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1 I - Integrais Indefinidas ā Lista de Cálculo I - POLI - 00 Calcule as integrais indefinidas abaixo. Para a verificação das resposta lembre-se que f(x)dx = F (x), k IR F (x) = f(x), x D f.. x7 + x + x dx. e x dx. cos7x dx 4. tg x dx. 7 x dx 6. tg x sec x dx 7. sen x cosx dx 8. tg x dx 9. tg x dx 0. x x x dx. dx. + x + x4 + x dx. x x dx 4. secx dx. x + ln x dx 6. x x + dx 7. 4x + 8 x + 8x + 0 dx 8. ln x dx x 9. dx (arcsenx) 0. ex senx dx. x + ex + cos x dx. e x x dx. e x + e x dx 4. sen x x. earctg x + x dx 6. x(x + ) 00 dx 7. x senx dx 8. e x cosx dx 9. x r ln x dx, r IR 0. (ln x) dx. xe x dx. xarctg x dx. arcsenx dx 4. sec x dx. cos x dx 6. sen x cos x dx 7. sen x cos x dx 8. senx cosx dx dx 9. x + 4x + (x )(x )(x ) dx 40. x + 8x + 0 dx 4. x + 4x + (x ) (x ) dx 4. x + x + dx x 8 4. x x dx 44. x x dx 4. e x dx

2 46. ln(x + + x ) dx 47. dx x + x 48. x ln x dx 49. sen(ln x) dx 0. x x 4 dx. x + x + 4 x + x + x dx. a + b x dx. a + b x dx 4. x x + dx. x x dx 6. ( + x ) x dx 7. cos x dx 8. sen x dx 9. cos x sen x dx 60. sen ( x ) cos ( x ) dx 6. sen x cos x dx 6. sen 4 x dx 6. sen x cos x dx 64. sen x cos 4 x dx 6. cos 6 (x) dx 66. cos x sen 6 x dx 67. x sen x cos 4 x dx x dx 69. x x dx 70. x + arctg x x (x + 4) dx 7. dx x (Dica: Faça u = 6 x) II - Aplicações da Integral Definida. Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de f(x) = x x + e g(x) = x +, com x. (Resp.: ). Desenhe a região A = B C D e calcule a área de A, onde B = {(x, y) IR : y x 4}, C = {(x, y) IR : y x } e D = {(x, y) IR : y x + x + } (Resp.: 04/). Desenhe a região A = {(x, y) IR : y x, y x + e y x x } e calcule a sua área. (Resp.: 07/4) 4. Sejam f : [, ] IR contínua com f(x) 0, para todo x [, ], A = {(x, y) IR : x e y f(x)} e B = {(x, y) IR : x e y x + }, tais que a área de A B seja igual a. Calcule f(x)dx. (Resp.: -/)

3 . Determine m > 0 para que a área delimitada por y = x, y = x / e a reta y = mx seja igual a 4. (Resp.: m = ) 6. Desenhe a região do plano delimitada pela curva y = x x e por sua reta tangente no ponto de abscissa x =. Calcule a área desta região. (Resp.: 7/4) 7. Encontre a área da região limitada entre as curvas x = y y e x = y 4. (Resp.: 8/) 8. Calcule 0 (x + x )dx, interpretando-a como uma área. (Resp.: π/4 + /) 9. Calcule x sen(x + )dx. (Resp.: 0) 0. Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h.. Considere o sólido cuja base é o astróide de equação x / + y / = a / e tal que as seções transversais por planos paralelos ao plano Oxz são quadrados. Calcule seu volume. (Resp.: 8 0 a ) ( π. Calcule lim sen π n + n n + senπ n sen(n )π n ). (Resp.: ). Se uma força constante de magnitude F for aplicada na direção do movimento de um objeto e se esse objeto mover-se uma distância d, definimos o trabalho W realizado pela força sobre o objeto como sendo W = F.d, se a força agir no sentido do movimento e F.d, se agir no sentido oposto. Suponha agora que um objeto move-se na direção positiva ao longo do eixo x, sujeito a uma força variável F (x). Defina o trabalho W realizado pela força sobre o objeto quando este se move de x = a até x = b e encontre uma fórmula para calculá-lo. 4. Energia cinética. Use as notações do exercício anterior, a segunda lei de Newton e a regra da cadeia dv dt = dv dx dx dt = v dv dx

