( ) ( ) Polinômios. Polinômios. a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0. O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio de grau n

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Técnicas de fatoração O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio de grau n Polinômios a n x n + a n- x n- + + a x + a 0 tem precisamente n zeros. (Os zeros podem ser repetidos ou imaginários.) O problema de achar os zeros de um polinômio é equivalente ao de decompor o polinômio em fatores lineares. Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Polinômios.. Fórmula quadrática.introdução.técnicas de fatoração.fatoração de polinômios de terceiro grau ou de grau superior.teorema do zero racional ax + bx + c 0 x a b + b ac b b ac x x 0 a a ± x x x x x x x 0. Introdução.. Produtos especiais Nesta aula, vamos apresentar alguns assuntos de interesse, relativo aos polinômios, que vão subsidiar a disciplina de Cálculo I. x a x a x + a x a ( x a)( x + ax + a ) x + a ( x + a)( x ax + a ) x a ( x a)( x + a)( x + a ) Exemplos: x x x 9 ( )( + ) x x x x 8 ( )( + + ) x x x x + 6 ( + )( + 6) x 6 ( x )( x + )( x + ) 6

2 .. Produtos especiais.. Produtos especiais x + a x + ax + a x a x ax + a x + a x + ax + a x + a x a x ax + a x a x + a x + ax + 6a x + a x + a x a x ax + 6a x a x + a 7 Os coeficientes binomiais na expansão de (a + b) n são os valores de! Cn, r para r 0,,,,,, n r onde C n, r n! r r!( n r )! sendo n! n(n-)(n-)(n-), sendo 0! e.. Produtos especiais.. Produtos especiais Exemplos: x + x + 6x + 9 x x 0x + x + x + 6x + x + 8 x x x + x x + x + 8x + x + x + 6 x x 6x + 96x 6x A expansão de n a + b ( a + b) n fatores consiste em todos os possíveis produtos que podemos formar com as letras, no caso a e b. O número de maneiras para formar o produto a r b n-r é exatamente o mesmo número de maneiras para escolher r fatores para serem expoentes de a e, consequentemente, complementá-lo com relação a n, para serem os expoentes de b. Esse número de maneiras é n! Cn, r r r!( n r )!.. Produtos especiais.. Produtos especiais Se expandirmos (a + b) n para n 0,,,, e, obteremos as expressões abaixo: a b + a b + 0a b + 0a b + a b + a b a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b + a b a b + a b + 6a b + a b + a b 0 0 Se eliminarmos os símbolos de adição e as potências das variáveis a e b na forma triangular, deixando apenas os coeficientes, é possível montar o triângulo abaixo: Linha 0 Linha Linha Linha Linha Linha

3 .. Produtos especiais.. Exemplos Para qualquer inteiro positivo n, n n n n a b + a b + a b + + a b + + a b 0 r n n n 0 n n n r r n n n n n n n n n n n r r n a + a b + a b + + a b + + b 0 r Binômio de Newton Exemplo : Aplique a Fórmula Quadrática para achar todos os zeros dos seguintes polinômios. (a) x + 6x +, (b) x + 6x + 9 e (c) x 6x +. b ± b ac ± ± ± ± ( a) x a ± ( b) x a 6 ± ± ( c) x a No exemplo, os zeros na parte a são irracionais, e os zeros na parte c são imaginários. Em ambos os casos a quadrática se diz irredutível, porque não pode ser decomposta em fatores lineares, com coeficientes racionais. 6.. Produtos especiais.. Exemplos ( x + a) a x + a x + 0 a x + 0 a x + a x + a x 0 ( x + a) x + ax + 0a x + 0a x + a x + a 0 + ( x) ( y ) + ( x) ( y ) 0 ( x y ) x y + x y + 6 x y + Exemplo : Ache os zeros dos seguintes polinômios quadráticos. (a) x - x + 6, (b) x - x - 6 e (c) x + x -. Os zeros são (a) x e x, (b) x - e x 6 e (c) x / e x -. ( a) x x 6 ( x )( x ) + 6 ( )( 6) b x x x + x ( x y ) 6x x + x y 8xy + y ( )( + ) c x x x x 7.. Fatoração por grupamento. Fatoração de polinômios de terceiro grau ou de grau superior acx + adx + bcx + bd ax cx + d + b cx + d ax + b cx + d x x 6x + x (x ) (x ) ( x )(x ) Pode ser difícil achar os zeros de polinômios de grau três ou grau superior. Entretanto, conhecido que seja um dos zeros de um polinômio, pode-se utilizar este zero para reduzir o grau do polinômio. Por exemplo, se x é um zero do polinômio x x + x, sabemos que (x ) é um fator e, por divisão, podemos fatorar o polinômio como segue: x x + x (x )(x x + ) (x )(x ) Como alternativa, muitos preferem utilizar a divisão sintética para reduzir o grau de um polinômio. 8

4 .. Divisão sintética para um Dado x x é um zero de ax + bx + cx + d. x a b c d a 0 Coeficientes para o fator quadrático Multiplicar por x Uma forma sistemática de achar os zeros racionais de um polinômio consiste em aplicar o Teorema do Zero Racional. Se um polinômio a n x n + a n- x n- + + a x + a o tem coeficientes inteiros, então todo zero racional é da forma x p/q, onde p é um fator de a 0 e q é um fator de a n. 9.. Divisão sintética para um Por exemplo, efetuando a divisão sintética no polinômio x x + x -, utilizando o zero x, obtemos o seguinte: Exemplo : Ache todos os zeros reais da expressão x + x 8x Multiplicar por x Fatores do termo constante: ±, ± Fatores do coeficientelíder: ±, ± Os zeros racionais possíveis são os fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. (x )(x - x + ) x x + x -, -,, -, /, -/, /, -/ 0.. Divisão sintética para um Ao utilizar a divisão sintética, leve em conta todos os coeficientes mesmo que alguns sejam zero. Por exemplo, se sabemos que x - é um zero de x + x +, podemos aplicar a divisão sintética como segue: Testando esses zeros possíveis, vemos que x é um deles. () + () 8() Multiplicar por x Multiplicar por x (x + )(x - x + 7) x + x + (x )(x + x - ) x + x - 8x +

5 Finalmente, fatorando a quadrática x + x (x - )(x + ), temos x + x 8x + (x )(x )(x + ) e podemos concluir que os zeros são x, x / e x -.