Cálculo Diferencial e Integral 2: Integrais Duplas
|
|
- Simone Bacelar Cortês
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Cálculo Diferencial e Integral 2: Integrais Duplas Jorge M. V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP
2 1 Integrais Duplas sobre Retângulos 2 3
3 Lembrete: Integral de uma variável b a f (x)dx = lim n n f (xi ) x i=1
4 Integrais Duplas sobre Retângulos R f (x, y)da = lim m,n m n i=1 j=1 f (x ij, y ij ) A
5 Integrais Duplas sobre Retângulos O ponto (x ij, y ij ) pode ser qualquer um no sub-retângulo R ij. Em particular podemos escolher o ponto (x i, y j ). R f (x, y)da = lim m,n m i=1 j=1 n f (x i, y j ) A Se f (x) 0 então a integral dupla representa o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f (x, y). Ver figura no próximo slide.
6 Integral Dupla com volume
7 Cálculo de uma integral dupla sobre um retângulo Seja f (x, y) uma função contínua no retângulo definido por Então: f (x, y)da = R R = {(x, y)/a x b, c y d} b a [ d c ] d [ b ] f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy c a Ver próximo slide.
8 A(x) = d c f (x, y)dy V = b a A(x)dx R f (x, y)da = V = b d a c f (x, y)dydx
9 Exemplo 1 Integrais Duplas sobre Retângulos a) Calcule b) Calcule R R (x 3y 2 )da, onde R = [0, 2] [1, 2] y senxy da, onde R = [1, 2] [0, π] c) Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide eĺıptico x 2 + 2y 2 + z = 16, os planos x = 2, y = 2 e os três planos coordenados. Observe que R = [0, 2] [0, 2].
10 Exemplo 2: Integral dupla sobre uma região genérica Calcule D (x + 2y)dA onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x 2 e y = 1 + x 2. D (x+2y)da = 1 1+x 2 1 2x 2 = = (x+2y)dydx
11 Exemplo 3: Integral dupla sobre uma região genérica Determine o volume do sólido contido debaixo do parabolóide z = x 2 + y 2 e acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2. V = D (x 2 +y 2 )da = Outra expressão para V : V = 4 y Em ambos os casos encontra-se V = y/2 2 2x 0 x 2 (x 2 + y 2 )dydx (x 2 +y 2 )dydx
12 Coordenadas Polares Relação entre coordenadas retangulares e polares: x = r cos θ, y = r senθ, x 2 + y 2 = r 2
13 Retângulo Polar Integrais Duplas sobre Retângulos
14 Integral dupla em coordenadas polares Seja 0 a r b, α θ β, onde 0 β α 2π. Então R β b α a f (x, y)da = f (r cos θ, rsenθ)rdrdθ
15 Exemplo 4 Integrais Duplas sobre Retângulos Calcule R (3x + 4y 2 )da, onde R é a região do semiplano superior limitado pelos círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4. Coordenadas polares: 1 r 2 e 0 θ π Observação: cos(a + b) = cos a cos b sena senb cos(2θ) = cos 2 θ sen 2 θ = 1 2 sen 2 θ
16 Exemplo 5 Integrais Duplas sobre Retângulos Calcule o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo parabolóide z = 1 x 2 y 2.
17 Exemplo 6 Integrais Duplas sobre Retângulos Use uma integral dupla para calcular a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas r = cos 2θ. Laço da rosácea: π 4 θ π 4, 0 r cos 2θ A = Observação: cos 2 θ = (1/2)(1 + cos 4θ) R da = π/4 cos 2θ π/4 0 rdrdθ
18 Exemplo 7 Integrais Duplas sobre Retângulos Determinar o volume do sólido que está sob o paraboloide z = x 2 + y 2, acima do plano xy e dentro do circulo x 2 + y 2 = 2x. π 2 θ π 2, = V = D π/2 2 cos θ π/2 0 0 r 2 cos θ (x 2 + y 2 )da = (x 2 + y 2 )rdrdθ
19 Exercícios Integrais Duplas sobre Retângulos 1) Determine o volume do sólido abaixo do paraboloide z = x 2 + y 2 e acima da região limitada por y = x 2 e x = y 2 2) Calcule as integrais trocando a ordem de integração a) y 3) Calcule a integral e x2 dxdy b) D y 2 y cos(x 2 )dxdy 1 x 2 y 2 da, onde D é a região do plano definida por x 2 + y 2 1. Indentifique a integral como sendo o volume de um sólido. 4) Utilize coordenadas polares para calcular o volume de uma esfera de raio a.