4 para mostrar que o trabalho realizado por uma força F atuando sobre uma partícula de massa m que se moveu de x até x é W = x x F (x)dx = mv mv, onde v e v são as velocidades do corpo em x e x. Em Física, a expressão (/)mv é chamada de energia cinética de um corpo em movimento com velocidade v. Portanto, o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética do corpo e podemos determinar o trabalho calculando esta variação.. Calcule o comprimento do gráfico de f(x) = ln(cosx), para 0 x π/4. (Resp.: ln(( + )) 6. Calcule o comprimento da astróide cuja equação é x / + y / = a /. (Resp.: 6a) 7. Calcule a área da região interna ao laço formado pela curva y = x (x + ). (Resp.: 4 ) 8. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo Ox do conjunto a) A = {(x, y) IR : 0 xy, x + y e x > 0} [ (Resp.: π 0 ( x )dx + 4 x dx + ] ( x )dx =...) b) A = {(x, y) IR : y x e (x ) + y π } (Resp.: 6 ) c) A = {(x, y) IR : 0 x e e x y e x π } (Resp.: (e e ) ) 9. Sejam S o sólido limitado pela esfera de centro na origem e raio e S o sólido obtido pela rotação de A = {(x, y) IR : 0 x 9 e y x} em torno do eixo Ox. Determine o volume do sólido S = S S. (Resp.: V (S S ) = π [ x0 0 xdx + x 0 (4 x )dx ] =... onde x 0 = Seja A = {(x, y) IR : x + (y ) }. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno do eixo Ox. (Resp.: 4π ) ) 4

5 . Seja A = {(x, y) IR : 0 x e ln(x + ) + y e x + 4}. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y =. (Resp.: π [ 0 (ex + ) dx 0 ln (x + )dx ] =...). O disco x + y a é girado em torno da reta x = b (b > a) para gerar um sólido, com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu a volume. (Sugestão: Note que a y dy = πa a.) (Resp.: (πb)(πa )). Calcule o volume( de uma calota esférica de altura h, (h a) de uma esfera de raio a. (Resp.: π a h ) h ) 4. Determine o comprimento da curva y = cosh x, x 4. (Resp.: senh4 + senh). Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco através do centro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R. III - Miscelânea

6 . Seja f : IR IR uma função contínua e periódica de período L (L > 0) (isto é, f(x + L) = f(x), x IR). Seja n Z. Prove que: L f(x)cos ( nπ L L L x ) dx = a+l f(x)cos ( nπ L a L x ) dx.. Seja f uma função contínua em um intervalo [a, b] e sejam u(x) e v(x) funções diferenciáveis, cujos valores estão em [a, b]. Então d v(x) f(t)dt = f(v(x)) dv dx u(x) dx f(u(x))du dx. A fórmula acima é conhecida como Regra de Leibniz.. Calcule g (x) onde (a) g(x) = (b) g(x) = 4. Calcule π/ 0 sen x cos x x x e t dt sen(t )dt (Resp.: ( π+ + A)) senx cosx π x + dx em termos de A = cosx 0 (x + ) dx.. A temperatura ( de) uma localidade, em um certo dia, foi modelada por T (t) = t 6 6+7sen 6 π com t expresso em horas, 6 t e T (t) em graus Celsius. Determine a temperatura média deste local, neste dia. (Resp.: (6 + 4 π )o C) 6. Fixe um ponto P = (cosht, senht) sobre o ramo da hipérbole x y = com x. Mostre que a área da região A hachurada (compreendida entre o gráfico da hipérbole, o eixo x, e a reta que liga P à origem) é t. Observação: Note que a área da região B hachurada abaixo também é t, onde P = (cost, sent) é um ponto qualquer da circunferência x + y =. 6

