x lim, sendo: 03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique.

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A 008. A LISTA DE EXERCÍCIOS 0. Esboce o gráfico de f, determine f ( ), f ( ) e, caso eista, f ( ) : a a a, >, e a) f ( ) =, = (a = ) b) f ( ) =, = (a = ), <, <, 0, c) f ( ) = ( a = 0 ) d) f ( ) = (a = - ), < 0 0, = 0. Determine, se possível, a R, para que eista f ( ), sendo: o, > ( )( ) a) f ( ) =, = ( o = ) b) f ( ) = 5 a, < a,, = ( o = ) 0. Considere as funções do eercício 0. Verifique se f é contínua em = a. Justifique. 0. Para cada função f a seguir, determine D(f) e, se possível, a função g: R? R, tal que g é contínua e g() = f(), para todo D(f): 9, > a) f ( ) = b) f ( ) =, < 05. Calcule os ites a seguir, a) ( y y y ) y 5 b) (log w ln w ) w 0 c) e ( ) d) π / sen cos e) f) g) / 8 h) ( e 6 )( 8 ) i) j) y y y y k) 5 5 l) m) 8 8 n) Determine, se possível, as constantes a, b e c R, de modo que f seja contínua em 0, sendo:

2 a) f ( ) b, = b, = ( 0 = ) b) f ( ) = a b,,, > - = - < - ( 0 = - ) 07. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede: ln, > 0 a) f ( ) = e, 0 f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), - - e intervalos onde f é contínua. ( / ), > 0 b) f ( ) = /, < 0 f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), log /, > 0 c) f ( ) = 0, = 0, < 0 f ( ), f ( ), f ( ), f ( ) estude a continuidade de f em = 0. f ( ), f ( ) f ( ), d) f() = cot g, p, 0 0 < < π π f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), π / π - π ponto(s) de descontinuidade de f. f ( ) 08. Calcule: a) ( ) 5 b) ( 5 ) c) ( 5e ) d) 5 g) / 09. Calcule os seguintes ites: a) d) sen 5 e ) ( ) f) ( ln ) h) ln( ) b) e) cos f) i) π c) 5 ( 5)

3 g) 0. Calcule os ites a seguir: a) d) [ ln ln ( )] π b) sen c) ( / π ) ( ) e) ( ) f) [ ( )]. Calcule as constantes de modo que: a b b a) = 5 b) = 5 a c) f ( ) = e f ( ) =, sendo f ( ) a b c d = ( ) b a 8 b d) = / 6 e) = / a 9, < - f) f ( ) = b, = - seja contínua em 0 = -, > - Calcule os seguintes ites: sen a tg a a) b), com a, b 0 b sen sen sena e) f) π π a a c) g) cos cos cosa. a a d) tg sen sen Calcule os ites a seguir: e a) [ sen( / )] b) [ e.sen ] c) ( cos ) 0 5 d) cos(ln ) e) π sen 7.cos. Considere a função, < e f ( ) =, =. Justificando, estude a continuidade de f. 0, = 5 ln 5, e 5 5. Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em 0 e em caso afirmativo, determine f ( 0 ):

4 , a) f ( ) = ( 0 = ) b) f() = ( 0 = 0) c) f() = ( 0 = 0) 8, > d) f() = ( 0 = ) e) f() = n, n N * ( 0 R) 6. Verifique em que ponto(s) a função f() = não é derivável. Justifique sua resposta. 7. Esboce o gráfico de f sabendo que f é dada pelo gráfico: a) b) (-,) (,) (7,) (-,) (,) 0 (5,-) (-5,0) 0 D(f) = [, 8) D(f) = R obs: No intervalo [,], f() = 8. Determine as constantes a e b de modo que f seja derivável em =, sendo a b, f ( ) =., > 9. Determine as derivadas das funções a seguir: a) y = ( z ) b) = c) w = y y t 5 5 / / d) u = e) y =.ln π f) y = ( ) t 7 6 g) y = ( ) y y 0. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir: a) y = ( /5)sen 9sec b) y = sen cos c) f() = sen cos 8tg sec tg t sen cos e d) g( t ) = e) g( ) = f) y = sect sen cos sen. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 : a) f() = ; 0 = b) f() = tg ; 0 = p/ c) f() = cossec ; 0 = p/. Determine as abscissas dos pontos do gráfico de f() = nos quais a reta tangente é: a) horizontal b) paralela à reta y 8 5 = 0. Em que ponto da curva y = a reta tangente tem ângulo de inclinação p/?

