1o sem profa. daniela m. vieira. (a) f(x, y) = 3x y no conjunto A de todos (x, y) tais que x 0, y 0, y x 3, x + y 4 e

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1 mat51 - cálculo várias variáveis i - licenciatura 1o sem profa daniela m vieira SÉTIMA LISTA DE EXERCÍCIOS (1) Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado (a) f(x, y) = x y no conjunto A de todos (x, y) tais que x 0, y 0, y x, x + y 4 e x + y 6 (b) f(x, y) = x y em A = {(x, y) R : x + y 1} (c) f(x, y) = x + xy x em A = {(x, y) R : x 0, y 0 e x + y 1} (d) f(x, y) = xy em A = {(x, y) R : x 0, y 0 e x + y 5} (e) f(x, y) = y x em A = {(x, y) R : x + y 4} (f) f(x, y) = x xy + y em A = {(x, y) R : x + y 1} Respostas: (a) (0, ( ) é ponto de mínimo; (, 0) é ponto de máximo (b) ) ( , ) é ponto de mínimo; 10 10, é ponto de máximo 10 (c) (0, y), 0 y 1 são pontos de máximo; (1, 0) é ponto de mínimo (d) (x, 0), 0 x 5 ( 5 e (0, y), 0 y 5, são pontos de mínimo; 4, 5 ) são pontos de máximo (e) (, 0) e (, 0) são pontos de mínimo; (0, ) e (0, ) são pontos de máximo (f) (0, 0) é ponto de mínimo; (0, 1) e (0, 1) são pontos de máximo () Suponha que T(x, y) = 4 x y represente uma distribuição de temperatura no plano Seja A = {(x, y) R : x 0, y 0, y xey + x 4} Determine o ponto de A de menor temperatura Temos T (x, y) = x, x T (x, y) = y y Logo, (0, 0) é o único ponto crítico Temos nas fronteiras: g 1 (t) = f(0, t) = 4 t, t [0, ], 1

2 g (t) = f(t, t) = 4 t, t [0, 4/], g (t) = f(t, t/ + ) = 5 4 t + t, t [0, 4/] Pontos críticos da g 1, g e g, são 0, 0, /5, respectivamente Logo, tiraremos que (0, ) é ponto de mínimo () Determine (x, y) que maximiza (minimiza) a função f(x, y) = x + y, com x e y sujeitos as restrições: y = 1 x e 0 x 1 Temos f (x, y) = x, x f (x, y) = 4y y Para encontrarmos seus pontos críticos basta resolvermos o sistema x = 0, 4y = 0, donde concluímos que (x, y) = (0, 0) é o único ponto críticos Sobre a restrição teremos g(x) = f(x, 1 x) = 9x 8x +, e a g só tem um ponto crítico x = 4 Logo, g(0) =, g(4/9) = 18/81 e g(1/) = 1/4, então mínimo 9 para (x, y) = (0, 1) e máximo para (x, y) = (4/9, 1/9) (4) Determine o ponto da reta x + y = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo f(x, y) = xy, g(x, y) = x + y 1 (y, x) = λ (1, ) x + y = 1 g(x, y) (0, 0) y = λ x = λ x + y = 1 g(x, y) (0, 0)

3 Substituindo a primeira e segunda equação na terceira, tiramos λ = 1 ( 4 1 Portanto, (x, y) =, 1 ) 4 (5) Determine o ponto da parábola y = x mais próximo de (14, 1) f(x, y) = (x 14) + (y 1), g(x, y) = y x (x 8, y ) = λ ( x, 1) y = x g(x, y) (0, 0) x 8 = λx y = λ y = x g(x, y) (0, 0) Substituindo λ dado pela segunda equação na primeira, e usando y = x, teremos 4x x 8 = 0, que possui única raiz real x =, então y = 4 Portanto, (x, y) = (, 4) (6) Determine o ponto do elipsóide x + 4y + z = 1 que maximiza a soma x + y + z f(x, y, z) = x + y + z, g(x, y, z) = x + 4y + z 1 (1,, 1) = λ (x, 4y, z) x + 4y + z = 1 1 = λx = 4λy 1 = λz x + 4y + z = 1 Substituindo a primeira, segunda e terceira equação na quarta, obtemos λ = ±

