostila Integral 50

51 Exemplo 41. Calcule: (a) tan x ; (a) cotan x. (a) tan x = = (sec x 1) sec x = tan x x + C. (b) cotan x = (cosec x 1) = cosec x = cotan x x + C. Vamos distinguir agora os vários casos das integrais da forma (17) Caso 1 tan n u du ou cotan n u du, onde n é um inteiro positivo. Escrevemos, tan n u = tan n u tan u = tan n u(sec 1); cotan n u = cotan n u cotan u = cotan n u(cosec 1). Apostila Integral 51

52 Exemplo 4. Calcule tan 3 x. tan 3 x = = tan x(sec x 1) tan x sec x tan x = 1 tan x + ln cos x + C. Exemplo 43. Calcule cotan 4 3x. cotan 4 3x = cotan 3x(cosec 3x 1) = cotan 3x cosec 3x cotan 3x = 1 9 ( cotan3 3x) (cosec 3x 1) = 1 9 cotan3 3x + 1 cotan 3x + x + C. 3 Apostila Integral 5

53 1.5. Caso sec n u du ou cosec n u du, onde n é um inteiro par positivo. Escrevemos sec n u = sec n u sec u = (tan u + 1) n sec u; cosec n u = cosec n u cosec u = (cotan u + 1) n cosec u. Exemplo 44. Calcule cosec 6 x. cosec 6 x = = = (cotan x + 1) cosec x cotan 4 x cosec x + cotan x cosec x + cosec x = 1 5 cotan5 x 3 cotan3 x cotan x + C Caso 3 sec n u du ou cosec n u du, onde n é um inteiro ímpar positivo. Para integrar potências ímpares de secante e cossecante, usaremos integração por partes. Apostila Integral 53

54 Exemplo 45. Calcule sec 3 x. Seja u = sec x e dv = sec x. Então, du = sec x tan x e v = tan x. Logo, sec 3 x = sec x tan x = sec x tan x = sec x tan x sec x tan x sec x(sec x 1) sec 3 x + sec x. Somando sec 3 x a ambos os membros, obtemos sec 3 x = sec x tan x + ln sec x + tan x + C sec 3 x = 1 sec x tan x + 1 ln sec x + tan x + C Caso 4 tan m u sec n u du ou cotan m u cosec n u du, onde n é um inteiro par positivo. Apostila Integral 54

55 Exemplo 46. Calcule tan 5 x sec 4 x. tan 5 x sec 4 x = = tan 5 x(tan x + 1) sec x tan 7 x sec x + tan 5 x sec x = 1 8 tan8 x tan6 x + C Caso 5 tan m u sec n u du ou cotan m u cosec n u du, onde m é um inteiro ímpar positivo. Exemplo 47. Calcule tan 5 x sec 7 x. tan 5 x sec 7 x = = = = tan 4 x sec 6 x sec x tan x (sec x 1) sec 6 x(sec x tan x ) sec 10 x(sec x tan x ) sec 8 x(sec x tan x ) + sec 6 x(sec x tan x ) = 1 11 sec11 x 9 sec9 x sec7 x + C. Apostila Integral 55

56 1.5.6 Caso 6: tan m u sec n u du ou cotan m u cosec n u du, onde m é um inteiro par positivo e n é um inteiro ímpar positivo. O integrando pode ser expresso em termos de potências ímpares de secante ou cossecante. Por exemplo, tan x sec 3 x = (sec x 1) sec 3 x = sec 5 x sec 3 x. Para calcular cada uma dessas integrais usamos integração por partes, conforme foi indicado no Caso 3. Apostila Integral 56

57 1.5.7 Exercícios 1. Calcule a integral indefinida. (a) tan 5x. (b) cotan 4t dt. (c) x cotan x. (d) e x tan (e x ). (e) cotan 3 t dt. (k) (l) (m) (n) (o) e x tan 4 (e x ). sec 4 (ln x). x tan 6 x sec 4 x. tan 5 x sec 3 x. (sec 5x + cosec 5x). (f) (g) (h) (i) (j) tan 4 x. cotan 5 x. sec 4 x. cosec 4 x. sec 5 x. (p) (q) (tan x + cotan x). 1 + cos x. (r) sen(w) 1 (s) (t) cos w tan 3 x x. tan 5 3x. dw. Apostila Integral 57

