Exercícios de Coordenadas Polares Aula 41

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1 Revisão - Métodos de Integração e Exercícios de Coordenadas Polares Aula 41 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 24 de Junho de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma Engenharia Mecânica

2 Mudança de Variável ou Regra da Substituição Sejam f e g tais que Im(g) D f. Suponhamos que F seja uma primitiva de f. Então F(g(x)) é uma primitiva de f (g(x))g (x), de fato, pela Regra da Cadeia, [F(g(x))] = F (g(x))g (x) = f (g(x))g (x). Portanto, f (g(x))g (x) dx = F(g(x)) + k, onde k é uma constante arbitrária.

3 Integração por Partes Sejam f, g : [a, b] R diferenciáveis em (a, b). Então, para cada x (a,b), vale [f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x), ou seja, Logo f (x)g (x) = [f (x)g(x)] f (x)g(x). f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx. (1)

4 Estratégia para avaliar (a) Se n for ímpar, sen m x cos (2k+1) x dx = = Então faça u = sen x. (b) Se m for ímpar, sen (2k+1) x cos n x dx = = Então faça u = cos x. sen m x cos n x dx. sen m x (cos 2 x) k cos x dx sen m x(1 sen 2 x) k cos x dx. (sen 2 x) k cos n x senx dx (1 cos 2 x) k cos n x senx dx.

5 (c) Se m e n forem pares, utilizamos as identidades dos ângulos metade sen 2 x = 1 (1 cos(2x)) 2 cos2 x = 1 (1 + cos(2x)). 2 Algumas vezes pode ser útil a identidade 2senx cos x = sen(2x).

6 Estratégia para avaliar sen(mx) cos(nx) dx ou sen(mx) sen(nx) dx ou cos(mx) cos(nx)dx. Utilize a identidade correspondente: (a) 2sen a cos b = sen(a b) + sen(a + b), (b) 2sen a sen b = cos(a b) cos(a + b), (c) 2cos a cos b = cos(a b) + cos(a + b).

7 Estratégia para avaliar tg m x sec n x dx. (a) Se n for par, tg m x sec 2k x dx = = tg m x (sec 2 x) k 1 sec 2 x dx tg m x(1 + tg 2 x) k 1 sec 2 x dx. Então faça u = tg x. (b) Se m for ímpar, tg (2k+1) x sec n x dx = = Então faça u = sec x. (tg 2 x) k sec n 1 x secx tgx dx (sec 2 x 1) k sec n 1 x sec x tgx dx.

8 Fórmulas derecorrência para o cálculo das integrais tg n x dx e sec n x dx. tg n xdx = tgn 1 n 1 sec n x dx = secn 2 x tgx n 1 tg n 2 x dx + n 2 n 1 sec n 2 x dx.

9 Recorde que, x = g(t) usando a Regra da Substituição. f (x)dx = f (g(t))g (t)dt. Esta formulação permite modificar o integrando de maneira a encontrar primitivas mais facilmente. Quando g é uma função trigonométrica esta regra é chamada substituição trigonométrica.

10 Primitivas de Funções Racionais Nesta seção mostraremos como integrar qualquer função racional expressando-a como soma de frações parciais. Seja f (x) = P(x) Q(x) onde P e Q são polinômios. É possível expressar f como soma de frações mais simples se o grau de P seja menor que o grau de Q. Se o grau de P for maior ou igual ao grau de Q, então primeiro dividimos os polinômios, P(x) R(x) = S(x) + Q(x) Q(x), onde S,R,Q são polinômios e R tem grau menor que o grau de Q.

11 Denominadores Redutíveis do 2 o Grau Teorema Sejam α, β, m, n R, com α β. Então existem A,B R tais que mx + n (i) (x α)(x β) = A x α + B x β ; mx + n (ii) (x α) 2 = A x α + B (x α) 2. Observação: Note que, para aplicarmos o teorema, o grau do numerador deve ser estritamente menor do que o grau do denominador do lado esquerdo das igualdades em (i) e (ii) do Teorema 1.

