4 o Roteiro de Atividades: reforço da segunda parte do curso de Cálculo II Instituto de Astronomia e Geofísica

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1 4 o Roteiro de Atividades: reforço da segunda parte do curso de Cálculo II Instituto de Astronomia e Geofísica Objetivo do Roteiro Pesquisa e Atividades: Teoremas de diferenciabilidade de funções, Vetor gradiente. Consequências da regra da cadeia.teorema de Schwarz Exercícios: Limite e continuidade de funções com duas ou mais variáveis. Derivadas parciais, Funções diferenciáveis e plano tangente, Derivadas direcionais. Regra da cadeia. Derivadas parciais de ordem superior. 1 Limite de funções com duas ou mais variáveis 1.1 Pesquisar Fazer um resumo e/ou pesquisar 1. as principais propriedades do limite de funções; 2. limites fundamentais: lim lim x, x 0, 0 e sen x = 1 x x Dica: usar coordenadas polares; 3. teorema do confronto. = 0 onde x < 1 e x = Aplicação dos conceitos 1. Determine o domínio e calcule os limites abaixo, caso existam, justificando. a. lim x, 1,1 c. lim e. lim x + 2x b. lim x x2 + 2 x + 3 x 4 sen x d. lim x x x 2 x 2 + sen x x 3 + senx f. lim 2 x senx

2 2. Verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. lim x, 1,1 x senx x existe e vale zero. 1.3 Exercícios de consolidação 1. Calcule os limites abaixo, caso existam, justificando. x b. lim x x + d. lim x x sen x f. lim a. lim c. lim e. lim g. lim i. lim k. lim x, 0,1 m. lim x, 0,1 x x 2 h. lim x2 + 2 x 2 j. lim x 2 2 x, 1,1 arctg x + 1 x + 1 x x l. lim x, 1,0 senx + 1 n. lim 2x 2 x xx x x 5 10 x x sen x x + 2 sen x x x 1 x 3 1 cosx x Continuidade de funções com duas ou mais variáveis 2.1 Pesquisar Fazer um resumo da definição de continuidade e principais teoremas. 2.2 Aplicação dos conceitos 1. Determine os pontos em que a função abaixo é contínua. x + 4 se x, 0, 0 x a. fx, = x x se x, 0, 0 b. fx, = x 0 se x, = 0, se x, = 0, 0 2

3 2.3 Exercícios de consolidação 1. Determine os pontos em que as funções abaixo são contínuas. 3x 3 a. fx, = x 2 4 se x, 0, 0 2x b. fx, = 3x se x, = 0, 0 x se x, 0, 0 c. fx, = x d. fx, = 0 se x, = 0, 0 e x se x < 1. 0 se x Derivadas parciais 3.1 Aplicação dos conceitos 1. Ache as derivadas parciais de primeira ordem das funções: x a. z = arctg b. z = ln1 + cos 2 x 3 2. Seja f : IR IR uma função derivável. Calcule as derivadas parciais de 1a. ordem de: x a. ux, = f b. ux, = fax + b, onde a e b são constantes. 3. Verifique em que pontos as funções dadas tem derivadas parciais de 1a. ordem e determine-as. x x se x, 0, 0 a. fx, = x b. hx, = 3 x 3 + x se x, = 0, Exercícios de consolidação 1. Determine as derivadas parciais de 1a. ordem de: a. z = e x2 2 b. z = x3 + 2 c. z = 2 ln1 + x x d. z = x x e. z = cos f. fx,, z = xze x2 g. z = 2x x 2 + h. fx, = sen t 2 dt x i. gx,, z, t = x z t 3