7 7. Sabe-se que a intensidade da força de atração entre duas partículas é dada por F = Cm m d onde C é uma constante, m e m são as massas das partículas e d é a distância entre elas. Uma barra linear homogênea de massa M = 8Kg e uma massa pontual M = Kg estão dispostas como na figura. Calcule a intensidade da força de atração entre as duas massas. (Resp.: 4 C) 8. Encontre uma função f contínua no intervalo (0, + ) e um número real C tal que (Resp.: f(x) = 9. Considere a função: x x ; C = ln ) + x F (x) = x Prove que para todo a > 0 e x > 0 vale: (a) F (x) = x (b) F (ax) = F (a) + F (x) f(t) t dt = ln( + x ) + C dt para todo x > 0. t (Observe que poderíamos ter definido a função logaritmo natural como sendo essa função F ). 7

8 0. Seja f uma função contínua em um intervalo I contendo a origem e seja y = y(x) = x 0 sen(x t)f(t)dt Prove que { y + y = f(x) y(0) = y (0) = 0. Ache o volume da interseção de dois cilindros, ambos de raio R e cujos eixos são ortogonais. (Resp.: 6 R ) RESPOSTAS DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS I - Integrais Indefinidas ) x6 6 + x ex ) x ) sen7x 7 4) tgx x ) 7 ln x 6) tg4 x 4 7) ( cos cosx ) x 8) ln cosx 8

9 9) tg x + ln cos x 0) ln( + x ) ) arctg x ) x arctg x ) ( x ) 4) ln secx + tg x ) + ln x 6) (x 8 + ) 6 7) ln(x + 8x + 0) 8) (ln x) 9) ln arcsen x 0) ln( + e x ) ) ln( + cos x) ) ex ) ( + e 4 x ) 4 4) cos x ( x + ) e arctg x 6) (x + ) ) 004 7) xcosx + senx 8) ex (senx + cosx) x r+ 9) r + lnx xr+ se r (r + ) (lnx) se r = 0) x(ln x) (x ln x x) ) ( x )e x ) x arctg x x + arctg x ) xarcsen x + x 4) sec xtg x + ln sec x + tg x ) (x + sen xcos x) 6) sen x 7) 8 sen x ( x sen4x ) 8) ln + senx 4 9

10 9) 6 ln x ln x + ln x 40) 6 arctg ( x + 6 ) 4) ln x + + ln x x 4) x + [ ( ) ] 6 x + ( ) x + ln x + 4 ln + + arctg 4) arcsenx x x 44) x 8 (x ) x + 8 arcsenx 4) ( x )e x 46) x ln(x + + x ) + x 47) ln x + x + x 48) ( x x ln x ) 49) x [sen(ln x) cos(ln x)] 0) ln x 4 ) ln x + ln(x + x + ) + arctg x + ) x [ a + b x + a bx b ln a + ) [ ] bx b ln a + a + b x a ] a + b x a 4) x x x + + ln(x + x x + ) +k ( x + ) 6) ) ( x + x x + arcsen ) ( ) x arctg 7) senx x sen x 8) cos x + cos x cos x 9) sen x ln senx sen x 60) ( x ) ( x ) tg x 4 cos8 cos6 6) + ln tgx tg x 4tg 4 x 0

11 6) x 8 sen(x) + sen(4x) 4 6) sen x sen x + sen7 x 64) x 7 6 sen(4x) + sen (x) ) 6 x + sen(6x) + 64 sen(x) sen (6x) 44 66) cotg x cotg x 67) tgx + tg x cotg(x) 68) arc sen x + x 69) x + x x + 6 ln 6 x 70) 4 ln x 4x 4 [ ln(x + 4) + arctg(x )] 7) arctgx x + ln x ln + x

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