Interpolação polinomial: Diferenças divididas de Newton

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1 Interpolação polinomial: Diferenças divididas de Newton Marina Andretta ICMC-USP 9 de maio de 2013 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

2 Já vimos como construir aproximações sucessivas para um valor de f (x) através de polinômios interpoladores de Lagrange com graus cada vez maiores, usando o Método de Neville. Veremos agora como construir os polinômios interpoladores de maneira sucessiva. Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

3 Suponha que P n (x) seja o n-ésimo polinômio interpolador de Lagrange que coincide com uma função f nos pontos x 0, x 1,..., x n. Embora este polinômio seja único, há diversas formas diferentes de representá-lo. As diferenças divididas de f em relação a x 0, x 1,..., x n são usadas para representar P n (x) na forma P n (x) = a 0 +a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 )(x x 1 )+...+a n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ), para constantes adequadas a 0, a 1,..., a n. Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

4 Para determinar o valor de a 0, note que, quando calculamos P n (x 0 ), temos a 0 = P n (x 0 ) = f (x 0 ). Da mesma forma, calculando P n (x 1 ), temos f (x 0 ) + a 1 (x 1 x 0 ) = P n (x 1 ) = f (x 1 ). Daí, podemos calcular o valor de a 1 : a 1 = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0. Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

5 Apresentamos, agora, a noção de diferença dividida. A diferença dividida de ordem zero da função f em relação a x i, denotada f [x i ], é o valor de f em x i : f [x i ] = f (x i ). Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

6 A primeira diferença dividida da função f em relação a x i e x i+1, denotada f [x i, x i+1 ], é definida como f [x i, x i+1 ] = f [x i+1] f [x i ] x i+1 x i. (1) A segunda diferença dividida da função f em relação a x i, x i+1 e x i+2, denotada f [x i, x i+1, x i+2 ], é definida como f [x i, x i+1, x i+2 ] = f [x i+1, x i+2 ] f [x i, x i+1 ] x i+2 x i. Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

7 Analogamente, depois das k 1-ésimas diferenças divididas f [x i, x i+1,..., x i+k 1 ] e f [x i+1, x i+2,..., x i+k ] serem calculadas, a k-ésima diferença dividida com relação a x i, x i+1, x i+2,..., x i+k é dada por f [x i, x i+1,..., x i+k 1, x i+k ] = f [x i+1, x i+2,..., x i+k ] f [x i, x i+1,..., x i+k 1 ] x i+k x i. Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

8 O processo continua até que a única n-ésima diferença dividida f [x 0, x 1,..., x n ] = f [x 1, x 2,..., x n ] f [x 0, x 1,..., x n 1 ] x n x 0 seja calculada. Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

9 Usando esta notação, podemos escrever polinômio interpolador como P n (x) = f [x 0 ] + a 1 (x x 0 )+ a 2 (x x 0 )(x x 1 ) a n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ), com a k = f [x 0, x 1,..., x k ], para 0 k n. Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

10 Portanto, o polinômio interpolador pode ser escrito como n P n (x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1,..., x k ](x x 0 )(x x 1 )...(x x k 1 ). k=1 Note que o valor de f [x 0, x 1,..., x k ] não depende da ordem dos números x 0, x 1,..., x k. Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

11 Algoritmo Diferenças divididas de Newton: dados os números distintos x 0, x 1,..., x n, os valores f (x 0 ), f (x 1 ),..., f (x n ) como a primeira coluna F 0,0, F 1,0,..., F n,0 de F, calcula a tabela F tal que F i,i = f [x 0, x 1,..., x i ] e P(x), polinômio interpolador de f nos pontos x 0, x 1,..., x n, dado por P(x) = n i=0 F i,i i 1 j=0 (x x j). Passo 1: Para i = 1,..., n, execute o passo 2: Passo 2: Para j = 1,..., i, faça Passo 3: Devolva F e pare. F i,j F i,j 1 F i 1,j 1 x i x i j. Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

12 de Newton - exemplo A tabela a seguir fornece os valores de uma função em vários pontos: x f (x) Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

13 de Newton - exemplo A tabela a seguir fornece os valores obtidos aplicando o Método de diferenças divididas de Newton: i x i f [x i ] f [x i 1, x i ] f [x i 2,..., x i ] f [x i 3,..., x i ] f [x i 4,..., x i ] Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

14 de Newton - exemplo Os coeficientes do polinômio interpolador são obtidos usando os elementos em vermelho da tabela: P 4 (x) = (x 1) (x 1)(x 1.3) (x 1)(x 1.3)(x 1.6) (x 1)(x 1.3)(x 1.6)(x 1.9). Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15

15 de Newton - exemplo Pontos Polinomio Marina Andretta (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 9 de maio de / 15