20 5) Utilize coordenadas polares para calcular a integral e x2 y 2 da, onde D é a região delimitada pelo semicírculo D x = 4 y 2 e o eixo y. 6) Calcule a integral dupla 7) Definimos x e (x2 +y 2) dydx = e x2 +y 2 dydx lim e (x2 +y 2) da a + D a onde D a é o disco de raio a e centro na origem. Mostre que + + e (x2 +y 2) dydx = π
21 8) Uma definição equivalente da integral imprópria do exercício 7 é + + e (x2 +y 2) dydx = lim e (x2 +y 2) da a + S a onde S a é o quadrado de vértices (±a, ±a). Observe que + + e (x2 +y 2) dydx = + e x2 dx + e y 2 dy = π e mostre que + e x2 dx = π
LISTA DE CÁLCULO III. (A) Integrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (e) (f) (g) (h)
1 LISTA E CÁLCULO III (A) Integrais uplas 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: (c) (d) 1 y y a a 2 x 2 a 1 y 1 2 2 x x 2 y 2 dxdy; a 2 x 2 (x + y)dydx; e x+y dxdy; x 1 +
Leia maisLista 1 - Cálculo III
Lista 1 - Cálculo III Parte I - Integrais duplas sobre regiões retangulares Use coordenadas cartesianas para resolver os exercícios abaixo 1. Se f é uma função constante fx, y) = k) e = [a, b] [c, d],
Leia maisf, da, onde R é uma das regiões mostradas na
Integrais Duplas em Coordenadas Polares Bibliografia básica: THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. Capítulo 1. Item 1.3. STEWAT, J. Cálculo. Vol.. Capítulo 15. Item 15.4. Sabemos que o cálculo da área de uma região
Leia maisIntegrais Duplas. 1. Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral: x 2 y 2 dxdy; (a) (b) e x+y dxdy; (c) x 1+y 3 dydx; (d)
Integrais uplas Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas epartamento de Matemática Sexta Lista de Exercícios MAT 4 - Cálculo iferencial e Integral III - 7/I Em cada caso,
Leia maisIntegral de funções de uma variável
Integrais Múltiplas Integral de funções de uma variável x = b a n a b f x dx = lim m m i=1 f(x i ) x Integral Dupla Seja f uma função de duas variáveis definida no retângulo fechado. R = a, b x c, d =
Leia maisFEITEP - PROFESSOR GILBERTO TENANI CÁLCULO III - PRIMEIRO BIMESTRE /2
FEITEP - POFESSO GILBETO TENANI CÁLCULO III - PIMEIO BIMESTE - 206/2 Soma de iemann Estime o volume do sólido contido abaixo da superfície z = xy e acima do retângulo = {(x, y) 0 x 6, 0 y 4}. Utilize a
Leia maisMAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 1a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de x+y
MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III a. Lista de Exercícios - o. semestre de. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) R (y 3xy 3 )dxdy, onde R = {(x, y) : x, y 3}. Resp. (a) 585
Leia maisMAT Cálculo a Várias Variáveis I Lista de Exercícios sobre Integração Dupla
MAT116 - Cálculo a Várias Variáveis I Lista de Exercícios sobre Integração Dupla 1 Exercícios Complementares resolvidos Exercício 1 Considere a integral iterada 1 ] exp ( x ) dx dy. x=y 1. Inverta a ordem
Leia maisIntegrais Múltiplas. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 23 de outubro de 2014
Cálculo 2 ECT1212 Integrais Múltiplas Prof. Ronaldo Carlotto Batista 23 de outubro de 2014 Cálculo de áreas e Soma de Riemann Vamos primeiro revisar os conceitos da integral de uma função de uma variável.
