DERIVADAS PARCIAIS. A derivada parcial de f em relação a y, no ponto (x, y), é o limite

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1 Teoria DERIVADAS PARCIAIS Definições Básicas: A derivada parcial de f em relação a x, no ponto (x, y), é o limite f x (x, y) = lim f(x + x, y) f(x, y) x 0 x em que y é mantido constante. A derivada parcial de f em relação a y, no ponto (x, y), é o limite f y (x, y) = lim f(x, y + y) f(x, y) y 0 y em que x é mantido constante. Uma função z = f(x, y) se diz definida ou dada implicitamente pela equação g(x, y, z) = 0 se, para todo (x, y) D f, temos g(x, y, f(x, y)) = 0. Plano Tangente: Sejam f : A R, A aberto de R 2, e (x 0, y 0 ) A. Dizemos que f é diferenciável em (x 0, y 0 ) se e somente se existirem reais a e b tais que onde lim (h,k) (0,0) E(h, k) (h, k) = 0 E(h, k) = f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) ah bk. Seja f : A R 2 R, A aberto, e seja (x 0, y 0 ) A. Se f for diferenciável em (x 0, y 0 ), então f admitirá derivadas parciais neste ponto. Se f for diferenciável em (x 0, y 0 ), então f será contínua em (x 0, y 0 ). Seja f diferenciável no ponto (x 0, y 0 ). O plano 1

2 z f(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) denomina-se plano tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). A reta normal ao gráfico de f no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) é a reta cuja equação é (x, y, z) = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) + λ( f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), 1), λ R. A transformação linear dz dada por dz = f f (x, y)dx + (x, y)dy x y denomina-se diferencial de z = f(x, y) no ponto (x, y). Gradiente: Seja z = f(x, y). O vetor f(x 0, y 0 ) = ( f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 )) denominase gradiente de f em (x 0, y 0 ). A reta tangente em (x 0, y 0 ) à curva de nível f(x, y) = c tem equação dada por f(x 0, y 0 ) [(x, y) (x 0, y 0 )] = 0. O plano passando pelo ponto (x 0, y 0, z 0 ) e normal ao vetor f(x 0, y 0, z 0 ) denomina-se plano tangente, em (x 0, y 0, z 0 ), à superfície de nível f(x, y, z) = c. A equação deste plano é A reta f(x 0, y 0, z 0 ) [(x, y, z) (x 0, y 0, z 0 )] = 0. (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + λ f(x 0, y 0, z 0 ), λ R, denomina-se reta normal, em (x 0, y 0, z 0 ), à superfície de nível f(x, y, z) = c. 2

3 Regra da Cadeia: Sejam f : A R 2 R, A aberto, e γ : I R 2, tais que γ(t) A para todo t no intervalo I. Nestas condições, se γ for diferenciável em t 0 e f em γ(t 0 ), então a composta F (t) = f(γ(t)) será diferenciável em t 0 e vale a Regra da Cadeia ou, equivalentemente, F (t 0 ) = f(γ(t 0 )) γ (t 0 ) df dt = f dx x dt + f dy y dt, ficando subentendido que as derivadas parciais devem ser calculadas em γ(t 0 ). Sejam A e B abertos do R 2, f(x, y) diferenciável em A, g(u, v) e h(u, v) diferenciáveis em B tais que, para todo (u, v) em B, (g(u, v), h(u, v)) A. Seja F (u, v) = f(g(u, v), h(u, v)). Então vale a Regra da Cadeia F u = f x x u + f y y u F v = f x x v + f y y v Funções Implícitas: Seja y = g(x) dada implicitamente pela equação F (x, y) = 0. Então F (x, g(x)) g (x) = x. F y (x, g(x)) Seja z = g(x, y) dada implicitamente pela equação F (x, y, z) = 0. Então F g (x, y, g(x, y)) (x, y) = x x F (x, y, g(x, y)) z 3

