Universidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte II
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1 Cálclo Diferencial e Integral II Página Universidade de Mogi das Crzes UMC Campos Villa Lobos Cálclo Diferencial e Integral II Parte II Engenharia Civil Engenharia Mecânica marilia@mc.br º semestre de 0
2 Cálclo Diferencial e Integral II Página. Primitiva o Antiderivada.. Definição Uma fnção F ( ) é chamada ma primitiva o antiderivada da fnção f( ) em m intervalo I, se para todo I, temos F ' ( ) f ( ).... Eemplo F ( ) é ma primitiva da fnção f ( ). Verificação: F( ) F ( ). Portanto, F ' ( ) f ( ) Ressaltamos qe qando não for eplicitado o intervalo, sbentende-se qe a primitiva e a fnção estão nm mesmo intervalo I... Definição Se F ( ) e G ( ) são primitivas de f( ) no intervalo I, então eiste ma constante c tal qe F( ) G( ) c para todo I. fnção f ( )... Eemplo. As fnções Verificação: G ( ) e H também são primitivas da ( ) ( ) ' G( ) G ( ). Portanto, G ' ( ) f ( ) ' H( ) ( ) H ( ). Portanto, H ' ( ) f ( ) ma primitiva de F( ) c. f ( ) Notamos qe, se c é ma constante arbitrária, então. Assim, há ma família de primitivas de F( ) c é f ( ) da forma
3 Cálclo Diferencial e Integral II Página G( ) H ( ) c ( ) ( ) c c c encontrar ma, encontramos todas. Apesar da eistência de infinitas primitivas para a fnção f( ), ao F ( )... Interpretação Geométrica Os gráficos das primitivas G ( ), H( ), etc, são paralelos ao gráfico da primitiva.. Eercícios. Verifiqe se F ( ), G ( ) e H( ) são primitivas de f( ) no intervalo I. Faça os gráficos das primitivas.
4 Cálclo Diferencial e Integral II Página..Dados F( ), G ( ), H( ) e f ( )...Dados F( ), G( ), H( ) e f( ).
5 Cálclo Diferencial e Integral II Página.Determine as primitivas das fnções dadas:.. f ( ) X.. f ( ) X.. f ( ) X.. f( ) X.. f ( ) 7 Xcc.6. f ( ) sen cos Xc
6 Cálclo Diferencial e Integral II Página 6.7. f( ) 7 Xmm.8. f ( ) Ccc.9. 7 f( ) 7 X Respostas:.. F ' ( ), G ' ( ), H ' ( ).. F ' ( ), G ' ( ), H ' ( ).. F( ) c.. F arctg c.. ().7... F( ) c F( ) c.. F( ) c.6. F( ) cos sen c F( ) 7 c 6 8 F( ) c.9. F( ) c 6 8
7 Cálclo Diferencial e Integral II Página 7. Integral Indefinida.. Definição Se F ( ) é ma primitiva da fnção ( ) f no intervalo I, a epressão F( ) c é chamada integral indefinida da fnção f( ) e é denotada por f ( ). d F( ) c, em qe: : sinal de integração f( ): fnção integrando d : identifica a variável de integração, nesse caso f ( ). d : integrando F ( ): primitiva de f( ) c : constante de integração A integração é m processo qe permite achar a integral indefinida de ma fnção. É indefinida porqe f ( ). d representa a família de fnções primitivas da fnção integrando (e não ma fnção específica)... Conseqência da Definição f d F c F f ' ( ). ( ) ( ) ( ).. Teoremas Sejam f, g : I R, para qalqer c constante. T) c. f ( ). d c. f ( ). d T) ( f ( ) g( )). d f ( ). d g( ). d T) f ' ( ). d f ( ) c T) f ( ). d' f ( )... Eemplos T) Dada a fnção f ( ) temos: c. f ( ). d.. d c
8 Cálclo Diferencial e Integral II Página 8 c. f ( ). d.. d.. d. c c T) Dadas as fnções f ( ) e g ( ) temos: f g d d d c f ( ). d ( ). d c g( ). d ( ). d c f ( ). d g( ). d c ( ( ) ( )). (( ) ( )). ( ). T) Dada a fnção f ( ) temos: f ' ( ) ' f ( ). d. d.. d. c c f ( ) c T) Dada a fnção f ( ) temos: f ( ). d. d c ' '. ( ). ( ) f d c f.. Eemplos Calcle a integral indefinida das fnções:... d c d c d d c. c. c
9 Cálclo Diferencial e Integral II Página 9 d. d c c. cos d sen c 6. send cos c.. Fórmlas de Integração. d c. d ln c. d c, constante e. a a d c ln a e d e c. 6. send cos c 7. cosd sen c sec d tg c cosec d cot g c 0. sec. tgd sec c. co sec. cotgd cos ec c... d arcsen a a d arctg c a a a d arcsec a a a c c
10 Cálclo Diferencial e Integral II Página Eemplos ( cos ). Calcle as integrais indefinidas: d d d d c sen c c sen c sen c ( cos ) cos ( ) ( ) c c c Sendo.. d (8 6 ) (8 6 ) d 8 d 6 d d 8 6 c 6 c c... Eercícios. Calcle as integrais indefinidas:.. ( ) d ZZ.. sec d.. d ZZ.. d.. d.6. d
11 Cálclo Diferencial e Integral II Página.7. d.8. ( ) d.9. (sec tg cosec ) d.0. sec d cosec.. ( ) d.. ( ) d.. (9 t ) t dt
