Limites infinitos e limites no infinito Aula 15

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1 Propriedades dos ites infinitos Limites infinitos e ites no infinito Aula 15 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 03 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma Engenharia Mecânica

2 Propriedades dos ites infinitos Propriedades dos ites infinitos Seja L um número real. Temos: f (x) = L = g(x) = f (x) = L = g(x) = + (f g)(x) =, L > 0 (f g)(x) = +, L < 0 (f + g)(x) =. (f g)(x) = +, L > 0 (f g)(x) =, L < 0 (f + g)(x) = +

3 Propriedades dos ites infinitos f (x) = + g(x) = + = f (x) = g(x) = = f (x) = g(x) = + = (f + g)(x) = + (f g)(x) = + (f + g)(x) = (f g)(x) = + (f g)(x) =

4 Propriedades dos ites infinitos Observação: As propriedades acima são válidas se, em lugar de x p, usarmos x p + ou x p. cos x Calcule x 0 x 2. cos x x 0 x 2 = x 0 cos x 1 x 2 = +. sen x 2 Calcule x 0 x 4. x 0 sen x 2 x 4 sen x 2 1 = x 0 x 2 x 2 = +.

5 Propriedades dos ites infinitos A seguinte proposição será útil para calcular ites. Proposição Suponha que f (x) = 0 e que existe r > 0 tal que f (x) > 0 + (respectivamente f (x) < 0) para x D f (p,p + r). Então, 1 = + (respectivamente ). + f (x) Observação: Vale um resultado análogo para x p (x p).

6 Propriedades dos ites infinitos Observação: As propriedades acima sugerem como operar com os símbolos + e. Assim, por exemplo, L ± = ±, ( ) = e L ( ) = + se L < 0. Temos as seguintes indeterminações:, +, 0,, 0 0, 1, 0 0, 0.

7 Propriedades dos ites infinitos Calcule x 2 + x 2 + 3x x 2 4. x 2 + 3x x 2 + x 2 4 = 1 x 2 + x 2 Calcule x 1 x 3 1 x 2 2x + 1. Observe que x 2 + 3x x + 2 = +. x 3 1 x 2 2x + 1 = (x 1)(x2 + x + 1) (x 1) 2. Assim, x 3 1 x 1 x 2 2x + 1 = 1 x 1 x 1 (x2 + x + 1) =.

8 Propriedades dos ites infinitos Definição (Limite no Infinito) Se D f não é itado superiormente, então f (x) = L se, dado ε > 0, existir R > 0 tal que f (x) L < ε x D f com x > R. Se D f não é itado inferiormente, então f (x) = L x se, dado ε > 0, existir R < 0 tal que f (x) L < ε, x D f com x < R.

9 Propriedades dos ites infinitos Definição A reta y = L é chamada de assíntota horizontal do gráfico de f se ou f (x) = L ou f (x) = L. x

10 Propriedades dos ites infinitos 1 Temos x = 0 e 1 x x = 0. Dado ε > 0, queremos achar R > 0 suficientemente grande tal que x > R > 0 = f (x) 0 = 1 x 0 = 1 x < ε. Tomando R = 1 ε > 0 temos Logo 1 x x > R > 0 = 0 < 1 x < 1 R = ε. = 0. A prova para x é análoga.

11 Propriedades dos ites infinitos Observação: As propriedades do ite são também válidas se x p for substituído por x + ou x. 1 Calcule onde n é um inteiro positivo. xn 1 1 ) n x ( n = = 0. x 1 Em geral, temos que = 0 onde r é um número racional x ± xr positivo.

12 Propriedades dos ites infinitos x 5 + x Calcule 2x 5 + x + 1. x 5 + x x 5 + x + 1 = = x 5( x + 1 x 5 ) x 5( x x + 1 x x x 5 ) = = 1 2. x 5 Analogamente, mostra-se que o ite quando x é 1 2.

13 Propriedades dos ites infinitos Observação: A estratégia para calcular ites no infinito de uma função racional consiste em colocar em evidência a mais alta potência de x no denominador e numerador. Ache as assíntotas horizontais de f (x) = 2x x + 5.

14 Propriedades dos ites infinitos Consideremos x +, então x > 0. 2x x + 5 = x 2 (2 + 1 x 2 ) x(3 + 5 x ) = Agora, consideramos x, então x < 0. x 2x x = x 2 x x x 2 = x Logo, a reta y = é assíntota para x + e y = 3 3 é assíntota para x. = 2 3.

15 Propriedades dos ites infinitos ( Calcule 2 + senx ). x Observe que sen x 1 x x = 1, para x > 0. Como x sen x pelo Teorema do Confronto, = 0. Portanto, ( x 2 + sen x ) = = 2. x Calcule x sen1 x. 1 x = 0, Fazendo u = 1 x temos que quando x +, u 0. Portanto, x sen1 x x = 1 senu = 1. u 0 u

16 Propriedades dos ites infinitos Utilizamos a notação f (x) = + para indicar que f (x) divergem para + quando x diverge para +. De forma análoga utilizamos a notação f (x) =, f (x) = +, x f (x) =. x

17 Propriedades dos ites infinitos Encontre x2. Definição (Limite Infinito no Infinito) f (x) = + se, dado K > 0, existir R > 0 tal que f (x) > K, x D f tal que x > R. f (x) = se, dado K < 0, existir R > 0 tal que f (x) < K, x D f tal que x > R.

18 Propriedades dos ites infinitos Observação: Todas as propriedades de ites infinitos valem se substituirmos x p por x + ou x. Prove, usando a definição, que x = +. Segue das propriedades que xn = +, onde n é um inteiro positivo.

19 Propriedades dos ites infinitos Calcule (x2 x). Observe que temos uma indeterminação da forma. Não podemos aplicar a propriedade da soma. Contudo, podemos escrever (x2 x) = x(x 1) = + (+ 1) = +. x 3 + 3x 1 Calcule 2x 2 + x + 1. x 3 + 3x 1 2x 2 + x + 1 = x 3( x 2 1 x 3 ) x 2( x + 1 x 2 ) = +.

20 Propriedades dos ites infinitos x 3 3x Calcule x 1 2x 2. x 3 3x x 3( 1 3 x x 1 2x 2 = + 1 ) x 3 x 2( 1 2 ) = ( )( 1 ) = +. 2 x 2