Frações Parciais e Crescimento Logístico

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Frações Parciais e Crescimento Logístico Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Frações Parciais e Crescimento Logístico 1.Frações parciais 2.Função de crescimento logístico

3 Nas aulas anteriores, estudamos a integração por substituição e a integração por partes. Nesta aula abordaremos o estudo de uma terceira técnica a técnica de frações parciais. Esta técnica envolve a decomposição de uma função racional na soma de duas ou mais funções racionais simples.

4 Sabendo-se que x =, x x x x

5 O conhecimento das frações parciais à direita permite-nos integrar o membro esquerdo como segue: x dx = dx 2 x x 6 x 3 x = 2 dx dx x 3 x + 2 = 2ln x 3 ln x C

6 Para aplicar este método, devemos saber fatorar o denominador da função racional original e achar a decomposição da função em frações parciais.

7 Frações Parciais Para determinar a decomposição em frações parciais da função racional própria p(x)/q(x), devemos fatorar q(x) eescreverumaequaçãoquetenhaaforma p( x) q( x ) = (soma de frações parciais) Para cada fator linear distinto (ax + b), o membro direito deve apresentar um termo da forma A ax + b

8 Frações Parciais Para cada fator linear repetido (ax + b) n, o membro direito deve apresentar n termos da forma A A A n ax + b ax + b 2 ax + b ( ) ( ) n

9 OBS: Uma função racional p (x)/q (x) é própria se o grau do numerador é inferior ao grau do denominador.

10 Exemplo 1: Decomponha x 2 x + 7 x 6 em frações parciais.

11 Fatoremos inicialmente o denominador como 2 x x x x 6 = ( 3) ( + 2) e, em seguida, escrevamos a decomposição em frações parciais como x + 7 A B = x x x x

12 Para resolver esta equação em relação a A e B, multipliquemos ambos os membros da equação pelo mínimo denominador comum ( x 3) ( x + 2) o que dá a seguinte equação básica. ( ) ( ) x + 7 = A x B x 3 Equação básica

13 Comoestaequaçãoéválidaparatodox,podemos introduzir nela valores convenientes de x. Os valores de x especialmente convenientes são os que anulam um fatordomínimodenominadorcomum:x=-2ex=3.

14 Fazendox=-2: ( ) ( ) x + 7 = A x B x 3 ( ) B ( ) = A ( ) B ( ) 5 = A Equação básica Substituindo x por -2 Simplificando B = 1 Resolvendo em relação a B

15 Fazendox=3: ( ) ( ) x + 7 = A x B x 3 ( ) B ( ) = A ( ) B ( ) 10 = A Equação básica Substituindo x por 3 Simplificando A = 2 Resolvendo em relação a A

16 Resolvida assim a equação básica em relação a A e B, podemos escrever a decomposição em frações parciais como x = x x x x conforme indicado no início desta aula.

17 OBS: As substituições de x no Exemplo 1 devem ser feitas conforme a conveniência para a resolução em relação a A e B: o valor x = -2 foi escolhido porque elimina o termo A (x + 2), e o valor x = 3 porque elimina otermob(x 3).

18 Exemplo 2: Calcule a integral indefinida 2 5x + 20x x + 2x + x dx

19 Inicialmente, fatoremos o denominador como x ( x 1) 2 + Em seguida, façamos a decomposição em frações parciais x x A B C = + + x x x x ( + 1) ( x + 1)

20 PararesolverestaequaçãoemrelaçãoaA,BeC, multipliquemos ambos os seus membros da equação pelo mínimo denominador comum x ( x + 1) 2 o que dá a seguinte equação básica ( ) ( ) x + x + = A x + + B x x + + Cx Equação básica

21 Resolvamos em relação a A e C fazendo x = -1 e x=0naequaçãobásica.

22 Fazendox=-1: ( ) 2 + ( ) + = A ( + ) 2 + B ( ) ( + ) + C ( ) ( ) ( ) ( ) 9 = A 0 + B 0 + C 1 C = 9 Valor de C

23 Fazendox=0: ( ) 2 + ( ) + = A ( + ) 2 + B ( ) ( + ) + C ( ) ( ) ( ) ( ) 6 = A 1 + B 0 + C 0 A = 6 Valor de A

24 A esta altura, já esgotamos as escolhas convenientes de x, mas ainda temos de achar o valor de B. Quando isto ocorre, podemos tomar qualquer outro valor de x em conjunto com os valoresjá conhecidos de AeB.