5 . Caso eista, determine o(s) ponto(s) da curva f( ) = /, no qual a reta tangente é paralela à: a) ª bissetriz b) ª bissetriz 5. Seja f() = b ( /6). Determine a constante b de modo que a reta que passa pelos pontos M(0,5) e N(5/,0) seja tangente ao gráfico de f. 6. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f() = e perpendicular à reta y =. 7. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(0,) e é tangente ao gráfico de f() =. Ilustre a interseção construindo o gráfico. ( Observe que o ponto P não pertence ao gráfico da função f() = ) 8. Determine a equação da reta tangente comum aos gráficos de f() = e de g() = (/). 9. Determine f () supondo g e h deriváveis e ( h( )) f ( ) =, g()? 0 g( ) 0) a) 5 RESPOSTAS DA a LISTA b) 0 f ( ) = 5, f ( ) =, / f ( ) f ( ) = f ( ) = f ( ) = c) d)

6 f ( ) = 0 f ( ) = f ( ) = 0 f ( ) =, f ( ) =, / f ( ) 0. a) -0; b) f ( ) eiste, independente do valor de a. Por isso a pode ser um número real qualquer. 0. a) Não é contínua em = pois não eiste f ( ) ; b) Não é contínua em = pois f ( ) f ( ); c) É contínua em zero pois f ( ) = f ( 0 ) = 0. d) Não é contínua em = - pois não eiste f ( ) ; 9 0. a) D(f) = R {} e g( ) =, ; - 6, = b) D(f) = R { }, e não é possível definir g( ), tal que g seja contínua, pois não eiste f () ; 05. a) 0 b) - ln0 c) -e d) e) - f) não eiste pois = e = i) /; j) /; k) -/; l) 0; 06. a) b = - ou b = ; b) a = e b = -/9 07) a) b) g) 5/6; h) e 8/ ; 0,, -, não eiste, 0, /e,, 0, -,, não eiste, /, -, 0, (-,0), (0, ) c) d) 6

7 (π,π) π 0, -,, 0, não é contínua em zero porque f ( ) f ( 0 ), 0,, não eiste, 0, -, π, ; = 0 e = π 08. a), d), e) 8 b), f), h) 8 c) 0 g) / i) p/ 09. a) Não eiste pois = sen e = sen b) 8 c) 8 cos cos d) 8 e) Não eiste pois = e = f) Não eiste, pois = e = 0. a),c) 0; b) / ; d) 8 e) / f) ½ g) 8. a) a =, b = -6; b) a = 0, b = -5; c) a = 0, b =, c = 6, d = d) a = /, b = /; e) b = 6; f) a = 0, b = 8/..a) a b) a/b c) / d) 0 e) f ) cos a g ) sen a..), b), d), e) zero; c).. f é contínua IR {, 5 }; 5. a) não eiste; b) zero; c) não eiste; d) ; e) 6. f não é derivável em e em n n o 7. a) b) 7

8 (5,5/) / / (5,-5/) - 8. a = -/, b = / 9. a) y = 8 6 ; b) ' = / ; c) w' 0 = y ; y y 90 d) u' = ; e) y' = ln π ; f) ( t 7 ) ( 6 ) g) y = ln ( ) ( ) y' = ; ( ) 0. a) y = - (/5) cos 9 sec tg b) y = cos; c) f () = cos 8 sec (tg ); d) g (t) = ( tgt) cost e) g () = (sen cos) - f) e y = ( sen cos ) sen π π. a) t: 9 y 5 = 0 e n: 9y 7 = 0; b) t: y = ( ) e n : y = ( ) ; c) t: y = e n: = π/.. a) = -, = /; b) = 0, = -/. ( /,/ ). a) não eiste b) (,), (-,-); 5. b = 6. t: y = - (5/) 7. t: y = 8. t : y = /, t : y = - / 9. h ( )[ h' ( ) h( )] g' ( ) h ( ) f '( ) = g( ) g ( ) 8

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