58 (u) (v) (w) (x) (y) (z) tan 4 y sec 5 y dy. du 1 + sec 1 u. cosec 4 x cotan x. sec 3 x tan 4 x. sen πx cos 6 πx. tan 3 (ln x) sec 6 (ln x) x. Apostila Integral 58

59 1.6 Integração por Substituição Trigonométrica Se o integrando contiver expressões do tipo a u, a + u, ou u a, onde a > 0, em geral é possível efetuar a integração através de uma substituição trigonométrica que levará a uma integral envolvendo funções trigonométricas. Vamos considerar cada forma como um caso separado Caso 1 O integrando contém uma expressão da forma a u, onde a > 0. Vamos introduzir uma nova variável θ tomando u = a sen θ, onde 0 θ 1π se u 0 e 1 π θ < 0 se u < 0. Então du = a cos θ dθ, e a u = a a sen θ = a (1 sen θ) = a cos θ. Como 1 π θ 1 π, cos θ 0. Então cos θ = cos θ, e a u = a cos θ. Como sen θ = u a e 1 π θ 1 π, θ = sen 1 u a. Exemplo 48. Calcule 9 x x. Seja x = 3 sen θ, onde 0 < θ 1π se x > 0 e 1 π θ < 0 se x < 0. Então = 3 cos θ dθ e 9 x = 9 9 sen θ = 3 cos θ = 3 cos θ. Apostila Integral 59

60 Logo, 9 x x = = = 3 cos θ (3 cos θ dθ) 9 sen θ cotan θ dθ (cosec θ 1)dθ = cotan θ θ + C. Como sen θ = 1x e 1π θ 1π, θ = 3 sen 1 1 x. Para encontrar cotan θ, 3 consulte a Figura 1 (para x > 0) e a Figura (para x < 0). Observe que em ambos os casos cotan θ = 9 x. Logo, x 9 x 9 x = x x sen 1 x 3 + C. Figura 1: Exemplo 48. Figura : Exemplo 48. Apostila Integral 60

61 Exemplo 49. Calcule x 3 x x. Podemos transformar o integrando em uma função para a qual a substituição trigonométrica é apropriada completando o quadrado: 3 x x = 3 (x + x) = (x + x + 1) = 4 (x + 1). Isso sugere a substituição u = x + 1. Então du = e x = u 1, assim x = u 1 du. 3 x x 4 u Agora substituímos u = sen θ, obtendo du = cos θ dθ e 4 u = cos θ. Dessa forma, x sen θ 1 = cos θ dθ = ( sen θ 1) dθ 3 x x cos θ = cos θ θ + C = ( u ) 4 u sen 1 + C = ( ) x x x sen 1 + C Caso O integrando contém uma expressão da forma a + u, onde a > 0. Introduzimos uma nova variável θ fazendo u = a tan θ, onde 0 θ < 1π se u 0 e 1 π < θ < 0 se u < 0. Então du = a sec θ dθ, e a + u = a + a tan θ = a 1 + tan θ = a sec θ. Apostila Integral 61

62 Como 1 π < θ < 1 π, sec θ 1. Assim sec θ = sec θ, e a + u = a sec θ. Como tan θ = u e 1π < θ < 1 π, temos que, a θ = tan 1 u a. Exemplo 50. Calcule x + 5. Substituímos x = 5 tan θ, onde 0 θ < 1 π se x 0 e 1 π < θ < 0 se x < 0. Então = 5 sec θ dθ e x + 5 = Logo, x + 5 = 5 tan θ + 5 = 5 sec θ = 5 sec θ. 5 sec θ( 5 sec θ dθ) = 5 sec 3 θ dθ. Usando o resultado do Exemplo 45, temos x + 5 = 5 sec θ tan θ + 5 ln sec θ + tan θ + C. Determinamos sec θ da Figura 3 (para x 0) e da Figura 4 (para x < 0), onde tan θ = x 5. Em ambos os casos vemos que sec θ = x Logo, x + 5 = 5. x + 5 x ln x x + C 5 5 = 1 x x ln x x 5 ln 5 + C = 1 x x ln( x x) + C 1. Observe que substituímos 5 ln 5 + C pela constante arbitrária C 1. Além disso, como x x > 0, retiramos as barras de valor absoluto. Apostila Integral 6

