CÁLCULO III - MAT Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas seguintes funções:

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza CÁLCULO III - MAT a Lista de exercícios 1. Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas seguintes funções: (a) f(x, y) = x 2 + xy + y 2 + 3x 3y + 4 (b) f(x, y) = 2xy 5x 2 2y 2 + 4x + 4y 4 (c) f(x, y) = 5xy 7x 2 + 3x 6y + 2 (d) f(x, y) = 2xy x 2 2y 2 + 3x + 4 (e) f(x, y) = 2x 2 + 3xy + 4y 2 5x + 2y (f) f(x, y) = x 2 y 2 2x + 4y + 6 (g) f(x, y) = 56x 2 8y 2 16x x (h) f(x, y) = 1 3 x 2 + y 2 (i) f(x, y) = x 3 y 3 2xy + 6 (j) f(x, y) = x 3 + 3xy + y 3 (k) f(x, y) = 6x 2 2x 3 + 3y 2 + 6xy (l) f(x, y) = x 3 + y 3 + 3x 2 3y 2 8 (m) f(x, y) = x 3 + 3xy 2 15x + y 3 15y (o) f(x, y) = 4xy x 4 y 4 (q) f(x, y) = 1 x 2 + y 2 1 (s) f(x, y) = ysen x (u) f(x, y) = e x2 +y 2 4x (n) f(x, y) = 2x 3 + 2y 3 9x 2 + 3y 2 12y (p) f(x, y) = x 4 + y 4 + 4xy (r) f(x, y) = 1 x + xy + 1 y (t) f(x, y) = e 2x cos y (v) f(x, y) = e y ye x (w) f(x, y) = e y (x 2 + y 2 ) (x) f(x, y) = e x (x 2 y 2 ) (y) f(x, y) = 2 ln x + ln y 4x y (z) f(x, y) = ln(x + y) + x 2 y 2. Em cada item, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados. (a) f(x, y) = 2x 2 4x + y 2 4y + 1 na placa triangular fechada e limitada pelas retas x = 0, y = 2, y = 2x no primeiro quadrante. (b) f(x, y) = x 2 xy + y na placa triangular fechada e limitada pelas retas x = 0, y = 4, y = x no primeiro quadrante. (c) f(x, y) = x 2 + y 2 na placa triangular fechada e limitada pelas retas x = 0, y = 0, y = 2 2x no primeiro quadrante. (d) f(x, y) = x 2 + xy + y 2 6x na placa retangular 0 x 5, 3 y 3. (e) f(x, y) = x 2 + xy + y 2 6x + 2 na placa retangular 0 x 5, 3 y 0. (f) f(x, y) = 48xy 32x 2 24y 2 na placa retangular 0 x 1, 0 y 1. (g) f(x, y) = (4x x 2 ) cos y na placa retangular 1 x 3, π/4 y π/4. (h) f(x, y) = 4x 8xy + 2y + 1 na placa triangular limitada pela retas x = 0, y = 0, y = 1 x no primeiro quadrante. 3. Encontre dois números a e b com a b tais que tenha seu valor máximo. b a (6 x x 2 )dx 1

2 4. Encontre dois números a e b com a b tais que tenha seu valor máximo. b a (24 2x x 2 ) 1/3 dx 5. Temperatura. Uma placa circular plana tem o formato da região x 2 + y 2 1. A placa, incluindo a fronteira onde x 2 + y 2 = 1, é aquecida de tal modo que a temperatura no ponto (x, y) é T (x, y) = x 2 + 2y 2 x. Encontre as temperaturas nos pontos mais quentes e mais frios da placa. 6. Encontre o ponto crítico de f(x, y) = xy + 2x ln(x 2 y) no primeiro quadrante aberto (x > 0, y > 0) e mostre que f assume um valor mínimo ali. 7. Mostre que (0, 0) é um ponto crítico de f(x, y) = x 2 + kxy + y 2, não importando qual o valor da constante k. 8. Para quais valores da constante k o teste da derivada de segunda ordem garante que f(x, y) = x 2 + kxy + y 2 terá um ponto de sela em (0, 0)? Um máximo local em (0, 0)? Para quais valores de k o teste da derivada de segunda ordem é inconcludente? Justifique sua resposta. 9. Dentre todos os pontos no gráfico de z = 10 x 2 y 2 que estão acima do plano x + 2y + 3z = 0, encontre o ponto mais distante no plano. 10. Encontre o ponto no gráfico de z = x 2 + y mais próximo do plano x + 2y z = Encontre o ponto no plano 3x + 2y + z = 6 que esta mais próximo da origem. 