12 Cálclo Diferencial e Integral II Página sss.. ( ) d.. ( ) d.6. d sen.7. ( y ) dy y Respostas.. tg c.. c.. c.. c.. c.6. c.7. c.9. sec cot c.8. c.0. sec c.. ln 6 c c.. t c.. c.. 9 t c.6. cot g c.7. y y c
13 Cálclo Diferencial e Integral II Página. Técnicas de Integração.. Integração por Sbstitição Emprega-se este método qando temos ma integral em qe ma parte do integrando é a derivada de otra parte, eceto por m fator constante. Tem esse nome porqe depende de ma sbstitição de variável para simplificar o problema. Seja F ( ) ma primitiva de f( ), portanto F '( ) f ( ). Consideremos ma otra fnção g, derivável com imagem contida no domínio de F. Podemos calclar a composta f g: ' F( g( )) ' F '( g( )). g '( ) f ( g( )). g ( ) Consideramos, então, F( g( )) ma primitiva de f g ' ( ( )). ( ) g e escrevemos: do integrando... d 6d ' f ( g( )). g ( ) d F ( g( )) c Para g( ) e d g '( ) d, reescrevemos a integral: ' f ( g( )). g ( ) d f ( ) d F( ) c Na prática, procrar ma fnção g( ) tal qe a sa derivada seja a otra parte... Eemplos ( ) 6.Calclar as integrais pelo método da sbstitição: d ( ) ( ) 6d d c c.. d d cos( ) d cos( ) cos ( ) d d sen c sen c.. d d e d
14 Cálclo Diferencial e Integral II Página e e d d e d e c e c.. d d d d d d ln c ln( ) c... Eercícios.Calclar as integrais pelo método da sbstitição:.. 0 ( ) ( ) d d.. ( ) 7 d d.. d d
15 Cálclo Diferencial e Integral II Página.. d d.. t t ( e ) e dt d.6. t e dt t e d.7. tgsec d d.8. sen cos d d
16 Cálclo Diferencial e Integral II Página 6.9. sen d cos d.0. y dy y d.. d ( ) 8 d.. ( sec ) d d
17 Cálclo Diferencial e Integral II Página 7. d d. e d d.. sen cos d d.6. sen ( 7) d d.7. tgd d
18 Cálclo Diferencial e Integral II Página 8.8. e d d.9. d d.0. 7sen7d d.. cosd d.. e d d
19 Cálclo Diferencial e Integral II Página 9.. ( ) 7 d d sen.. e cos d d.. ( 7) d d.6. e d d.7. cosd d
20 Cálclo Diferencial e Integral II Página 0 Respostas: 8 ( ) c.. ( ) c.. ( ) 8 c.. t ( ) c.. ( t.6. ln( e ) c e ) c 9 8 tg sen.7. c.8. c.9. sec c.0. y c.. c 7.. tg c ( ).. ln( ) c.. e c sen.. c.6. cos( 7) c.7. ln cos c.8. e c cos 7 c sen ( ) c.. c 8 sen.. e c ( ).. e c.. c 8 6 ( 7).6. e c.7. sen c.. c 6
21 Cálclo Diferencial e Integral II Página. Aneos.. Tabelas... Relações Trigonométricas 0 0 sen cos - Relação Fndamental 08 cot g t g sen 09 tg cos cos tg 0 tg sec 0 tg sen tg 0 cotg cossec sen sen.cos 0 cos sec sen cos 06 cos cos sec cos sen 07 cos cot g sen... Otras Relações Trigonométricas cos( ) cos sen 6 tg( ) tg tg cos( ) cos 7 cos( ) cos cos 8 cos( ) sen 9 sen( ) sen sen 0 sen( ) sen cos tg tg tg( ) tg Fnção Composta Se y g( ), f ( )... Regra da Cadeia, temos y g f ( ) Derivada dy dy d. d d d... Integral Definição f d F c F f ' ( ). ( ) ( ) ( )... Integral Propriedades c. f ( ). d c. f ( ). d ( f ( ) g( )). d f ( ). d g( ). d
22 Cálclo Diferencial e Integral II Página..6. Técnica de Integração por partes dv v vd..7. Derivadas e Integrais Spondo a e constantes e e v fnções deriváveis de e c : DERIVADAS Pp 0 y c y' 0 0 y y' 0 y c. y' c. ' 0 y v y' ' v' 0 y. v y' '. v. v' 06 '.. ' ' v y y v v v y y '.. ', y a y ' a.ln a. ', 0 e 09 y e y' e. ' 0 ' y log a y '.log ae ' y ln y ' v v v y y ' v. '.ln. v', 0 y sen y' cos. ' y cos y' sen. ' y tg y ' sec. ' 6 y cot g y' cossec. ' 7 y sec y' sec. tg. ' 8 y cos ec y' cos ec.cot g. ' 9 ' y arcsen y ' 0 ' y arccos y ' ' y arc tg y ' ' y arc cotg y ' Pp D PP 0 d c INTEGRAIS d ln c d c a a d c ln a e d e c 0 06 send cos c 07 cosd sen c 08 sec d tg c 09, constante e cosec d cot g c 0 sec. tgd sec c co sec. cotgd cos ec c 6 d arcsen a a d arctg c a a a d arcsec a a a d a ln c, a a a d a ln c, a a a 7 c c a a d a ln c a a 8 a a d a ln( a ) c
23 Cálclo Diferencial e Integral II Página.. Trigonometria NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ^ b sen B a ^ c cos B a Teorema de Pitágoras: a b c ^ b tg B c ^ c cotg B b Ss Seno Cosseno Tangente RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ESPECIAIS 0º ( /6) º ( / ) 60º ( / Cotangente Lll FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 0 sen( ) cos( ) 0-0 tg( ) 0 Não eiste 0 Não eiste 0 ÇÇ ) CICLO TRIGONOMÉTRICO
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