MÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) =

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Alessandra Santos Valverde
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3 Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 9 Trigonometria I Resumo das principais fórmulas da trigonometria Arcos Notáveis: Fórmulas do arco duplo: ) sen (a) ) cos (a) ) tg (a) Fórmulas Fundamentas: ) sen + cos sen cos tg 0 ou 5 ou 0 ou Fórmulas de transformação em produto ) sen p + sen q ) sen p - sen q ) cos p + cos q ) cos p cos q Leis do Seno e do Cosseno: ) tg ) cotg ) sec 5) cossec Consequências: ) sec R. (ITA) Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto médio do segmento CD e F um ponto sobre o seg - mento CE tal que m ( BC) + m ( CF) m ( AF). Prove que cos cos, sendo os ângulos BÂF e EÂD. 7) cossec 8) tg Fórmulas de Adição de arcos: ) sen (a ± b) ) cos (a ± b) ) tg (a ± b)

4 Sendo l a medida de cada lado do quadrado ABCD e a medida do segmento GB, no triângulo retângulo GAF, têm-se: º) (AF) (AG) + (GF) ( + ) ( ) + AG º) cos cos AF + cos cos cos (I) cos + ( cos ). ( + cos ) sen. ( sen ). ( + sen ) sen + cos sen. ( + cos ) cos. cos. ( + sen ) sen + cos + sen + sen + sen 5 sen sen ± 5 5 No triângulo retângulo DAe, têm-se: º) (Ae) (AD) + (De) (Ae) l + Ae 5 AD º) cos cos cos Ae 5 5 º) cos cos Assim: cos. cos (II) 5 5 De (I) e (II), tem-se, finalmente:. (IMe) Determine sabendo-se que: (i) cos + ctg. sen + tg (ii) 0 < radianos. ( cos ) + ctg. ( sen ) + tg cos cos. (ITA) Se [0, [ é tal que tg +, então o valor de cos sen + sen é: a) b) c) 8 8 d) e) Se 0;, então:. tg sen +. cos +. cos cos cos. (cos sen ). (cos + sen ). (cos sen ).. cos() cos()

5 Para 0, e cos(), resulta: sen () cos () 5 5 sen() Portanto: sen() + sen() sen() +. sen(). cos() Resposta: B Trigonometria I. Esboçar o gráfico da função f definida de em por f() sen + cos. f() sen + cos cos + cos cos + cos Se cos 0, então f() cos Se cos < 0, então f() MÓDULO 0. (ITA) Considere o sistema:. sen cos para e reais. Se restringirmos ao intervalo 0;, então o sistema a) não possuirá solução. b) possuirá apenas uma solução ( ; ). c) possuirá duas soluções ( ; ) e ( ; ), de modo 0 que +. d) possuirá duas soluções ( ; ) e ( ; ), de modo 7 que sen + sen. e) possuirá duas soluções ( ; ) e ( ; ), de mo - do que cos. cos. sen { cos ( ) sen { cos + Assim, ou Para, tem-se sen, cos 0 e, pois [ 0; ] 5 Para, tem-se sen, cos e / 0; o sistema possui uma solução ( ; ) Resposta: B + ( ), pois sen + cos

6 . (ITA) Se denota o conjunto dos números reais e (a; b) o intervalo aberto { ; a < < b}, seja ( 0; ) definida por f() sec + cossec. a é tal que tg b, então f() é igual a Se ( 0; ) a + b a) b) a + b tg tg + 0 tg + k tg + k, em que arc tg V + k ou + k, arc tg e k a c) b d) ab e) n.d.a. a + b ab f() sec + cossec + tg + + cotg f() tg + + tg (tg f() + ) f() tg Se ( 0; ) tg > 0 e a + tg + b f() tg a b Resposta: D. Resolver, em, a equação 5 sen sen. cos + cos Como cos 0, pois tg + tg + tg a b tg + tg a + b ab + k não é solução da equação, MÓDULO Trigonometria I. Os valores reais de a para que a equação sen cos + a 0 admita raízes reais são tais que: a) a b) a c) a d) a < e) < a sen cos + a 0 ( cos ) cos + a 0 cos cos + ( + a ) 0 cos ± a Como 0 cos e + a >, para todo a tal que a, devemos ter: ) a 0 a (I) e ) 0 a a a (II) De (I) e (II), tem-se a, portanto, a Resposta: C tem-se 5 sen sen. cos + cos 5 sen sen. cos cos + cos cos cos cos 5 tg tg + sec 5 tg tg + ( + tg )

