1. O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume da esfera está aumentando quando o diâmetro for 80 mm?

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1 MAT ō Sem. 016 IMC UNIFEI Lista 4: Aplicações da Derivação 1. O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume da esfera está aumentando quando o diâmetro for 80 mm?. Uma partícula está se movimentando ao longo da curva xy = 8. Quando atinge o ponto (4, ), a coordenada y está decrescendo a uma taxa de 3 cm/s. Quão rápido a coordenada x do ponto está variando neste momento? 3. Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 30 km/h e o outro viaja para o oeste a 7 km/h. A qual taxa a distância entre os carros está aumentando duas horas depois? 4. A figura abaixo mostra a seção transversal de uma piscina com 0 pés de largura, 40 pés de comprimento, 3 pés de profundidade na parte rasa e 9 pés de profundidade na parte mais funda. Sabendo que a piscina está sendo preenchida com água a uma taxa de 0.8 pés cúbicos por minuto, quão rápido o nível da água estará subindo quando sua profundidade na parte mais funda for igual a 5 pés? (Embora 1 pé seja equivalente a m, não é necessário converter as unidades para resolver esta questão.) 5. Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 3 m 3 /min, constituindo uma pilha na forma de um cone cujo diâmetro da base e a altura são sempre iguais (veja a figura). Quão rápido a altura da pilha cresce quando está a 3 m de altura? 1

2 6. Se dois resistores com resistências R 1 e R estão conectados em paralelo, como na figura, então a resistência total R, medida em ohms (Ω), é dada por 1 R = 1 R R. Se R 1 e R estão aumentando a taxas de 0, 3 Ω/s e 0, Ω/s, respectivamente, quão rápido R está variando quando R 1 = 80 Ω e R = 100 Ω? 7. As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas, respectivamente, por Mostre que: senh(x) = ex e x cosh(x) = ex + e x. a) cosh (x) senh (x) = 1 b) c) d (senh(x)) = cosh(x) dx d (cosh(x)) = senh(x) dx 8. Uma linha de telefone é pendurada entre dois postes separados por 14 m e tem a forma da curva y = 0 cosh(x/0) 15, em que x e y são medidos em metros. a) Determine a inclinação dessa curva onde ela encontra o poste à direita.

3 b) Encontre o ângulo θ entre a reta tangente e o poste. 9. O polinômio de Taylor de grau n de uma função f(x) centrado em x = a é definido como P n (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)! (x a) f (n) (a) (x a) n. n! a) Encontre os polinômios de Taylor de grau 1, e 3 de f(x) = sen(x) centrados em a = 0. Faça os gráficos de f(x) e dos polinômios encontrados no mesmo plano cartesiano. O que é possível observar? b) Repita o item anterior considerando agora a função f(x) = x + 3 e a = 1 para a construção dos polinômios. 10. Encontre os valores máximos e mínimos absolutos das funções f(x) nos intervalos dados: a) f(x) = x 3 6x + 5, x [ 3, 5]. b) f(x) = x, x [0, 3]. x x + 1 c) f(x) = xe x /8, x [ 1, 4]. 11. Se a e b são números positivos, calcule o valor máximo da função f(x) = x a (1 x) b, onde x [0, 1]. 1. Se f(x) tem um valor mínimo local em x = c, mostre que a função g(x) = f(x) tem um valor máximo local em x = c. 13. Seja a função f(x) = x 1. Mostre que não existe um valor c tal que f(3) f(0) = f (c)(3 0). Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio? 14. Mostre que a equação x 3 15x + c = 0 tem no máximo uma raiz no intervalo [, ]. 15. Existe uma função f tal que f(0) = 1, f() = 4 e f (x) para todo x? 16. Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante de tempo e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade. (Dica: considere f(t) = g(t) h(t), onde g e h são as funções que descrevem as posições dos corredores em função do tempo.) 3

4 17. Considere a função f(x) = 4x 3 + 3x 6x + 1. a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente e/ou decrescente. b) Determine os valores máximo e mínimo locais de f(x). c) Ache os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. 18. Para quais valores dos números a e b a função f(x) = axe bx tem o valor máximo de f() = 1? 19. Mostre que a curva y = (1 + x)/(1 + x ) tem três pontos de inflexão e todos ficam sobre uma mesma reta. 0. Calcule, se possível, os limites: a) lim b) lim x c) lim sen 4x tg 5x ln x x x + sen x x + cos x d) lim (x ln x) e) lim x 1 + x1/(1 x) f) lim x a + cos x ln(x a) ln(e x e a ) g) lim x ( ) x+1 x 3 x Um cabo de metal tem raio r e é coberto por isolante, de modo que a distância do centro do cabo ao exterior do isolante é R. A velocidade de um impulso elétrico do cabo é dada por ( r ) ( r v = c ln, R R) onde c é uma constante positiva. Encontre os seguintes limites e interprete suas respostas: a) lim v b) lim v R r + r 0 + 4

5 . Seja f(x) = ex x. a) Determine o domínio de f(x). b) Verifique se f(x) é par, ímpar ou nenhuma das duas possibilidades. c) Determine, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f(x). d) Encontre os intervalos de crescimento e/ou decrescimento de f(x). e) Calcule os valores máximo e mínimo locais de f(x). f) Determine, caso existam, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão do gráfico de f(x). g) Esboce o gráfico da função usando todas as informações obtidas anteriormente. 3. Um fazendeiro quer cercar uma área de m em um campo retangular e então dividí-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma que minimize o custo da cerca? 4. Se um resistor de R ohms estiver ligado a uma pilha de E volts com resistência interna de r ohms, então a potência (em watts) no resistor externo é P = E R (R + r). Se E e r forem mantidos fixos, mas R variar, qual é o valor mínimo da potência? 5. Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r. Encontre o maior volume possível para este cilindro. 6. Encontre o ponto sobre a reta y = x + 3 que está mais próximo da origem. 7. Encontre uma equação para a reta que passa pelo ponto (3, 5) e que delimita a menor área do primeiro quadrante. 8. Um copo de papel em forma de cone é feito de maneira a conter 7 cm 3 de água. Ache a altura e o raio do copo que usa a menor quantidade possível de papel. 9. Mostre que, de todos os retângulos com um dado perímetro, aquele com a maior área é um quadrado. 30. Se um retângulo tiver sua base no eixo x e dois vértices sobre a curva y = e x, mostre que o retângulo tem a maior área possível quando os dois vértices estiverem nos pontos de inflexão da curva. 5