63 Figura 3: Exemplo 50. Figura 4: Exemplo Caso 3 O integrando contém uma expressão da forma u a, onde a > 0. Introduzimos uma nova variável fazendo u = a sec θ, onde 0 θ < 1π se u a e π θ < 3 π se u a. Então du = a sec θ tan θ dθ e u a = a sec θ a = a (sec θ 1) = a tan θ. Como 0 θ < 1 π ou π θ < 3 π, tan θ 0. Assim, tan θ = tan θ, e temos u a = a tan θ. Como sec θ = u a e θ está em [0, 1 π) [π, 3 π), θ = sec 1 u a. Apostila Integral 63

64 Exemplo 51. Calcule x 3 x 9. Seja x = 3 sec θ, onde 0 < θ < 1π se x > 3 e π < θ < 3 π se x < 3. Então = 3 sec θ tan θ dθ e x 9 = 9 sec θ 9 = 3 tan θ = 3 tan θ. Logo, x 3 x 9 = 3 sec θ tan θ dθ 7 sec 3 θ. 3 tan θ = 1 cos θ dθ 7 = 1 (1 + cos θ)dθ 54 = 1 (θ + 1 ) 54 sen θ + C = 1 (θ + sen θ cos θ) + C. 54 Como sec θ = 1x e θ está em (0, 1π) (π, 3π), temos que θ = 3 sec 1 1x. 3 Quando x > 3, 0 < θ < 1 π, obtemos sen θ e cos θ da Figura 5. Quando x < 3, π < θ < 3 π, obtemos sen θ e cos θ da Figura 6. Em ambos os casos sen θ = x 9 e cos θ = 3. Logo, x x x 3 x 9 = 1 ( sec 1 x x 9. 3 ) + C x x = 1 54 sec 1 x 3 + x 9 18x + C. Apostila Integral 64

65 Figura 5: Exemplo 51. Figura 6: Exemplo 51. Exemplo 5. Calcule x 5. Seja x = 5 sec θ, onde 0 < θ < 1π se x > 5 e π < θ < 3 π se x < 5. Então = 5 sec θ tan θ dθ e x 5 = 5 sec θ 5 Logo, = 5 tan θ = 5 tan θ. 5 sec θ tan θ dθ x 5 = 5 tan θ = sec θ dθ = ln sec θ + tan θ + C. Apostila Integral 65

66 Para encontrar tan θ, consulte a Figura 7 (para x > 5) e a Figura 8 (para x < 5). Em ambos os casos, sec θ = x e tan θ = x 5. Temos então, 5 5 x 5 = ln x 5 + x C = ln x + x 5 ln 5 + C = ln x + x 5 + C 1. Figura 7: Exemplo 5. Figura 8: Exemplo 5. Apostila Integral 66

67 1.6.4 Exercícios 1. Calcule a integral indefinida. (a) (b) (c) (d) x 4 x. 4 x x. x x + 4. x x + 6. (k) (l) (m) (n) x x. dt t t x 3 (5 x ). 4x + x. (e) (f) x 5 x. 1 u du. (o) (p) 4x x.. (5 4x x ) 3 (g) x a. (q) x x 4 4. (h) dw w w 7. (r) sec x (4 tan x) 3. (i) (j) x (x + 4).. (4 + x ) 3 (s) (t) e x (9e x + 1) 3. ln 3 w w ln w 4 dw. Apostila Integral 67

68 (u) (v) (w) dz. (z 6z + 18) 3 e t dt. (e t + 8e t + 7) 3 16 e x e x. Apostila Integral 68

