Cálculo Diferencial e Integral 2: Integrais Duplas

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1 Cálculo Diferencial e Integral 2: Integrais Duplas Jorge M. V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP Araraquara, SP

2 1 Integrais Duplas sobre Retângulos 2 3

3 Lembrete: Integral de uma variável b a f (x)dx = lim n n f (xi ) x i=1

4 Integrais Duplas sobre Retângulos R f (x, y)da = lim m,n m n i=1 j=1 f (x ij, y ij ) A

5 Integrais Duplas sobre Retângulos O ponto (x ij, y ij ) pode ser qualquer um no sub-retângulo R ij. Em particular podemos escolher o ponto (x i, y j ). R f (x, y)da = lim m,n m i=1 j=1 n f (x i, y j ) A Se f (x) 0 então a integral dupla representa o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f (x, y). Ver figura no próximo slide.

6 Integral Dupla com volume

7 Cálculo de uma integral dupla sobre um retângulo Seja f (x, y) uma função contínua no retângulo definido por Então: f (x, y)da = R R = {(x, y)/a x b, c y d} b a [ d c ] d [ b ] f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy c a Ver próximo slide.

8 A(x) = d c f (x, y)dy V = b a A(x)dx R f (x, y)da = V = b d a c f (x, y)dydx

9 Exemplo 1 Integrais Duplas sobre Retângulos a) Calcule b) Calcule R R (x 3y 2 )da, onde R = [0, 2] [1, 2] y senxy da, onde R = [1, 2] [0, π] c) Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide eĺıptico x 2 + 2y 2 + z = 16, os planos x = 2, y = 2 e os três planos coordenados. Observe que R = [0, 2] [0, 2].

10 Exemplo 2: Integral dupla sobre uma região genérica Calcule D (x + 2y)dA onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x 2 e y = 1 + x 2. D (x+2y)da = 1 1+x 2 1 2x 2 = = (x+2y)dydx

11 Exemplo 3: Integral dupla sobre uma região genérica Determine o volume do sólido contido debaixo do parabolóide z = x 2 + y 2 e acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2. V = D (x 2 +y 2 )da = Outra expressão para V : V = 4 y Em ambos os casos encontra-se V = y/2 2 2x 0 x 2 (x 2 + y 2 )dydx (x 2 +y 2 )dydx

12 Coordenadas Polares Relação entre coordenadas retangulares e polares: x = r cos θ, y = r senθ, x 2 + y 2 = r 2

13 Retângulo Polar Integrais Duplas sobre Retângulos

14 Integral dupla em coordenadas polares Seja 0 a r b, α θ β, onde 0 β α 2π. Então R β b α a f (x, y)da = f (r cos θ, rsenθ)rdrdθ

15 Exemplo 4 Integrais Duplas sobre Retângulos Calcule R (3x + 4y 2 )da, onde R é a região do semiplano superior limitado pelos círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4. Coordenadas polares: 1 r 2 e 0 θ π Observação: cos(a + b) = cos a cos b sena senb cos(2θ) = cos 2 θ sen 2 θ = 1 2 sen 2 θ

16 Exemplo 5 Integrais Duplas sobre Retângulos Calcule o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo parabolóide z = 1 x 2 y 2.

17 Exemplo 6 Integrais Duplas sobre Retângulos Use uma integral dupla para calcular a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas r = cos 2θ. Laço da rosácea: π 4 θ π 4, 0 r cos 2θ A = Observação: cos 2 θ = (1/2)(1 + cos 4θ) R da = π/4 cos 2θ π/4 0 rdrdθ

18 Exemplo 7 Integrais Duplas sobre Retângulos Determinar o volume do sólido que está sob o paraboloide z = x 2 + y 2, acima do plano xy e dentro do circulo x 2 + y 2 = 2x. π 2 θ π 2, = V = D π/2 2 cos θ π/2 0 0 r 2 cos θ (x 2 + y 2 )da = (x 2 + y 2 )rdrdθ

19 Exercícios Integrais Duplas sobre Retângulos 1) Determine o volume do sólido abaixo do paraboloide z = x 2 + y 2 e acima da região limitada por y = x 2 e x = y 2 2) Calcule as integrais trocando a ordem de integração a) y 3) Calcule a integral e x2 dxdy b) D y 2 y cos(x 2 )dxdy 1 x 2 y 2 da, onde D é a região do plano definida por x 2 + y 2 1. Indentifique a integral como sendo o volume de um sólido. 4) Utilize coordenadas polares para calcular o volume de uma esfera de raio a.

20 5) Utilize coordenadas polares para calcular a integral e x2 y 2 da, onde D é a região delimitada pelo semicírculo D x = 4 y 2 e o eixo y. 6) Calcule a integral dupla 7) Definimos x e (x2 +y 2) dydx = e x2 +y 2 dydx lim e (x2 +y 2) da a + D a onde D a é o disco de raio a e centro na origem. Mostre que + + e (x2 +y 2) dydx = π

21 8) Uma definição equivalente da integral imprópria do exercício 7 é + + e (x2 +y 2) dydx = lim e (x2 +y 2) da a + S a onde S a é o quadrado de vértices (±a, ±a). Observe que + + e (x2 +y 2) dydx = + e x2 dx + e y 2 dy = π e mostre que + e x2 dx = π

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