Terceira Lista de Exercicios de Cálculo I Rio de Janeiro 1 de abril de 2013

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1 Universidade Federal de Rio de Janeiro Instituto de Matemática Departamento de Métodos Matemáticos Prof. Jaime E. Muñoz Rivera http// rivera Terceira Lista de Exercicios de Cálculo I Rio de Janeiro de abril de 3. Usando o Teorema de Taylor, estime o erro que se comete ao aproximar a função f(x) = + x por um polinômio de grau 4 no intervalo [, ].. Mostre que para todo x > se verifica a desigualdade: (Veja exemplo do texto) x x x ln( + x) x + x Calcular o valor de m de tal forma que a aproximação e m dígitos exatos. Resp.- m = 6 n= xn n!, para x ], [, possua dois 4. Encontre a vizinhança de x = na qual o polinômio de Taylor de grau aproxima a função a) y = cos(x), b) y = + x com dois dígitos exatos. Resp.- a) [.4,.4], b) [.39,.39]. (Veja exercício 7.7.3) 5. Calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas: a) y = x 4 +, y = x, b) y = x x, y = x +, c) y = x, x = y. 6. Determine o valor da a de tal forma que a região acima da parábola y = ax e abaixo da reta y = 3x seja igual a. 7. Calcular as seguintes integrais: sen (x) ln(cos(x)), x 3 x, cos( x), e x, e x x. x x, sen (ln(x)), xe x (x + ), x + x + x Calcular x 4 x, x x, e x e x + e x + 3, 3x x, 4 e x e x. x x 4 4, 9. Utilizando as somas de Riemann calcular as áreas das seguintes curvas. a) cos(x) no intervalo [, π]. b) cos(x) no intervalo [, π], c) x 3 x + no intervalo [, ].

2 . Utilizando o teorema do valor intermediario para integrais, mostre as seguintes desigualdades. (Veja Exemplo 8.7.) 4 x x x, π xsen (x) π x, x cos(x) x + x.. Usando uma substituição apropriada calcule a promitiva das seguintes funções (a) x 3 e x4, (e) e x / x, (b) x 3 cos(x 4 ), (c) arctan(x)/(4 + x ), (f) x 3 cos(x 4 + ), (g) cos(ln(x))/x, (d) ln(ln(x))/x ln(x), (h) x + 4x,. Usando integração por partes encontre as primitivas das seguintes funçoes (a) x 7 e x, (d) sec 3 (ax), (b) x 3 e x, (c) cos(ax)e bx (e) e ax cos(bx)sen (cx) (f) x 3 cos(x)sen (x), 3. Usando decomposição em frações parciais encontre a primitiva das seguintes funçoes (a) x 3 /(x )(x + ), (d) x/(x 3 + x x ),, (b) x /(x )(x + 3), (c) (x ) /(3x )(x + ), (e) x 3 /(x )(x + ), (f) x/(x ) (x + ), 4. Utilizando a regra dos trapezios calcular as seguintes integrais definidas (seção 9.7) sen (x ), e x, xe x 5. No exercicio anterior, de que tamanho deve ser escolhido h de tal forma que os valores obtidos tenham dois dígitos exatos. 6. Calcular as seguintes integrais (Veja seção 9.6) x x x 3 a 3, a + x, a + 3 x, + x 4, (x + 4) 4 Resp.- a) ln(x a) ln(x 3a 3a + ax + a ) + 3 3a / arctan(x+a/ 3a/ ) b) x a x + a ln(a + x) + C. c) 5 x5/6 a 3 x + a 4 x + a 5 arctan( 6 x a ) + C 7. Calcular a primitiva das seguintes funções f(x) = x/ a + x, f(x) = / a + x, f(x) = /(cos(x) + sen (x)), f(x) = /( + sen (x)), onde a é um número real não nulo f(x) = /( sen (x)). Resp.- a) a + x + C, b) ln(x + a + x ) + C, c) ln( tan( x ) tan( x ) + )

3 8. Calcular a primitiva de f(x) = sen 3 (x), f(x) = cos 4 (x), f(x) = cos 6 (x), f(x) = tan 3 (x), f(x) = tan 4 (x), f(x) = tan 5 (x) Resp.- a) cos(x) + 3 cos3 (x), b) 4 cos5 (x)sen (x) x 3 6 sen (x). c) 6 cos5 (x)sen (x) cos5 (x)sen (x) x 96 5 sen (x). 9. Calcular as seguintes integrais cosx sen x, tanx + tanx,. Seja f uma função par, isto é f( x) = f(x) então mostre que a a f(x) = a f(x). sen x + cos x.. Seja f uma função impar, isto é f( x) = f(x) então mostre que a a f(x) =.. Calcular as integrais das seguintes funções cos 3 (3x + ), x cos 3 (3x + ), 3. Calcular as primitivas das seguintes funções tan 3 (3x ), x tan 3 (4x + 3), x sen 3 (ln(x)). x tan4 (ln(x)). 4. Calcular as primitivas das seguintes funções sec 3 (x + 6), (x + ) tan 3 (x + x + 4), x sec4 (ln(x)). 5. Calcular as primitivas das seguintes funções cos 3 (x + 6)sen (x + 6), (x + ) cos 3 (x + x + 4)sen (x + x + 4), x cos4 (ln(x))sen (ln(x)). 6. Calcular as seguintes integrais x(x + ) 7, x x, x (x + ) 3, x (x + ) Resp.- a) (x+)9 36 (x+)7 3, b) (x ) + (x ) + ln(x ). c) ln(x + ) + x+ (x+) d)x + x+ 4 4 ln(x + ). 3

4 7. Calcular as seguintes integrais com dois dígitos exatos. cos(x ), sen (x ), x 3 +, sen (x). Resp.- a).9, b).49, c)., d) Encontre o número de intervalos em que deve ser dividido o intervalo [, ] de tal forma que o método do trapezio aproxime as integrais cos(x + ), sen (x x), x 3, sen (x + ). com 5 dígitos exatos. 9. Calcular o centro de massa da seguintes figuras. R R R R R R r r 3. Calcular o comprimento de arco da curva dada pela função y = x no intervalo [, ]. Resp Calcular o cumprimento da curva dada por x /3 + y /3 = a /3 no intervalo [, a] Resp.- a. 3. Mostre que o centro de massa de um triângulo concide com seu baricentro. 33. Calcular o centro de massa da região limitada pelas parábolas com vértices nos pontos ( a/, 5a /4), (, 4a ), (3a/, a /4), que passam pelos pontos dados no gráfico a seguir. (Veja seção.) 4a 5/4a /4a -a -a a a 34. Calcular a deformação producida numa mola pelo impacto de um bloco de peso N, que se movimentava a velocidade constante de m/seg antes do impacto. Suponha que a constante elástica da mola k = 3. Considere despresível as forças de atrito. Onde a é um número real positivo. 4

5 35. Um tanque na forma de um paraboloide cilindrico de equação y = h x e de base igual a L está cheio de agua. Encontre a força resultante decorrente da pressão sobre a parede frontal do tanque. (Veja seção.4) Y -L O L x i x h X y= L h-x h Referência. Cálculo Diferencial & Integral Volume I. Autor: Jaime Muñoz Rivera 5