MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 1 a lista de exercícios

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1 MAT454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 1 a lista de exercícios POLINÔMIO DE TAYLOR 1. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem, calcule um valor aproximado e avalie o erro: a) 3 8, b) ln1, 3) c) sen0, 1). Mostre que: a) sen x x 1 3! x 3, x R ; b) 0 e x 1 + x + 1 ) x < 1 x3, x [0, 1]. 3. Encontre o polinômio de Taylor de ordem 5 de fx) = 3 x em volta de x 0 = a) Seja n um número natural ímpar. Mostre que ) sen x x x3 3! + x5 n 1 x n ) x n+ 5! n! n + )!, x R. b) Avalie sen 1 com erro, em módulo, inferior a a) Determine o polinômio de Taylor de ordem n de fx) = e x em torno de x 0 = 0. b) Avalie e com erro em módulo inferior a c) Mostre que ex ) 1 + x + x4 + x6 xn ex x n+ 3! n! n + 1)!, x R. d) Avalie 6. Mostre que e x dx com erro inferior a cosx ) dx ! ! 1 ) ! 15.7! 7. Seja P n x) o polinômio de Taylor de ordem n da função fx) = ln x em torno de x 0 = 1. Mostre que ln x P n x) 1 x 1)n+1, n + 1 e avalie ln1, 01) com erro, em módulo, inferior a x ]1, + [

2 8. Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 da função fx) = e x cos x em torno de x 0 = 0 e mostre que ex cosx ) ) 1 + x x6 x8 3, x [ 1, 1]. 9. Sejam I um intervalo aberto de R, a I e f : I R tal que f é derivável até a ordem em I e f é contínua no ponto a. Use o polinômio de Taylor de grau 1 e a fórmula de Taylor para provar o teste da segunda derivada, isto é, prove as seguintes afirmações: a) Se f a) = 0 e f a) > 0, então a é um ponto de mínimo local de f. b) Se f a) = 0 e f a) < 0, então a é um ponto de máximo local de f. CURVAS E SUPERFÍCIES 10. Desenhe as imagens das seguintes curvas: a) γt) = 1, t) b) γt) = cos t, sen t), 0 t π c) γt) = sen t, sen t) d) γt) = + cos t, 3 + 4sen t) e)γt) = 1, 1 t) f) γt) = et cos t, e t sen t), t 0 g) γt) = sec t, tg t), π < t < π h) γt) = cos t, sen t) 11. Encontre o vetor tangente em cada ponto da curva. Ache os pontos da curva nos quais a tangente é horizontal ou vertical. Esboce a imagem de γ, explicitando os pontos de auto-intersecção se houver). a) γt) = tt 3), 3t 3)) b) γt) = t 3 3t, t 3 3t) c) γt) = t 4 t 3 t, t 3 3t) d) γt) = t 3 3t, t 3 1t) e) γt) = ln1 + t ), t 3 3t) f) γt) = tt 4 1), t 4 1) 1. t a) Considere a curva dada por γt) = 1 + t, 1 ) t 1 + t. Calcule os ites de γt) quanto t + e t. Estude γ t) e faça um esboço da curva. b) Considere a curva dada por γt) = 3t 1 + t 3, 3t ) 1 + t 3 Determine o domínio de γ. Calcule os ites de γt) quando t tende a - 1 pela direita e pela esquerda, bem como os ites quando t + e t. Calcule γ0). Estude γ t) e faça um esboço da curva.

3 c) Considere a curva dada por γt) = t 3 1t, t t). Calcule os ites de γt) quanto t + e t. Estude γ t) e a concavidade da imagem de γ. Faça um esboço da curva. 13. Associe as equações paramétricas aos gráficos I a VI. Justifique sua escolha. a) x = t 3 t, y = t t b) x = t 3 1, y = t c) x = sen 3t), y = sen 4t) d) x = t + sen t), y = t + sen 3t) e) x = sent + sen t), y = cost + cos t) f) x = cos t, y = sent + sen5t)) 14. Considere fx) = 3 x ). A função f é derivável em x = 0? Determine uma curva γ : R R, derivável e cuja imagem seja igual ao gráfico de f. 15. Mostre que a curva γt) = cos t, sen t cos t) tem duas tangentes em 0,0) e ache suas equações. Esboce a curva. 16. Para cada curva abaixo, determine um ponto onde ocorre uma auto-intersecção. Ache as retas tangentes nesse ponto. a) γt) = 1 cos t, 1 cos t) tg t), t b) γt) = 91 3t ), 9t1 3t )) 1 t ) 1 c) γt) = t, t 1 t + )) 1 + t ] π, π [

