Cálculo Numérico A - 2 semestre de 2006 Prof. Leonardo F. Guidi. 2 a Lista de Exercícios - Gabarito. 1) Seja a equação não linear x e x = 0.

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1 Cálculo Numérico A - 2 semestre de 2006 Prof. Leonardo F. Guidi 2 a Lista de Exercícios - Gabarito 1) Seja a equação não linear x e x = 0. A solução é dada em termos da função W de Lambert, x = W 1) 0, Se utilizarmos o método da bissecção e o intervalo inicial 0, 1) serão necessárias 20 iterações para obter um resultado com 6 casas decimais exatas. Utilizando o mesmo intervalo inicial mas com o método da falsa posição serão necessárias apenas 8 iterações para obter um resultado com a mesma exatidão. Se no entanto, o intervalo inicial for 10, 10) serão necessárias iterações no método da falsa posição enquanto que no método da bissecção serão necessárias apenas 24 iterações. Como você explicaria essa diferença? R: No método da bissecção, após n iterações o intervalo inicial é dividido por 2 n, portanto após 24 iterações a solução estará contida em um intervalo de comprimento de aproximadamente No caso do método da falsa posição, f 10) é um número muito grande 22000, portanto a reta secante que liga os pontos 10, f 10)) e 10, f10)) corta o eixo x bem próximo de x = 10 e assim o processo se repete por um número grande de vezes até se aproximar da solução lentamente). 2) Encontre as duas soluções reais da equação x + e x 3 = 0 com seis dígitos exatos. de R: Vamos aproximar a solução através do método Newton-Raphson. As soluções da equação são as mesmas fx) = 0 quando fx). = x + e x 3. De acordo com o método de Newton, construímos a seqüência {x k) } k=1 a partir da relação de recorrência x k+1) = Φ x k)), onde Φx). = x fx) f x). Se a aproximação inicial, x 0), estiver suficientemente próxima da solução exata, então x = lim k x k). Neste exercício, f x) = e x 1, portanto, Φx) = x x + ex 3) e x 1 = x + 1) 3e x 1 e x. De acordo com a derivada de fx), podemos verificar que o mínimo da função está em x = 0. Nesse ponto a função f vale 2, portanto as raizes não devem estar distante da origem. 1

2 Realizamos a escolha x 0) = 1 para a raiz positiva, então, utilizando a maior precisão disponível e arredondando para oito dígitos) x 1) ; x 2) ; x 3) ; x 4) ; x 5) ; podemos observar que a quarta e a quinta iterada possuem os seis primeiros dígitos iguais, portanto, a solução com seis dígitos exatos é dada por x Realizamos a escolha x 0) = 1 para a raiz negativa, utilizando a maior precisão disponível e arredondando para oito dígitos) x 1) ; x 2) ; x 3) ; x 4) ; podemos observar que a terceira e a quarta iterada possuem os seis primeiros dígitos iguais, portanto, a solução com seis dígitos exatos é dada por x ) As seguintes equações possuem possuem uma raiz real positiva igual a 3 2. x 4 3, 5 x 3 + 2, 25 x 2 + 3, 375 x 3, 375 = 0 x 4 + 1, 5 x 3 1, 5 x 2 3, 5 x 1, 5 = 0 Utilize o método de Newton-Raphson com algumas aproximações iniciais diferentes para encontrar essa raiz. O que você pode notar? R: No primeiro polinômio, se calcularmos o valor da derivada no ponto x = 3/2 verificaremos que o mesmo é nulo, portanto a convergência do método de Newton será linear, ou seja, serão necessárias mais iterações. No segundo polinômio, a derivada em x = 3/2 possui um valor não nulo e nesse caso a convergência é pelo menos quadrática, ou seja a convergência é rápida. No segundo polinômio, a função de recorrência Φ é dada por após simplificações e utilizando o algoritmo de Horner para diminuir o número de operações): Φx) = x x 1 + x)) x 3 + x x)). Realizamos a escolha x 0) = 2 como aproximação inicial. Após 5 iterações temos x 5) No primeiro polinômio, a função de recorrência Φ é dada por após simplificações e utilizando o algoritmo de Horner para diminuir o número de operações): Φx) = x x 7 + 3x)) x x x)). Realizamos a mesma escolha x 0) = 2 como aproximação inicial. Somente após 30 iterações temos x 30) ) Utilize os métodos de Newton-Raphson e da secante para determinar a primeira raiz real positiva da 2