4 Portanto, (, 6, ) ( maximiza e, 6, ) minimiza (7) Determine o ponto do plano x + y z = 4 mais próximo da origem f(x, y, z) = x + y + z, g(x, y, z) = x + y z 4 (x, y, z) = λ (1,, ) x + y z = 4 x = λ y = λ z = λ x + y z = 4 Substituindo a primeira, segunda e terceira equação na quarta, obtemos λ = 4 ( 7 Portanto, (x, y, z) = 7, 4 ) 7, 6 7 x + y + z = 1 (8) Determine o ponto da reta que se encontra mais próximo da origem x + y + z = 4 Esta reta pode ser parametrizada por r(t) = ( + t, t, t), t R Considerando f(x, y, z) = x + y + z, obtemos g(t) = f(r(t)) = ( + t) + t + ( + t), e logo g (t) = t + 18 e g (t) = O ponto crítico da g é t = 9 ( 11, e é mínimos, pois g 9 ) = 11 > 0 ( Assim, r 9 ) ( 4 = 11 11, 9 11, 5 ) é o ponto mais próximo da origem 11 (9) Encontre os pontos da elipse x + xy + y = (de centro na origem) mais próximos e os mais afastados da origem Desenhe a elipse 4

5 f(x, y) = x + y, g(x, y, z) = x + xy + y (x, y) = λ (x + y, x + y) x + xy + y = g(x, y) (0, 0) x = λ(x + y) y = λ(x + y) x + xy + y = g(x, y) (0, 0) Veja que se λ = 1, então termos (x, y) = (0, 0), mas este ponto não está sobre a elipse Logo, ( ) λ tiramos que x = (1 λ) y e y = λ λ x Logo, obtemos 1 x = 0, mas como (1 λ) 4(1 λ) x 0, segue que 4(1 λ) = λ, e então teremos λ 1 = e λ = Assim obtemos os pontos, (, ), (, ), ( 1, 1) e (1, 1) E mais, f(, ) = 6, f(, ) = 6, f( 1, 1) = e f(1, 1) = Logo, os ponto (, ) e (, ) serão os mais distantes, e ( 1, 1) e (1, 1) os mais próximos x y Figura 1: (10) Determine o ponto da superfície, x > 0, y > 0, que se encontra mais próximo da origem f(x, y, z) = x + y + z, g(x, y, z) = xyz 1 5

6 (x, y, z) = λ (yz, xz, xy) x = λyz y = λxz z = λxy Multiplicando a primeira por x temos, x = λ; a segunda por y temos, y = λ; a terceira por z temos, z = λ Fazendo o produto delas, obtemos 8(xyz) = λ, isto é, λ = Portanto, o ponto será (1, 1, 1) (11) Determine três números positivos cuja soma é 6 e cujo produto seja máximo f(x, y, z) = xyz, g(x, y, z) = x + y + z 6 (yz, xz, xy) = λ (1, 1, 1) yz = λ xz = λ xy = λ Da primeira equação e da segunda, teremos que z(y x) = 0 Mas, olhando para o sistema tiramos que z = 0, então y = x Usando a mesma ideia, tiramos z = y = x Substituindo na nossa condição tiramos, e levando em conta que x, y, z > 0, x = 1 6

