Universidade Federal de Uberlândia

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1 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática 2 a Prova de Matemática 2 - Data: 03/06/2016 Curso: Agronomia - Turma: M Professor: Germano Abud de Rezende GABARITO Escreva a resposta à caneta. NÃO é permitido o uso de CALCULADORA. INSTRUÇÕES Todos os celulares e smartphones devem permanecer DESLIGADOS durante a prova. O aluno flagrado com este tipo de aparelho LIGADO, mesmo que no modo silencioso, terá a prova recolhida e será atribuída a nota zero. Não é permitido sair para ir ao banheiro, beber água ou atender o telefone durante a prova. Leia todas as questões antes de começar a resolvê-las. Comece pelas mais fáceis. Não pergunte nada sobre como se deve proceder na resolução ou se o procedimento de resolução está correto. NOTAS DAS QUESTÕES 1 a Questão 2 a Questão 3 a Questão 4 a Questão NOTA Assinatura do aluno(a) na vista de prova: Nota na vista de prova: Prova: P1 P2 P3 Valor da prova: 10 pontos. Informações Adicionais Pesos por questão: a questão 1 tem peso 3 e a questão 4 tem peso 2. Para as demais, a melhor questão (melhor percentual de acerto) tem peso 3,5 e a pior questão tem peso1,5. TODAS as soluções devem estar devidamente JUSTIFICADAS e bem argumentadas. Duração da prova: 100 minutos. Tempo mínimo de permanência na sala: 30 minutos.

2 1 a QUESTÃO Determine as derivadas parciais de1 a ordem da função dada. (a) f(x,y) = x 3 y 5 2x 2 y + x 2 (b) f(x,y) = ln(x 2 + y 2 ) (c) f(x,y) = x2 y a) f x = 3x 2 y 5 4xy + 1, f y = 5x 3 y 4 2x 2 b) f x = 2x x 2 +y 2,f y = 2y x 2 +y 2 c) f x = 2x y, f y = x2 y 2

3 2 a QUESTÃO Considere a funçãof(x,y) = x 3 3xy + y 3. Encontre os seus pontos críticos e classifique-os (máximo local, mínimo local ou sela). f(x,y) = (3x 2 3y, 3x + 3y 2 ) 3x 2 3y = 0 Logo, f = (0,0) 3x + 3y 2 = 0 Assim, obtemosy = x 2 3x + 3x 4 = 0 x 4 x = 0 x(x 3 1) = 0 x = 0 ou x = 1. Parax = 0 temosy = 0, e parax = 1 temosy = 1. Logo os pontos críticos são(0,0) e (1,1). Agora, aplicando o teste da segunda derivada: H(x,y) = 6x 3 3 6y Logo, no ponto(0, 0) obtemos H < 0 e portanto(0, 0) é ponto de sela. No ponto(1,1) obtemosh > 0 e f xx > 0, e portanto(1,1) é ponto de mínimo local.

4 3 a QUESTÃO Considere as funções de demanda de dois produtos A e B: q A = f(p A,p B ) e q B = f(p A,p B ), em que p A e p B são os preços unitários de A e B. Os produtos A e B são chamados substitutos se, para cada um deles, aumentando-se o seu preço, aumenta a demanda do outro (por exemplo, manteiga e margarina). Os produtosa e B são chamados complementares se, para cada um deles, aumentando-se o seu preço, diminui a demanda do outro (por exemplo, carro e gasolina). (a) Qual o sinal das derivadas q A e q B caso os produtos sejam substitutos? Justifique. (b) Qual o sinal das derivadas q A e q B caso os produtos sejam complementares? Justifique. (c) Verifique se os bens A e B cujas demandas são q A = 500 2p A + 3p B e q B = p A 6p B são complementares ou substitutos. (d) Verifique se os bens A e B cujas demandas são q A = 5p B 2 + p 2 A substitutos. e q B = 3p A 3 + p B são complementares ou a) q A > 0 e q B > 0, pois a demanda de um é crescente em relação ao preço do outro. b) q A < 0 e q B < 0, pois a demanda de um é decrescente em relação ao preço do outro. c) d) q A = 3 > 0 e q B = 5 > 0, logo pelo item (a) eles são substitutos. q A = p 2 A > 0 e q B = p B > 0, logo pelo item (a) eles são substitutos.

5 4 a QUESTÃO Uma firma produz um produto que é vendido em dois países. Sejam x e y as quantidades vendidas nesses países. Sabe-se que as equações de demanda nos dois mercados são dadas por p 1 = 600 2x e p 2 = 900 4y, onde p 1 ep 2 são os preços unitários em cada mercado. A função custo da firma é C = (x+y). (a) Obtenha a função Receita para a venda de x e y unidades, aos preçosp 1 ep 2 respectivamente. (b) Obtenha os valores dexeyque maximizam o lucro. (c) Nas condições do item anterior, quais os preços cobrados em cada país? a) R(x,y) = (600 2x)x + (900 4y)y = 2x 2 4y x+900y b) O Lucro é dado por: L = R C = 2x 2 4y x + 900y ( (x+y)) Vamos encontrar os pontos críticos: L(x,y) = 2x 2 4y x+800y 6000 L x = 0 4x = 0 x = 125 L y = 0 8y = 0 y = 100 Portanto, como só existe um ponto crítico e sabemos que o problema tem solução, este ponto crítico é o ponto de máximo (não é necessário fazer o teste da segunda derivada). c) Temos quep 1 = 600 2x, logo,p 1 = = 350. p 2 = 900 4y, logo,p 2 = = 500.

6 FORMULÁRIO y dy dx c 0 x 1 x n nx n 1 e x e x 1 ln(x) x cos x senx senx cos x Equação da reta: y y 0 = m(x x 0 ), m = y x Vértice da parábola: x V = b 2a, y V = 4a, = b2 4ac Fórmula de Báskara: x = b ± b 2 4ac 2a H(x,y) = f xx (x,y) f xy (x,y) f yx (x,y) f yy (x,y) Regras de derivação: Regra da Soma Regra da Constante Regra do Produto Regra do Quociente Regra da Cadeia (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) (cf(x)) = cf (x) (f(x) g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) (g(x)) 2 (f(g(x))) = f (g(x))g (x) Lucro = Receita - Custo Receita = preço unitário quantidade sólido volume área total paralelepípedo (caixa) V = xyz A = 2xy + 2yz + 2xz cilindro V = πr 2 h A = 2πR 2 + 2πRh cone V = πr2 h 3 A = 2πRh esfera V = 4 3 πr3 A = 4πR 2 Equações canônicas (superfícies): Plano: ax+by + cz = 0 Parabolóide elíptico (eixoz): ±z = ax 2 + by 2, a > 0,b > 0 Cilindro elíptico (eixoz): ax 2 + by 2 = R 2, a > 0,b > 0 Cone elíptico (eixoz): ±z = ax 2 + by 2, a > 0,b > 0 Superfícies cilíndricas (eixo z): f(x, y) = 0

7 RASCUNHO