12. Encontre três números cuja soma seja 9 e cuja soma de quadrados seja um mínimo. 13. Encontre três números positivos cuja soma seja 3 e cujo produto seja um máximo. 14. Encontre o valor máximo de s = xy + yz + xz onde x + y + z = Dentre todas as caixas retangulares de volume 27 cm 3, qual é a menor área de superfície? 16. Você construirá uma caixa retangular aberta a partir de 12 pés 2 de material. Quais dimensões resultarão em uma caixa de máximo volume? 17. Considere a função f(x, y) = x 2 + y 2 + 2xy x y + 1 sobre o quadrado 0 x 1 e 0 y 1. (a) Mostre que f tem um mínimo absoluto ao londo do segmento de reta 2x + 2y = 1 nesse quadrado. Qual é o valor mínimo absoluto. (b) Encontre o valor máximo absoluto de f sobre o quadrado. 18. Em cada item, identifique e classifique (se existem) os pontos estacionários das superfícies que tem as seguintes equações cartesianas: (a) z = x 2 + (y 1) 2. (b) z = x 2 (y 1) 2. (c) z = 1 + x 2 y 2. (d) z = (x y + 1) 2. (e) z = 2x 2 xy 3y 2 3x + 7y. (f) z = x 2 xy + y 2 2x + y. (g) z = x 3 3xy 2 + y 3. (h) z = x 2 y 3 (6 x y). (i) z = x 3 + y 3 3xy. (j) z = sen x cosh y. (k) z = e 2x+3y (8x 2 6xy + 3y 2 ). (l) z = (5x + 7y 25)e (x2 +xy+y 2). (m) z = sen x sen y sen(x + y), x, y [0, π]. (n) z = x 2y + ln ( y x 2 + y arctan, x > 0. x) (o) z = (x 2 + y 2 )e (x2 +y 2). 2

3 19. Seja f(x, y) = 3x 4 4x 2 y + y 2. Mostre que sobre toda reta da forma y = mx a função tem um mínimo em (0, 0), mas não existe mínimo relativo em nenhuma vizinhança bidimensional do origem. Faça um esboço indicando o conjunto de pontos (x, y) nos quais f(x, y) > 0 e o conjunto no qual f(x, y) < Seja f(x, y) = (3 x)(3 y)(x + y 3). (a) Faça um desenho indicando o conjunto de pontos (x, y) nos quais f(x, y) = 0. (b) Encontre todos os pontos (x, y) do plano nos quais D 1 f(x, y) = D 2 f(x, y) = 0. (e) Quais dos pontos estacionários são máximos relativos? Quais são mínimos relativos? Quais são nenhuma nem outra? Justifique suas respostas. (d) f tem um mínimo absoluto ou um máximo absoluto em todo o plano? Justifique sua resposta. 21. Determine todos os valores extremos absolutos e relativos e os pontos de sela para a função f(x, y) = xy(1 x 2 y 2 ) no quadrado 0 x 1, 0 y Determine as constantes a e b para que a integral 1 0 (ax + b f(x)) 2 dx toma o valor menor possível se (a) f(x) = x 2 ; (b) f(x) = (x 2 + 1) Seja f(x, y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F, onde A > 0 e B 2 < AC. (a) Mostre que existe um ponto (x 1, y 1 ) no qual f tem um mínimo. (b) Mostre que f(x 1, y 1 ) = Dx 1 + Ey 1 + F em esse mínimo. (c) Mostre que 1 f(x 1, y 1 ) = AC B 2 det A B D B C E D E F 24. Método dos mínimos quadrados. Dados n números distintos x 1,..., x n e outros n números y 1,..., y n (não necessariamente distintos), é em geral impossível encontrar uma reta f(x) = ax + b que passe por todos os pontos (x i, y i ), isto é, tal que f(x i ) = y i, para cada i. Entretanto, podemos encontrar uma função linear com a que o erro quadrático total E(a, b) = [f(x i ) y i ] 2 seja mínimo. Determine os valores de a e b para que isto aconteça. 25. Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a reta que melhor se ajusta aos dados: (a) (1, 3), (2, 7) e (3, 8) (b) (0, 1), (1, 3), (2, 3) e (3, 4) i=1 26. Estender o método dos mínimos quadrados a R 3. Isto é, encontre uma função linear f(x, y) = ax + by + e que minimize o error quadrático total E(a, b, c) = [f(x i, y i ) z i ] 2, onde (x i, y i ) são n pontos distintos dados e z 1,..., z n são n números reais dados. 27. Sejam z 1,..., z n n pontos distintos em R m. Se x R m, definamos Mostre que f tem um mínimo no a = 1 n f(x) = i=1 x z k 2. k=1 z k (centroide). k=1. 3

4 28. Seja a um ponto estacionário de um campo escalar f com derivadas parciais de segundo ordem contínuas numa n-bola B(a). Mostre que f tem um ponto de sela em a se pelo menos dois elementos da diagonal principal da matriz hessiana H(a) tem sinais opostos. 29. Verifique que o campo escalar f(x, y, z) = x 4 + y + z 4 4xyz tem um ponto estacionário em (1, 1, 1), e determine a natureza desse ponto estacionário calculando os autovalores de sua matriz hessiana. 30. Seja f(x, y) = ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + l onde a, b, c, d, e e l são constantes. Prove que se (x 0, y 0 ) for extremante local de f, então será extremante global. 31. Considere as retas reversas r e s de equações (x, y, z) = (0, 0, 2) + λ(1, 2, 0), λ R e (x, y, z) = (0, 0, 4) + µ(1, 1, 1), µ R respectivamente. Determine P e Q, com P r e Q s, de modo que a distância de P a Q seja a menor possível. 32. Determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y. Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários p 1 e p 2, respectivamente, que dependem de x e y conforme as equações: p 1 = 120 2x e p 2 = 200 y. O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por C = x 2 + 2y 2 + 2xy. Admitindo que toda a produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro. 33. Para produzir determinado produto cuja quantidade é representada por z, uma empresa utiliza dois fatores de produção (insumos) cujas quantidades serão indicadas por x e y. Os preços unitários dos fatores de produção são, respectivamente, 2 e 1. O produto será oferecido ao mercado consumidor a um preço unitário igual a 5. A função de produção da empresa é dada por z = 900 x 2 y x + 41y. Determine a produção que maximiza o lucro. 34. Determine o ponto do plano 3x + 2y + z = 12 cuja soma dos quadrados das distâncias a (0, 0, 0) e (1, 1, 1) seja mínima. 35. Considere a função f(x, y) = 1 x 2 y 2, x 0 e y 0. Determine o plano tangente ao gráico de f que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo. 36. Seja f(x, y, z) de classe C 2 e seja (x 0, y 0, z 0 ) um ponto interior de Dom(f). Suponhamos que (x 0, y 0, z 0 ) seja ponto crítico de f. Sejam H(x, y, z) e H 1 (x, y, z) dadas por H(x, y, z) = det Mostre que x 2 x z y 2 y z x z y z z 2 e H 1 (x, y, z) = det x 2 (i) Se 2 f x 2 (x 0, y 0, z 0 ) > 0, H 1 (x 0, y 0, z 0 ) > 0 e H(x 0, y 0, z 0 ) > 0 então (x 0, y 0, z 0 ) é ponto de mínimo local. (ii) Se 2 f x 2 (x 0, y 0, z 0 ) < 0, H 1 (x 0, y 0, z 0 ) > 0 e H(x 0, y 0, z 0 ) < 0 então (x 0, y 0, z 0 ) é ponto de máximo local. Também estude com relação a máximos e mínimos locais da função f(x, y, z) = (a) x 2 + 5y 2 + 2z 2 + 4xy 2x 4y 8z + 2 (b) x 3 + y 3 + z 3 3x 3y 3z + 2 y 2. (c) x 3 + 2xy + y 2 + z 2 5x 4z (d) x 2 y 2 + 4z 2 + 2xz 4yz 2x 6z 37. Extremos em uma elipse. Encontre os pontos na elipse x 2 + 2y 2 = 1 onde f(x, y) = xy tem seus valores extremos. 4

