Universidade Federal de Viçosa

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1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 4 a Lista - MAT46 - Cálculo I 6/II ) Um fabricante de caixas de papelão de base quadrada deseja fazer caixas abertas de pedaços de papelão de m de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo volume seja o maior possível. ) Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio, e não se exige cerca ao longo do rio. Se o material da cerca custa R$, por metro para os extremos e R$ 3, por metro para o lado paralelo ao rio, encontre as dimensões do campo de maior área possível que pode ser cercado com um custo de R$ 48,. 3) Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto que mede 3 km de largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6 km, rio abaixo, de B. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A a C. Se o custo por km de cabo é 5% mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia? 4) (Lata cilíndric Se uma lata fechada de estanho, de volume específico, deve ter a forma de um cilindro circular reto, encontre o quociente da altura pelo raio da base se em sua fabricação será usada a menor quantidade de material possível. 5) Laranjais de Bebedouro produzem 6 laranjas por ano se não mais de laranjeiras forem plantadas por acre. Para cada laranjeira plantada a mais por acre, a produção por laranjeira diminui em 5 laranjas. Quantas laranjeiras por acre devem ser plantadas a fim de se obter o maior número de laranjas? 6) Uma folha de papel para um cartaz tem metro quadrado de área. As margens superior e inferior valem cm e as margens laterais 5 cm. Achar as dimensões da folha, sabendo que a área impressa é máxima. 7) Uma ilha está situada no ponto A, 8 km de distância da praia medidos a partir do ponto B mais próximo num trecho reto de litoral. Uma mulher na ilha deseja ir ao ponto C, 9 km praia abaixo a contar do ponto B. A mulher pode alugar um barco por R$, o quilômetro e viajar por mar até um ponto P situado entre B e C, e daí tomar um táxi a R$, 6 o quilômetro e viajar por uma estrada retilínea de P a C. Calcule a rota menos dispendiosa do ponto A ao ponto C. 8) Um chalé tem a forma de um triângulo isósceles de m de altura e 9 m de base. A iluminação na parede dos fundos é feita através de uma única janela retangular que vai até o chão. Ache as dimensões para que a área da janela seja a maior possível. 9) Deve-se construir um canteiro com a forma de um setor circular. Qual deve ser o raio do setor para que a área do canteiro seja a maior possível? Sabendo que dispomos de 36 m de fio para cercá-lo com três voltas? Qual é essa área máxima? ) Qual é o comprimento do menor caminho de A = (, ) e B = (3, ), num plano coordenado passando pelo eixo x?

2 ) Uma pessoa se acha em um bote a km de distância do ponto mais próximo em uma praia retilínea e deseja-se atingir uma casa a 6 km praia abaixo. Se a pessoa pode remar a razão de 3 km/h e andar a razão de 5 km/h, determine o tempo mínimo que levará para atingir a casa. ) Uma pessoa deseja construir e cercar um jardim retangular com 4 m. Ela necessita saber a largura do terreno de tal forma que a quantidade de material para cercá-lo seja mínimo. 3) De todos os retângulos com área m, qual é o que tem menor perímetro? 4) De todas as latas cilíndricas de volume 3 m 3, qual a que pode ser fabricada com menor quantidade de material? 5) Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 5 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, metros abaixo da central. O custo da obra através do rio é de R$ 64, por metro, enquanto, em terra, custa R$ 3,. Qual a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável? 6) À hora da tarde o navio A está a 3 km ao Sul do navio B e navega rumo ao Norte a 5 km/h. Se o navio B navega para Oeste a km/h, determine o instante em que a distância entre os dois navios é mínima. 7) Dois postes verticais de m e, 5 m de altura distam 3 m um do outro. Determine o comprimento do menor cabo que, partindo do topo de um poste, toque o solo e termine no topo do outro poste. 8) Uma imobiliária possui 8 apartamentos tipo econômico, que estão todos alugados por R$ 3, mensais. A imobiliária estima que, para cada R$, de aumento no aluguel, 5 apartamentos ficarão vazios. Qual o aluguel que deve ser cobrado para se obter renda mensal máxima? 9) Faça a antidiferenciação. Verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta. 3x 4 8x 4 + 4x 3 6x 4x + 5 e) f) g) x 3 5u 3 du 3 x 6t t dt (4x 3 + x ) y 3 (y 3) dy (3 t t ) dt p) x(x + ) (x 3 x) x x + 5 x + 4x 4 x 3 x + 3 x e x x ln() ) Determine a função y = y(x), y R tal que dy = 3x, y() = dy = x3 x +, y() = d y = e x, y() = e y () =

