1 A Equação Fundamental Áreas Primeiras definições Uma questão importante... 7

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1 Conteúdo Áreas Primeiras definições Uma questão importante

2 EDA Aula 1 Objetivos Apresentar as equações diferenciais como prolongamento natural de esudos realizados no curso de Cálculo Introduzir conceitos e a nomenclatura usual de Equações Diferenciais, no contexto de problemas do Cálculo P Nobrega 2

3 Capítulo Áreas Comentário: O problema da área sob um gráfico de uma função contínua,estudado no curso de Cálculo I, é um dos problemas centrais daquele curso. Ele pode ser reformulado utilizando apenas noções de limites e derivadas. Ao fazer isso, estaremos ao mesmo tempo montando nosso primeiro modelo com equações diferenciais ordinárias. A primeira equação diferencial que vamos analisar é uma velha conhecida nossa. Vamos introduzi-la associada a um problema importante, resolvido no curso de Cálculo I: Problema 1: Calcular a área sob o gráfico de y = x 2, limitada pelas retas x = 1, x = 3 e y = 0. (conforme figura 1) Solução: Para cada nùmero 0, designemos por A( ) a área do conjunto {(x,y) R 2 0 x, 0 y x 2 }, 1 3 conforme figura 2 ao lado. Fica definida uma função-área, A : [0,+ ) [0,+ ) e a resposta do problema é simplesmente o n 0 A(3) A(1). 3 Figura 1.1

4 EDA OK! Só falta determinar a expressão de A(x). Fixemos um > 0 e tomemos um número positivo h. A área da faixa {(x,y) R 2 x +h, 0 y x 2 } é maior do que a área do retângulo cuja base mede h e cuja altura mede x 2 0 e menor do que a área do retângulo cuja base mede h e cuja altura mede ( +h) 2 (veja a figura 3) Assim, Dividindo por h: x 2 0 h A( +h) A( ) ( +h) 2 h, h > 0. ( +h) 2 x 2 0 Observamos agora que x 2 0 A( +h) A( ) h ( +h) 2, h > 0. lim h 0 +x2 0 = lim h 0 +( +h) 2 = x 2 0 Usando o Teorema do Sanduíche (Cálculo I), podemos concluir que A( +h) A( ) lim = x 2 h h +h Figura 1.2 Exercício 1.1 Mostre que A( +h) A( ) lim = x 2 h 0 0 h Conseqüentemente, existe o limite A( +h) A( ) lim = x 2 0 h 0 h, o que significa que a função-área é derivável no ponto e sua derivada é precisamente x 2 0. Ora, o ponto foi escolhido completamente ao acaso, e portanto o mesmo raciocínio é verdadeiro para qualquer escolha de. Ou seja A função-área que procuramos é derivável em (0,+ ) e x (0,+ ) A (x) = x 2. P Nobrega 4

5 Aula 1 Diremos que dy dx = x2 é a equação diferencial que modela matematicamente o problema proposto, ou simplesmente que é a equação diferencial do problema. Conforme sabemos do Cálculo I, qualquer função da forma satisfaz à equação (diferencial) acima. x 3 3 +C Para completar, observamos que a função que estamos procurando deve tender para 0 quando x 0. Essa condição amarra a única função que resolve o problema: A(x) = x 3 /3. Então a resposta do problema apresentado é 26/3 u.a Primeiras definições A parte do Cálculo chamada de Cálculo de Primitivas trata da determinação de soluções da equação diferencial dy/dx = f(x) para diferentes funções f. Definição 1.1 A equação dy dx = f(x), onde f é uma função contínua definida num intervalo I R, é às vezes chamada de equação fundamental Definição 1.2 Uma função derivável ϕ(x) definida no intervalo I (o mesmo onde está definida a função f da definição precedente) é uma solução da equação fundamental se, ao substituírmos y por ϕ na equação, obtemos uma igualdade verdadeira para todos os valores de x I O conjunto de todas as soluções da equação dy = f(x) é representado por dx 5 GMA-UFF

6 EDA f(x) dx Observação: Sabemos que se F(x) é uma solução da equação fundamental, em um dado intervalo, então todas as outras soluções da equação naquele intervalo são da forma F(x)+c, onde c é um número real que pode ser escolhido arbitrariamente. Dizemos que c é um parâmetro real 1. Quando F é uma primitiva de f em um intervalo, diz-se que a expressão F(x)+c é a solução geral da equação fundamental dy/dx = f(x) naque intervalo. Exemplo 1.1 Calcule f(x) dx = F(x)+c para cada uma das equações abaixo: a) f(x) = x 2 ; b) f(x) = cos 2 x c) f(x) = ln(x) x, x (0,+ ) Uma questão importante Nem sempre sabemos calcular uma primitiva da função f como uma combinação finita de funcões (elementares) conhecidas Exemplo 1.2 Tente, por exemplo, calcular uma função, ou uma combinação finita de funções, que seja uma primitiva da função contínua f(x) = e x2. Conselho amigo: Desista. Não existe uma tal função. E agora? Como vamos resolver a equação fundamental dy dx = ex2? Entretanto sabemos que toda funcão contínua f possui primitiva. E agora? 1 Otermoconstantede integração é,arigor,incorreto,poisumaconstanteéalgoquenão varia. Entretanto não vamos ser tão estritos, e freqüentemente falaremos em constantes de integração P Nobrega 6

7 Aula 1 É nesse hora que a integral de Riemann vem em nosso socorro, e nos dá um meio de construir(através do processo de limites de somas de Riemann) uma função que é solução da equação fundamental, isto é, é uma primitiva da funcão f. Suponha que f é contínua em um intervalo I, e seja I um ponto escolhido arbitrariamente. O Teorema Fundamental do Cálculo nos garante que F(x) = é uma solução de y = f(x). x f(t) dt A diferença é que, para cada x,o valor da integral de até x, de f é calculado pelo processo de limites de somas de Riemann. Não precisamos conhecer de antemão nenhuma primitiva de f. Exemplo 1.3 Resolva Resposta: y = definida. x t 0 e t2 dy dx = ex2 x R dt, onde t 0 é um ponto qualquer do intervalo onde e x2 está Exemplo 1.4 Resolva Observação: Use a fórmula vontade. Resposta: y(x) = C + x dy dx = e x2 1+x 2 x x R f(t) dt. Você pode escolher um ponto à sua e t2 1+t 2 dt Comentário: Em muitas aplicações a variável independente representa o tempo. Um tempo, fixado a priori, é referido como instante inicial, mesmo quando ele não é menor ou igual a todos os outros pontos do intervalo onde a equação está definida. Inicial aqui refere-se ao instante inicial de observações, e não necessariamente ao instante em que o evento descrito pela equação começou a ocorrer. 7 GMA-UFF

8 EDA Quando é dado um problema matemático cujo modelo é uma EDO num intervalo, e é especificado o valor y 0 que a solução deve assumir num ponto do intervalo, dizemos que estamos na presença de um problema de valor inicial ; abreviadamente PVI. Exemplo 1.5 Calcule f(x) dx = F(x)+c. Em seguida calcule c para que a solução y satisfaça à condição extra apresentada, para a) f(x) = x 2, y(2) = 0; R : y = 1 3 (x3 8) b) f(x) = cos 2 (x), y(π) = π/2; R : y = sen(2x) P Nobrega 8