69 1.7 Integração das Funções Racionais por Frações Parciais Quando o denominador tem somente Fatores Lineares Da definição de função racional, H será racional se H(x) = P (x), onde P (x) Q(x) e Q(x) são polinômios. Se o grau do numerador não for menor do que o grau do denominador, temos uma fração imprópria e, nesse caso, dividimos o numerador pelo denominador até obter uma fração própria, isto é, uma fração cujo numerador tenha grau menor do que o grau do denominador. Por exemplo, x 4 10x + 3x + 1 = x 3x x 4 x 4. Assim, se quisermos integrar x 4 10x + 3x + 1, x 4 o problema se reduz a integrar 3x 3 (x 6) + x 4. Em geral, então, estamos interessados em calcular integrais do tipo P (x) Q(x), onde o grau de P (x) é menor do que o grau de Q(x). Para fazer isso, em geral é necessário escrever P (x) como a soma de Q(x) frações parciais. Os denominadores das frações parciais são obtidos fatorando Q(x) num produto de fatores lineares e quadráticos onde os fatores quadráticos não têm zeros reais. Algumas vezes pode ser difícil encontrar esses fatores de Q(x); porém, um teorema de Álgebra Avançada estabelece que teoricamente isso sempre pode ser feito. Após fatorar Q(x) num produto de fatores lineares e quadráticos, o método de determinar as frações parciais irá depender da natureza desses fatores. Vamos considerar separadamente os vários casos. Os resultados de Álgebra Avançada fornecem a forma da fração parcial em cada caso. Apostila Integral 69

70 1.7. Caso 1 Os fatores de Q(x) são todos lineares e nenhum é repetido. Isto é, Q(x) = (a 1 x + b 1 )(a x + b )... (a n x + b n ), onde não existem dois fatores idênticos. Nesse caso escrevemos P (x) Q(x) A 1 + A A n , a 1 x + b 1 a x + b a n x + b n onde A 1, A,..., A n, são constantes a serem determinadas. Observe que na igualdade acima usamos (que se lê idêntico) no lugar de =, pois trata-se de uma identidade. Exemplo 53. Calcule (x 1) x 3 x x. Para calcular fatoramos o denominador obtendo Assim, (x 1) x 3 x x, x 1 x 3 x x x 1 x(x )(x + 1). (x 1) x(x )(x + 1) A x + B x + C x + 1. (18) Como (18) é uma identidade, deve ser válida para todo x exceto 0, e 1. De (18), x 1 A(x )(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x ). (19) A igualdade (19) é uma identidade válida para todos os valores de x inclusive 0, e 1. Queremos encontrar as constantes A, B e C. Substituindo x por 0 em (19), obtemos 1 = A A = 1. Apostila Integral 70

71 Substituindo x por em (19), obtemos 1 = 6B B = 1 6. Substituindo x por 1 em (19), obtemos = 3C C = 3. Há um outro método para encontrar os valores de A, B e C. segundo membro de (19) agruparmos os termos, Se no x 1 (A + B + C)x + ( A + B C)x A. Como temos uma identidade, os coeficientes do primeiro membro devem ser iguais aos coeficientes correspondentes do segundo membro. Assim, A + B + C = 0 A + B C = 1 A = 1. Resolvendo essas equações simultaneamente, obtemos A = 1, B = 1 6 C =. Substituindo esses valores em (18), teremos 3 e 1 1 x 1 x(x )(x + 1) x + 6 x + 3 x + 1. Assim, a integral dada pode ser expressa da seguinte forma: x 1 x 3 x x = 1 x x 3 x + 1 = 1 ln x ln x 3 ln x ln C = 1 (3 ln x + ln x 4 ln x ln C) 6 = 1 6 ln Cx 3 (x ) (x + 1) 4. Apostila Integral 71

