RESOLUÇÕES E RESPOSTAS
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- Otávio Lisboa Cipriano
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1 MATEMÁTICA GRUPO CV 0/00 RESOLUÇÕES E RESPOSTAS QUESTÃO a) No o 40 reservatório, há 600 (= ) litros de mistura; em cada litro há L 600 de álcool. No o reservatório, há 40 (= ) litros de mistura; em cada litro há 80 L de álcool. 40 Na mistura de litro do primeiro reservatório com litros do segundo, a porcentagem de álcool é dada por % = 66,5% Resposta: 66,5% b) Consideremos uma mistura de x litros do o reservatório com y litros do o reservatório Total de álcool: x + y = Total de gasolina: x + y = Temos: x + y = x + y = x + 5y = 800 x + 5y = 800 Desse sistema, resulta x = 00 e y = 80. Resposta: 00 litros do primeiro e 80 litros do segundo. QUESTÃO a) Devemos permutar os dois sexos e depois as pessoas dentro de cada grupo de mesmo sexo. Assim:!!! = 7 Resposta: 7 b) Podemos dispor os rapazes nos degraus de! maneiras; podemos dispor as moças nos degraus de! maneiras; em cada degrau podemos colocar o casal de! modos. Assim:!!!!! = 88 Resposta: 88
2 ANGLO VESTIBULARES QUESTÃO a) Sendo l a medida do lado do triângulo equilátero, do enunciado, temos: l = 4 l = 8cm Logo, a área S pedida é: S = 8 _ 4 S = 6 cm Resposta: 6 cm b) Do enunciado, temos a figura: 8 A B O C O centro da circunferência Ainda, AC + AB + BC = 4, ou seja, AC BC = 4. Logo, AC = 6 BC (I) Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos: (BC) = (AB) + (AC) (BC) = (8) + (AC) (II) De (I) e (II), temos: (BC) = 64 + (6 BC) (BC) = BC + (BC) BC = 0cm Portanto o raio pedido é igual a Resposta: 5cm BC, ou seja, 5cm. QUESTÃO 4 a) tgα = (coeficiente angular de r) α = 0º α = 60º tgβ = (coeficiente angular de s) β = 45º α + β + γ = 80º 60º + 45º + γ = 80º γ = 75º Logo, θ = γ e, portanto, θ = 75º Resposta: 75º B β γ O y C (s): y = x + 7 α α A x (r): y = x + 7
3 b) O ponto A pertence à reta r (y = x + 7); sua ordenada é y A = 0 e sua abscissa é x A =, ou seja, 7 7. _ O ponto B pertence à reta s (y = x + 7); sua ordenada é: y B = 0 e sua abscissa é x B = 7. O ponto C pertence à reta s (y = x + 7); sua abcissa é: x C = 0 e sua ordenada é y C = 7. AB = x A x B 7 AB = + 7 AB = 7 Sendo O a origem, temos OC = y C, ou seja, OC = 7. Sendo S a área do triângulo ABC, temos: S = (AB) (OC) Resposta: + S = 7 7 S = 49( + ) 6 QUESTÃO 5 a) n é o coeficiente linear da reta suporte do segmento: n =,, 0, m é o coeficiente angular: m = = 0, Resposta: m = 0,06 e n =, b) No instante t = 0, temos: logc =, C = 0, C = 0 0 0, C = 0,58 = 5,8 C 0 = 5,8 Do item anterior, temos logc = 0,06t +,. Com t = 5, temos: logc = 0,06 5 +, logc = 0,9 C = 0 0,9 C = 7,94 C 5 = 7,94 Resposta: C 0 = 5,8 e C 5 = 7, ( + ) 6 QUESTÃO 6 a) Os múltiplos de formam a sequência: (0, 05, 08,,, 498) É uma PA em que a = 0, r = e a n = 498 a n = a + (n ) r 498 = 0 + (n ) = n n = Resposta: MATEMÁTICA GRUPO CV 0/00
