Cálculo I. Lista 3 - Aplicações de derivadas. Derivada como coeficiente angular. Derivada como taxa de variação

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1 1 Cálculo I Lista 3 - Aplicações de derivadas Derivada como coeficiente angular f(x 0 + h) f(x 0 ) 1. Usando que m = lim h 0 h f no ponto P (x 0, y 0 ). encontre a equação da reta tangente ao gráfico de (a) f(x) = x 2 + 2, P (1, 3) (b) f(x) = x 3 + x, P (0, 0) (c) f(x) = sen x, P (0, 0) (d) f(x) = 3 ( 2x 3, P ( 3, f(3) ) (e) f(x) = x 5 x, P 3, 3 ) (f) f(x) = x 3 2x 2 + 3, P ( 3 2 4, f ( )) 3 4 Derivada como taxa de variação 2. Um balão esférico ao ser inflado tem seu raio dado em função do tempo pela expressão r(t) = 3 3 t + 8 para 0 t 10. Determine a taxa de variação em relação ao tempo das seguintes grandezas em t = 8: a) raio do balão r(t) b) área da superfície do balão A(t) c) volume do balão V (t), onde a área da superfície do balão é dada por A = 4πr 2, e o volume do balão é V = 4 3 πr3. 3. A Lei de Boyle para os gases afirma que P V = c, onde P é a pressão, V o volume e c uma contante do gás. Suponhamos que a pressão dependa do tempo através da expressão P (t) = (20 + 2t)g/cm 3 para 0 t 10. Se o volume em t = 0 é 45cm 3, determine: a) a constante c, b) a taxa de variação do volume em função do tempo, c) a taxa de variação do volume em t = 5.

2 2 4. Carregando um capacitor num circuito RC. Um circuito RC (figura acima) é caracterizado pela associação em série de uma fonte de tensão (bateria) ɛ, um resistor R e um capacitor C. A carga q no capacitor é dado em função do tempo por ( q(t) = Cɛ 1 e t/rc). Uma vez que a corrente no circuito é definida como i(t) = dq(t), calcule a corrente elétrica dt em a) t = 0, b) t = 1 e c) t = 10 se ɛ = 12V, C = 1F e R = 2Ω. d) A corrente no circuito aumenta ou diminui com o tempo? Qual a corrente no limite t? Obs. Os símbolos V, F e Ω são usados para designar as unidades de potencial eletrostático volt, capacitância Faraday e resistência elétrica ohm. Derivação implícita 5. Supondo que cada equação abaixo defina uma função implícita (y = f(x)), determine y. a) x 2 y + xy 2 = 6 b) x 3 + y 3 = 18xy c) y 2 = x 1 x+1 d) x 2 = x y x+y e) x + seny = xy f) e x2y = 2x + 2y g) x 2 + y 2 = 1 h) x 2/3 + y 2/3 = 1 i) y 2 = e x2 + 2x j) y 2 2x = 1 2y k) 2 y = x y l) xy + y 2 = 1 m) 8x 2 + y 2 = 10 n) (y 2 9) 4 = (4x 2 + 3x 1) 2

3 3 6. Em cada ítem abaixo determine a equação da reta tangente ao gráfico da expressão dada no ponto indicado. a) xy + 16 = 0, P ( 2, 8) b) y 2 4x 2 = 5, P ( 1, 3) c) 2x 3 x 2 y + y 3 1 = 0, P (2, 3) d) 1 x + 3 y = 1, P (2, 6) 7. Determine uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor de t e calcule o valor de d2 y dx 2 : a) x = 2 cos t, y = 2 sin t, t = π/4 b) x = cos t, y = 3 cos t, t = 2π/3 c) x = t, y = t t = 1/4 d) x = t + 1, y = 3t, t = 3 e) x = 2t 2 + 3, y = t 4, t = 1 f) x = cos t, y = 1 + sin t, t = π/2 Taxas relacionadas 8. Uma escada de 5m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada se afasta horizontalmente da parede à razão de 3m/s, com que velocidade o topo da escada desliza parede abaixo quando está a 3m do chão? 9. Um homem de altura h caminha da esquerda para a direita (figura abaixo) com velocidade v passando por baixo de um poste de altura H. Quando o homem se encontra a x metros do poste, ele observa a sombra dele projetada a uma distância y do poste. Qual é a velocidade da ponta da sombra? H h x y

