SME0300 Cálculo Numérico Aula 20

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1 SME0300 Cálculo Numérico Aula 20 Maria Luísa Bambozzi de Oliveira icmc usp br Sala: Página da disciplina: tidia-aeuspbr 29 de outubro de 2015

2 Aula Passada Aproximação de Funções: Método dos Mínimos Quadrados (MMQ): Minimizar Q = f F 2, F(x) = γ 0 g 0 (x) + γ 1 g 1 (x) + + γ m g m (x) Polinomial: Casos Contínuo e Discreto g 0 (x) = 1; g j (x) = x j, j = 1, 2,, b n C: (r, s) = r(x) s(x) dx; D: (r, s) = r(x k ) s(x k ) a k=0

3 MMQ: Trigonométrico Supor que a função f (x) a ser aproximada tenha características de periodicidade Aproximar f (x) por função F(x) escrita como combinação linear de funções trigonométricas (seno e cosseno) Caso contínuo: Considerar f (x) periódica e integrável em [0, 2π] Aproximar f (x), x [0, 2π], por f (x) F(x) = a 0 + a 1 cos(x) + b 1 sen(x)+ + a 2 cos(2x) + b 2 sen(2x) + + a m cos(mx) + b m sen(mx) tal que a distância de f e F seja mínima

4 MMQ: Trigonométrico (cont) Adotando o produto escalar = (r, s) = 2π 0 r(x) s(x) dx, determinamos a 0, a 1, b 1, a 2, b 2,, a m, b m resolvendo o sistema linear (1, 1) (c(x), 1) (s(mx), 1) a 0 (1, c(x)) (c(x), c(x)) (s(mx), c(x)) a 1 (1, s(mx)) (c(x), s(mx)) (s(mx), s(mx)) b m (f, 1) (f, c(x)) (f, s(mx)), c(αx) = cos(αx), s(αx) = sen(αx)

5 MMQ: Trigonométrico (cont) Sendo 2π 0 2π 0 sen(px) cos(qx) dx = 0, 0, p = q, p = q = 0, sen(px)sen(qx) dx = π, p = q = 0, 0, p = q, cos(px) cos(qx) dx = π, p = q = 0, 2π, p = q = 0, 2π 0 2π 0 0 a 0 0 π 0 a 1 temos = 0 0 π b m (f, 1) (f, cos(x)) (f, sen(mx))

6 MMQ: Trigonométrico (cont) Supor que a função f (x) a ser aproximada tenha características de periodicidade Caso discreto: Considerar f (x) em N pontos distintos de [0, 2 π] Aproximar f (x) por x k = 2kπ, k = 1, 2,, N N f (x) F(x) = a 0 + a 1 cos(x) + b 1 sen(x)+ + a 2 cos(2x) + b 2 sen(2x) + + a L cos(lx) + b L sen(lx) com L N/2 tal que a distância de f e F seja mínima

7 MMQ: Trigonométrico (cont) Adotando o produto escalar = (r, s) = N r(x k ) s(x k ), k=1 determinamos a 0, a 1, b 1, a 2, b 2,, a L, b L resolvendo o sistema linear (1, 1) (c(x), 1) (s(lx), 1) a 0 (1, c(x)) (c(x), c(x)) (s(lx), c(x)) a 1 (1, s(lx)) (c(x), s(lx)) (s(lx), s(lx)) b L (f, 1) (f, c(x)) (f, s(lx)), c(αx) = cos(αx), s(αx) = sen(αx)

8 MMQ: Trigonométrico (cont) Sendo temos N sen(px k ) cos(qx k ) = 0, k=1 N 0, p = q, p = q = 0, sen(px k )sen(qx k ) = N/2, p = q = 0, N 0, p = q, cos(px k ) cos(qx k ) = N/2, p = q = 0, k=1 N, p = q = 0, k=1 N 0 0 a 0 0 N/2 0 a 1 = 0 0 N/2 b L (f, 1) (f, cos(x)) (f, sen(lx))

9 MMQ: Trigonométrico (cont) Exemplo: Obter aproximação trigonométrica de ordem 1 para a função dada pela tabela: x π/ 2 π 3π/ 2 2π f (x) usando o método dos mínimos quadrados Solução: Pontos tabelados: x k = 2kπ, k = 1, 2, 3, 4 4 Também f (x) a 0 + a 1 cos(x) + b 1 sen(x) Então, N = 4 e a 0 a 1 b 1 = (f, 1) (f, cos(x)) (f, sen(x)) (f, 1) = = 665 (f, cos(x)) = 159(0) + 178( 1) + 179(0) + 149(1) = 29 (f, sen(x)) = 159(1) + 178(0) + 179( 1) + 149(0) = 20