4 e F (x, y, g(x, y)) g y (x, y) =. y F z (x, y, g(x, y)) O determinante jacobiano das funções F e G em relação às variáveis x e y é dado pela fórmula (F, G) (x, y) = F x G x F y G y Sejam y = y(x) e z = z(x) dadas implicitamente pelo sistema Temos então e Derivada Direcional: O limite dy dx = dz dx = (F, G) (x, z) (F, G) (y, z) (F, G) (y, x) (F, G) (y, z).. f u (x f(x 0 + at, y 0 + bt) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim t 0 t { F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 quando existe e é finito, denomina-se derivada direcional de f no ponto (x 0, y 0 ) e na direção do vetor u = (a, b), com u unitário. Sejam f : A R 2 R, A aberto, (x 0, y 0 ) A e u = (a, b) um vetor unitário. Se f(x, y) for diferenciável em (x 0, y 0 ), então 4 }.

5 f u (x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) u. Seja f : A R 2 R, A aberto, diferenciável em (x 0, y 0 ) e tal que f(x 0, y 0 ) 0. Então, o valor máximo de f u (x 0, y 0 ) ocorre quando u for o versor de f(x 0, y 0 ) e esse valor será f(x 0, y 0 ). Polinômio de Taylor: Chamamos derivadas de ordem superior de uma função z = f(x, y) as derivadas obtidas a partir das derivadas f x e f y. (Teorema de Schwarz) Seja f : A R 2 R, A aberto. Se f possuir as derivadas até a segunda ordem contínuas em A, então para todo (x, y) em A. 2 f x y (x, y) = 2 f (x, y) y x (Polinômio de Taylor de Ordem 1) Seja f : A R 2 R, A aberto, com derivadas até a segunda ordem contínuas em A. Sejam (x 0, y 0 ) A e (h, k) (0, 0) tais que o segmento de extremidades (x 0, y 0 ) e (x 0 + h, y 0 + k) esteja contido em A. Nestas condições, f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )h + f y (x 0, y 0 )k (Polinômio de Taylor de Ordem 2) Seja f : A R 2 R, A aberto, com derivadas até a terceira ordem contínuas em A. Sejam (x 0, y 0 ) A e (h, k) (0, 0) tais que o segmento de extremidades (x 0, y 0 ) e (x 0 + h, y 0 + k) esteja contido em A. Nestas condições, f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )h + f y (x 0, y 0 )k + 1 f 2 [ 2 x (x 0, y 2 0 )h f x y (x 0, y 0 )hk + 2 f y (x 0, y 2 0 )k 2 ] 5

6 Máximos e Mínimos: Dizemos que (x 0, y 0 ) é um ponto crítico de f(x, y) se esse ponto for interior ao domínio de f e se f(x 0, y 0 ) = (0, 0). Se f admite derivadas parciais em todos os pontos interiores de D f, então os pontos críticos de f são, entre os pontos interiores de D f, os únicos candidatos a extremantes locais de f. A função H dada por H(x, y) = denomina-se hessiano de f. 2 f x 2 2 f y x 2 f x y 2 f y 2 Seja f(x, y) uma função com derivadas contínuas até 2 a ordem. Seja (x 0, y 0 ) um ponto crítico de f. Então 1. H(x 0, y 0 ) > 0 e 2 f x 2 (x 0, y 0 ) > 0 (x 0, y 0 ) é mínimo local de f; 2. H(x 0, y 0 ) > 0 e 2 f x 2 (x 0, y 0 ) < 0 (x 0, y 0 ) é máximo local de f; 3. H(x 0, y 0 ) < 0 (x 0, y 0 ) é ponto de sela de f; 4. H(x 0, y 0 ) = 0 inconclusivo. Máximos e Mínimos Condicionados: (Weierstrass) Se f(x, y) for contínua no compacto A, então existirão pontos (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) em A tais que, para todo (x, y) em A, f(x 1, y 1 ) f(x, y) f(x 2, y 2 ). (Multiplicadores de Lagrange) Seja f diferenciável no aberto A e seja B = {(x, y) A g(x, y) = 0}, onde g possui derivadas contínuas em A e g (0, 0), para todo (x, y) B. Uma condição necessária para que (x 0, y 0 ) B seja extremante local de f em B é que exista um real λ 0 tal que f(x 0, y 0 ) = λ 0 g(x 0, y 0 ). 6