4 4 10. Quando duas resistências elétricas R 1 e R 2 são ligadas em paralelo, a resistência total R é dada por 1 R = Se R 1 e R 2 aumentam à taxa de 0, 01 Ω/s e 0, 02 Ω/s, respectivamente, R 1 R 2 determine: a) a taxa de variação de R em função do tempo, b) a taxa de variação de R no instante em que R 1 = 30 Ω e R 2 = 90 Ω. Obs. O símbolo Ω é usado para designar a unidade de resistência elétrica ohm. 11. Um tanque de água tem a forma de um cone circular reto invertido, de altura H = 12m e raio da base r = 6m, como mostra a figura abaixo. Bombeia-se água para o tanque a razão de 10l/min. Determine aproximadamente a taxa a qual o nível de água sobe no tanque quando a profundidade é de h = 3m. (Dica: O volume de um cone circular reto é V = πr 2 H/3, e 1000l = 1m 3 ). Linearização e diferenciais 12. Por meio de diferenciais, calcule a área de um anel de espessura t, i.e., um anel de raio interno r e raio externo r + dr = r + t. Qual o erro decorrente do emprego da fórmula aproximada no lugar da exata? 13. (a) Calcule por meio de diferenciais o volume de borracha usada na confecção de uma bola oca de espessura t, i.e., de raio interno r e raio externo r + dr = r + t. (b) Qual o erro decorrente do emprego da fórmula aproximada no lugar da exata? (c) Suponha r = 20cm e t = 1cm e calcule o volume aproximado da borracha utilizada e o erro decorrente do emprego de tal fórmula. (Volume de uma esfera de raio R é V = 4 3 πr3 ). 14. Use diferenciais para aproximar (Sugestão: faça y = f(x) = 3 x com x = 64 e x = 1. Considere f(x + x) f(x) + y).

5 5 15. Segundo a Teoria da Relatividade Especial, a energia de uma partícula que se move com velocidade v é dada por E(v 2 ) = mc 2 1 v 2 /c 2, onde c é a velocidade da luz e m sua massa. Se a velocidade v da partícula é muito pequena se comparada a c, i.e., v 2 c 2, podemos linearizar a expressão da energia e identificar que as primeira contribuições a E(v 2 ) são a energia de repouso E 0 e a energia cinética newtoniana E cin (v 2 ). Usando esse fato, determine E(v 2 ) para v 2 c 2. (Sugestão: faça x = v 2 /c 2 e 1 linearize a função f(x) = através da expressão f(x) f(0) + f (0) x substituindo 1 x x = x = v 2 /c 2 ). Extremos de funções 16. Determine os valores mínimos e máximos absolutos para cada função no intervalo dado. a) f(x) = 2 3x 5, 2 x 3 b) f(x) = x 4, 4 x 1 c) f(x) = 4 x 2, 2 x 1 d) g(x) = e x2, 2 x 1 e) f(x) = x 4/3, 1 x 8 f) f(x) = x 4, 1 x 8 g) f(θ) = θ 3/5, 32 x 1 h) g(θ) = 3θ 2/3, 27 x Represente graficamente as seguintes funções: a) y = x 2 4 b) y = 2x 2 + x c) y = x 2 4x + 3 d) y = x 3 3x + 3 e) y = x 4 + 2x 2 f) y = x 4 2x g) y = x 2/5 h) y = x 1/5 i) y = 2x 3 + 6x 2 3 j) y = ln(3 x 2 ) k) y = ln(cos x) l) y = x m) y = e x 2e x 3x n) y = 1 1+e x

