Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. f(x) = ex x = 0

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM - TURMA EL Nome Legível RG CPF Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. Questão. Considere a função a) (0.5 pt) Encontre o domínio de f f() = e Demonstração. D(f) = { R : 0} b) (0.5 pt) Encontre, se houverem, as assíntotas horizontais e verticais de f Demonstração. Assíntotas horizontais: Pela Regra de L Hospital: + = = + = + e = + Por outro lado, para avaliar o ite fazemos a mudança de variável h =. Dessa maneira, h + quando e assim = e h h + h = h + h e h = = 0 o que mostra que a reta y = 0 (ou eio ) é uma assíntota horizontal quando. Assíntotas verticais: 0 = 0 = 0 + = 0 + = + e assim a reta = 0 (ou eio y) é uma assíntota vertical.

2 c) (0.5 pt) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f Demonstração. Encontrando os pontos críticos de f: f () = e = e ( ) = 0 ( ) = 0 = 0 =, pois > 0 R Ou seja, = é um ponto crítico de f. Apesar que f não está definida para = 0, 0 não é ponto crítico de f, pois 0 D(f). E assim Logo f () < 0 para (, 0) f () < 0 para (0, ) f () > 0 para (, + ) < 0 0 < < > f () Tabela : Sinais de f f é decrescente em (, 0) e (0, ) f é crescente em (, + ) d) (0.5 pt) Encontre, se houverem, os máimos e mínimos locais de f Demonstração. De posse que f () < 0 para (0, ) e f () > 0 para (, + ), então = é um ponto de mínimo local pelo teste da derivada primeira e f() = e = e é o valor mínimo local associado. e) (0.5 pt) Encontre os intervalos de concavidade de f

3 Demonstração. f () = [e ( ) + ] [ ( )] ( ) = [e + ] [ ] 4 = = e ( + ) 4 = e ( + ) 3 = 0 ( + ) = 0 = 0 ou + = 0 Como > 0 para todo, resta qu + = 0. Mas = ( ) 4 = 4 8 = 4 < 0 e como < 0, isto mostra qu + não tem raiz e nunca corta o eio. Logo, + 0 para todo. Isto mostra que f () 0 para todo. Assim Segue que Logo f () < 0 para (, 0) f () > 0 para (0, + ) < 0 > f () - + Tabela : Sinais de f f é côncava para baio em (, 0) f é côncava para cima em (0, + ) f) (0.5 pt) Encontre, se houverem, os pontos de infleão de f Demonstração. Do item anterior, vemos que f muda de concavidade em = 0 e este seria o ponto candidato a ser ponto de infleão. Porém, 0 D(f) e assim f não possui ponto de infleão. 3

4 Figura : Esboço do gráfico de f() = e g) (0.5 pt) Esboce o gráfico de f Demonstração. Veja a Figura. Questão. Resolva as integrais indefinidas 9 a) (.5 pt) d Demonstração. Mediante a substituição trigonométrica = 3 sen θ para θ [ π/, π/]. temos que d = 3 cos θdθ e assim sen θ cos θ 9( sen θ) d = 3 cos θdθ = dθ 3 sen θ sen θ cos θ 9 cos θ 3 cos θ sen = dθ = sen θ sen θ dθ = 3 θ dθ sen θ ( ) [ = 3 sen θ sen θ ] dθ = 3 sen θ dθ sen θdθ [ ] = 3 cossec θdθ sen θdθ [ ] = 3 ln cossec θ cotg θ ( cos θ) + C [ ] = 3 ln cossec θ cotg θ + cos θ + C Note qu = 3 sen θ sen θ = 3 = cateto oposto hipotenusa. 4

5 Figura : Triângulo da substituição trigonométrica Montando o triângulo da substituição trigonométrica (Figura ) e aplicando o teorema de Pitágoras, temos que a = 9. Das definições trigonométricas, temos que Por fim cateto adjacente 9 cos θ = = hipotenusa 3 cossec θ = sen θ = hipotenusa cateto oposto = 3 cotg θ = cateto adjacente 9 = = tg θ cateto oposto 9 [ ] d = 3 ln cossec θ cotg θ + cos θ + C [ = 3 ln ] + + C 3 b) (.5 pt) 07 ln d Demonstração. Integrando por partes, tome u = ln e dv = 07 d. Então du = 08 d e v = 08 e assim 5

6 07 ln d = ln d = 08 ln 08 = 08 ln d C c) (.5 pt) ( )( + ) d Demonstração. Separando ( )( + ) = A + por frações parciais ( )( + ) B + + C ( + ) = A( + ) + B( )( + ) + C( ) ( )( + ) = A( + ) + B( )( + ) + C( ) = = A 0 + B 0 + C ( ) = 3C C = 3 = = A ( + ) + B 0 + C 0 = 9A A = 9 = 0 0 = 9 (0 + ) + B (0 )(0 + ) + (0 ) 3 0 = 4 9 B 3 B = = = 9 B = 9 Portanto ( )( + ) d = 9 d 9 + d + 3 ( + ) d Observe que mediante a substituição u = + du = d e assim ( + ) d = u du = u du = u = u + C = + + C Logo 6

7 ( )( + ) d = 9 ln 9 ln + + ( 3 = 9 ln 9 ln C ) + C Questão 3. (.5 pt) Calcule a integral definida 0 + d Demonstração. Ponha u = + du = d du = d. Logo 0 + d = 0 = u d = + = u3/ 3/ 0 + = = 3 3 = 3 3 u du = = 3 u3/ u / du Questão 4. Considere a região R deitada pelas curvas y = 4 e y = +3. a) (0.5 pt) Esboce a região R Demonstração. Para encontrar os pontos de interseção das curvas, igualamos suas equações 4 = = = 0 3( ) = 0 { = 3( )( + ) = 0 = são os pontos de interseção procurados. Portanto, o esboço da região R pode ser visto na Figura 3, onde a curva azul (por cima) é y = + 3 e a curva vermelha (por baio) é y = 4. 7

8 Figura 3: Esboço da região R b) (.0 pt) Encontre a área da região R Demonstração. Do item anterior A = [( + 3) 4 ]d = = ( ) [ ( ) ( )] = 4 ( 3 + 3)d =