CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos de indeterminações; Reconhecer assíntotas de uma função através do cálculo de ites e gracamente; Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. Limites no Innito Discutiremos aqui o comportamento de funções quando cresce (ou decresce) de forma iitada em seu domínio. Denição. Seja f uma função denida no intervalo aberto (a, + ). Dizemos que L é o ite de f() quando tende a + e escrevemos f() = L, se para todo ɛ > eistir um número real positivo N > a, tal que se > N, então f() L < ɛ. Isso signica que os valores de f() cam arbitrariamente próimos de L tomando sucientemente grande. Uma ilustração geométrica da denição será apresentada a seguir: Figura : Ilustração geométrica de um ite no innito Note que o gráco de f() se aproima da reta y = L, o qual chamaremos de assíntota horizontal.

2 Cálculo I Aula n o Observação. O símbolo + indica que a variável cresce indenidamente através de valores positivos. Denição 2. Seja f uma função denida em algum intervalo (, a). Então f() = L se para todo ɛ > eistir um número real negativo N < a tal que, se N < a, então f() L < ɛ. Isso signica que os valores de f() podem car arbitrariamente próimos de L, tomando-se sucientemente grande em valor absoluto, mas negativo. A ilustração geométrica da Denição 2 será apresentada a seguir. Eemplo. Calcule Figura 2: Ilustração geométrica de um ite no innito. Inicialmente, vamos observar de forma intuitiva o comportamento de f() quando tomamos sucientemente grande: f(),,.,.,.,.., Intuitivamente, podemos dizer que: =. Para mostrar que f() se aproima de, quando tende a +, tomando-se N = ɛ, para um dado ɛ >, temos > N < < ɛ Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Cálculo I Aula n o e, portanto, Logo, =. Gracamente, temos: > N ɛ < < ɛ. A maioria das propriedades de ites apresentadas na Aula 4 também são válidas para os ites no innito. Retomaremos a seguir: Teorema. Seja k uma constante e suponhamos que Então. [f() + g()] = L + L 2 2. [kf()] = k.l 3. [f().g()] = L.L 2 ] 4. [ f() g() = L L 2, desde que L 2. f() = L e g() = L [f()]n = [L ] n, onde n é um inteiro positivo. n 6. f() = n L, onde n é um inteiro positivo. Se n for par, supomos que L >. Observação 2. As propriedades listadas anteriormente também são válidas se substituirmos + por. Combinando o Eemplo com as propriedade 5 e 6 do Teorema, obteremos a seguinte regra importante no cálculo de ites: Teorema 2. Se n > for um número racional, então n =. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Cálculo I Aula n o Se n > for um número racional tal que seja denida para todo ponto, então Eemplo 2. Calcule n =. Vamos colocar em evidência a mais alta potência de que ocorre no numerador e proceder da mesma forma no denominador. Desse modo, irão aparecer no denominador e numerador epressões do tipo que tendem a zero para +, o que poderá facilitar o cálculo do ite. Assim: n 5 [ + + ] 5 Eemplo 3. Calcule = ( 2 + ). 5 [ ] = [ ] [ ] = 2. Inicialmente, vamos multiplicar o numerador e denominador pelo conjugado do radical: Aplicando o ite, temos: ( 2 + ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) Note que o denominador da epressão anterior cresce iitadamente quando tende +. Logo: Gracamente, temos: ( ) =. Eemplo 4. Calcule sen. Note que, quando cresce, os valores de sen oscilam entre - e, um número innito de vezes, logo eles não tendem a qualquer número denido. Portanto sen não eiste. A seguinte proposição não será provada mais pode ser compreendida apenas utilizando os grácos das funções envolvidas. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Cálculo I Aula n o Proposição. Sejam f() = a e g() = log a, com a > e a. Então (a) Se a >, então (b) Se a >, então (c) Se < a <, então (d) Se < a <, então (e) Se a >, então (f) Se a >, então (g) Se < a <, então (h) Se < a <, então a = + a = a = a = + log a = + log + a = log a = log + a = + Denição 3 (Assíntota). A reta y = L é chamada assíntota horizontal da curva y = f() se f() = L ou f() = L Eemplo 5. A reta y = é uma assíntota horizontal da curva y = + ( 2) 2. Com efeito, à medida que cresce (e também decresce) o gráco da função se aproima da reta y =. Calculando o ite no innito, temos: Gracamente, temos: + ( 2) 2 = + ( 2) 2 = + =. Eemplo 6. Determine a(s) assíntota(s) horizontal(is) da curva y = Calculando o ite no innito, temos: ( ) 4 3 = ( ) = Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 Cálculo I Aula n o e ( ) 4 3 = ( ) = Portanto, a reta y = 3 4 é a assíntota horizontal da curva y = Gracamente, temos: 2 2 Limites innitos Denição 4 (Limite innito). Sejam f uma função e a um número real, de modo que f esteja denida em alguma vizinhança restrita ou não de a. Então (i) dizemos que f() cresce iitadamente quando tende ao número real a e escrevemos se para todo M > eistir um δ >, tal que: f() = + se < a < δ, então f() > M. (ii) dizemos que f() decresce iitadamente quando tende ao número real a e escrevemos se para todo M < eistir um δ >, tal que: f() = se < a < δ, então f() < M. A epressão f() = + é também lida como ite de f() quando tende a a é +. Mas cuidado, isto não signica que + seja um número real, muito menos, que este ite eista. É tão somente uma notação para indicar que os valores da função crescem de forma iitada para valores de próimo de a. Temos observações análogas para o caso f() =. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 Cálculo I Aula n o Eemplo 7. Considere a função f() = 3 ( 2) 2 Vamos analisar intuitivamente o comportamento da função, quando esta se aproima de 2. Em outras palavras, queremos calcular: 3 2 ( 2) 2. Note que o domínio desta função é o conjunto de todos os reais, eceto 2 e a imagem é o conjunto R +. Vamos analisar os valores de f(), quando está sucientemente próimo de 2, tanto pela esquerda, quanto pela direita. Observe as tabelas: f() f() 3 3 2,5 2 2, , 3 2, 3. 2, 3.. 2, 3.. 3,5 2,75 48,9 3,99 3., , Intuitivamente, é possível notar que, à medida que se aproima de 2, tanto pela direita, quanto pela esquerda, f() cresce indenidamente, ou seja, f() pode torna-se tão grande quanto se desejar, para todos os valores de sucientemente próimos de 2 e maior do que 2. Para indicar que f() cresce indenidamente quando tende a 2 por valores maiores do que 2, escrevemos: ( 2) 2 = +. Analogamente, 3 2 ( 2) 2 = +. Gracamente, temos: Eemplo 8. Mostre que 2 = +. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