4 4 ANGLO VESTIBULARES b) Observando na sequência dos múltiplos de os que são também múltiplos de, temos a sequência: (0, 08, 4,, 498) É uma PA em que a = 0, r = 6 e a n = 498 a n = a + (n ) r 498 = 0 + (n ) 6 66 = n n = 67 Assim, os múltiplos de que não são múltiplos de são em número de: 67 = 66 Outro modo: Observando que a soma de par com ímpar é ímpar e a soma de ímpar com ímpar é par, ao somarmos na sequência que se inicia em 0, temos uma alternância entre pares e ímpares. Na sequência dos múltiplos de, temos então 67 pares e 66 ímpares. Temos 67 múltiplos de e 66 que são múltiplos de e não são de. Resposta: 66
5 MATEMÁTICA GRUPO RA 0/00 RESOLUÇÕES E RESPOSTAS QUESTÃO a) No o 40 reservatório, há 600 (= ) litros de mistura; em cada litro há L 600 de álcool. No o reservatório, há 40 (= ) litros de mistura; em cada litro há 80 L de álcool. 40 Na mistura de litro do primeiro reservatório com litros do segundo, a porcentagem de álcool é dada por % = 66,5% Resposta: 66,5% b) Consideremos uma mistura de x litros do o reservatório com y litros do o reservatório Total de álcool: x + y = Total de gasolina: x + y = Temos: x + y = x + y = x + 5y = 800 x + 5y = 800 Desse sistema, resulta x = 00 e y = 80. Resposta: 00 litros do primeiro e 80 litros do segundo. QUESTÃO a) Devemos permutar os dois sexos e depois as pessoas dentro de cada grupo de mesmo sexo. Assim:!!! = 7 Resposta: 7 b) Podemos dispor os rapazes nos degraus de! maneiras; podemos dispor as moças nos degraus de! maneiras; em cada degrau podemos colocar o casal de! modos. Assim:!!!!! = 88 Resposta: 88
6 SISTEMA ANGLO DE ENSINO QUESTÃO a) Sendo l a medida do lado do triângulo equilátero, do enunciado, temos: l = 4 l = 8cm Logo, a área S pedida é: S = 8 _ 4 S = 6 cm Resposta: 6 cm b) Do enunciado, temos a figura: 8 A B O C O centro da circunferência Ainda, AC + AB + BC = 4, ou seja, AC BC = 4. Logo, AC = 6 BC (I) Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos: (BC) = (AB) + (AC) (BC) = (8) + (AC) (II) De (I) e (II), temos: (BC) = 64 + (6 BC) (BC) = BC + (BC) BC = 0cm Portanto o raio pedido é igual a Resposta: 5cm BC, ou seja, 5cm. QUESTÃO 4 a) tgα = (coeficiente angular de r) α = 0º α = 60º tgβ = (coeficiente angular de s) β = 45º α + β + γ = 80º 60º + 45º + γ = 80º γ = 75º Logo, θ = γ e, portanto, θ = 75º Resposta: 75º B β γ O y C (s): y = x + 7 α α A x (r): y = x + 7
7 b) O ponto A pertence à reta r (y = x + 7); sua ordenada é y A = 0 e sua abscissa é x A =, ou seja, 7 7. _ O ponto B pertence à reta s (y = x + 7); sua ordenada é: y B = 0 e sua abscissa é x B = 7. O ponto C pertence à reta s (y = x + 7); sua abcissa é: x C = 0 e sua ordenada é y C = 7. AB = x A x B 7 AB = + 7 AB = 7 Sendo O a origem, temos OC = y C, ou seja, OC = 7. Sendo S a área do triângulo ABC, temos: S = (AB) (OC) Resposta: + S = 7 7 S = 49( + ) ( + ) 6 MATEMÁTICA GRUPO RA 0/00 QUESTÃO 5 a) n é o coeficiente linear da reta suporte do segmento: n =,. 0, m é o coeficiente angular: m = = 0, Resposta: m = 0,06 e n =, b) No instante t = 0, temos: logc =, C = 0, C = 0 0 0, C = 0,58 = 5,8 C 0 = 5,8 Do item anterior, temos logc = 0,06t +,. Com t = 5, temos: logc = 0,06 5 +, logc = 0,9 C = 0 0,9 C = 7,94 C 5 = 7,94 Resposta: C 0 = 5,8 e C 5 = 7,94 QUESTÃO 6 a) Os múltiplos de formam a sequência: (0, 05, 08,,, 498) É uma PA em que a = 0, r = e a n = 498 a n = a + (n ) r 498 = 0 + (n ) = n n = Resposta:
8 4 SISTEMA ANGLO DE ENSINO b) Observando na sequência dos múltiplos de os que são também múltiplos de, temos a sequência: (0, 08, 4,, 498) É uma PA em que a = 0, r = 6 e a n = 498 a n = a + (n ) r 498 = 0 + (n ) 6 66 = n n = 67 Assim, os múltiplos de que não são múltiplos de são em número de: 67 = 66 Outro modo: Observando que a soma de par com ímpar é ímpar e a soma de ímpar com ímpar é par, ao somarmos na sequência que se inicia em 0, temos uma alternância entre pares e ímpares. Na sequência dos múltiplos de, temos então 67 pares e 66 ímpares. Temos 67 múltiplos de e 66 que são múltiplos de e não são de. Resposta: 66
9 RESOLUÇÕES E RESPOSTAS QUESTÃO a) n é o coeficiente linear da reta suporte do segmento: n =, 0, m é o coeficiente angular: m = = 0, Resposta: m = 0,06 e n =, b) No instante t = 0, temos: logc =, C = 0, C = 0 0 0, C = 0,58 = 5,8 C 0 = 5,8 Do item anterior, temos logc = 0,06t +,. Com t = 5, temos: logc = 0,06 5 +, logc = 0,9 C = 0 0,9 C = 7,94 C 5 = 7,94 Resposta: C 0 = 5,8 e C 5 = 7,94 QUESTÃO a) No o 40 reservatório, há 600 (= ) litros de mistura; em cada litro há L 600 de álcool. No o reservatório, há 40 (= ) litros de mistura; em cada litro há 80 L de álcool. 40 Na mistura de litro do primeiro reservatório com litros do segundo, a porcentagem de álcool é dada por % = 66,5% Resposta: 66,5% b) Consideremos uma mistura de x litros do o reservatório com y litros do o reservatório Total de álcool: x + y = Total de gasolina: x + y = Temos: x + y = x + y = x + 5y = 800 x + 5y = 800 Desse sistema, resulta x = 00 e y = 80. Resposta: 00 litros do primeiro e 80 litros do segundo. MATEMÁTICA GRUPO RS 0/00
10 SISTEMA ANGLO DE ENSINO QUESTÃO 6 a) Os múltiplos de formam a sequência: (0, 05, 08,,, 498) É uma PA em que a = 0, r = e a n = 498 a n = a + (n ) r 498 = 0 + (n ) = n n = Resposta: b) Observando na sequência dos múltiplos de os que são também múltiplos de, temos a sequência: (0, 08, 4,, 498) É uma PA em que a = 0, r = 6 e a n = 498 a n = a + (n ) r 498 = 0 + (n ) 6 66 = n n = 67 Assim, os múltiplos de que não são múltiplos de são em número de: 67 = 66 Outro modo: Observando que a soma de par com ímpar é ímpar e a soma de ímpar com ímpar é par, ao somarmos na sequência que se inicia em 0, temos uma alternância entre pares e ímpares. Na sequência dos múltiplos de, temos então 67 pares e 66 ímpares. Temos 67 múltiplos de e 66 que são múltiplos de e não são de. Resposta: 66 QUESTÃO 4 a) (secx tgx)(secx + tgx) cos x = sec x tg x cos x = + tg x tg x cos x = sen x = 6 Resposta: 6 b) o modo: tg x + 5 = 7 cosx (sec x ) + 5 = 7secx sec x 7secx + = 0 = 7 4()() = 5 secx = secx = cosx = x = π ou x = 5π ou secx = cosx = (não convém)