72 Exemplo 54. Calcule x + x 1 x 3 + 3x x. Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não precisamos dividir. Fatoramos o denominador como x 3 + 3x x = x(x + 3x ) = x(x 1)(x + ). Como o denominador tem três fatores lineares distintos, a decomposição em frações parciais do integrando tem a forma x + x 1 x(x 1)(x + ) A x + B x 1 + C x +. Para determinar os valores de A, B e C multiplicamos ambos os lados dessa equação pelo produto dos denominadores, x(x 1)(x + ), obtendo x + x 1 A(x 1)(x + ) + Bx(x + ) + Cx(x 1). (0) Expandindo o lado direito de (0) e escrevendo-a na forma padrão para os polinômios, temos x + x 1 (A + B + C)x + (3A + B C)x A. (1) Os polinômios de (1) são idênticos, então seus coeficientes devem ser iguais. O coeficiente de x do lado direito, A + B + C, deve ser igual ao coeficiente de x do lado esquerdo, ou seja, 1. Do mesmo modo, os coeficientes de x são iguais e os termos constantes também. Isso resulta no seguinte sistema de equações para A, B e C: A + B + C = 1 3A + B C = A = 1. Resolvendo, obtemos A = 1, B = 1, C = 1, e assim 5 10 x ( + x 1 1 x 3 + 3x x =. 1 x x 1 1 ) x + = 1 ln x ln x 1 1 ln x + + C. 10 Ao integrar o termo do meio, fizemos mentalmente a substituição u = x 1, que resulta em du = e = du. Apostila Integral 7

73 1.7.3 Caso Os fatores de Q(x) são todos lineares e alguns são repetidos. Suponha que (a i x + b i ) seja um fator que se repete p vezes. Então, correspondendo a esse fator haverá a soma de p frações parciais A 1 (a i x + b i ) p + A (a i x + b i ) p A p 1 (a i x + b i ) + A p a i x + b i, onde A 1, A,..., A p, são constantes a serem determinadas. Exemplo 55. Calcule (x 3 1) x (x ) 3. A fração no integrando pode ser escrita como soma de frações parciais da seguinte forma: x 3 1 x (x ) A 3 x + B x + C (x ) + D 3 (x ) + E x. () Multiplicando ambos os membros de () pelo mínimo múltiplo comum, teremos x 3 1 A(x ) 3 + Bx(x ) 3 + Cx + Dx (x ) + Ex (x ). (3) Substituindo x por em (3), obtemos 7 = 4C C = 7 4. Substituindo x por 0 em (3), obtemos 1 = 8A A = 1 8. Substituímos esses valores de A e C em (3) e expandindo as potências dos binômios, teremos x (x3 6x + 1x 8) + Bx(x 3 6x + 1x 8) x + +Dx 3 Dx + Ex (x 4x + 4) ( 1 6B + D 4E 8 x 3 1 (B + E)x 4 + ( 3 + 8B ) x 1. ) x 3 + ( B + 74 D + 4E ) x + Apostila Integral 73

74 Igualando os coeficientes das potências iguais de x, obtemos Resolvendo, obtemos B + E = 0 1 6B + D 4E 8 = B + 7 D + 4E = B = 0. B = 3 16, D = 5 4 e E = Logo, de (), x x (x ) 8 3 x + 16 x + 4 (x ) (x ) x. Assim, x 3 1 x (x ) 3 = = 1 8 x x (x ) = 1 8x ln x 7 8(x ) 5 = 11x + 17x 4 8x(x ) (x ) (x ) 3 ln x + C ln x x + C. x Apostila Integral 74

75 Exemplo 56. Calcule x 4 x + 4x + 1 x 3 x x + 1. A primeira etapa é dividir. O resultado da divisão de polinômios é x 4 x + 4x + 1 x 3 x x + 1 = x x x 3 x x + 1. A segunda etapa é fatorar o denominador Q(x) = x 3 x x + 1. Como Q(1) = 0, sabemos que x 1 é um fator e obtemos x 3 x x + 1 = (x 1)(x 1) = (x 1)(x 1)(x + 1) = (x 1) (x + 1). Como o fator linear x 1 ocorre duas vezes, a decomposição em frações parciais é 4x (x 1) (x + 1) A x 1 + B (x 1) + C x + 1. Multiplicando pelo mínimo denominador comum, (x 1) (x + 1), temos 4x A(x 1)(x + 1) + B(x + 1) + C(x 1) Agora igualamos os coeficientes: (A + C)x + (B C)x + ( A + B + C). A + C = 0 B C = 4 A + B + C = 0. Resolvendo, obtemos A = 1, B = e C = 1. Assim, x 4 x [ + 4x + 1 x 3 x x + 1 = x x 1 + (x 1) 1 ] x + 1 = x + x + ln x 1 ln x C x 1 x 1 + ln x 1 x C. = x + x Apostila Integral 75