7 Seja f diferenciável no aberto A e seja B = {(x, y, z) A g(x, y, z) = 0}, onde g possui derivadas contínuas em A e g (0, 0, 0), para todo (x, y, z) B. Uma condição necessária para que (x 0, y 0, z 0 ) B seja extremante local de f em B é que exista um real λ 0 tal que f(x 0, y 0, z 0 ) = λ 0 g(x 0, y 0, z 0 ). Seja f diferenciável no aberto A R 3 e seja B = {(x, y, z) A g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0}, onde g e h possuem derivadas contínuas em A e g h 0, para todo (x, y, z) B. Uma condição necessária para que (x 0, y 0, z 0 ) B seja extremante local de f em B é que existam reais λ 1 e λ 2 tais que f(x 0, y 0, z 0 ) = λ 1 g(x 0, y 0, z 0 ) + λ 2 h(x 0, y 0, z 0 ). 7

8 Exercícios Fixação: 1. Determine as derivadas parciais. (a) f(x, y) = 5x 4 y 2 + xy (b) z = cos(xy) (c) z = x3 + y 2 x 2 + y 2 (d) f(x, y) = e x2 y 2 (e) z = x 2 ln(1 + x 2 + y 2 ) (f) z = xye xy (g) z = (x 2 + y 2 ) ln(x 2 + y 2 ) (h) g(x, y) = x y 2. Sendo z = f(x, y) dada implicitamente por x 2 +y 2 +z 2 = 1, z > 0, calcule z x e z y. 3. Suponha que z = f(x, y) seja dada implicitamente pela equação e xyz = x 2 + y 2 + z 2. Expresse z em termos de x, y e z. x 4. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. (a) f(x, y) = 3x 2 y x em (1, 2, f(1, 2)) (b) f(x, y) = 2x 2 y em (1, 1, f(1, 1)) (c) f(x, y) = x 2 + y 2 em (0, 1, f(0, 1)) (d) f(x, y) = xe x2 y 2 em (2, 2, f(2, 2)) 5. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e ( 1, 1, 1) e que seja tangente ao gráfico de f(x, y) = xy. 6. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x+y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x 2 + y Calcule a diferencial. (a) z = x 3 y 2 (b) z = sin(xy) 8

9 (c) u = e s2 t 2 (d) T = ln(1 + p 2 + v 2 ) 8. Seja z = xe x2 y 2. (a) Calcule um valor aproximado para a variação z em z, quando se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1, 01 e y = 1, 002. (b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e y = 1, Seja f(x, y) = x 2 + y 2. Calcule f(1, 1) e represente-o geometricamente. 10. Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. (a) x 2 + xy + y 2 3y = 1 em (1, 2) (b) e 2x y + 2x + 2y = 4 em ( 1 2, 1) 11. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado. (a) x 2 + 3y 2 + 4z 2 = 8 em (1, 1, 1) (b) 2xyz = 3 em ( 1, 1, 3) 2 (c) ze x y + z 3 = 2 em (2, 2, 1) 12. Sejam z = x 2 y, x = e t2 e y = 2t + 1. Calcule dz dt. 13. Seja F (t) = f(e t2, sin t), onde f(x, y) é uma função diferenciável em R 2. Calcule F (0), supondo f (1, 0) = 5. y 14. Seja z = f(x 2, 3x + 1), onde f(u, v) é diferenciável em R 2. Verifique que dz (1) = 2 f (1, 4) + 3 f (1, 4). dx u v 15. Suponha f(x, y) diferenciável e que, para todo x, f(3t+1, 3t 1) = 4. Verifique que f (3t + 1, 3t 1) = f (3t + 1, 3t 1). x y 16. Seja z = ln(1 + x 2 + y 2 ), x = sin 3t, y = cos 3t. Calcule dz dt e interprete o resultado. 9