4 17. Sejam I um intervalo aberto de R e γ : I R uma curva diferenciável. Mostre que, se existe C R tal que γt) = C, para todo t I, então γt) é ortogonal a γ t), para todo t I. Vale a recíproca? Interprete geometricamente. 18. Calcular o comprimento da curva γ: a) γ 1 t) = t 1, 4t + 3), t [ 4, 4]; b) γ t) = cos t, sen t), t [0, π]; c) γ 3 t) = cos t + t sen t, sen t t cos t), t [0, π]. 19. Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada de involuta do círculo. Se o círculo tiver raio r e centro O, a posição inicial de P for r, 0), e se o parâmetro θ for escolhido como na figura, mostre que as equaçõoes paramétricas da involuta são: x = rcos θ + θsen θ) y = rsen θ θ cos θ) 0. Ache e esboce o domínio das funções: a) fx, y) = x y c) fx, y) = 1 x + y 1 b) fx, y) = arctg y x d) fx, y) = x y x e) fx, y) = tgx y) f) fx, y) = lnxy x 3 ) g) fx, y) = ln16 4x y ) 1. Esboce uma família de curvas de nível de: a) fx, y) = x + y b) fx, y) = x 1 y x y c) fx, y) = x x y d) fx, y) = xy x + y 4. São dadas a seguir as curvas de nível e os gráficos de seis funções de duas variáveis reais. Decida quais curvas de nível correspondem a quais gráficos.

5 4 y 4 y I) 4 0 x x II) y y x x III) 4 IV) 4 y x 1 4 y 4 4 x V) VI) 4 a) b) c) d)

6 e) f) 3. Esboce os gráficos de: a) fx, y) = 1 x y b) fx, y) = x c) fx, y) = x x y d) fx, y) = 4x + y e) fx, y) = y x f) fx, y) = y + 1 x +y g) fx, y) = y + x h) fx, y) = xy i) fx, y) = e 1 j) fx, y) = 4x + 9y k) fx, y) = x y) l) fx, y) = x + y + y m) fx, y) = x + y ) n) fx, y) = ln9x + y ) o) fx, y) = 4 x + 4y p) fx, y) = x + y 9 q) fx, y) = x + y Seja γt) = e t + 1, e t ), para t R. a) Desenhe a imagem de γ indicando o sentido de percurso. b) A imagem de γ está contida na curva de nível de f : R R dada por fx, y) = x y y y + 4? Em caso afirmativo, em qual nível? 5. Em cada caso, esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos x, y, z) R 3 tais que: a) z + y + 3z = 1 b) x + y + 3 z = 1 b) x + y z = 0 c) x + y z = 1 d) x + y z = 1 e) x y = 1 f) x y + z = 1 Alguma dessas superfícies é o gráfico de uma função f : D R R? LIMITES E CONTINUIDADE 6. Calcule os seguintes ites, caso existam. Se não existirem, explique por quê: a) xy x y x,y) 0,0) x + y f) x,y) 0,0) x 4 + y b) x y cosx + y ) xy x,y) 0,0) x + y g) x,y) 0,0) x 3 y c) x 3 + y 3 x 4 senx + y ) x,y) 0,0) x + y h) x,y) 0,0) x 4 + y d) x y x + y) 3 x,y) 0,0) x 4 + x y + y i) x,y) 0,0) x + y e) x + 3xy + 4y x x,y) 0,0) 3x + 5y j) x,y) 0,0) x + y sen ) xy x + y

7 7. Calcule os seguintes ites: a) x,y) 0,0) senx + y ) x + y b) x,y) 0,0) x + y )lnx + y ) 8. O domínio de uma função f é o conjunto {x, y) R x, y) = 1, 0)}. A figura abaixo mostra as curvas de nível de f nos níveis k = 0, k = 0, 3, k = 0, 5, k = 0, 7 e k = 1. Existe fx, y)? Justifique. x,y) 1,0) 9. Determine os pontos de continuidade da seguinte função: x y )x 1) fx, y) = x + y )[x 1) + y 1) se x, y) = 0, 0) e x, y) = 1, 1), ] 1 se x, y) = 0, 0), 0 se x, y) = 1, 1).

8 RESPOSTAS 11. a) Horizontal: 0, 9); Vertical:, 6),, 6); b) Horizontal:, ), 4, ); Vertical: 0, 0), 4, ); c) Horizontal: 3, ), 1, ); Vertical: 0, 0), 3 16, 11 ) e 8, ); 8 d) Horizontal: 4, 16), 8, 16); Vertical: 0, 0), 1, 11). Auto-intersecção: a) 0, 0); b) 4, ); c) e d) não têm. 14. Não. γt) = t 3, t ) 15. y = x e y = x 16. a) 0,0), y = x e y = x; b) 0,0), y = 3x e y = 3x; c) 1,0), y = 3x e y = 3x 18. a) Lγ) = b a γ t) b) Lγ 1 ) = 64 5; c) Lγ ) = ; d) Lγ 3 ) = π. 19.a) D f = {x, y) R y x} b) D f = {x, y) R x = 0} c) D f = {x, y) R x + y > 1} d) D f = {x, y) R y > 0} e) D f = {x, y) R y = x + 1+k π, k Z} f) D f = {x, y) R xy x)y + x) > 0} g) D f = {x, y) R 4x + y < 16} 4. b) Sim, no nível Apenas a superfície do item a). 6. a) não existe b) 0 c) 0 d) não existe e) não existe f) não existe g) não existe h) 0 i) 0 j) 0 7. a) 1 b) 0 9. {x, y) R x, y) = 0, 0)}