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa. MAT Cálculo Diferencial e Integral III 2a Lista /II
Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências xatas e Tecnológicas epartamento de Matemática MAT 43 - Cálculo iferencial e Integral III a Lista - 8/II Máximos e mínimos. A distribuição de temperatura
Leia maisMAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 1a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 2013
MAT55 - Cálculo iferencial e Integral para Engenharia III a. Lista de Exercícios - o. semestre de. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) (y xy )dxdy, onde = {(x, y) : x, y }. esp. (a) 585 8. (b) x
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS #5 - ANÁLISE VETORIAL EM FÍSICA
LISTA DE EXERCÍCIOS #5 - ANÁLISE VETORIAL EM FÍSICA PROBLEMAS-EXEMPLO 1. Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas, nos intervalos especificados. (a) r(t) = t î + t ĵ, de t = a t =. Resolução
Leia maisMAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 1a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 2016
MAT55 - Cálculo iferencial e Integral para ngenharia III a. Lista de xercícios - o. semestre de 6. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) (y xy )dxdy, onde = {(x, y) : x, y }. esp. (a) 585. 8 x sin
Leia mais3 Cálculo Integral em R n
3 Cálculo Integral em n Exercício 3.. Calcule os seguintes integrais. Universidade da Beira Interior Matemática Computacional II Engenharia Informática 4/5 Ficha Prática 3 3 x + y dxdy x y + x dxdy e 3
Leia maisUniversidade Federal do Pará Cálculo II - Projeto Newton /4 Professores: Jerônimo e Juaci
Universidade Federal do Pará Cálculo II - Projeto Newton - 5/4 Professores: Jerônimo e Juaci a Lista de exercícios para monitoria. Determine o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo
Leia maisUNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ UESC. 1 a Avaliação escrita de Cálculo IV Professor: Afonso Henriques Data: 10/04/2008
1 a Avaliação escrita de Professor: Afonso Henriques Data: 10/04/008 1. Seja R a região do plano delimitada pelos gráficos de y = x, y = 3x 18 e y = 0. Se f é continua em R, exprima f ( x, y) da em termos
Leia maisNome Cartão Turma Chamada
UFG Instituto de Matemática 215/2 POVA 2 16 de outubro de 215 8h3 1 2 3 4 5 81 3 y 811 onsidere a integral dupla iterada I = f(x,y)dxdy, em que o integrando é dado por f(x,y) = 4x y 2 x 2. 1. Determine
Leia maisINTEGRAIS MÚLTIPLAS. [a, b] e [c, d], respectivamente. O conjunto P = {(x i, y j ) i = 0,..., n, j = i=1
Teoria INTEGRAIS MÚLTIPLAS Integral Dupla: Seja o retângulo R = {(x, y) R a x b, c y d} e a = x 0 < x 1
Leia maisINSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT CÁLCULO II-A. Última atualização:
INSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 4 - CÁLCULO II-A Última atualização: --4 ) Nos problemas a seguir encontre a área das regiões indicadas: A) Interior
Leia maisMAT1153 / LISTA DE EXERCÍCIOS : REGIÕES DO PLANO, INTEGRAIS DUPLAS E VOLUMES : 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j).