10 17. A função diferenciável y = y(x) é definida implicitamente pela equação y 3 + xy + x 3 = 3. Expresse dy em termos de x e y. dx 18. A função diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela equação xyz + x 3 + y 3 + z 3 = 5. Expresse z em termos de x, y x e z. 19. { Sejam y = y(x) e } z = z(x), z > 0 diferenciáveis e dadas por x 2 + y 2 + z 2 = 1. Expresse dy x + y = 1 dx e dz em termos de x, y e z. dx 20. Calcule f (1, 1) na direção v = ( 1, 1) e interprete o resultado. u 21. Calcule f u (x 0, y 0 ), sendo dados: (a) f(x, y) = x 2 3y 2, (x 0, y 0 ) = (1, 2) e u é o versor de 2 i + j. (b) f(x, y) = e x2 y 2, (x 0, y 0 ) = (1, 1) e u é o versor de (3, 4). (c) f(x, y) = xy, (x 0, y 0 ) = (1, 1) e u é o versor de i + j. 22. Em que direção e sentido a função f(x, y) = x 2 +xy+y 2, em (1, 1), cresce mais rapidamente? Qual a taxa máxima de crescimento? 23. Verifique que 2 f x + 2 f 2 y = 0, onde f(x, y) = 2 ln(x2 + y 2 ). 24. Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta do ponto dado. (a) f(x, y) = e x+5y, (x 0, y 0 ) = (0, 0) (b) f(x, y) = sin(3x + 4y), (x 0, y 0 ) = (0, 0) 25. Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto dado. (a) f(x, y) = x sin y, (x 0, y 0 ) = (0, 0) (b) f(x, y) = x 3 + 2x 2 y + 3y 3 + x y, (x 0, y 0 ) = (1, 1) 26. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f(x, y) = (a) x 3 + y 3 3x 3y + 4 (b) x 2 + 3xy + 4y 2 6x + 2y (c) x 3 3x 2 y + 27y 10

11 27. Determine os extremantes de f(x, y) = xy em A = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. 28. Determine o ponto do elipsoide x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1 cuja soma das coordenadas seja máxima. 29. Encontre o ponto da curva xy = 1, x > 0, y > 0 que se encontra mais próximo da origem. 30. Determine os pontos mais afastados da origem e cujas coordenadas estão sujeitas às restrições x 2 + 4y 2 + z 2 = 4 e x + y + z = 1. Aplicação: 1. Uma placa de metal fina, localizada no plano xy, tem temperatura T (x, y) no ponto (x, y). As curvas de nível de T são chamadas isotermas porque em todos os pontos de uma isoterma a temperatura é a mesma. Esboce algumas isotermas para a função temperatura da placa de metal, dada por T (x, y) = x 2 + 2y A temperatura em uma localidade do hemisfério norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t de modo que podemos escrever T = f(x, y, t). Vamos medir o tempo em horas a partir do início de janeiro. (a) Qual é o significado de cada derivada parcial T x, T y e T t? (b) Honolulu tem longitude 158 W e latitude 21 N. Suponha que às 9 da manhã em 1 de janeiro, o vento está soprando ar quente para o nordeste de modo que o ar do oeste e do sul está quente e o ar do norte e do leste está mais frio. Você espera que f x (158, 21, 9), f y (158, 21, 9) e f t (158, 21, 9) sejam positivas ou negativas? Explique. 3. Verifique que a função u = e α2 k 2t sin kx é uma solução da equação de condução do calor u t = α 2 u xx. 4. Em um estudo de penetração de geada foi encontrado que a temperatura T após t dias e profundidade x (medida em centímetros) pode ser modelada pela função T (x, t) = T 0 + T 1 e λx sin(ωt λx), 11