5 38. Extremos em uma circunferência. Encontre os valores extremos de f(x, y) = xy sujeitos à restrição g(x, y) = x 2 + y Extremos em uma reta. Encontre os valores extremos locais de f(x, y) = x 2 y na reta x + y = Extremos em uma curva. Encontre os pontos na curva x 2 + xy + y 2 = 1 no plano XY que estão mais próximos e mais distantes da origem. 41. Cilindro em uma esfera. Encontre o raio e altura do cilindro circular reto aberto de maior área de superfície que pode ser inscrito em uma esfera de raio a. Qual é a maior área de superfície? 42. Retângulo de maior área em uma elipse. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito na elipse x 2 /16 + y 2 /9 = 1 com lados paralelos aos eixos coordenados. 43. Retângulo de perímetro mais longo em uma elipse. Encontre as dimensões do retângulo de maior perímetro que pode ser inscrito na elipse x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 com lados paralelos aos eixos coordenados. Qual é o maior perímetro? 44. Formiga em uma placa de metal. A temperatura em um ponto (x, y) em uma placa de metal é T (x, y) = 4x 2 4xy + y 2. Uma formiga sobre a placa anda ao redor de uma circunferência de raio 5 centrado na origem. Quais são as temperaturas mais alta e mais baixa encontradas pela formiga? 45. Tanque de armazenamento mais barato. Sua empresa foi solicitada a projetar um tanque de armazenamento para gás liquefeito de petróleo. As especificações do cliente exigem um tanque cilíndrico com extremidades hemisféricas, e o tanque deve ter capacidade para m 3 de gás. O cliente deseja também utilizar a menor quantidade possível de material na fabricação do tanque. Qual raio e qual altura você recomenda para a parte cilíndrica do tanque. 46. Mínima distância à origem. Encontre a mínima distância da superfície x 2 y 2 z 2 = 1 à origem. 47. Mínima distância à origem. Encontre os pontos na superfície z 2 = xy + 4 mais próximos à origem. 48. Extremos em uma esfera. Encontre os valores máximo e mínimo de na esfera x 2 + y 2 + z 2 = 30. f(x, y, z) = x 2y + 5z 49. Minimizando uma soma de quadrados. Encontre três números reais cuja soma seja 9 e a soma de seus quadrados seja menor possível. 50. Maximizando uma produto. Encontre o maior produto que os números positivos x, y e z podem ter se x 2 + y 2 + z 2 = Ponto mais quente em uma sonda espacial. Uma sonda espacial no formato do elipsoide 4x 2 + y 2 + 4z 2 = 16 entra na atmosfera terrestre e sua superfície começa a se aquecer. Depois 1 hora, a temperatura no ponto (x, y, z) na superfície da sonda é T (x, y, z) = 8x 2 + 4yz 16z Encontre o ponto mais quente na superfície da sonda. 52. Temperaturas extremas em uma esfera. Suponha que a temperatura em Celsius no ponto (x, y, z) na esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 seja T = 400xyz 2. Localize as temperaturas mais alta e mais baixa na esfera. 53. Localizando um radiotelescópio. Você está encarregado de montar um radiotelescópio em um planeta recém-descoberto. Para minimizar interferências, você deseja posicioná-lo onde o campo magnético do planeta é mais fraco. O planeta é esférico, com um raio de 6 unidades. Com base em um sistema de coordenadas cuja origem seja no centro do planeta, a intensidade do campo magnético é fornecida por M(x, y, z) = 6x y 2 + xz Onde você deve posicionar o radiotelescópio? 5