12 Procedimento para calcular P < 2. P(x) dx, onde grau (x α)(x β) Se α β, então o Teorema 1 (i) implica que existem A, B R tais que P(x) (x α)(x β) = A x α + B x β. Portanto P(x) (x α)(x β) dx = A x α dx + B x β dx = A ln x α + B ln x β + k.

13 Se α = β, então o Teorema 1 (ii) implica que existem A, B R tais que Logo P(x) (x α) 2 = A (x α) + B (x α) 2. P(x) (x α) 2 dx = A 1 x α dx + B = A ln x α 1 (x α) 2 dx B (x α) + k.

14 Denominadores Redutíveis do 3 o Grau Teorema Sejam α, β, γ, m, n, p R, com α, β, γ 0. Então existem A,B,C R tais que (i) (ii) (iii) mx 2 + nx + p (x α)(x β)(x γ) = A x α + mx 2 + nx + p (x α)(x β) 2 = A x α + B x β + B x β + C x γ ; C (x β) 2 ; mx 2 + nx + p (x α) 3 = A x α + B (x α) 2 + C (x α) 3.

15 Denominadores Irredutíveis do 2 o Grau Queremos calcular integrais do tipo P(x) ax 2 + bx + c dx, onde P é um polinômio e = b 2 4ac < 0. Então devemos reescrever o denominador como soma de quadrados. Em seguida, fazemos uma mudança de variável e calculamos a integral.

16 Agora, vamos considerar integrais do tipo P(x) (x α)(ax 2 + bx + c) dx, onde P é um polinômio e = b 2 4ac < 0. Teorema Sejam m, n, p, a, b, c, α R tais que = b 2 4ac < 0. Então existem A, B, D R tais que mx 2 + nx + p (x α)(ax 2 + bx + c) = A x α + Bx + D ax 2 + bx + c.

17 Exercício Encontrar, se existir, o coeficiente angular da reta tangente representação geométrica do gráfico da função, dada em coordenadas polares, no ponto P o = (r o,θ o ), em cada um dos itens abaixo: a)r = 3cos(θ), P o = ( 3,π) ( c)r = sen(θ), P o = 1, π ) 2 ( e)r = 1 sen(θ), P o = 2, 3π ) 2 ( g)r = 1 + 3cos(θ), P o = 1, 3π ) 2 b)r = 2cos(θ), P o = ( 2,2π) ( d)r = 4sen(θ), P o = 4, 3π ) 2 f )r = 1 + cos(θ), P o = (0,π) h)r = 2cos(3θ), P o = ( 2,π)

18 Exercício Para a cardióide r = 2 + 2cos(θ), 0 θ 2π, encontre: a) o coeficiente angular da reta tangente representação geométrica do gráfico da função f no ponto P o = (r o,θ o ) onde θ o = π 6. b) os pontos da representação geométrica do gráfico da função f onde a reta tangente é horizontal. c) os pontos da representação geométrica do gráfico da função f onde a reta tangente é vertical.

19 Exercício Calcule: a) a área total interior à cardióide r = 1 + cos(θ). b) a área da região limitada do plano que é limitada pela circunferência r = 2sen(θ). c) a área comum aos círculos delimitados pelas circunferências: { r = 2cos(θ) r = 2sen(θ)

20 Exercício Calcule o comprimento do arco definido pela representação geométrica do gráfico das funções abaixo, dadas em coordenadas polares: a) r = 3cos(θ), π 2 θ 3π 2 b) r = 2cos(θ), π 2 θ π 2 c) r = sen(θ), 0 θ π d)r = 4sen(θ), π θ 0 e) r = 1 sen(θ), 0 θ 2π f ) r = 1 + cos(θ), 0 θ 2π g) r = 1 + 3cos(θ), 0 θ 2π h) r = 2cos(3θ), 0 θ 2π