MAT1153 / 2008.1 LISTA DE EXECÍCIOS : EGIÕES DO PLANO, INTEGAIS DUPLAS E VOLUMES (1) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção 1.1.4: 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j). 2(b), 2(d) (2) Fazer
Leia maisSuperfícies Quádricas
Superfícies Quádricas Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2017 1 Superfícies de Revolução São superfícies criadas pela rotação
Leia mais(3) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção : 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j). 2(b), 2(d)
LISTA DE EXECÍCIOS DE GEOMETIA NO PLANO E NO ESPAÇO E INTEGAIS DUPLAS POFESSO: ICADO SÁ EAP (1) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção 1.1.4: 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j). 2(b),
Leia maisUniversidade Federal do Rio de Janeiro Cálculo III
Universidade Federal do Rio de Janeiro Cálculo III 1 o semestre de 26 Primeira Prova Turma EN1 Não serão aceitas respostas sem justificativa. Explique tudo o que você fizer. 1. Esboce a região de integração,
Leia maisCÁLCULO II - MAT0023. Nos exercícios de (1) a (4) encontre x e y em termos de u e v, alem disso calcule o jacobiano da
UNIVEIDADE FEDEAL DA INTEGAÇÃO LATINO-AMEICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza CÁLCULO II - MAT3 15 a Lista de exercícios Nos
Leia mais2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Lista 3: CDCI2 Turmas: 2AEMN e 2BEMN Prof. Alexandre Alves Universidade São Judas Tadeu 1 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Exercício 1: Calcule a integral dupla transformando a região de integração
Leia maisLista de Exercícios 1 : integrais duplas e triplas
INSTITUTO DE MATEMÁTICA UFRJ Lista de Exercícios : integrais duplas e triplas. Calcule as integrais de (x + y) e y( sen(πx)) na região limitada pelas retas x =, y = e y = x.. Calcule as integrais de (x
Leia maisA integral definida Problema:
A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b], e tal que f(x) 0 p/ todo x [a, b]. Problema: Calcular (definir) a área, A,da região do plano limitada pela curva y
Leia maisCoordenadas Polares. Exemplos: Representar em um sistema de coordenadas polares, os seguintes pontos: d) P 4,
Coordenadas Polares Existem vários sistemas de coordenadas que mostram a posição de um ponto em um plano. O sistema de coordenadas polares é um deles. No sistema cartesiano, as coordenadas são números
Leia maisLista de Exercícios de Cálculo 3 Sétima Semana
Lista de Exercícios de Cálculo Sétima Semana Parte A. Use os multiplicados de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita as restrições dadas. (a) f(x, y) = x 2 + y 2 s.a. xy
Leia mais8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas
8.1 Áreas Planas Suponha que uma certa região D do plano xy seja delimitada pelo eixo x, pelas retas x = a e x = b e pelo grá co de uma função contínua e não negativa y = f (x) ; a x b, como mostra a gura
Leia maisCálculo IV EP2 Tutor
Eercício : Calcule + e +. Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a istância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP Tutor da
Leia maisCálculo III-A Módulo 2 Tutor
Eercício : Calcule Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo Tutor + e +. + da onde é a região compreendida pelas retas,,
Leia maisCoordenadas Polares. Exemplos: Representar em um sistema de coordenadas polares, os seguintes pontos: d) P 4,
Cálculo II Profa. Adriana Cherri 1 Coordenadas Polares Existem vários sistemas de coordenadas que mostram a posição de um ponto em um plano. O sistema de coordenadas polares é um deles. No sistema cartesiano,
Leia maisPrimitva. Integral Indenida
Primitva Denição. 1 Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de f(x), se para todo x I, temos F (x) = f(x). Exemplo. 1 1. emos que cos(x)
Leia maisCálculo Diferencial e Integral 2: Derivadas direcionais e o vetor gradiente
Cálculo Diferencial e Integral 2: Derivadas direcionais e o vetor gradiente Jorge M. V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2017 1 Derivadas direcionais
Leia maisCálculo Diferencial e Integral 2: Aproximações Lineares. Regra da Cadeia.
Aproximações lineares. Diferenciais. Cálculo Diferencial e Integral 2: Aproximações Lineares.. Jorge M. V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2017 Aproximações
Leia maisGeometria Analítica II - Aula
Geometria Analítica II - Aula 0 94 Aula Coordenadas Cilíndricas e Esféricas Para descrever de modo mais simples algumas curvas e regiões no plano introduzimos anteriormente as coordenadas polares. No espaço
Leia maisRevisão de integrais simples. Definimos a soma S n = f(t i ) x i. chamada como soma. de Riemann de f sobre [a, b] i=1
Revisão de integrais simples Definimos a soma S n = n i=1 f(t i ) x i chamada como soma de Riemann de f sobre [a, b] 1 Definição: Se a sequencia {S n } das somas de Riemann da função f converge quando
Leia maisINSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA. Resolução do 1 o Teste.
. [.5] (a) Calcule a soma da série Resolução: A série INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL Resolução do o Teste n (n + ) ; n (n + ) + + 4 +... rapidamente se verifica que não é uma série aritmética ou geométrica.
Leia maisMAT Aula 24/ Quarta 04/06/2014. Sylvain Bonnot (IME-USP)
MAT 0143 Aula 24/ Quarta 04/06/2014 Sylvain Bonnot (IME-USP) 2014 1 Volumes Ideia: cortar o objeto em cilindros de base A(x) e altura dx, e depois fazer a soma b A(x)dx, onde A(x) é a área da secção transversal.