10 MMQ: Trigonométrico (cont) Exemplo: Obter aproximação trigonométrica de ordem 1 para a função dada pela tabela: x π/ 2 π 3π/ 2 2π f (x) usando o método dos mínimos quadrados Solução: a a 1 = b 1 20 a 0 = 665/4; a 1 = 29/2; b 1 = 20/2 = 10; f (x) cos(x) 10 sen(x) 2

11 MMQ: Outros Casos Para aproximar uma função dada f (x) pelo método dos mínimos quadrados, devemos aproximar por uma família linear nos parâmetros, γ 0 g 0 (x) + γ 1 g 1 (x) + + γ m g m (x) Podemos reduzir muitos casos fazendo uma transformação Exemplos: f (x) a b x ln f (x) ln(a) + ln(b) x f (x) a x b ln f (x) ln(a) + b ln(x)

12 Integração Numérica Objetivo: Calcular aproximadamente a integral de y = f (x) em um dado intervalo [a, b] usando polinômios de interpolação Problemas: Integral de f (x) pode ser difícil (ou impossível) de calcular Exemplo: x 0 s x 3/2 s 3/2 2/3 ds Solução analítica da integral é conhecida, mas cálculo só é obtido aproximadamente Somente conhecemos pontos discretos da função que queremos integrar

13 Integração Numérica (cont) Vamos resolver integrais da forma b a ω(x)f (x) dx, onde ω(x) 0 é contínua em [a, b] ω é função peso Como calcular a integral? Aproximar a integral com Fórmulas de Quadratura (ou Fórmulas de Integração Numérica): b a ω(x)f (x) dx n A k f (x k ) k=0

14 Fórmulas de Quadratura Interpolatória Sejam x 0, x 1,, x n n + 1 pontos distintos em [a, b]; y 0, y 1,, y n n + 1 valores de função y = f (x); P n (x) polinômio de interpolação de y = f (x) sobre n + 1 pontos considerados (fórmula de Lagrange), Então, b a onde A k = ω(x)f (x) dx P n (x) = b a b ω(x)l k (x) dx a n y k l k (x) k=0 ω(x)p n (x) dx = n A k y k k=0

15 Fórmulas de Quadratura (cont) Note que, se os pontos x 0, x 1,, x n são igualmente espaçados, isto é, sendo a = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b, x k = x 0 + kh, k = 0, 1,, n, h = b a n, l k (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x k 1 )(x x k+1 )(x x n 1 )(x x n ) (x k x 0 )(x k x 1 )(x k x k 1 )(x k x k+1 )(x k x n 1 )(x k x n ), temos para x = x 0 + u h, u [0, n] R : x x j = x 0 + u h x 0 j h = (u j) h, l k (u) = u(u 1)(u (k 1))(u (k+1))(u (n 1))(u n) k(k 1)(1)( 1)(k (n 1))(k n)

16 Fórmulas de Newton-Cotes Para calcular integral de f (x) numericamente em um intervalo finito [a, b] tal que então com x n x 0 b a l k (x) dx = h a = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b, x k+1 x k = h, k = 0, 1,, n 1; ω(x)f (x) dx = n 0 ω(x) = 1, x n x 0 f (x) dx n k=0 f k x n x 0 l k (x) dx u(u 1)(u (k 1))(u (k+1))(u (n 1))(u n) k(k 1)(1)( 1)(k (n 1))(k n) du

17 Fórmula de Newton-Cotes Caso 1: n = 1, x 0 = a, x 1 = b, polinômio de grau 1 f (x) a = x 0 x1 = b x Regra do Trapézio: b a f (x) dx = x 1 x 0 h f (x) dx 2 [f (x 0) + f (x 1 )]

18 Newton-Cotes (cont) Dividindo intervalo [a, b] em N sub-intervalos de amplitude h = b a, aplicar Regra do Trapézio em cada N sub-intervalo [x j, x j+1 ], j = 0, 1,, N 1 (cada intervalo tem 2 pontos) f (x) x 0 x 1 x 2 x Regra do Trapézio Generalizada: b=x N a=x 0 f (x) dx N h f (xj 1 ) + f (x j ) j=1 2

19 Newton-Cotes (cont) Exemplo: Aplicar a Regra do Trapézio para calcular 1,3 1 f (x) dx utilizando os dados da tabela a seguir: Solução: 1,3 1 x 1,0 1,1 1,2 1,3 f (x) 1,0000 1,0488 1,0954 1,1401 h = 0,1, N = 3 f (x) dx 0,1 [1, (1, ,0954) + 1,1401] = 2 = 0,321425