25 Fazendox=1,A=6eC=9: 2 2 ( ) + ( ) + = ( + ) + B ( ) ( + ) + ( ) ( ) B ( ) ( ) ( ) 31= B = 1 Valor de B

26 Conhecidos os valores de A, B e C, podemos efetuar a decomposição em frações parciais para integrar: 2 5x + 20x dx = x + x + x x x + x ( ) x ( ) = 6ln x ln x C 1 6 = x 9 ln C x ( x ) 2 dx

27 OBS 1: A técnica da decomposição em frações parciais exposta nos Exemplos 1 e 2 só pode ser aplicada a uma função racional própria isto é, uma função racional cujo numerador é de grau inferior ao do denominador. Se o numerador é de grau igual ou superior ao do denominador, devemos primeiro efetuar a divisão.

28 Assim é que a função racional x 3 2 x + é imprópria porque o grau do numerador é maior do que o grau do denominador. Antes de aplicar o método das frações parciais a esta função, devemos dividir o numerador pelo denominador, o que dá: 1 3 x x = x 2 2 x + 1 x + 1

29 Exemplo 3: Calcule a integral indefinida 5 x x + x 1 dx x 4 3

30 Esta função racional é imprópria seu numerador é de grau superior ao do denominador. Devemos, pois, iniciar dividindo o numerador pelo denominador. 5 3 x x x x = x x x x x

31 Decompondo então em frações parciais, obtemos 3 x + x 1 A B C D 3 = x x x x x x ( ) 1 1 Multiplicando ambos os membros pelo mínimo denominador comum x 3.(x 1), obtemos a equação básica. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x + x 1= A x x 1 + B x x 1 + C x 1 + D x Equação básica

32 Fazendox=0: ( 0) = A ( 0 2 ) ( 0 1) + B ( 0) ( 0 1) + C ( 0 1) + D ( 0 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1= A 0 + B 0 + C 1 + D 0 C = 1 Valor de C

33 Fazendox=1: ( 1) = A ( 1 2 ) ( 1 1) + B ( 1) ( 1 1) + C ( 1 1) + D ( 1 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1= A 0 + B 0 + C 0 + D 1 D = 1 Valor de D

34 Fazendox=2: ( 2) = A ( 2 2 ) ( 2 1) + B ( 2) ( 2 1) + ( 1) ( 2 1) + ( 1) ( 2 3 ) 9 = 4A + 2B A + 2B = 0 Equação 1

35 Fazendox=3: ( 3) = A ( 3 2 ) ( 3 1) + B ( 3) ( 3 1) + ( 1) ( 3 1) + ( 1) ( 3 3 ) 29 = 18A + 6B A + 6B = 0 Equação 2

36 Resolvendo o sistema formado pelas Equações 1 e 2, obtemos: 4A + 2B = 0 12A 6B = 0 18A + 6B = 0 18A + 6B = 0 A = 0 e B = 0 Portanto: A = 0, B = 0, C = 1 e D = 1

37 Podemos integrar como segue: dx = x 1 dx x x x x 5 3 x x x x 1 1 = x x x 1 dx 2 x 1 = + x + ln x 1 + C 2 2 2x

38 OBS: Ocorre frequentemente que devemos aplicar mais de uma técnica de integração para resolver uma integral. Assim é que, no próximo exemplo, utilizaremos a substituição e a decomposição em frações parciais.

39 Exemplo 4: Calcule a integral indefinida 1 x e + dx 1

40 Façamos inicialmente a substituição u = e x. Então, du = e x dx. Multiplicando e dividindo o integrando por e x, obtemos: 1 1 dx = x x x e + 1 e e + 1 ( ) x e dx Multiplicando e dividindo por e x = u du ( u ) Substituindo por u e du

41 Para resolver esta integral, façamos a decomposição em frações parciais. 1 = 1 1 u u + 1 u u + 1 ( )

42 Podemos agora completar a integração: 1 1 dx = du x e + 1 u u = u u + 1 du = ln u ln u C ( ) x x = ln e ln e C = x ln e x C Substituição Frações parciais Determinando a antiderivada Substituindo u Simplificando

43 OBS: Ao integrar funções racionais, lembre-se de que algumas podem ser integradas sem a decomposição em frações parciais. Seguem três exemplos. x 1 2x 1 dx 1 = dx x C 2 x 1 = ln x 2. x 1 1 dx = dx = C x 1 + ( 1) ( x 1) x x x + 2x 1 3x + 6x ln dx = dx = x + x + C x + 3x 4 3 x + 3x 4 3

44 OBS: No segundo exemplo, vemos que, em geral, é uma boa ideia simplificar uma função racional como primeiro passo para a integração.