7 Portanto, cada um dos três é igual a 1 (1) Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com 1m de volume e com a forma de um paralelepípedo retangular O material a ser utilizado na confecção do fundo custa o dobro do que será utilizado nas laterais Determinar as dimensões da caixa que minimiza o custo do material Suponhamos que o valor por m é R > 0 f(x, y, z) = Rxy + Ryz + Rxz, g(x, y, z) = xyz 1 (Ry + Rz, Rx + Rz, Ry + Rx) = λ (yz, xz, xy) (y + z) = λyz (x + z) = λxz (x + y) = λxy Multiplicando a primeira equação por x e a segunda por y, teremos que x(y + z) = y(x + z), ou seja, xz yz = 0 Mas, olhando para o sistema tiramos que z = 0, então y = x Usando a mesma ideia, tiramos z = y = x Substituindo na nossa condição tiramos, e levando em conta que x, y, z > 0, x = 1 Portanto, será um cubo cujo a medida do lado é 1 (1) Deseja-se construir um paralelepípedo-retangular com com área total 100cm Determine as dimensões para o volume ser máximo f(x, y, z) = xyz, 7

8 g(x, y, z) = xy + yz + xz 50 yz = λ(y + z) (yz, xz, xy) = λ (y + z, x + z, x + y) xz = λ(x + z) xy + yz + xz = 50 xy = λ(x + y) xy + yz + xz = 50 Multiplicando a primeira equação por x e a segunda por y, teremos que λx(y + z) = λy(x + z), ou seja, λ (xz yz) = 0 Mas, olhando para o sistema tiramos que λ, z = 0, então y = x Usando a mesma ideia, tiramos z = y = x Substituindo na nossa condição tiramos, e levando em conta que x, y, z > 0, x = 5 6 Portanto, será um cubo cujo a medida do lado é 5 6 (14) Determine o paralelepípedo-retangular de volume máximo, com arestas paralelas aos eixos coordenados, inscrito no elipsóide x 4 + y 9 + z 16 = 1 f(x, y, z) = xyz, g(x, y, z) = x 4 + y 9 + z 16 1 ( x (yz, xz, xy) = λ, 9 y, 1 ) 8 z x + y + z = 4 yz = λ x x xz = λ 9 y xy = λ 1 8 z x 4 + y 9 + z 16 = 1 8

9 Multiplicando a primeira equação por x e a segunda por y, teremos que λ x = λ 9 y, ou seja, ( x λ ) 9 y = 0 Mas, olhando para o sistema tiramos que λ = 0, então y = ± x Usando a mesma ideia, tiramos Substituindo na nossa condição tiramos Portanto, os vértices serão dados por: ( 4, 6, 8 ( ), 4 6 8,, ), ( 4, 6, 8 ) z = ± ± 4 y = ±x x = ± 4 ( 4, 6, ( 4, ( 8 4 ), 6, 8 ), 6, 8 ), ( 4, 6,, ( 4, 6, 8 ), 8 ), (15) A temperatura T em qualquer ponto (x, y, z) do espaço é dada por T(x, y, z) = 100x yz Determine as temperaturas máxima e mínima sobre a esfera x + y + z 4 Temos T (x, y, z) = 00xyz, x T y (x, y, z) = 100x z, T z (x, y, z) = 100x y Logo, temos como pontos críticos (x, 0, 0), x R Para estudar a fronteira, vamos utilizar os multiplicadores de Lagrange T(x, y, z) = 100x yz, g(x, y, z) = x + y + z 4 9

10 00xyz = λx (00xyz, 100x z, 100x y) = λ(x, y, z) 100x z = λy x + y + z = 4 100x y = λz x + y + z = 4 Multiplicando a primeira equação por y e a segunda por x, teremos que 00xy z = 100x z, ou seja, xz(y x ) = 0 Mas, olhando para o sistema tiramos que x, z = 0, então y = ± x Usando a mesma ideia, tiramos z = ±y = ± x Substituindo na nossa condição tiramos x = ± Assim teremos os ponto (, 1, 1), (, 1, 1), (, 1, 1), (, 1, 1), (, 1, 1), (, 1, 1), (, 1, 1), e (, 1, 1), logo T(, 1, 1) =, T(, 1, 1) =, T(, 1, 1) =, T(, 1, 1) =, T(, 1, 1) =, T(, 1, 1) =, T(, 1, 1) =, T(, 1, 1) = e T(x, 0, 0) = 0, x R Logo, temos temperatura máxima e mínima 10