8 Cálculo I Aula n o Seja M um número positivo dado. Queremos encontrar um número δ tal que Mas, se < < δ então 2 > M. 2 > M 2 < M < M. Assim, se escolhermos δ = M e se < < δ = M, então 2 > M. Isto mostra que 2 + quando. Gracamente, temos: O teorema a seguir será de grande utilidade no cálculo de ites innitos. Teorema 3. Se n é um número inteiro positivo qualquer, então: ( ) (i) + n = +. ( ) (ii) n = +, para n par. ) (iii) =, para n ímpar. ( n Eemplo 9. Calcule os ites abaio: a) + 5 b) 5 a) Por (i) do Teorema 3, temos que b) Por (iii) do Teorema 3, temos que + 5 = + 5 = 4 = + Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8

9 Cálculo I Aula n o Denição 5 (Assíntota Vertical). Se temos quaisquer das situações abaio para uma função f: f() = ± f() = ± + f() = ±, então dizemos que a reta = a é uma assíntota vertical da curva y = f(). Eemplo. Mostre que = 2 é uma assíntota vertical da curva y = + De fato, calculando o ite: + 2 ( 2) 2 = + 2 ( 2) 2 = +. ( 2) 2. Portanto, = 2 é a assíntota da curva y = +. Isso signica que quando aproima-se de 2, ( 2) 2 neste caso, tanto pela direita, quanto pela esquerda, as imagens crescem de forma iitada. Gracamente, temos: 3 Propriedades dos Limites Innitos e no Innito 3. Limite da Soma e do Produto Para a soma e o produto, temos os seguintes teoremas: Teorema 4. Sejam f e g funções, tais que f() = + e g() = L. Então: (i) se L >, então [f() + g()] = + e [f().g()] = + (ii) se L <, então [f() + g()] = + e [f().g()] = Teorema 5. Seja f uma função, tal que f() = +. Então: (i) se g() = +, então [f() + g()] = + e [f().g()] = + (ii) se se g() =, então [f() + g()] = indeterminação e [f().g()] = Teorema 6. Sejam f e g funções, tais que f() = e g() = L. Então: (i) se L >, então [f() + g()] = e [f().g()] = Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 9