45 2. Função de crescimento logístico Nas aulas de Cálculo Diferencial, vimos que o crescimento exponencial ocorre em situações em que a taxa de crescimento é proporcional à quantidade presente em um instante arbitrário. Ou seja, se y é a quantidade no instante t, então dy dt = ky dy/dt é proporcional a t y = Ce kt Função crescimento exponencial

46 2. Função de crescimento logístico O crescimento exponencial é ilimitado. Desde que C e k sejam positivos, o valor de Ce kt pode tornar-se arbitrariamente grande, desde que escolhamos valores suficientemente grandes para t. Em muitas situações da vida real, entretanto, o crescimento de uma grandeza é limitado, não podendo ultrapassar um certo valor L, conforme mostrado na figura seguinte.

47 2. Função de crescimento logístico

48 2. Função de crescimento logístico O modelo de crescimento logístico supõe que a taxa de crescimento seja proporcional não só à quantidade y, mas também à diferença entre a quantidade e o limite L; isto é dy ky ( L y ) dt = dy/dt é proporcional a y e a (L y)

49 2. Função de crescimento logístico Exemplo 5: Supondo que o limite da quantidade seja 1, isto é, L = 1, resolvaaequação dy dt = ky Condição: y>0e(1 y)>0. ( 1 y )

50 2. Função de crescimento logístico dy ky dt = 1 y 1 y ( ) y 1 ( 1 y ) ( 1 y ) dy = k dt dy = k dt Equação diferencial Escrevendo como diferencial Integrando ambos os membros dy = y 1 y k dt Escrevendo em funções parciais

51 2. Função de crescimento logístico ( ) 1 ln y ln 1 y = kt + C y ln kt C1 1 y = + y kt + C1 = e 1 y y kt C1 e e 1 y = y kt 1 y = Ce Determinando a antiderivada Simplificando Tomando a exponencial Fazendo e C1 = C

52 2. Função de crescimento logístico Resolvendo esta equação em relação a y, obtemos y 1 y = Ce kt kt kt y = Ce y Ce ( 1 ) y = y Ce kt kt kt y + y Ce = Ce ( kt 1 ) y + Ce = Ce kt y kt Ce = 1 + Ce kt

53 2. Função de crescimento logístico Dividindo numerador e denominador por Ce kt, obteremos: y y 1 = kt Ce 1 = 1 + be kt 1 y = 1 kt e + 1 C Função de Crescimento Logístico onde b = 1/C.

54 2. Função de crescimento logístico OBS: O modelo de crescimento logístico no Exemplo 5 foi simplificado supondo-se que o limite da quantidade seja 1. Se o limite fosse L, a solução seria y L = 1 + be kt

55 2. Função de crescimento logístico Exemplo 6: A Comissão de Caça dos Estados Unidos libera 100 cervos em um parque de caça. Durante os 5 primeiros anos, a população aumenta para 432 cervos. A comissão julga que a população admite o modelo de crescimento logístico com um limite de cervos. Escreva o modelo de crescimento logístico para esta população. Utilize então o modelo para elaborar uma tabela mostrando a evolução da população de cervos durante os próximos 30 anos.

56 2. Função de crescimento logístico Seja y o número de cervos no ano t. Admitindo um modelo de crescimento logístico, temos que a taxa de variação da população é proporcional tanto a y como a (2.000 y): dy dt = ky ( y ) y = 1 + be kt

57 2. Função de crescimento logístico Levando em conta que y = 100 quando t = 0, podemos obter b: = b = 19 ( 0) 1+ be k Em seguida, considerando que y = 432 quando t = 5, resolvemos em relação a k = 0,33106 k ( 5) 1+ 19e k

58 2. Função de crescimento logístico Assim, o modelo de crescimento logístico para a população é y = ,33106t e

59 2. Função de crescimento logístico A tabela abaixo mostra a população a intervalos de 5 anos. t (anos) População de cervos

60 2. Função de crescimento logístico Curva de Crescimento Logístico População de cervos Tempo (em anos)