6 6 Otimização 18. Qual é o menor perímetro possível para um retângulo cuja área é 16pol 2 e quais são suas dimensões? 19. Determine as dimensões de um cilindro circular reto com o maior volume possível que possa ser inscrito em uma esfera de raio 10cm. Qual é o seu volume máximo? 20. Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e os outros três lados por uma cerca elétrica feita de um fio. Com 800m de fio à disposição, qual é a maior área que você pode cercar e quais são suas dimensões? 21. Você está preparando um pôster retangular para conter 50pol 2 de material impresso, com margens superior e inferior de 4pol cada e margens à direita e à esquerda de 2pol cada. Que dimensões gerais minimizarão a quantidade de papel a ser utilizada? 22. Um silo será construído (exceto a base) na forma de um cilindro sob um hemisfério. O custo da construção por unidade de área da superfície é duas vezes maior para o hemisfério em relação ao lado do cilindro. Determine as dimensões para um volume fixo com custos de produção minimizados. Ignore a espessura das paredes e o desperdício durante a construção. 23. Quando o estanho metálico é mantida abaixo de 13, 2C, lentamente se torna quebradiço e acaba por esfarelar, tornando-se um pó cinza. Se forem mantidos durante anos a baixas temperaturas, objetos de estanho esfarelam-se espontaneamente. Os europeus, que observaram os tubos de estanho dos orgãos das igrejas se desintegrarem no passado, chamavam essa transformação de peste do estanho, porque parecia ser contagiosa - e em certo sentido era, pois o pó cinza catalisa a própria formação. Um catalisador para uma reação química é uma substância que aumenta a velocidade da reação sem sofrer mudança permanente. Uma reação autocatalítica é aquela em que o produto é o catalisador da própria formação. Uma reação desse tipo pode decorrer lentamente no início, quando a quantidade de catalisador é pequena, e também no final, mas quando a maioria da substância já foi consumida. Mas, nesse intervalo, quando tanto a substância original quanto o produto catalisador são abundantes, a reação ocorre mais rapidamente.

7 7 Em alguns casos, é razoável admitir que a velocidade de reação v = dx/dt é proporcional tanto à quantidade de substância original quanto à quantidade de produto. Ou seja, v pode ser expressa em função de x apenas e v = kx(a x) = kax kx 2 onde x é a quantidade de produto, a é a quantidade de substância no início e k é uma constante positiva. Com que valor de x a velocidade v apresenta um máximo? Qual é o valor máximo de v? 24. Custa para uma empresa c reais manufaturar e distribuir cada mochila. Se as mochilas são vendidas a x reais cada, o número de unidades vendidas é dado por n = a + b(100 x) x c onde a e b são constantes positivas. Qual preço de venda trará lucro máximo? 25. Você prepara uma agência de excursões que pratica os seguintes preços: 200 reais por pessoa, se 50 pessoas (o número mínimo necessário para fechar um grupo) participarem da excursão. Para cada pessoa a mais, até um máximo de 80 pessoas, o preço é reduzido em 2 reais. Custa reais (custo fixo) mais 32 reais por pessoa realizar a excursão. Quantas pessoas são necessárias para maximizar seu lucro? Regra de L Hopital 26. Calcule os seguintes limites: x 2 a) lim x 2 x 2 4 c) lim x 5x 3 2x 7x x 2 e) lim x 0 cos x 1 g) lim ln(sec x) x 0 x 2 i) lim x 1 + k) lim x 0 x 1 ln x + m) lim x 0 + xx ( 1 x 1 1 ln x ) t 3 4t + 15 b) lim x 3 t 2 t 12 sent 2 d) lim x 0 t f) lim θ π 2 2θ π cos(2π θ) h) lim t 0 t(1 cos t) t sent j) lim x x2 e x l) lim (ln x) 1 x x n) lim x 0 + ( x ) x