Leia maisIntegral Dupla. Aula 06 Cálculo Vetorial. Professor: Éwerton Veríssimo
Integral Dupla Aula 06 Cálculo Vetorial Professor: Éwerton Veríssimo Integral Dupla Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas
Leia maisIntegrais Múltiplos. Slide 1. c 2000, 1998 Maria Antónia Carravilla FEUP
Integrais Múltiplos Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 2 c 2000, 1998 Integrais Múltiplos 1 Integrais Duplos Generalização do conceito de integral a subconjuntos limitados
Leia maisLista Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9 y 2 e pelo plano x = 2.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II (Turma B) Prof. José Carlos Eidam Lista 3 Integrais múltiplas. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) R (2y 2 3x
Leia maisJorge M. V. Capela, Marisa V. Capela. Araraquara, SP
Cônicas e Equações Quadráticas Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2017 1 Parábolas 2 3 4 5 Introdução Parábolas Parábolas
Leia maisExercícios de Coordenadas Polares Aula 41
Revisão - Métodos de Integração e Exercícios de Coordenadas Polares Aula 41 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 24 de Junho de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma
Leia maisGabarito - Primeira Verificação Escolar de Cálculo IIIA GMA Turma C1. x 2. 2 y
Universidade Federal Fluminense Andrés Gabarito - Primeira Verificação Escolar de álculo IIIA GMA - Turma. onsidere a integral dupla a Esboce a região. y Temos que onde Observando que f(x, ydxdy + y {(x,
Leia maisMudança de variável na integral dupla(continuação)
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 7 Assunto: Mudança de Variável na Integral Dupla e Coordenadas Polares Palavras-chaves: mudança de variável, integrais duplas, coordenadas
Leia mais2.1 Mudança de variáveis em integral dupla
! "! # $! % & #! ' ( $ Objetivos. Os objetivos desta Aula são: apresentar a ideia de mudança de variáveis no plano para calcular integrais duplas; usar as coordenadas polares para calcular a integral dupla
Leia maisCÁLCUL O INTEGRAI S DUPLAS ENGENHARIA
CÁLCUL O INTEGRAI S DUPLAS ENGENHARIA 1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE Nas integrais simples, nós somamos os valores de uma função f(x) em comprimentos dx. Agora, nas integrais duplas fazemos o mesmo, mas
Leia maisNome Cartão Turma Chamada
UFGS Instituto de Matemática 2015/1 MAT0154 álculo e Geometria Analítica IIA POVA 2 15 de maio de 2015 08h0 1 2 4 5 081 Nome artão Turma hamada 0811 Seja a região plana delimitada pela curva de equação
Leia maisAula 14 Áreas entre duas curvas. Volumes e Áreas de sólidos de revolução.
Universidade Federal do ABC Aula 14 Áreas entre duas curvas. Volumes e Áreas de sólidos de revolução. BCN0402-15 FUV Suporte ao aluno Site da disciplina: http://gradmat.ufabc.edu.br/disciplinas/fuv/ Site
Leia maisIntegração Volume. Aula 07 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli
Integração Volume Aula 7 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Volume de um sólido Na tentativa de encontra o volume de um sólido, nos deparamos com o mesmo tipo de problema que para
Leia maisEscola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Funções de Duas ou Mais Variáveis
Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Funções de Duas ou Mais Variáveis Professora Renata Alcarde Sermarini Notas de aula do
Leia maisCapítulo 5 Integrais Múltiplas
Capítulo 5 Integrais Múltiplas 1. Revisão de Integral de Funções a uma Variável 1.1. Integral Indefinida Definição: Uma função será chamada de antiderivada ou primitiva de uma função num intervalo I se
Leia maisIntegrais Duplos e Triplos.
Capítulo 4 Integrais uplos e Triplos. 4.1 Integrais uplos xercício 4.1.1 Calcule os seguintes integrais. a. e. 1 1 e 1 2x+2 15xy + 1y 2 dy dx b. y x dx dy 4 x 2y) dy dx f. 4 1 π 6 2 π 2 x 1 6xy 3 + x )
Leia maisIntegrais Sobre Caminhos e Superfícies. Teoremas de Integração do Cálculo Vectorial.