4 2. Verifique em que pontos as funções dadas tem derivadas parciais de 1a. ordem e determine-as. x 2 2 se x, 0, 0 x 2 se x, 0, 0 a. fx, = x b. fx, = x se x, = 0, 0 0 se x, = 0, 0 x + x 2 se x, 0, 0 c. fx, = x se x, = 0, 0 d. z = arctg x 4 Derivadas parciais de ordem superior Fazer um resumo e/ou pesquisar 1. definição e os principais conceitos de derivadas parciais de ordem superior; 2. condição para igualdade das derivadas parciais de segunda ordem mistas; 3. exemplo de função onde não temos a igualdade das derivadas parciais de segunda ordem mistas; 4.1 Aplicação dos conceitos 1. Calcule todas as derivadas parciais de 2a. ordem de; a. z = x 4 2 x b. fx, = cosx 3 2 x 3 se x, 0, 0 2. Seja a função fx, = x se x, = 0, 0 a. Mostre que f x 0, = 0, para todo IR e que f x, 0 = x, para todo x IR. b. Verifique que 2 f 2 f 0, 0 = 0 e que 0, 0 = 1. x x 3. Seja gx, = x + e x, 0. Prove que x 2 g x + 2 g 2 = 0, para todo Mostre que a função ux, = ln x é uma solução da equação de Laplace bidimensional 2 u x + 2 u 2 =

5 5 Diferenciabilidade 5.1 Pesquisar Fazer um resumo e/ou pesquisar 1. definição de derivada direcional; 2. definição de gradiente e a relação com derivada direcional e gradiente e a diferença entre estes; 3. Comparar a definição de diferenciabilidade apresentada na disciplina com a apresentada no livro Curso de Cálculo página 190 do volume 2-5 a ed. do Guidorizzi. Dica: No curso dissemos que uma função f : Ω IR 2 IR é dita diferenciável em p Ω se existirem uma transformação linear T p e uma função escalar Ep, v tais que fp + v = fp + T p v + v Ep, v. Se usarmos p = x 0, 0, T p = a, b e v = h, k escrevemos a expressão como fx 0 + h, 0 + k = fx 0, 0 + ah + bk + h, k E x 0, 0, h, k. 5.2 Aplicação dos conceitos x sen se x, 0, 0 1. Considere a função fx, = x se x, = 0, 0 Mostre que f é diferenciável em 0, 0. Observação: Para resolver este problema podemos aplicar a definição de diferenciabilidade apresentada na disciplina com a apresentada no livro Curso de Cálculo página 190 do volume 2-5 a ed. do Guidorizzi. x 3 se x, 0, 0 2. Seja gx, = x se x, = 0, 0 a. Mostre que g é continua em 0, 0. b. Calcule g 0, 0 e g x 0, 0. c. g é diferenciável em 0, 0? d. São g x e g 5 contínuas em 0, 0?

6 5.3 Exercícios de consolidação 1. Justifique a diferenciabilidade das seguintes funções: a. fx, = x b. gx, = 3x c. fx, = 1 x d. lnx e. fx, = x /3 f. gx, = x 5/4 Observação: tomar cuidado com o ponto 0, 0. x 2 + senx + 3 se x, 0, 0 2. Seja fx, = x se x, = 0, 0 a. Mostre que as derivadas parciais f x e f existem em todos os pontos. b. f é contínua em 0, 0? c. f é diferenciável em 0, 0? 4. Determine os pontos em que as funções abaixo são diferenciáveis: x 2 2 se x, 0, 0 x se x, 0, 0 a. fx, = x b. hx, = x se x, = 0, 0 0 se x, = 0, 0 6 Plano tangente e reta normal 6.1 Aplicação dos conceitos 1. Determine uma equação do plano tangente e da reta normal às superfícies dadas abaixo nos pontos indicados. a. z = arctgx 2 em 2, 12, z2, 12. b. z = x e x2 2 em 2, 2, z2, Seja z = fx, uma função diferenciável tal que o plano de equação 4x+3 5z 12 = 0 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto 1, 1, 1. a. Determine o valor das derivadas parciais de 1a. ordem de f em 1, 1. b. Escreva uma equação da reta normal ao gráfico de f no ponto 1, 1, f1, Determine k IR para que o plano tangente ao gráfico de fx, = lnx 2 + k 2 no ponto 2, 1, f2, 1 seja perpendicular ao plano 3x + z = 0. 6