12 onde ω e λ são constantes positivas. (a) Encontre T. Qual é o seu significado físico? x (b) Encontre T. Qual é o seu significado físico? t 5. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal numa temperatura absoluta T, pressão P e volume V é P V = mrt, onde R é a constante do gás. Mostre que: (a) P V (b) T P V T T P = 1 V T = mr T 6. A resistência total R produzida por três condutores com resistências R 1, R 2 e R 3 conectadas em paralelo num circuito elétrico é dada pela fórmula 1 R = R 1 R 2 R 3 Encontre R R A velocidade do som viajando através da água do oceano com salinidade de 35 partes por 1000 foi modelada pela função v = 1449, 2 + 4, 6T 0, 055T 2 + 0, 00029T 3 + 0, 016D, onde v é a velocidade do som (em m/s), T é a temperatura da água (em C) e D é a profundidade abaixo da superfície do oceano (em metros). Um mergulhador inicia seu mergulho na água do oceano; após 20 minutos, o mergulhador encontra-se descendo a uma velocidade de 0,5 m/min, constata uma temperatura de 12,5 C ao seu redor e uma diminuição da temperatura da água de aproximadamente 0,1 C a cada minuto. Estime a taxa de variação (por minuto) da velocidade do som na água do oceano percebida pelo mergulhador após 20 minutos de mergulho. 8. A voltagem V em um circuito elétrico simples está diminuindo lentamente à medida que a bateria se desgasta. A resistência R está lentamente aumentando à medida que o resistor se aquece. Use a lei de Ohm, V = IR, 12

13 para determinar como a corrente está variando no momento em que R = 400Ω, I = 0, 08A, dv dr = 0, 01V/s e = 0, 03Ω/s. dt dt 9. (Efeito Doppler) Se um som com frequência f s é produzido por uma fonte viajando por uma linha reta com velocidade v s e um observador está viajando com velocidade v o pela mesma linha, mas em sentido oposto ao da fonte, então a frequência do som percebido pelo observador é ( ) c + vo f o = f s, c v s em que c = 332 m/s é a velocidade do som. Suponha que, em um dado instante, você está em um trem viajando a 34 m/s e acelerando a 1, 2m/s 2. Um trem se aproxima de você pelo outro trilho na direção oposta, com velocidade de 40 m/s e aceleração de 1, 4m/s 2, e soa o seu apito que tem uma frequência de 460 Hz. Nesse instante, qual é a frequência percebida por você e quão rápida ela está mudando? 10. Próximo a uma bóia, a profundidade de um lago no ponto com coordenadas (x, y) é z = , 02x 2 0, 001y 3, onde x, y e z são medidos em metros. Um pescador num barco pequeno parte do ponto (80, 60) e se move na direção da bóia, que está localizada no ponto (0, 0). A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando o pescador parte? Explique. 11. Suponha que você está subindo uma colina cuja forma é dada pela equação z = , 005x 2 0, 01y 2, onde x, y e z são medidos em metros, e você está parado num ponto com coordenadas (60, 40, 966). O eixo x aponta para o leste e o eixo y aponta para o norte. (a) Se você caminhar para o sul, você começará a subir ou descer? Em qual taxa? (b) Se você caminhar para o noroeste, você começará a subir ou descer? Em qual taxa? (c) Em qual direção a inclinação da montanha é maior? Qual é a taxa de ascensão nessa direção? 13

14 12. Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos sanguíneos: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. A Lei de Hardy-Weinberg estabelece que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois diferentes alelos é P = 2ab + 2ao + 2ob onde a, b e o são as proporções de A, B e O na população. Use o fato de que a + b + o = 1 para mostrar que P é no máximo %. 14

15 Respostas Fixação: 1. (a) f x = 20x 3 y 2 + y 3 ; f y = 10x 4 y + 3xy 2 (b) z z = y sin(xy); = x sin(xy) x y (c) z x = x4 + 3x 2 y 2 2xy 2 ; z (x 2 + y 2 ) 2 y = 2y(x2 x 3 ) (x 2 + y 2 ) 2 (d) f x = 2xe x2 y 2 ; f y = 2ye x2 y 2 (e) z [ x = 2x x x 2 + y + ln(1 + 2 x2 + y 2 ) ] ; z y = 2x 2 y 1 + x 2 + y 2 (f) z x = yexy + xy 2 e xy ; z y = xexy + x 2 ye xy (g) z x = 2x[1 + ln(x2 + y 2 )]; z y = 2y[1 + ln(x2 + y 2 )] (h) g x = yx y 1 ; g y = x y ln x z 2. x = x z ; z y = y z. z 2x yzexyz 3. = x xye xyz 2z 4. (a) 11x + 3y z = 12 e (x, y, z) = (1, 2, 5) + λ(11, 3, 1), λ R (b) 4x + 2y z = 4 e (x, y, z) = (1, 1, 2) + λ(4, 2, 1), λ R (c) 2y z = 1 e (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ(0, 2, 1), λ R (d) 9x 8y z = 0 e (x, y, z) = (2, 2, 2) + λ(9, 8, 1), λ R 5. x + 6y 2z = 3 6. z = 2x + y (a) dz = 3x 2 y 2 dx + 2x 3 ydy (b) dz = y cos(xy)dx + x cos(xy)dy (c) du = 2se s2 t 2 ds 2te s2 t 2 dt 2p (d) dt = 1 + p 2 + v dp + 2v p 2 + v dv 2 8. (a) z 0,