10 Cálculo I Aula n o (ii) se L <, então [f() + g()] = e [f().g()] = + Teorema 7. Seja f uma função, tal que f() =. Então: (i) se g() = +, então [f() + g()] = indeterminação e [f().g()] = (ii) se g() =, então [f() + g()] = e [f().g()] = + Eemplo. Calcule os ites: a) (3 + 2) b) (3 + 2) a) Considerando que 3 = + e 2 = 2, por (i) do Teorema 4, temos que: (3 + 2) = +. b) Considerando que 3 = e 2 = 2, por (i) do Teorema 7, temos que: (3 + 2) =. Eemplo 2. Calcule Como Note que 2. 2 = (.) = +, por (i) do Teorema 5, temos: 2 = Limite do Quociente Teorema 8. Sejam f e g funções, tais que f() = L (L ) e g() =. Então: (i) L > e g() por valores maiores que f() g() = +. (ii) L > e g() por valores menores que f() g() =. (iii) L < e g() por valores maiores que f() g() =. (iv) L < e g() por valores menores que f() g() = +. Observação 3. Os resultados continuam válidos se a for substituído por a +, a ou ±. Eemplo 3. Calcule os ites abaio: a) Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida

11 Cálculo I Aula n o b) 4 4 a) Considerando que = 4 e que 4 =, então por (i) do Teorema 8, temos que: = +. b) Considerando que = 4 e que 4 =, então por (ii) do Teorema 8, temos que: =. Eemplo 4. Calcule os ites abaio: a) b) a) Considerando que = 4 e que =, então por (i) do + Teorema 8, temos que: = +. b) Considerando que = 8 e que temos que: = =, então por (ii) do Teorema 8, 4 Formas Indeterminadas A função F () = é uma função racional, pois é o quociente de duas funções polinomiais. Como 2 (2 4) = e ( 2) = 2 não podemos aplicar a Regra do Quociente para calcular 2 F (), uma vez que esta regra só se aplica se o ite da função no denominador é diferente de zero. Como calcular 2 F ()? f() Quando temos duas funções f e g tais que f() = e g() =, porém g() eiste e é um valor nito, diz-se que o ite tem uma forma indeterminada em a. O processo de calcular o ite é chamado de levantar a indeterminação. Outras formas indeterminadas, que serão estudadas posteriormente, são:, ( ),.,,,,,,. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida

12 Cálculo I Aula n o 4. Indeterminações do tipo Considere a função F () = f() + g(). Se f() = + e g() = então temos uma indeterminação do tipo. Tratando-se de funções algébricas, para levantar a indeterminação, coloca-se o termo de maior potência em evidência. Eemplo 5. Calcule ( ). Veja que [4 (3 + 2)] =. Para levantar a indeterminação, colocamos o termo de maior grau do polinômio em evidência e aplicamos os teoremas mostrados anteriormente. [ ( )] 2 ( )) = = +. 5 Regra de l'hôspital A regra de l'hôspital, que enunciaremos a seguir, aplicam-se a cálculos de ites que apresentam indeterminações do tipo e. Teorema 9 (Regra de l'hôspital). Suponha que f e g sejam deriváveis e g () em um intervalo aberto I que contém a (eceto possivelmente em a). Suponha que: ou que Então f() = e f() = ± e g() = g() = ±. f() g() = f () g () se o ite do lado direito eistir (ou for + ou ). Em outras palavras: A Regra de l'hôspital diz que o ite de uma função quociente é igual ao ite dos quocientes de suas derivadas, desde que as condições dadas sejam satisfeitas. É muito importante vericar as condições relativas aos ites de f e g antes de usar a Regra de l'hospital. Observação 4. A Regra de l'hôspital é válida também para os ites laterais e para os ites no innito. Eemplo 6. Calcule Note que = Aplicando a Regra de l'hôspital, temos: [ ] (indeterminação) = 2 32 = 2. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