11 o modo: sen x = cos x cosx sen x + 5cos x = 7cosx ( cos x) + 5cos x = 7cosx cos x 7cosx + = 0 cosx = (não convém) ou cosx = π 5π x = ou x = Resposta: S = π 5π, MATEMÁTICA GRUPO RS 0/00 QUESTÃO 5 a) Sendo l a medida do lado do triângulo equilátero, do enunciado, temos: l = 4 l = 8cm Logo, a área S pedida é: S = 8 _ 4 S = 6 cm Resposta: 6 cm b) Do enunciado, temos a figura: A 8 B O C O centro da circunferência Ainda, AC + AB + BC = 4, ou seja, AC BC = 4. Logo, AC = 6 BC (I) Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos: (BC) = (AB) + (AC) (BC) = (8) + (AC) (II) De (I) e (II), temos: (BC) = 64 + (6 BC) (BC) = BC + (BC) BC = 0cm Portanto o raio pedido é igual a Resposta: 5cm BC, ou seja, 5cm.
12 4 SISTEMA ANGLO DE ENSINO QUESTÃO 6 a) No eixo x temos y = 0. y = 0 (x 6) + (0 ) = 5 (x 6) + 9 = 5 x 6 = 4 x = 0 (x 6) = 6 ou x 6 = 4 x = Logo, os pontos são (0, 0) e (, 0) Resposta: (, 0) e (0, 0) b) O cetro de λ é C(6, ). Sendo A(, 0) e B(0, 0), temos y C h 0 A B 0 x Área (ABC) = Resposta: (AB) h = 8 =
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0 a 4 = a q 3 54 = q 3 q 3 = 7 q = 3 a 5 = a q 4 a 5 = 3 4 a 5 = 6 Resposta: C 0 a 8 = a q 4 43 = 3 q6 3 5 3 = q 6 q 6 = 3 6 Como os termos são positivos, q > 0; assim: q = 3 a 5 = a q 3 a 5 = 3 33 a 5
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Seja AB = BC = CA = 4a. Sendo D o ponto de interseção da reta s com o lado AC temos, pelo teorema de Tales, AD = 3a e DC = a.
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GRITO Matemática Etensivo V. 7 Eercícios ) D ) D ) I. Falso. O diâmetro é dado por. r. cm. II. Verdadeiro. o volume é dado por π. r² π. ² π cm² III. Verdadeiro. (, ) (, ) e assim, ( )² + ( )² r² fica ²
3 x + y y 17) V cilindro = πr 2 h
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(9) -0 O ELITE RESOLVE FUVEST 008 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA MATEMÁTICA QUESTÃO 0 João entrou na lanchonete BOG e pediu hambúrgueres, suco de laranja e cocadas, gastando R$,0. Na mesa ao lado, algumas pessoas
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Questão 21. Questão 24. Questão 22. Questão 23. alternativa D. alternativa C. alternativa A. alternativa D. a) 1/1/2013 d) 1/1/2016
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Matemática a QUESTÃO IME-007/008 Temos que: i) sen 3 x + cos 3 x = (senx + cosx) (sen x senxcosx + cos x) = (senx + cosx) ( senxcosx) ii) sen xcos x = ( + senxcosx) ( senxcosx) Então, a equação dada é
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ITA MATEMÁTICA NOTAÇÕES = {,,,...} : conjunto dos números reais [a, b] = {x ; a x b} [a, b[ = {x ; a x < b} ]a, b[ = {x ; a < x < b} A\B = {x; x A e x B} k a n = a + a +... + a k, k n = k a n x n = a 0
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Solução Comentada da Prova de Matemática 01. Considere, no plano cartesiano, os pontos P(0,1) e Q(,3). A) Determine uma equação para a reta mediatriz do segmento de reta PQ. B) Determine uma equação para