6 54. Máximo valor na reta de interseção. Encontre o valor máximo que f(x, y, z) = x 2 + 2y z 2 pode ter na reta de interseção dos planos 2x y = 0 e y + z = Extremos em uma curva de interseção. Encontre os valores de f(x, y, z) = x 2 yz + 1 na interseção do plano z = 1 com a esfera x 2 + y 2 + z 2 = Extremos em uma circunferência de interseção. Encontre os valores extremos da função f(x, y, z) = xy + z 2 na circunferência na qual o plano y x = 0 cruza a esfera x 2 + y 2 + z 2 = Encontre os valores extremos de z = xy com a condição x + y = Encontre as distâncias máxima e mínima desde o origem à curva 5x 2 + 6xy + 5y 2 = Suponhamos que a e b são números positivos fixos. (a) Encontre os valores extremos de z = x/a + y/b sujeita à condição x 2 + y 2 = 1. (b) Encontre os valores extremos de z = x 2 + y 2 sujeita à condição x/a + y/b = 1. Em cada caso, interprete geometricamente o problema. 60. Encontre os valores extremos de z = cos 2 x + cos 2 y sujeita à condição x y = π/ Encontre os valores extremos do campo escalar f(x, y, z) = x 2y + 2z na esfera x 2 + y 2 + z 2 = Encontre os pontos da superfície z 2 xy = 1 mais próximos ao origem. 63. Encontre a mínima distância desde o ponto (1, 0) à parábola y 2 = 4x. 64. Encontre os pontos da curva de interseção das duas superfícies que estão mais próximos ao origem. x 2 xy + y 2 z 2 = 1 e x 2 + y 2 = Se a, b e c são números positivos, encontre o valor máximo de f(x, y, z) = x a y b z c sujeita à seguinte condição x + y + z = Encontre o volumem mínimo limitado pelos planos x = 0, Y = 0, z = 0, e um plano que seja tangente ao elipsoide a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 em um ponto do octante x > 0, y > 0, z > 0. x Encontre o máximo de ln x + ln y + 3 ln z na porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 onde x > 0, y > 0, z > 0. Aplique este resultado para mostrar que para números reais positivos a, b, c temos ( ) 5 a + b + c abc Dada a seção cônica Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 = 1, sendo A > 0 e B 2 < AC. Representemos com m e M as distâncias mínima e máxima desde o origem aos pontos da cônica. Mostre que e encontre uma fórmula análoga para m 2. M 2 = A + C + (A C)2 + 4B 2 2(AC B 2 ) 69. Aplique o método dos multiplicadores de Lagrange para encontre as distâncias máxima e mínima de um ponto da elipse x 2 + 4y 2 = 4 à reta x + y = A seção transversal de uma calha é um trapezoide isósceles. Se a seção transversal da calha for feita dobrando os lados de uma tira de metal com c metros de largura, qual deve ser o ângulo de inclinação dos lados iguais e o comprimento da parte inferior se a área da seção transversal for máxima? Foz do Iguaçu, 27 de novembro de 2017 Víctor Arturo Martínez León 6