MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

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1 MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS Considere a função f x : R R tal que y = f(x). Então: Derivada: Mede a taxa de variação de f em relação a variável x que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f. Notação: f x, f x ou df x dx A derivada f a é o coeficiente angular da reta que melhor aproxima a função no ponto (a, f a ). Diferencial: df x dx = f x df x = f x dx Vamos usar o diferencial como na definição acima. O uso da diferencial permite resolver problemas envolvendo mudança de variáveis (como regra de cadeia e integração) com facilidade.

3 CONCEITO DE INTEGRAÇÃO A integração é a operação que nos dá a função quando conhecemos sua diferencial. Considere: Note que as funções acima: Função Derivada Diferencial y = x 2 4 dy dx = 2x dy = 2x dx y = x 2 dy dx = 2x dy = 2x dx y = x dy dx = 2x dy = 2x dx y = x 2 + C dy dx = 2x dy = 2x dx diferem entre si apenas no termo constante; possuem a mesma diferencial.

4 CONCEITO DE INTEGRAÇÃO Dada diferencial dy = 2x dx podemos encontrar as infinitas funções que a produziram, através da relação inversa. A integral indefinida de dy = 2x dx é dada por: dy = 2x dx y = x 2 + C

5 CONCEITO DE INTEGRAÇÃO Considere: d a relação que leva a função à sua derivada; d 1 a relação inversa de d. então d 1 leva a derivada às infinitas funções correspondentes.

6 INTEGRAL INDEFINIDA f x dx = F x + C Integrando Constante de integração (pode assumir infinitos valores) Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição inicial. F x F x + C é a solução geral; + 10 é uma solução particular C = 10 é obtido pela fixação de uma condição inicial.

7 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE C Problema: Determine a equação da família de curvas sabendo-se que o declive da tangente a ela em qualquer de seus pontos é o dobro da abcissa do ponto considerado. O declive a da tangente à curva é a derivada da função (curva) no ponto considerado, logo: De acordo com o problema: a = 2x dy dx = 2x dy = 2x dx a = dy dx Integrando: dy = 2x dx. Assim, y = x 2 + C.

8 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE C Uma vez que y = x 2 + C Para C = 4, y = x 2 4. Para C = 0, y = x 2. Para C = 2, y = x Representação gráfica

9 A CONSTANTE C A constante C de integração é a altura onde a curva intercepta o eixo das ordenadas. Considerando o problema anterior, pede-se: Determine a curva da família que passa pelo ponto 1, 3. A equação da família de curvas é: y = x 2 + C. Da condição fixada, y = 3 e x = 1, então: 3 = 1 + C C = 2. Portanto a curva é a parábola: y = x

10 PROPRIEDADES P1: Considere a uma constante, assim a f x dx = a f x dx Exemplo. Determine 4x dx. 4x dx = 2 2x dx = 2 2x dx = 2x 2 + C

11 PROPRIEDADES P2: A integral da soma é igual a soma das integrais. du + dv dt = du + dv dt. Exemplo: Determine 3x 2 4x 3 6 dx 3x 2 4x 3 6 dx = 3x 2 dx 4x 3 dx 6dx sendo C = C 1 + C 2 + C 3. = x 3 + C 1 + x 4 + C 2 + 6x + C 3 = x 4 + x 3 6x + C,

12 INTEGRAIS IMEDIATAS 1. k dx = kx + C, sendo k uma constante real 2. x n dx = xn+1 n+1 + C, n 1 3. dx = x + C 4. dx x = 1 x dx = ln x + C 4.1. u dx u = u u dx = ln u + C, sendo u uma função de x 5. a x dx = ax ln a + C 6. e x dx = e x + C

13 INTEGRAIS IMEDIATAS 7. sen x dx = cos x + C 8. cos x dx = sen x + C 9. sec 2 (x) = tg(x) + C 10. cossec 2 x = cotg x + C 11. sec x tg x dx = sec x + C 12. cossec x cotg x dx = cossec x + C x 2 +1 dx = tg 1 x + C x 2 dx = sen 1 x + C

14 EXERCÍCIOS Determine: a) 2x 9 dx b) 3x dx c) 8x 3 6x 2 + 5x 1 x3 + x x 2 dx d) 3 x 2 3 x + 2 dx e) 2x dx x 2 +1

15 SOLUÇÃO EXERCÍCIO A) a) 2x 9 dx Note que então d 2x dx = 2 d 2x = 2dx 2x 9 dx = 2x 9 dx 2 2 = 1 2 2x 9 2dx 2x 9 dx = 1 2 2x 9 d 2x = 1 2 d 2x 2x 9+1 (9 + 1) + C 2x 9 dx = 2x C.

16 SOLUÇÃO EXERCÍCIO B) b) 3x dx Note que então d 3x + 1 dx = 3 d 3x + 1 = 3dx 3x dx = 3x dx 3 3 3x dx = 1 3 3x dx d 3x + 1 3x dx = 1 3 3x d 3x + 1 3x dx = 1 3 3x C 3x dx = 3x C.

17 SOLUÇÃO EXERCÍCIO C) c) 8x 3 6x 2 + 5x 1 x3 + x x 2 dx 8x 3 6x 2 + 5x 1 x3 + x x 2 dx= = 8x 3 dx 6x 2 dx + 5x dx x 3 dx + x 3 2 dx 2 dx = = 8 x 3 dx 6 x 2 dx + 5 x dx x 3 dx + x 3 2 dx 2 dx = = 8 x3+1 6 x x1+1 x x(3 2) x0+1 + C = = 8 x4 6 x3 + 5 x2 x 2 + x x + C x x 1 x 3 + x x 2 dx = 2x4 2x x x 2 + 2x2 5 x 2x + C.

18 SOLUÇÃO EXERCÍCIO D) d) 3 x 2 3 x + 2 dx 3 x 2 3 x + 2 dx = 9x 4 dx = 9x dx 4 dx = 9 x dx 4 dx = 9 x x C 3 x 2 3 x + 2 dx = 9 2 x2 4x + C.

19 SOLUÇÃO EXERCÍCIO E) e) 2x dx x 2 +1 Considere u = x logo u = 2x então de 4.1 temos que 2x dx x = ln x C.