7 6.2 Exercícios de consolidação 1. Determine uma equação do plano tangente e da reta normal às superfícies dadas abaixo nos pontos indicados. a. z = x x 3x em 1, 1, f1, 1. b. z = e x ln em 3, 1, Determine um plano que passa pelos pontos 1, 1, 2 e 1, 1, 1 e que é tangente ao gráfico da função z = x. Só existe um só plano nestas condições? 3. Determine o plano que é paralelo ao plano z = 2x+3 e tangente à superficie de equação z = x 2 + x 7 Regra da Cadeia 7.1 Aplicação dos conceitos 1. Seja h : IR IR uma função derivável tal que h 1 = 3. Considere a função gx, = hx 2. Calcule g x 1, 1 e g 1, Seja fx, = x e considere γt = t, t, zt, com t IR, uma curva cuja trajetória está contida no gráfico de f. a. Determine a coordenada zt. b. Esboce o gráfico de f e a trajetória de γ no mesmo sistema de coordenadas. c. Determine a reta tangente à curva γ no ponto 1, 1, 2. x 3. Seja g : IR IR uma função diferenciável e considere a fun3ão fx, = x g, com 0. Mostre que f admite derivadas parciais e que x f x + f = 2f. 4. Seja fx, = senx 2 e considere x = t 2 e = 4t, para todo t IR. Tomando zt = fxt, t, para t IR, a. Determine z = zt. b. Calcule z t diretamente e depois via a Regra da Cadeia. 5. Seja f = fx, uma função diferenciável e seja zt = t 2 ft 3, e t2. Expresse z t em termos das derivadas parciais de f. 6. Seja w = fx, uma função diferencíavel tal que f3t, t 3 = arctg t, t IR. a. Se f f 3, 1 = 2, qual é o valor de 3, 1? x b. Qual a equação do plano tangente ao gráfico de f em 3, 1, f3, 1? 7

8 7. Seja f : IR 2 IR uma função diferenciável em IR 2, tal que f 2, 2 = a, 4. Considere a função gt = f2t 3 4t, t 4 3t. Determine o valor de a para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 1 seja paralela à reta = 2x + 3. x 3 se x, 0, 0 8. Seja a função fx, = x Considere a curva γt = t, t, 0 se x, = 0, 0 para t IR, e seja a função zt = fγt. a. Determine a sentença de z = zt. b. Calcule dz 0, usando a sentença obtida em a. dt c. Calcule f0, 0 γ 0. Compare este resultado com o obtido em b. Voce sabe explicar o que aconteceu e o motivo do acontecido? 7.2 Exercícios de consolidação 1. A trajetória da curva γt = 2t, t 2, zt está contida no gráfico da função diferenciável f z = fx,. Sabendo-se que f2, 1 = 3, x 2, 1 = 1 e f 2, 1 = 1, determine a equação da reta tangente à γ no ponto γ1. 2. Sejam z = gx, uma função diferenciável no IR 2 e h : IR IR diferenciável tais que gt, ht = 3, para todo t IR. Supondo que h0 = 2, g g 0, 2 = 1 e 0, 2 = 4, qual a x equação da reta tangente à curva plana γt = t, ht no ponto γ0? 3. Seja z = fx, uma função diferenciável. a. Considere a função gu, v = fu 2 + 3v, u 4v 2. Determine as derivadas parciais de 1a. ordem de g, em termos das derivadas parciais de f. b. Idem para gu, v = fuv, u 3 v Seja z = fx, uma função diferenciável tal que x f f x, x, = 0, para x todo x, IR 2. Mostre que a função ht = ft, 2, para t > 0, é constante. t 5. Seja z = fx, uma função diferenciável tal que f3, 4 = 1 e f3, 4 = 2, 5. Considere a função gu, v = u 2 f3uv, 2u 2 + 2v 3. Calcule g1, 1. 8