Capítulo 5 Integrais Sobre Caminhos e Superfícies. Teoremas de Integração do Cálculo Vectorial. 5.1 Integral de Um Caminho. Integral de Linha. Exercício 5.1.1 Seja f(x, y, z) = y e c(t) = t k, 0 t 1. Mostre
Leia mais9 ạ Lista de Exercícios de Cálculo II Integrais Triplas: Coordenadas Retangulares, Cilíndricas e Esféricas; Mudança de Variáveis
9 ạ Lista de Exercícios de Cálculo II Integrais Triplas: Coordenadas Retangulares, Cilíndricas e Esféricas; Mudança de Variáveis Professora: Michelle Pierri Exercício 1 Encontre o volume do sólido limitado
Leia maisx 2 + (x 2 5) 2, x 0, (1) 5 + y + y 2, y 5. (2) e é positiva em ( 2 3 , + ), logo x = 3
Página 1 de 4 Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral I - MAC 118 Gabarito segunda prova - Escola Politécnica / Escola de Química - 13/06/2017 Questão 1: (2 pontos) Determinar
Leia maisMAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 2a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 2014
MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 014 1. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada: x ds, (t) = (t 3, t), 0 t
Leia maisCálculo III-A Módulo 4
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo 4 Aula 7 Integrais Triplas Objetivo Compreender a noção de integral tripla.
Leia mais3. Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais: 4., onde R é a região delimitada por y x +1, y x
Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo Avançado / Métodos Matemáticos / Cálculo IV Profa: Ilka Freire ª Lista de Eercícios: Integrais Múltiplas 9., sendo:. Calcule f, da a) f, e ; =,
Leia mais1. Em cada caso abaixo, observe a região D e escreva a integral dupla integral iterada (repetida) de modo a obter o cálculo mais simples.
. INTEGRAL MÚLTIPLA CÁLCULO 3-8... :::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::: INTEGRAIS UPLAS ITERAAS. Em cada caso abaixo, observe a região e escreva a integral dula integral iterada (reetida) de modo
Leia maisTM Estática II
TM 332 - Estática II Emílio Eiji Kavamura, MSc Departamento de Engenaharia Mecânica UFPR TM-332, 2012 emilio.kavamura@ufpr.br (UFPR) Estática 2012 1 / 78 Roteiro da aula Centróides e Baricentros Formas
Leia maisLista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana
Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Parte A 1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem módulo v = 4, determine suas componentes.
Leia maisCurso de Férias de IFVV (Etapa 3) INTEGRAIS DUPLAS
Curso de Férias de IFVV (Etapa ) INTEGAIS UPLAS VOLUMES E INTEGAIS UPLAS Objetivando resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. A idéia é aplicar procedimento semelhante
Leia maisCÁLCUL O INTEGRAIS TRIPLAS ENGENHARIA
CÁLCUL O INTEGRAIS TRIPLAS ENGENHARIA 1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE Nas integrais triplas, temos funções f(x,y,z) integradas em um volume dv= dx dy dz, sendo a região de integração um paralelepípedo P=
Leia maisLista 2 - Métodos Matemáticos II Respostas
Lista - Métodos Matemáticos II Respostas Prof. Jorge Delgado Importante: As resoluções não pretendem ser completas mas apenas uma indicação para o aluno consultar caso seja necessário, cabendo a ele fornecer
Leia mais1. Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. (a) ~r (t) = t~i + (1 t)~j; 0 t 1: (b) ~r (t) = 2t~i + t 2 ~j; 1 t 0:
2. NTEGRAL E LNHA CÁLCULO 3-2018.1 2.1. :::: :::::::::::::::::::::::: ARCOS REGULARES Um arco (ou trajetória) : ~r (t) = x (t)~i + y (t)~j + z (t) ~ k; a t b; denomina-se arco regular quando as componentes
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III Capítulo 1 Vetores no Rn 1. Sejam u e v vetores tais que e u v = 2 e v = 1. Calcule v u v. 2. Sejam u
Leia mais1. Superfícies Quádricas
. Superfícies Quádricas álculo Integral 44. Identifique e esboce as seguintes superfícies quádricas: (a) x + y + z = (b) x + z = 9 x + y + z = z (d) x + y = 4 z (e) (z 4) = x + y (f) y = x z = + y (g)
Leia maisCÁLCULO II - MAT0023. F (x, y, z) =
UNIERIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERIANA Instituto Latino-Americano de iências da ida e da Natureza entro Interdisciplinar de iências da Natureza ÁLULO II - MAT0023 17 a Lista de exercícios 1.