76 Exemplo 57. Calcule du u a. 1 u a A u a + Multiplicando por (u a)(u + a), obtemos Igualando os coeficientes, teremos B u + a. 1 A(u + a) + B(u a) 1 (A + B)u + Aa Ba. A + B = 0 Aa Ba = 1. Resolvendo simultaneamente, obtemos Logo, A = 1 a e B = 1 a. du = 1 du u a a u a 1 a = 1 1 ln u a a a = 1 a ln u a u + a + C. du u + a ln u + a + C O tipo de integral do Exemplo 57 ocorre com uma frequência tal que justifica ser dado como fórmula. Trata-se de uma simples integração por frações parciais. du u a = 1 a ln u a u + a + C. Apostila Integral 76

77 Se tivermos escreveremos, du a u, du du = a u u a = 1 a ln u a u + a + C = 1 a ln u + a u a + C. Essa integração será também dada como fórmula. du a u = 1 a ln u + a u a + C. Apostila Integral 77

78 1.7.4 Exercícios 1. Calcule a integral indefinida. (a) (b) x 4. x x + x 6. (c) 5x x 4. (d) (e) (f) (g) (h) (i) 4x x 3 x x. 4w 11 w + 7w 4 dw. 9t 6t 5 3t 5t dt. 6x x 1 4x 3 x x + x + x 1 x 3 + 3x... (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) x + 4x 1 x 3 x x (x + 1). 3x x + 1 x 3 x.. x 3x 7 (x + 3)(x + 1). dt (t + ) (t + 1). 3z + 1 (z 4) dz. 5x 11x + 5 x 3 4x + 5x. x 4 + 3x 3 5x 4x + 17 x 3 + x 5x + 3 x 4 x + 1 x 5 x 4.. Apostila Integral 78

79 (s) 4x x + 5x x 4 6x 3 11x + 4x + 4. (t) 16x 4 8x + 1. Apostila Integral 79

80 1.7.5 Quando o denominador contém Fatores Quadráticos A discussão de integração de funções racionais por frações parciais continua com dois casos onde o denominador contém fatores quadráticos irredutíveis. Um fator ax + bx + c será irredutível se uma equação a + bx + c = 0 não tiver raízes reais, isto é, b 4ac < Caso 3 Os fatores de Q(x) são lineares e quadráticos, e nenhum fator quadrático é repetido. Correspondendo ao fator quadrático ax + bx + c no denominador, temos uma fração parcial da forma Ax + B ax + bx + c. Exemplo 58. Calcule x x 3 (x 1)(x + x + ). A fração no integrando pode ser escrita como a seguinte soma de frações parciais: x x 3 (x 1)(x + x + ) Ax + B x + x + + C x 1. (4) Multiplicando ambos os membros de (4) pelo mínimo denominador comum, teremos x x 3 (Ax + B)(x 1) + C(x + x + ). (5) Podemos calcular C substituindo x por 1 em (5) e obtendo 4 = 5C C = 4 5. Substituímos C por 4 em (5) e multiplicando o segundo membro, obtemos 5 ( x x 3 A 4 ) ( x + B A 8 ) x + ( 85 ) 5 5 B. Apostila Integral 80