3 equação cosx) = x. R: A raiz da equação é a mesma da equação fx) = 0 para fx). = x cosx). De acordo com o método de Newton, vamos construir a seqüência {x k) } k=1 a partir da relação de recorrência x k+1) = Φ x k)), onde Φx) = x fx) xsenx) + cosx) f. Nesse exercício, Φx) =. x) 1 + senx) Como cosx) 0 no intervalo x [0, π 2 ] é natural a escolha x0) = π. Obtemos então 4 até o sexto dígito, x x 1) ; x 2) ; x 3) ; Pelo método da secante, a seqüência é construída a partir da relação de recorrência x k+1) = Φ x k), x k 1)), onde Φ x k), x k 1)). = x k) x k) x k 1) f x k)) f x k 1))f x k)). Agora serão necessárias duas aproximações iniciais para construir a seqüência. No nosso caso, Φ x k), x k 1)) = x k) Realizamos as escolhas x 0) = , x 1) = 1.2 e obtemos x k) x k 1)) x k) cos x k))) x k) x k 1) cos x k)) + cos x k 1)) x 1) ; x 2) ; x 3) ; x 4) ; até o sexto dígito, x ) Utilize os métodos de Newton-Raphson e da secante para determinar as duas raizes reais e positivas da equação x x 0.8 = 0 R: A raiz da equação é a mesma da equação fx) = 0 para fx) =. x x 0.8. De acordo com o método de Newton, vamos construir a seqüência {x k) } k=1 a partir da 3

4 relação de recorrência x k+1) = Φ x k)), onde Φx) = x fx) f x). Como xx e x ln x, temos que f x) = e x ln x lnx) + 1), portanto, nesse exercício, x lnx) + x 1 0.8x x Φx) =. De acordo com a derivada de f, podemos verificar que o mínimo da lnx) + 1 função ocorre em x = e 1 f e 1 ) = 0 e f e 1 ) = e 1) e 1 + e > 0) e nesse mínimo fe 1 ) Podemos concluir que fx) = x x 0.8 possuirá raizes próximas a e Realizamos a escolha x 0) = 0.1 e obtemos até o sexto dígito, x Realizamos a escolha x 0) = 0.5 e obtemos até o sexto dígito, x x 1) ; x 2) ; x 3) ; x 4) ; x 1) ; x 2) ; x 3) ; x 4) ; x 5) ; x 6) ; Pelo método da secante, a seqüência é construída a partir da relação de recorrência x k+1) = Φ x k), x k 1)), onde, no nosso caso, x k) Φ x k), x k 1)) x k 1)) x k) ) ) x k) 0.8. = x k) ) x k) x k) x k 1)) x k 1) Para a primeira raiz, realizamos as escolhas x 0) = 0.1, x 1) = 0.3 e obtemos x 1) ; x 2) ; x 3) ; x 4) ; x 4) ; x 4) ; até o sexto dígito, x

5 Para a segunda raiz, realizamos as escolhas x 0) = 0.4, x 1) = 0.6 e obtemos x 1) ; x 2) x 3) ; x 4) ; x 5) ; x 6) ; x 7) ; até o sexto dígito, x ) Determine as três raizes reais e positivas da equação cosx) = 0.02 x 2. R: A raiz da equação é a mesma da equação fx) = 0 para fx). = 0.02x 2 cosx). De acordo com o método de Newton, vamos construir a seqüência {x k) } k=1 a partir da relação de recorrência x k+1) = Φ x k)), onde Φx) = x fx) f x). Nesse exercício, Φx) = 0.02x2 + xsenx) + cosx). 0.04x + senx) Próximo à origem, a função cosx) é positiva nos intervalos de valores de x [0, π 2 ] [ 3π 2, 5π x 2 é crescente nesse intervalo, vamos buscar as raizes em algum ponto deles. Realizamos a escolha x 0) = π 4 e obtemos ], como x 1) ; x 2) ; x 3) ; x 4) ; até o sexto dígito, x Realizamos a escolha x 0) = 4.8 3π 2 e obtemos x 1) ; x 2) ; x 3) ; x 4) ; até o sexto dígito, x

6 Realizamos a escolha x 0) = π e obtemos até o sexto dígito, x x 1) ; x 2) ; x 3) ; x 4) ; x 5) Pelo método da secante, a seqüência é construída a partir da relação de recorrência x k+1) = Φ x k), x k 1)), onde, no nosso caso, Φ x k), x k 1)) = x k) x k) x k 1)) 0.02 x k)) 2 cos x k) )) x 0.02 ) k) 2 ) ) x k 1) 2 cos x k)) + cos x k 1)) Para a primeira raiz, realizamos as escolhas x 0) = , x 1) = 1.2 e obtemos x 1) ; x 2) ; x 3) ; x 4) ; até o sexto dígito, x Para a segunda raiz, realizamos as escolhas x 0) = 4.8, x 1) = 5 e obtemos x 1) ; x 2) ; x 3) ; x 4) ; x 5) ; até o sexto dígito, x Para a última raiz, realizamos as escolhas x 0) = 6.28, x 1) = 6.38 e obtemos x 1) ; x 2) ; x 3) ; x 4) ; x 5) ; x 6) ; x 7) ; até o sexto dígito, x