7 . (ITA-00) Seja f : definida por f() 77 sen[5( + /)] e seja B o conjunto dado por B { : f() 0}. Se m é o maior elemento de B (, 0) e n é o menor elemento de B (0, + ), então m + n é igual a: a) /5 b) /5 c) /0 d) /5 e) /5 ) Com k temos: f() 77. sen5 + 0 sen k 5 + k + 5 k k + e B { : + ; k } ) B (,0) ; ; ; ; cujo maior elemento é m 7 9 ) B (0, + ) ; ; ; ;, cujo menor elemento é n. 0 ) Dos itens () e () conclui-se m + n Resposta: e. (ITA-007) Assinale a opção que indica a soma dos ele mentos de A B, sendo: A k sen k : k, e B y k sen : k,. a) 0 b) c) d) + / e) + / Sendo: (k + 5) A k sen k. : k, sen ; sen B y k sen (k + 5). : k, y sen 8.. ; y sen temos: A B {,, y, y } Portanto: + + y + y sen +sen +sen 8 +sen sen + sen + sen + cos + Resposta: C + 5

8 . (ITA) Se tg(a) 5 então tg + A tg A é igual a: a) 0/ b) c) 5 d) 8 e) 0 sen () ou (sen )(cos ) 0 k ou + k, k. sen ou cos Se tg A 5 então: tg + A tg A tg + tg A tg tg A tg. tg A + tg. tg A + tg A tg A. tg A. tg(a). 5 0 tg A + tg A tg A Resposta: e Resposta: S k ou + k, k. (ITA) A epressão MÓDULO Trigonometria I. (IMe) Determine o conjunto-solução da equação sen + cos sen. cos sen + cos sen cos (sen + cos )(sen sen. cos + cos ) (sen. cos ) (sen + cos )( sen. cos ) ( + sen. cos )( sen. cos ) sen. cos 0 ou sen + cos + sen. cos sen. cos ou + sen. cos sen cos 0 sen. cos ou cos. (sen ) (sen ) 0 sen + + cotg tg + tg é equivalente a a) [cos sen ] cotg. b) [sen + cos ] tg. c) [cos sen ] cotg. d) [l cotg ] sen. e) [ + cotg ] [sen + cos ].. sen + + cotg. tg + tg. sen + + cotg. tg sec. [ cos + cotg ] cos cos sen

9 . sen. cos. [cotg cos ] sen. cos cos sen. [cos cos. sen ] sen sen cos. [cos sen ] cotg. [cos sen ] sen Resposta: A. (ITA) Seja a equação sen cos sen cos m onde m é um número real não nulo. Podemos afirmar que: a) A equação admite solução qualquer que seja m, m 0. b) Se m < esta equação não apresenta solução real. c) Se m > esta equação não apresenta solução real. d) Se m > esta equação sempre apresenta solução real. e) Se m < esta equação não apresenta solução real. ) sen. cos sen. cos m sen. cos. (sen cos ) m. sen. ( cos ) m. (ITA) A respeito da equação sen + cos, 0 <, podemos afirmar que: a) Eiste apenas uma solução real no primeiro quadrante. b) Eiste apenas uma solução real no segundo quadrante. c) Eiste apenas uma solução real no terceiro quadrante. d) Eiste apenas uma solução real no quarto quadrante. e) Eistem duas soluções no intervalo 0 <. sen + cos sen. +. cos sen. cos + sen. cos sen + Como 0 < temos: + + k, k + k, k No intervalo [0; ], apenas é solução. Resposta: A. sen sen m m ) Como sen, para a equação ter solução real, deve-se ter: m ou m m m Portanto, a equação não tem solução real se m < Resposta: B 7