3 ) Resolva. Determine uma função y = f(x), definida num intervalo aberto I, com I, tal que f() =, e para todo x em I, dy = y. Determine uma função y = f(x), definida num intervalo aberto I, com I, tal que f() =, e para todo x em I, dy = xy. ) Calcule e 3x (x + 3e x ) cos(3x) sin(5x) e) (e x + e x f) x + sin x g) (3 + cos(x)) e x + e x e3x (sin(3x) + sin(5x) ( ) x + ex, x > sin x cos x 3 ( 3 x + cos(3x)) (x + e 3x ) 3) Resolva. (3x ) 3 3x 3x (3x ) e) x sin(x ) f) xe x g) x e x3 sin(5x) p) x 3 cos(x 4 ) cos(6x) cos 3 (x) sin(x) sin 5 (x) cos(x) x x + 3 x + 4x 3x 5 + 6x 3

4 q) r) s) x ( + 4x ) x + 3x e x + e x t) u) v) (x ) 3 sin(x) cos (x) xe x 4) Calcule xe x x sin(x) x e x x ln(x) e) ln(x) f) x ln(x) g) x sec (x) x(ln(x)) p) (ln(x)) xe x e x cos(x) e x sin(x) x 3 e x x 3 cos(x ) e x cos(x) x sin(x) 5) Resolva as integrais. sin x cos x sin x cos 3 x cos 3 x sin 3 x sin x cos x e) sin x + cos x f) sin x 5 + sin x g) sin 3 x cos 5 x tan 3 x sec x tan x sec x tan x sec 3 x tan 3 x sec 4 x sin x 3 + cos x sin x sec x 6) Calcule. (x + 3) (x + ) 4

5 e) f) ( + x) x x x g) x + x x 3 (x + ) + x x 7) Calcule a integral definida usando os resultados: π cos x =, π sin x = π (x 4x + 5) (x )(x + 3) x = 3, x = 3, π sin x =, π π ( sin x + 3 cos x + ) (cos x + 4) 8) Determine quais dos símbolos ou devem ser inseridos onde indicado. 3 3 (x 4) (x 6) 3 6 x x 9) Calcule x + x x (x + ) 3 5x 3x 4 x e) f) g) π x x 3 + xe x x 3 e x4 sin x 3) Desenhe o conjunto A dado e calcule a área. A é o conjunto do plano limitado pelas retas x =, x = 3, pelo eixo x e pelo gráfico de y = x 3. A é o conjunto do plano limitado pelas retas x =, x = 4, y = e pelo gráfico de y = x. A é a região do primeiro quadrante, limitada pela curva y = x x + 5 pelo eixo x e pela reta x =. A é a área da região limitada pela curva y = x 4x pelo eixo x e pelas retas x = e x = 3. 3) Desenho o conjunto A dado e calcule a área. ( A é o conjunto de todos (x, y) tais que x y. ( A é o conjunto de todos (x, y) tais que y 4 x. ( A é a região plana compreendida entre o eixo x e o gráfico de y = x x, com x. 5

6 ( A é a região do plano limitado pela reta y = e pelo gráfico de y = 3 x x, com x. + x 3) Verifique que y = é uma solução da equação diferencial x (xy + x) + (x y y)y =. 33) Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais y = x y y = x y = yx 3 y + y sen x = y = 3x 3 + x e) y = (cos x)(cos (y)) f) xy = x g) dy = x e x y + e y dy = x + y 3e x tg x + ( e x ) sec ydy = 34) Resolva os seguintes problemas de valor inicial x + ye x dy =, y() = y = x y + x y, y() = y = x(x + ) 4y 3, y() = y = e x e x 3 + 4y, y() = 6