Leia maisAplicação de Integral Definida: Volumes de Sólidos de Revolução
Aplicação de Integral Definida: Prof a. Sólidos Exemplos de Sólidos: esfera, cone circular reto, cubo, cilindro. Sólidos de Revolução são sólidos gerados a partir da rotação de uma área plana em torno
Leia maisCÁLCULO II: VOLUME II
CÁLCULO II: VOLUME II MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA epartamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3
Leia mais2.2 Aplicações da Integral dupla
. Aplicações da Integral dupla..1 Área de figuras planas Sobre esta aplicação, não há muito o que acrescentar, pois esta foi a motivação para o conceito de integral dupla. Para calcular a área de uma região
Leia maisCálculo IV EP4. Aula 7 Integrais Triplas. Na aula 1, você aprendeu a noção de integral dupla. agora, você verá o conceito de integral tripla.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP4 Aula 7 Integrais Triplas Objetivo
Leia maisLista 3. Cálculo Vetorial. Integrais de Linha e o Teorema de Green. 3 Calcule. 4 Calcule. a) F(x, y, z) = yzi + xzj + xyk
Lista 3 Cálculo Vetorial Integrais de Linha e o Teorema de Green Parametrizações Encontre uma parametrização apropriada para a curva suave por partes em R 3. a) intersecção do plano z = 3 com o cilindro
Leia maisDescrevendo Regiões no Plano Cartesiano e no Espaço Euclidiano
Descrevendo Regiões no Plano Cartesiano e no Espaço Euclidiano Americo Cunha Débora Mondaini Ricardo Sá Earp Departamento de Matemática Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Regiões no Plano
Leia maisÍndice. AULA 6 Integrais trigonométricas 3. AULA 7 Substituição trigonométrica 6. AULA 8 Frações parciais 8. AULA 9 Área entre curvas 11
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume ) Índice AULA 6 Integrais trigonométricas 3 AULA 7 Substituição trigonométrica 6 AULA 8 Frações parciais 8 AULA 9 Área entre curvas AULA Volumes 3 www.matematicaemexercicios.com
Leia maisCÁLCULO IV - MAT Calcule a integral de linha do campo vetorial f ao longo da curva que indica-se em cada um dos seguintes itens.
UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERIANA Instituto Latino-Americano de iências da Vida e da Natureza entro Interdisciplinar de iências da Natureza ÁLULO IV - MAT0041 1 a Lista de exercícios 1.
Leia maisTotal. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área I
UFRG INTITUTO E MATEMÁTIA epartamento de Matemática Pura e Aplicada MAT01168 - Turma A - 2017/1 Prova da área I 1-8 9 10 Total Nome: artão: Regras Gerais: Não é permitido o uso de calculadoras, telefones
Leia maisCálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P1: aulas teóricas (segundas e quartas)
Cálculo a Várias Variáveis I - MAT 116 014.1 Cronograma para P1: aulas teóricas (segundas e quartas) Aula 01 1 de fevereiro (quarta) Aula 0 17 de fevereiro (segunda) Aula 0 19 de fevereiro (quarta) Referências:
Leia maisCálculo II Segunda Aula: Aplicações das Integrais Definidas
Cálculo II Segunda Aula: Aplicações das Integrais Definidas Prof. Jefferson Abrantes (Universidade Federal de Campina Grande) Unidade Acadêmica de Matemática-UAMat Campina Grande-PB Volumes por seções
Leia maisUniversidade Federal do Paraná
Universidade Federal do Paraná etor de iências Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan arlos Vila Bravo Lista de exercicios de cálculo II uritiba, 28 de Maio de 2014 INTEGRAL DE LINHA DE AMPO VETORIAL:
Leia maisCADERNO DE ATIVIDADES
CADERNO DE ATIVIDADES UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE MAPLE PARA O CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES Autor: Silvimar Fábio Ferreira Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares Produto Educacional do Mestrado em Ensino de
Leia maisJorge M. V. Capela, Marisa V. Capela. Araraquara, SP
Vetores no Espaço Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2017 1 Vetores no Espaço 2 3 4 Vetor no espaço Vetores no Espaço Operações
Leia mais. Use esta regra para calcular um valor aproximado de 1
MAT 2 - a Lista de Exercícios. Faça o gráfico de F(t) = t f(x). Calcule F nos pontos onde a derivada existe, para as seguintes funções: (a) f(x) =, se x > e f(x) =, se x (b) f(x) = x, se x > e f(x) = 2,
Leia maisEscola Naval 2010 ( ) ( ) 8 ( ) 4 ( ) 4 (
Escola Naval 0 1. (EN 0) Os gráficos das funções reais f e g de variável real, definidas por f(x) = x e g(x) = 5 x interceptam-se nos pontos A = (a,f(a)) e B = (b,f(b)), a b. Considere os polígonos CAPBD
Leia maisINTEGRAIS MÚLTIPLAS OBJETIVOS Ampliar o conceito de integral definida para funções de duas ou três variáveis.