10 eercícios-tarefa MóDuLo 9. Se sec. cossec, então tg + cotg é igual a a) 9 b) 5 c) 8 d) e) 7. (ITA) Se num quadrilátero conveo de área S, o ângulo agudo entre as diagonais mede / radianos, então o produto do comprimento destas diagonais é igual a: a) S b) S c) S d) S e) 5S MóDuLo 0. Considere o sistema e 0. Então, é correto afirmar que a) o sistema possui solução única. b) o sistema possui solução ( 0 ; 0 ), com < 0 <. c) o sistema possui solução única ( 0 ; 0 ), com 0 >. d) o sistema possui duas soluções distintas. e) tg.. Esboce o gráfico da função f definida por f() sec + sen, com contradomínio em.. (ITA) Se cos sen a 0, então cos 8 vale: a) a b) a c) a d) zero e) a + MóDuLo. (ITA) O valor de > 0 que satisfaz a equação tg é: sen {, para cos + a) b) 5 c) 7 d) 7 e) 9. (ITA) Sejam a e b constantes reais positivas. Considere a tg t + e y b sec t b onde 0 t <. Então uma relação entre e y é dada por: b a) y ( ), a. a b b) y ( ),. a b c) y ( ), ". a b d) y ( ),. a a e) y ( ),. b MóDuLo. (ITA) Sabendo-se que é um ângulo tal que sen( 0 ) cos ( + 0 ), então tg é um número da forma a + b onde a) a e b são reais negativos; b) a e b são inteiros; c) a + b ; d) a e b são pares; e) a + b.. (ITA) Suponha e y números reais, tais que tg( y) (tg )(tg y) Calcule o módulo do número S tg + tg y. resolução dos eercícios-tarefa MóDuLo 9 sen cos ) ) tg + cotg + cos sen sen + cos cos. sen cos. sen sec. cossec ) tg + cotg (tg + cotg ) 7 ) tg + cotg (tg + cotg ) (tg tg. cotg + cotg ). (7 ) 8 Resposta: C 8

11 ) No quadrilátero conveo ABCD da figura, sendo AC a + b e BD c + d, tem-se: ) f() sec + sen cos + sen sen + sen sen + sen f() { e o gráfico de f é: sen ; se sen 0 0 ; se sen < 0 5. a. c. sen +. b. c. sen b. d. sen + a. d. sen S Assim: ac bc bd ad S ac + bc + bd + ad S (a + b). (c + d) S AC. BD S Resposta: D MóDuLo 0 ) { sen cos + () ou Para, tem-se sen, cos e + ( ) Para, tem-se sen, 7 cos < < Resposta: D + { sen + cos Resposta: Gráfico ) cos sen (cos + sen )(cos sen ) então: cos sen cos sen cos 8 a Resposta: B MóDuLo ) Para > 0 tem-se: tg I) tg tg II) tg tg tg tg tg 7 ) I) y b. sec t b b. (sec t ) b. tg t y ± b. tg t II) a. tg t + 0 t < 9

12 tg t,, supondo a 0 De (I) e (II), vem: y ± b., y ±. ( ),. uma relação entre e y pode ser: b y. ( ), a Resposta: D b a a MóDuLo ) sen ( 0 ) cos( + 0 ). (sen. cos 0 cos. sen 0 ) cos. cos 0 sen. sen 0 sen. cos. cos. sen sen. ( + ) cos. ( + ) + + tg Sendo tg a + b., temos a e b. Resposta: B a ) Sendo e y, números reais, tais que: tg( y) tg. tg y tg tg y + tg. tg y tg. tg y temos: tg tg y + tg tg y. Como: (tg + tg y) (tg tg y) +. tg. tg y resulta: (tg + tg y) (. ) +. e, portanto: S tg + tg y Resposta: S tg + tg y 0

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