81 Igualando os coeficientes das potências iguais de x, teremos Logo, A 4 5 = 1 B A 8 5 = 8 5 B = 3. A = 9 e B = Substituindo os valores de A, B e C em (4), teremos x 9 x 3 (x 1)(x + x + ) x x + x x 1. Assim, x x 3 (x 1)(x + x + ) = = 9 x 5 x + x x + x x 1. (6) Para integrar x x + x +, vemos que a diferencial do denominador é (x + 1); assim, se somarmos e subtrairmos 1 no numerador, iremos obter 9 5 x x + x + = 9 5 (x + 1) x + x x + x +. Substituindo essa desigualdade em (6) e combinando os termos, teremos x x 3 (x 1)(x + x + ) = = (x + 1) x + x + 5 x + x x 1 = 9 10 ln x + x + 5 (x + 1) ln x 1 5 = 9 10 ln x + x + 5 tan 1 (x + 1) 8 10 ln x ln C = 1 10 ln C(x + x + ) 9 (x 1) 8 5 tan 1 (x + 1). Apostila Integral 81

82 Observação: No Exemplo 58 podemos evitar algumas passagens, se, em vez de (4), expressarmos a fração original como x x 3 (x 1)(x + x + ) D(x + ) + E x + x + + F x 1. Escrevemos D(x + ) + E em vez de Ax + B, pois x + = D x (x + x + ). Então, resolvendo para D, E e F, obtemos resultando em diretamente D = 9 10, E = 5 (x + 1) x + x + 5 e F = 4 5, x + x x 1 Exemplo 59. Calcule x x + 4 x 3 + 4x. Como x 3 + 4x = x(x + 4) não pode mais ser fatorado, escrevemos x x + 4 x(x + 4) A x + Bx + C x + 4. Multiplicando por x(x + 4), temos x x + 4 A(x + 4) + (Bx + C)x (A + B)x + Cx + 4A. Igualando os coeficientes, obtemos A + B =, C = 1 e 4A = 4. Então A = 1, B = 1, C = 1 e, dessa forma, x ( x = x 3 + 4x x + x 1 ) x + 4. Apostila Integral 8

83 Para integrar o segundo termo, o dividimos em duas partes: x 1 x + 4 = x x x + 4. Fazemos a substituição u = x + 4 na primeira das integrais de modo que du = x. Calculamos a segunda integral usando a fórmula x + a = 1 ( x ) a tan 1 + C, a com a = : x x + 4 x(x + 4) 1 = x + x x x + 4 = ln x + 1 ln(x + 4) 1 ( x ) tan 1 + C. Exemplo 60. Calcule 4x 3x + 4x 4x + 3. Como o grau do numerador não é menor que o do denominador, primeiro dividimos e obtemos 4x 3x + 4x 4x + 3 = 1 + x 1 4x 4x + 3. Observe que o termo quadrático 4x 4x + 3 é irredutível, porque seu discriminante é b 4ac = 3 < 0. Isso significa que este não pode ser fatorado, então não precisamos usar a técnica de frações parciais. Para integrar a função dada completamos o quadrado no denominador: 4x 4x + 3 = (x 1) +. Apostila Integral 83

84 Isso sugere que façamos a substituição u = x 1. Então, du = e x = 1 (u + 1). Assim, 4x ( ) 3x + 4x 4x + 3 = x x 4x Caso 4 = x + 1 = x (u + 1) 1 u + u u + du 1 4 = x ln(u + ) du = x u + du u 1 u + du tan 1 ( u ) + C = x ln(4x 4x + 3) 1 4 tan 1 ( x 1 ) + C. Os fatores de Q(x) são lineares e quadráticos e alguns dos fatores quadráticos são repetidos. Se ax + bx + c for um fator quadrático de Q(x) que se repete p vezes, então, correspondendo ao fator (ax + bx + c) p, teremos a soma das p frações parciais: A 1 x + B 1 (ax + bx + c) + A x + B p (ax + bx + c) A px + B p p 1 ax + bx + c. Observação: Se o denominador contém o fator (x 5x + ) 3, correspondendo a esse fator, Ax + B (x 5x + ) 3 + Cx + D (x 5x + ) + Ex + F x 5x +, ou, de forma mais conveniente, A(x 5) + B C(x 5) + D E(x 5) + F + + (x 5x + ) 3 (x 5x + ) x 5x +. Apostila Integral 84