INTEGAIS MÚLTIPLAS OBJETIVOS Ampliar o conceito de integral definida para funções de duas ou três variáveis INTEGAIS DUPLAS Consideremos o problema de determinar o volume V do sólido compreendido entre
Leia maisLista 5: Superfícies Engenharia Mecânica - Professora Elisandra Bär de Figueiredo
Lista 5: Superfícies Engenharia Mecânica - Professora Elisandra Bär de Figueiredo Nos eercícios 1 ao 18 identique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações: 1. + 9 = 6. = 16. = 9.
Leia maisMAT Lista de exercícios
1 Curvas no R n 1. Esboce a imagem das seguintes curvas para t R a) γ(t) = (1, t) b) γ(t) = (t, cos(t)) c) γ(t) = (t, t ) d) γ(t) = (cos(t), sen(t), 2t) e) γ(t) = (t, 2t, 3t) f) γ(t) = ( 2 cos(t), 2sen(t))
Leia maisMAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 3 a lista de exercícios
MAT 454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a lista de exercícios - 7. Ache os pontos do hiperbolóide x y + z = onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (,, ) e (5,, 6)..
Leia maisUniversidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 7.
Eercício : ada a integral dupla I Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo 3A Lista 7 f,)dd + f,)dd. a) Esboce a região. b) Inverta
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA10. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
INTEGAÇÃO MÚLTIPLA TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos da Matemática II. Introdução. Integrais Duplas.3 Propriedades das Integrais Duplas.4 Cálculo de Integrais Duplas.5 Integrais duplas em regiões
Leia maisIntegrais - Aplicações I
Integrais - Aplicações I Daniel 13 de novembro de 2015 Daniel Integrais - Aplicações I 13 de novembro de 2015 1 / 33 Áreas entre duas Curvas Área entre duas curvas Se f e g são funções integráveis em [a,b]
Leia maisUniversidade Federal do Paraná
Universidade Federal do Paraná etor de iências Exatas epartamento de Matematica Prof. Juan arlos Vila Bravo 5 ta Lista de exercicios de cálculo II uritiba, 02 de Junho de 2010 INTEGRAL E LINHA E FUNÇÃO
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a Lista de exercícios MAT 41 - Cálculo III - 01/II Coordenadas no espaço 1. Determinar o lugar geométrico
Leia mais(a) Determine a velocidade do barco em qualquer instante.
NOME: UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Instituto de Matemática PRIMEIRA PROVA UNIFICADA CÁLCULO II Politécnica, Engenharia Química - 10/10/2013. 1 a QUESTÃO : Um barco a vela de massa m = 1 parte
Leia maisLista 4 - Métodos Matemáticos II
Lista 4 - Métodos Matemáticos II Prof. Jorge Delgado. alcule Res f () da função f () dada. + ; (b) cos cot ; (c) ; (d) senh 4 4 ( ). Solução. ; (b) ; (c) 45 ; (d) 7 6.. Usando o teorema do resíduo verifique
Leia mais