16 (b) 1, f(1, 1) = (2, 2) 10. (a) 2x + y = 4 (b) 4x + y = (a) x 3y + 4z = 8 e (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, 6, 8), λ R (b) 6x + 3y + z = 9 e (x, y, z) = ( 1, 1, 3) + λ(6, 3, 1), λ R 2 (c) x y + 4z = 4 e (x, y, z) = (2, 2, 1) + λ(1, 1, 4), λ R dz 12. dt = (8t2 + 4t + 2)e 2t2 13. F (0) = dz 16. = 0; a curva γ(t) = (sin 3t, cos 3t) é uma curva de nível da dt função. dy 17. dx = + y) (3x2 (3y 2 + x) 18. z x = (yz + 3x2 ) (xy + 3z 2 ) 19. dy dz = 1 e dx dx = y x z 20. f (1, 1) = 0; a função é constante nessa direção. u 21. (a) 8 5 (b) 2 5 (c) Direção e sentido: f(1, 1) = (3, 3); taxa máxima de crescimento: f(1, 1) = (a) z = 1 + x + 5y (b) z = 3x + 4y 16

17 25. (a) z = 0 (b) z = 8x + 10y (a) Máximo: ( 1, 1); mínimo: (1, 1); pontos de sela: (1, 1) e ( 1, 1). ( ) 54 (b) Mínimo: 7, ( (c) Pontos de sela: 3, 3 ) ( e 3, 3 ) Máximo: f( 2, 2 ) = f( 2, 2 ) = ; Mínimo: f( 2 2, 2 ) = 2 2 f( 2, 2 ) = 1 2. ( ) , 4 11, (1, 1) ( f, 0, 1 + ) ( = f, 0, 1 ) 7 = Aplicação: 1. Família de elipses. 2. (a) T x, T y e T representam a variação da temperatura quando t consideramos apenas a longitude, a latitude e o tempo, respectivamente. (b) Como o ar está mais quente no oeste do que no leste, aumentando a longitude resulta num aumento da temperatura do ar: f x (158, 21, 9) positiva. Como o ar está mais quente no sul do que no norte, aumentando a latitude resulta numa redução da temperatura do ar: f y (158, 21, 9) negativa. Como o ar da tarde está mais quente que o ar da manhã, aumentando o tempo resulta num aumento da temperatura do ar: f t (158, 21, 9) positiva

18 4. (a) T x = λt 1e λx [sin(ωt λx) + cos(ωt λx)]; representa a variação da temperatura com a profundidade (num mesmo dia). (b) T t = T 1e λx ω cos(ωt λx); representa a variação da temperatura com o passar dos dias (num mesmo nível). 5. R 6. = R2. R 1 R A velocidade do som medida pelo mergulhador está decrescendo a uma taxa de aproximadamente 0,33 m/s a cada minuto. 8. A corrente está decrescendo a uma taxa de 0, A/s. 9. A frequência percebida é cerca de 577 Hz e ela está aumentando a uma taxa de aproximadamente 4,7 Hz/s (o som está ficando mais agudo). 10. A profundidade do lago está aumentando nessa direção, pois a derivada direcional correspondente é positiva. 11. (a) Começo a descer a uma taxa de 0,80 metros de altura para cada metro percorrido. (b) Começo a descer a uma taxa de 0,14 metros de altura para cada metro percorrido. (c) A inclinação ( da montanha atinge seu máximo na direção do gradiente 3 ) 5, 4. A taxa de ascensão nessa direção é de 5 1 metro de elevação para cada metro percorrido no caminho