13 Cálculo I Aula n o Eemplo 7. Calcule Note que = [ ] (indeterminação) Aplicando a Regra de l'hôspital, temos: ( ) = ( 4 ) = 4 3 = 5 4. Eemplo 8. Calcule sen (a). Note que sen (a) = [ ] (indeterminação) Aplicando a Regra de l'hôspital, temos: sen (a) a. cos(a) = = a. Observação 5. Algumas vezes é necessário aplicarmos várias vezes a Regra até einarmos a indeterminação, como no eemplo a seguir. Eemplo 9. Calcule Veja que = + 3 [ ] (indeterminação) Aplicando a Regra de l'hôspital, temos: = = [ ] (indeterminação) Aplicando novamente a Regra de l'hôspital no resultado anterior, temos: = = [ ] Aplicando mais uma vez a Regra de l'hôspital no resultado anterior, temos: = = = 3. (indeterminação) Eemplo 2. Calcule tg () 3. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

14 Cálculo I Aula n o Como tg () = e 3 =, temos que: tg () 3 = [ ] (indeterminação) Aplicando a Regra de l'hôspital, temos que: tg () sec 2 () 3 = 3 2 = [ ] (indeterminação) Aplicando a Regra de l'hôspital no resultado anterior, temos: sec 2 () sec 2 ()tg () 3 2 = = tg (). = 6 3 [ ] (indeterminação) Aplicando a Regra de l'hôspital, temos: tg (). = 3 3. sec2 () = 3. Observação 6. É importante vericar se o quociente de fato tem a forma ou regra, para não incorrermos em erro. antes de aplicarmos a Eemplo 2. Calcule Temos que: Portanto, não há indeterminação. Eemplo 22. Calcule π π sen () cos(). sen () cos() = 2 =. ( ). sen () Temos que: Veja que: Aplicando a Regra de l'hôspital, temos: Aplicando novamente a Regra de l'hôspital; ( ) = [ ] (indeterminação) sen () ( ) sen () = sen () sen () sen () cos() = sen () sen () + cos() = cos() sen () + cos() = [ ] sen () cos() + cos() sen () =. Eemplo 23. Calcule ( ) ln. + Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

15 Cálculo I Aula n o Note que Pela regra de l'hôspital, temos que + + = [ ] + + = = Logo, como g(u) = ln u é contínua em u =, temos que + = ln = Eemplo 24. Calcule ( + 2 ). sen () Veja que: Reescrevendo o ite dado: ( + 2 ) = [ ] (indeterminação) sen () + ( 2 ) ) = ( sen () sen () e Temos que: Segue que: + 2 = + ) ( 2 2 = + sen () + cos() =. ) ( = + = +. sen () Eemplo 25. Calcule (sec() tg ()). π 2 Como (sec() tg ()) = [ ] (indeterminação) π 2 vamos reescrever o ite dado: (sec() tg ()) = π 2 Aplicando a Regra de l'hôspital, temos: ( ) sen () π cos() cos() 2 sen () π cos() 2 cos() = π sen () = =. 2 sen () = = π cos() 2 [ ] Eemplo 26 (Limite Trigonométrico Fundamental). Mostre que sen () =. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

16 Cálculo I Aula n o Veja que: sen () = Aplicando a Regra de l'hôspital, temos: [ ] (indeterminação) sen () = cos() =. 6 Assíntotas Oblíquas Na aula 5, denimos as assíntotas verticais e horizontais como sendo retas constantes cujas equações são encontradas mediante o cálculo de ites no innito e ites innitos. Porém, eistem assíntotas que não são verticais nem horizontais, como por eemplo Figura 3: Gráco de uma Função f Figura 4: Gráco de uma Função f Essas assíntotas são chamadas oblíquas. Então, podemos denir que assíntotas oblíquas são retas da forma y = m + n, tais que [f() (m + n)] = ou [f() (m + n)] = Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

17 Cálculo I Aula n o Note que o número m deve ser nito e diferente de. Consideremos então, a equação dessas assíntotas como sendo y = m + n, então podemos calcular m e n da seguinte forma: m = f() e m = f() e n = [f() m] e n = [f() m] Vejamos alguns eemplos: Eemplo 27. Determine as assíntotas oblíquas da função f() = Mostraremos primeiro para +. Calculando o valor de m, obtemos m = f() = = 3 ( 2 + ) = = [ ] + + Pela regra de L'Hôspital, temos que m = 2 2 = Agora, vamos calcular o valor de n. Desse modo, note que n = [f() ] = [ ] = 2 = = [ ] + Pela regra de L'Hôspital, temos que n = 2 = Fazendo para, temos que m = f() = = 3 ( 2 + ) = Utilizando a regra de L'Hôspital, temos que m = Calculando o valor de n. Dessa forma, note que n = [f() ] = Fazendo uso da regra de L'Hôspital, temos que 2 2 = = [ ] = 2 = + n = Portanto y = é a única assíntota da função f() = 2 = [ ] = [ ] , como podemos vericar no gráco abaio + Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

18 Cálculo I Aula n o Figura 5: Gráco de uma Função f() = Eemplo 28. Determine as assíntotas oblíquas de f() = Vamos determinar a função f() note também que Pela regra de L'Hôspital, temos que Fazendo para, temos que 2 +. primeiramente. Note que f() = 2 + = f() = + = f() = Novamente pela regra de L'Hôspital, temos que + = 2 ( + ) = + = = + = = + [ ] + + [ ] Logo, o único valor de m é. Agora, vamos determinar os valores possíveis para n. Sendo assim, calculamos [f() ] = pela regra de L'Hôspital, temos que [ ] = = + + = = + = [ ] + + Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8

19 Cálculo I Aula n o Para, temos que [f() ] = pela regra de L'Hôspital, temos que [ ] = = + + = = Assim, a única assíntota oblíqua de f() é y =. Veja o gráco abaio: + = [ ] Figura 6: Gráco de uma Função f() = Observação 7. Note que = é uma assíntota vertical de f() = Eemplo 29. Determine assíntota oblíqua de f() = Determinaremos primeiramente a epressão f(). Note que ( 3 f() 3 3 ) = = = = 3 Agora, note que o valor de m é dado por f() = fazendo a mudança de variável no ite u =, temos que se + então u. Logo, u 3 u = Utilizando a mesma mudança de variável e efetuando cálculo similares, obtemos que f() = Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 9

20 Cálculo I Aula n o Logo, m =. Agora, vamos determinar n. Note que f() = = 3 Para determinar n, calculamos que = ( 3 3 ) = 3 Utilizando a mudança de variável u =, temos que + implica que u +. Logo, Pela regra de L'Hôspital, temos que 3 3 = u + = u + 3 u u 3 u = u [ ] = u ( u) 2 = 3 Analogamente, utilizando a mesma mudança de variável no ite, temos que 3 = u 3 3 ( u) 2 = 3 Portanto, a assíntota oblíqua de f() é y = 3. Veja o gráco abaio, Figura 7: Gráco de uma Função f() = 2 + Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

21 Cálculo I Aula n o Eemplo 3. Determine as assíntota oblíqua de f() = 2 +. Primeiramente, vamos determinar o quociente f(). f() = 2 + = = 2 se > + 2 se < Dessa forma, vamos calcular os ites f() e f() Utilizando a mudança de variável u = +, temos que se + então u e se então 2 u. Logo, e que f() = + 2 = u = u f() = + 2 = u = u Portanto, temos dois valores para m. Vamos determinar os valores de n, e para isso, precisamos determinar a função f() para +. Sendo assim, temos que 2 + = 2 + ( ) = = = ( ) = ) = ( ( + 2 ) =. 2 = Para, temos que f() + = 2 + +, logo Fazendo a mudança de variável u =, temos que se então u +. Logo, = [ u 2 + u] = u + Logo, as assíntotas oblíquas de f() são y = e y =. Observe o gráco abaio: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

22 Cálculo I Aula n o Figura 8: Gráco de uma Função f() = 2 + Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 86-88,9-28, ,285,286 do livro teto. Sugestão de eercícios Resolva os eercícios das páginas 88-9,28-3,278-28,286 e 287 do livro teto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 22